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基于数字 H ∞ PID 控制器的的连续时滞系统控制方法
    【技术领域】
     本发明涉及连续时滞系统控制技术， 尤其是一种连续时滞系统控制方法。背景技术 PID 控制器以其结构简单， 通用性强及易于操作等优点， 被广泛应用于造纸、 冶金、 化工和机械等实际工业过程控制系统中。随着计算机技术的发展， 数字控制器在实际控制 系统中的使用呈现快速增长的趋势。主要原因是数字控制器可靠性高、 成本低、 灵活性强， 通常可以获得最优系统性能， 拥有连续控制系统无法比拟的优点。已有许多学者研究了数 字控制器的设计方法， 取得了一些研究成果。然而采用以上方法设计的数字控制器虽然在 一定程度上能改善系统的性能， 但往往阶次较高且结构复杂， 特别是进行高阶系统的控制 器设计时， 则更加繁琐因此很难在工业现场使用。
     Keel 在文献 Controller Synthesis Free of Analytical Models ： Three Term Controller(IEEE Transaction on Automatic Controller， 2008， 53(5) ： 1353-1369.) 中 针 对 对 象 模 型 参 数 未 知 的 被 控 对 象， 利 用 系 统 的 频 率 响 应 数 据 计 算 出 了 PID 控 制 器 参 数 稳 定 集。Norber 在 文 献 All Stabilizing PID Controllers for Time Delay Systems(Automatica， 2009， 45(11) ： 2678-2684.) 中用奇异频率法确定稳定域的三条稳定 边界线， 并判断边界线的哪一侧具有更少的不稳定极点， 从而确定 PID 控制器的参数稳定 域。曾振平等在文献确保鲁棒性能的 PID 控制器参数域的一种确定方法 ( 控制与决策， 2005， 20(4) ： 382-387.) 中将混合灵的 H ∞ 范数要求转化为一簇复系数多项式的稳定性要
     求， 采用 Hermite-Biehler 推广定理求解多项式稳定性， 确定了满足鲁棒性能的数字 PID 控 制器。然而上述文献针对的都是无时滞的离散系统， 而关于时滞系统的数字 PID 控制器稳 定域求解方法则鲜为报道。因此， 针对线性连续时滞系统， 研究满足 H ∞性能指标要求的数 字 PID 控制器设计方法， 实现控制系统的快速性、 准确性和鲁棒性具有重要的理论价值和 现实意义。 发明内容
     为了克服已有连续时滞系统控制方法的计算复杂、 动态性能较差、 不能满足 多性 能指标、 实用性较差的不足， 本发明提供一种简化计算、 动态性能良好、 有效满足多性能指 标、 实用性良好的基于数字 H ∞ PID 控制器的的连续时滞系统控制方法。
     本发明解决其技术问题所采用的技术方案是 ：
     一种基于数字 H ∞ PID 控制器的的连续时滞系统控制方法， 所述控制方法包括以 下步骤 ：
     1)、 利用连续时滞系统对控制对象进行自动继电反馈辨识， 得到具有如下传递函 数的被控对象模型 ：
     其中，ai， bi， αi， βi(i ＝ 0， 1， 2，…， n) 为任意实数且满足 βn ＞…＞ β1 ＞ β0 ≥ 0， αn ＞…＞ α1 ＞ α0 ≥ 0 和 αn ＞ βn。
     2)、 采用数字 PID 控制器 ：
     其中， Kp 是比例系数， Ki 是积分系数， Kd 是微分系数， T 是采样周期。根据被控对 象模型和数字 PID 控制器， 计算系统的灵敏度函数 S(z)， 灵敏度函数的表达式为 ：
     其中， G(z) 为系统采用计算机控制后， 被控对象模型转化成的包含零阶保持器的 线性离散时模型， 为：
     其中， 表示 z 变换 ； 3)、 选择 γ0 的值 (γ0 ＞ 0)， 将满足 H ∞灵敏度约束条件 ： ||S(z)|| ∞≤ γ0 (5) 的数字 PID 控制器设计问题转化为一族系数为复数的下述多项式的稳定性问题 ：4)、 根据被控对象的模型参数， 通过遍历其中一个控制参数， 计算二维平面上由另 外两个控制参数