一种三维几何形状误差自动评定方法.pdf

本发明涉及一种三维几何形状误差自动评定方法，属于精密测量技术领域。基于该评定方法，采用坐标测量机对工件某一功能表面进行三维测量，获取测量点三维坐标值，对坐标值进行分析计算直接得到误差评定结果，不需要提供被测表面的形状参数，也不需要人工构建测量要素。三维几何形状根据其内在的平移和旋转不变性及特征可以分为平面、球面、圆柱面、柱面、回转面、螺旋面和复合面七类。根据测量点坐标值计算出被测对象的不变性数目及特征矢量，识别出被测形状类型，进一步建立符合最小区域评定准则的误差评定数学模型，求解拟合问题得到最佳拟合要素，便可计算出误差评定结果。求解拟合问题需要的参数初值可以利用测量点坐标值和识别出的特征矢量计算得到。该评定方法能够全面真实地反映被测工件的形状误差，减少了人为干预，使形状误差评定过程智能化，更容易操作。

1.  一种三维几何形状误差自动评定方法，其特征在于：该方法可以不需要人工参与误差评定过程，根据识别结果自动计算出形状误差评定结果；
本发明所采用的方法包括如下步骤，
1)使用坐标测量机提取被测工件表面完整形状信息，可以使用接触式测量或非接触式测量，获取测量点在机器直角坐标系O-XYZ下的三维空间坐标值；
2)对采集到的点集坐标值进行分析识别，得到测量点集对应的形状类型和特征；本方法可以识别的形状类型包括球面C_S、平面C_P、圆柱面C_C、螺旋面C_H、回转面C_R、柱面C_T和复合面C_X，识别结果为七种类型之一；
通常曲面的生成与刚体运动有很密切的联系，曲面的部分特征可以通过刚体运动特征反映出来；对刚体上任意一点p的瞬时速度矢量可以表示为
v(p)＝α+ω×p
式中α表示移动速度矢量，ω表示转动角速度矢量；当移动为线性平移运动时α为常量，运动生成的曲面具有空间平移不变性，转速矢量ω代表刚体绕ω方向做旋转运动，其为常量时对应生成曲面具有空间旋转不变性，在空间直角坐标系中，上述七种类型曲面各自具有不同数目和性质的位移不变性，所以这些类型曲面的几何形状可根据α、ω及其位移不变数目来判断；理想情况下，曲面上点p处的法矢量n与v(p)正交，则v(p)·n＝0，通过这个等式在已知测量点坐标和对应法矢的情况下便可以计算出测量点集对应曲面的α、ω及其位移不变数目；实际测量中，由于测量点坐标值与法矢都存在误差，所以可以通过求解测量点集对应速度矢量与法矢量内积的平方和最小的优化问题来判断几何形状类型，该优化问题为
minα,ωΣi=1n[(α+ω×p)·n]2]]>
式中Σi=1n[(α+ω×pi)·ni]2=Σi=1n(αωniT(pi×ni)T)2=X·N·XT,]]>
且X=αω,N=Σi=1n(niT(pi×ni)Tnipi×ni),]]>
其中矩阵N的空集即是该问题的解；将矩阵N称为判别矩阵，N的零特征值个数对应曲面的位移不变数，称为判别特征值，标记为k，且k≤3，零特征值对应的特征向量X称为判别特征矢量，是移动速度矢量与转动速度矢量的组合；
根据上述分析，几何形状识别过程如下：
首先利用测量点集P的n个点坐标值p_i(i＝1,2,...,n)，通过离散点微分几何方法计算得到这n个点对应的曲面法矢坐标值n_i(i＝1,2,...,n)；计算判别矩阵N的特征值与特征向量，得到判别特征值k和对应的判别特征矢量X_j＝[α_j ω_j](j＝1,...,k)，其中矢量α_j表示移动速度矢量，ω_j表示转动角速度矢量，然后根据表1判定点集对应曲面的形状类别；
表1 曲面几何形状类型判别依据

3)根据识别得到的形状类型确定测量点集误差评定拟合要素的类型，建立误差评定数学模型，根据国家标准GB/T1958-2004，符合最小区域评定准则的误差评定拟合问题为
mint,xmaxe(pi,t,x)]]>
式中e(p_i,t,x)＝d_max-d_min，d_max、d_min分别为d_i(p_i,t,x)的最大值与最小值，d_i(p_i,t,x)为测量点p_i到拟合要素的正交距离，t为拟合要素的几何特征矢量，x为拟合要素的基本参数矢量；
4)根据步骤1)获得的测量点集坐标值和步骤2)计算得到的判别特征矢量直接获取或通过解线性方程组求得拟合问题的初始值，包括拟合要素几何特征矢量t的初始值与基本参数矢量x的初始值；
5)使用步骤1)中获得的测量点集坐标值按照步骤3)确定的数学模型和步骤4)计算得到的初始值用Nelder-Mead单纯形优化算法求解拟合问题，得到最佳拟合要素；
6)计算评定结果，即测量点到优化算法求解得到的最佳拟合要素的最大偏差值与最小偏差值之差。

2.  根据权利要求1所述的一种三维几何形状误差自动评定方法，其特征在于：所述t为拟合要素的几何特征矢量，可以为平面的几何特征矢量为法矢量；所述x为拟合要素的基本参数矢量可以为球的基本参数矢量的元素为球心坐标值与半径值。

3.  根据权利要求1所述的一种三维几何形状误差自动评定方法，其特征在于：1)获得 测量点集P的n个采样点坐标值p_i＝(x_i,y_i,z_i),i＝1,2,...,n，通过离散点k邻域微分平面拟合法计算得到这n个点对应的曲面法矢n_i＝(x_ni,y_ni,z_ni),i＝1,2,...,n；
2)利用测量点集的坐标值p_i及其对应法矢坐标值n_i，计算判别矩阵N的特征值与特征向量，得到k＝3，α₁＝0,ω₂,₃＝0,ω₁≠0，根据表1判定点集对应曲面类别为平面C_P，且测点集所在平面的单位法矢量T_P＝ω₁＝(a_P,b_P,c_P)，式中a_P、b_P、c_P为单位法矢量的坐标值；
3)根据识别判定结果确定误差评定数学模型
mint,xmaxe(pi,t,x)]]>
式中e(p_i,t,x)＝d_max-d_min，d_max、d_min分别为d_i(p_i,t,x)的最大值与最小值，
di(pi,t,x)=|axi+byi+czi+e|a2+b2+c2,]]>a、b、c、e为平面拟合参数；
4)将步骤2)计算得到的特征矢量作为拟合问题的初始值，即将a＝a_P,b＝b_P,c＝c_P,e＝1作为初始值带入拟合算法；
5)使用步骤1)中获得的测量点集坐标值按照步骤3)确定的数学模型和步骤4)得到的初始值用Nelder-Mead单纯形优化算法求解拟合问题，得到最佳拟合要素；
6)计算评定结果，即测量点到优化算法得到的最佳拟合要素的最大偏差值与最小偏差值之差。

4.  根据权利要求1所述的一种三维几何形状误差自动评定方法，其特征在于：1)获得测量点集P的n个采样点坐标值p_i＝(x_i,y_i,z_i),i＝1,2,...,n，通过离散点k邻域微分平面拟合法计算得到这n个点对应的曲面法矢n_i＝(x_ni,y_ni,z_ni),i＝1,2,...,n；
2)利用测量点集的坐标值p_i及其对应法矢坐标值n_i，计算判别矩阵N的特征值与特征向量，得到k＝3，α_1,2,3＝0,ω_1,2,3≠0，根据表1判定点集对应曲面类别为球面C_S；
3)根据识别判定结果确定误差评定数学模型
mint,xmaxe(pi,t,x)]]>
式中e(p_i,t,x)＝d_max-d_min，
d_max、d_min分别为d_i(p_i,t,x)的最大值与最小值，
di(pi,t,x)=(xi-x0)2+(yi-y0)2+(zi-z0)2-r,]]>(x₀,y₀,z₀)为球心坐标，r为球半径；
4)根据步骤1)获得的测量点集坐标值计算拟合问题的初始值，即求解线性方程组
x12+y12+z12x1y1z11x22+y22+z22x2y2z21x32+y32+z32x3y3z31···············xn2+yn2+zn2xnynzn1aSbScSeSfS=0]]>
式中方程组的未知参数a_S、b_S、c_S、e_S、f_S为球面方程系数，利用求得的解计算基本参数矢量x＝(x₀,y₀,z₀,r)作为迭代初值带入优化算法进行拟合，其中x₀＝-b_S/(2a_S)、y₀＝-c_S/(2a_S)、z₀＝-e_S/(2a_S)、r=bS2+cS2+eS2-2aSfS/(2|aS|);]]>
5)使用步骤1)中获得的测量点集坐标值按照步骤3)确定的数学模型和步骤4)计算得到的初始值用Nelder-Mead单纯形优化算法求解拟合问题，得到最佳拟合要素；
6)计算评定结果，即测量点到优化算法得到的最佳拟合要素的最大偏差值与最小偏差值之差。

5.  根据权利要求1所述的一种三维几何形状误差自动评定方法，其特征在于：1)获得测量点集P的n个采样点坐标值p_i＝(x_i,y_i,z_i),i＝1,2,...,n，通过离散点k邻域微分平面拟合法计算得到这n个点对应的曲面法矢n_i＝(x_ni,y_ni,z_ni),i＝1,2,...,n；
2)利用测量点集的坐标值p_i及其对应法矢坐标值n_i，计算判别矩阵N的特征值与特征向量，得到k＝2，α₁＝ω₂＝0,ω₁＝α₂，根据表1判定点集对应曲面类别为圆柱面C_C，且圆柱面的轴线方向矢量T_C＝ω₁＝α₂＝(a_C,b_C,c_C)，式中a_C、b_C、c_C为单位方向矢量的坐标值；
3)根据识别判定结果确定误差评定数学模型
mint,xmaxe(pi,t,x)]]>
式中e(p_i,t,x)＝d_max-d_min，
d_max、d_min分别为d_i(p_i,t,x)的最大值与最小值，
di(pi,t,x)=||t×s||||t||-r,]]>
t＝(a,b,c)为圆柱面轴线的方向矢量，
s＝(x_i-x₀,y_i-y₀,z_i-z₀)，(x₀,y₀,z₀)为圆柱面轴线上一点的坐标值，r为圆柱面半径；
4)根据步骤1)获得的测量点集坐标值和步骤2)计算得到的判别特征矢量计算拟合问题的初始值，首先将测量点投影到过坐标原点且法矢量为T_C的平面上，然后对平面上的投影点进行最小二乘圆拟合得到圆心(x_0C,y_0C,z_0C)及半径r_C；将该圆心作为圆柱面轴线上一点的 迭代初值，半径作为圆柱面半径的迭代初值，即x₀＝x_0C、y₀＝y_0C、z₀＝z_0C、r＝r_C作为基本参数矢量初值，a＝a_C,b＝b_C,c＝c_C作为特征参数矢量初值带入优化算法进行拟合；
5)使用步骤1)中获得的测量点集坐标值按照步骤3)确定的数学模型和步骤4)计算得到的初始值用Nelder-Mead单纯形优化算法求解拟合问题，得到最佳拟合要素；
6)计算评定结果，即测量点到优化算法得到的最佳拟合要素的最大偏差值与最小偏差值之差。

一种三维几何形状误差自动评定方法
技术领域
本发明属于精密测量技术领域，具体涉及一种三维几何形状误差自动评定方法。
背景技术
产品几何精度的控制是精密机械制造中十分重要的过程，几何误差检测是保证工件的加工质量且满足设计要求的重要手段。其中形状误差测量是最基本的检测环节，误差评定结果直接决定产品质量是否合格。目前形状误差测量主要通过专用测量仪器和通用测量仪器如三坐标测量机实现，利用测量软件计算出误差评定结果。传统的测量方法需要已知被测对象的形状参数或CAD模型指导测量过程，按一定规则对工件表面测量后，需要专业技术人员选择具体的误差评定项目来获得测量计算结果，且测量结果受测量点选择的影响较大。例如平面度误差检测常用的方法主要有直接测量法和间接测量法。直接测量法是通过调整被测提取表面使评定基面与测量基准平行，获得相对测量基准测得的最大与最小测量值的代数差为平面度误差，该方法多用于测量较小的表面且很难符合最小区域评定条件，例如指示表法测平面度误差(图1)，将被测工件1置于基准平台2上，用指示表3例如千分表在被测件表面测量出被测面与基准面的偏差量，然后计算出平面度误差。间接测量法则是在被测提取表面上选择某些截面按测量直线度误差的方法进行，通过数据处理统一测量基准后进一步得到平面度误差值，该方法则多用于大平面的测量且可实现最小区域评定，例如使用自准直仪测量平面度误差(图2)，将反射镜4置于被测工件1上，按对角线布点形式移动反射镜，用自准直仪5测出被测面上相邻两点的高度差，再经数据处理求出平面度误差。这两类方法的测量评定过程比较繁琐，只能提取被测工件表面上少量测点，不能全面反映被测工件的真实形状信息。使用坐标测量机测量平面度误差操作相对简单(图3)，坐标测量机6可以在被测工件1上快速采集大量数据点，而且坐标测量软件可以直接计算出误差评定结果，但测量过程中仍需要测量操作人员构建平面特征后才能进行误差评定。
发明内容
本发明针对坐标测量方式测量工件形状误差，提出了一种三维几何形状误差自动评定方法，该方法可以不需要人工参与误差评定过程，根据识别结果自动计算出形状误差评定结果。
本发明所采用的方法包括如下步骤：
1)使用坐标测量机提取被测工件表面完整形状信息，可以使用接触式测量或非接触式测量，获取测量点在机器直角坐标系O-XYZ下的三维空间坐标值；
2)对采集到的点集坐标值进行分析识别，得到测量点集对应的形状类型和特征。本方法可以识别的形状类型包括球面C_S、平面C_P、圆柱面C_C、螺旋面C_H、回转面C_R、柱面C_T和复合面C_X，识别结果为七种类型之一；
通常曲面的生成与刚体运动有很密切的联系，曲面的部分特征可以通过刚体运动特征反映出来。对刚体上任意一点p的瞬时速度矢量可以表示为
v(p)＝α+ω×p
式中α表示移动速度矢量，ω表示转动角速度矢量；当移动为线性平移运动时α为常量，运动生成的曲面具有空间平移不变性，转速矢量ω代表刚体绕ω方向做旋转运动，其为常量时对应生成曲面具有空间旋转不变性，在空间直角坐标系中，上述七种类型曲面各自具有不同数目和性质的位移不变性，所以这些类型曲面的几何形状可根据α、ω及其位移不变数目来判断；理想情况下，曲面上点p处的法矢量n与v(p)正交，则v(p)·n＝0，通过这个等式在已知测量点坐标和对应法矢的情况下便可以计算出测量点集对应曲面的α、ω及其位移不变数目；实际测量中，由于测量点坐标值与法矢都存在误差，所以可以通过求解测量点集对应速度矢量与法矢量内积的平方和最小的优化问题来判断几何形状类型，该优化问题为
minα,ωΣi=1n[(α+ω×p)·n]2]]>
式中Σi=1n[(α+ω×pi)·ni]2=Σi=1n(αωniT(pi×ni)T)2=X·N·XT,]]>
且X=αω,N=Σi=1n(niT(pi×ni)Tnipi×ni),]]>
其中矩阵N的空集即是该问题的解；将矩阵N称为判别矩阵，N的零特征值个数对应曲面的位移不变数，称为判别特征值，标记为k，且k≤3，零特征值对应的特征向量X称为判别特征矢量，是移动速度矢量与转动速度矢量的组合；
根据上述分析，几何形状识别过程如下：
首先利用测量点集P的n个点坐标值p_i(i＝1,2,...,n)，通过离散点微分几何方法计算得到这n个点对应的曲面法矢坐标值n_i(i＝1,2,...,n)；计算判别矩阵N的特征值与特征向量，得到判别特征值k和对应的判别特征矢量X_j＝[α_j ω_j](j＝1,...,k)，其中矢量α_j表示移动速度矢量，ω_j表示转动角速度矢量，然后根据表1判定点集对应曲面的形状类别；
表1 曲面几何形状类型判别依据

3)根据识别得到的形状类型确定测量点集误差评定拟合要素的类型，建立误差评定数学模型，根据国家标准GB/T1958-2004，符合最小区域评定准则的误差评定拟合问题为
mint,xmaxe(pi,t,x)]]>
式中e(p_i,t,x)＝d_max-d_min，d_max、d_min分别为d_i(p_i,t,x)的最大值与最小值，d_i(p_i,t,x)为测量点p_i到拟合要素的正交距离，t为拟合要素的几何特征矢量(如平面的几何特征矢量为法矢量)，x为拟合要素的基本参数矢量(如球的基本参数矢量的元素为球心坐标值与半径值)；
4)根据步骤1)获得的测量点集坐标值和步骤2)计算得到的判别特征矢量直接获取或通过解线性方程组求得拟合问题的初始值，包括拟合要素几何特征矢量t的初始值与基本参数矢量x的初始值；
5)使用步骤1)中获得的测量点集坐标值按照步骤3)确定的数学模型和步骤4)计算得到的初始值用Nelder-Mead单纯形优化算法求解拟合问题，得到最佳拟合要素；
6)计算评定结果，即测量点到优化算法求解得到的最佳拟合要素的最大偏差值与最小偏差值之差。
本发明与现有技术相比具有的优点和效果：
1)提高了坐标测量形状误差的智能程度，减少人为干预，降低了操作人员引入的测量误差，使形状误差评定过程更易操作，更智能化。
2)只提供被测形状表面大量点的三维直角坐标值便可以直接进行分析计算，能够更加全面真实地反映被测工件的形状误差，提高测量的准确性。
附图说明
图1指示表法测平面度误差。
图2自准直仪测量平面度误差。
图3坐标测量机测量平面度误差。
图4三维几何形状误差自动评定方法流程图。
图中：1、被测工件，2、基准平台，3、指示表，4、反射镜，5、自准直仪，6、坐标测量机。
具体实施方式
以下将结合附图和实施例对本发明作进一步详细说明。
如图3所示，用坐标测量机6直接采集被测工件1表面的离散点坐标值，利用这些测量点的坐标值完成形状误差自动评定任务。应用本发明方法，其评定过程按照下面的步骤进行：
实施例1
1)获得测量点集P的n个采样点坐标值p_i＝(x_i,y_i,z_i),i＝1,2,...,n，通过离散点k邻域微分平面拟合法计算得到这n个点对应的曲面法矢n_i＝(x_ni,y_ni,z_ni),i＝1,2,...,n；
2)利用测量点集的坐标值p_i及其对应法矢坐标值n_i，计算判别矩阵N的特征值与特征向量，得到k＝3，α₁＝0,ω_2,3＝0,ω₁≠0，根据表1判定点集对应曲面类别为平面C_P，且测点集所在平面的单位法矢量T_P＝ω₁＝(a_P,b_P,c_P)，式中a_P、b_P、c_P为单位法矢量的坐标值；
3)根据识别判定结果确定误差评定数学模型
mint,xmaxe(pi,t,x)]]>
式中e(p_i,t,x)＝d_max-d_min，d_max、d_min分别为d_i(p_i,t,x)的最大值与最小值，
di(pi,t,x)=|axi+byi+czi+e|a2+b2+c2,]]>a、b、c、e为平面拟合参数；
4)将步骤2)计算得到的特征矢量作为拟合问题的初始值，即将a＝a_P,b＝b_P,c＝c_P,e＝1作为初始值带入拟合算法；
5)使用步骤1)中获得的测量点集坐标值按照步骤3)确定的数学模型和步骤4)得到的初始值用Nelder-Mead单纯形优化算法求解拟合问题，得到最佳拟合要素；
6)计算评定结果，即测量点到优化算法得到的最佳拟合要素的最大偏差值与最小偏差值之差。
实施例2：
1)获得测量点集P的n个采样点坐标值p_i＝(x_i,y_i,z_i),i＝1,2,...,n，通过离散点k邻域微分平面拟合法计算得到这n个点对应的曲面法矢n_i＝(x_ni,y_ni,z_ni),i＝1,2,...,n；
2)利用测量点集的坐标值p_i及其对应法矢坐标值n_i，计算判别矩阵N的特征值与特征向量，得到k＝3，α_1,2,3＝0,ω_1,2,3≠0，根据表1判定点集对应曲面类别为球面C_S；
3)根据识别判定结果确定误差评定数学模型
mint,xmaxe(pi,t,x)]]>
式中e(p_i,t,x)＝d_max-d_min，
d_max、d_min分别为d_i(p_i,t,x)的最大值与最小值，
di(pi,t,x)=(xi-x0)2+(yi-y0)2+(zi-z0)2-r,]]>(x₀,y₀,z₀)为球心坐标，r为球半径；
4)根据步骤1)获得的测量点集坐标值计算拟合问题的初始值，即求解线性方程组
x12+y12+z12x1y1z11x22+y22+z22x2y2z21x32+y32+z32x3y3z31···············xn2+yn2+zn2xnynzn1aSbScSeSfS=0]]>
式中方程组的未知参数a_S、b_S、c_S、e_S、f_S为球面方程系数，利用求得的解计算基本参数矢量x＝(x₀,y₀,z₀,r)作为迭代初值带入优化算法进行拟合，其中x₀＝-b_S/(2a_S)、y₀＝-c_S/(2a_S)、z₀＝-e_S/(2a_S)、r=bS2+cS2+eS2-2aSfS/(2|aS|);]]>
5)使用步骤1)中获得的测量点集坐标值按照步骤3)确定的数学模型和步骤4)计算得到的初始值用Nelder-Mead单纯形优化算法求解拟合问题，得到最佳拟合要素；
6)计算评定结果，即测量点到优化算法得到的最佳拟合要素的最大偏差值与最小偏差值之差。
实施例3：
1)获得测量点集P的n个采样点坐标值p_i＝(x_i,y_i,z_i),i＝1,2,...,n，通过离散点k邻域微分平面拟合法计算得到这n个点对应的曲面法矢n_i＝(x_ni,y_ni,z_ni),i＝1,2,...,n；
2)利用测量点集的坐标值p_i及其对应法矢坐标值n_i，计算判别矩阵N的特征值与特征向量，得到k＝2，α₁＝ω₂＝0,ω₁＝α₂，根据表1判定点集对应曲面类别为圆柱面C_C，且圆柱面的轴线方向矢量T_C＝ω₁＝α₂＝(a_C,b_C,c_C)，式中a_C、b_C、c_C为单位方向矢量的坐标值；
3)根据识别判定结果确定误差评定数学模型
mint,xmaxe(pi,t,x)]]>
式中e(p_i,t,x)＝d_max-d_min，
d_max、d_min分别为d_i(p_i,t,x)的最大值与最小值，
di(pi,t,x)=||t×s||||t||-r,]]>
t＝(a,b,c)为圆柱面轴线的方向矢量，
s＝(x_i-x₀,y_i-y₀,z_i-z₀)，(x₀,y₀,z₀)为圆柱面轴线上一点的坐标值，r为圆柱面半径；
4)根据步骤1)获得的测量点集坐标值和步骤2)计算得到的判别特征矢量计算拟合问题的初始值，首先将测量点投影到过坐标原点且法矢量为T_C的平面上，然后对平面上的投影点进行最小二乘圆拟合得到圆心(x_0C,y_0C,z_0C)及半径r_C。将该圆心作为圆柱面轴线上一点的迭代初值，半径作为圆柱面半径的迭代初值，即x₀＝x_0C、y₀＝y_0C、z₀＝z_0C、r＝r_C作为基本参数矢量初值，a＝a_C,b＝b_C,c＝c_C作为特征参数矢量初值带入优化算法进行拟合；
5)使用步骤1)中获得的测量点集坐标值按照步骤3)确定的数学模型和步骤4)计算得到的初始值用Nelder-Mead单纯形优化算法求解拟合问题，得到最佳拟合要素；
6)计算评定结果，即测量点到优化算法得到的最佳拟合要素的最大偏差值与最小偏差值之差。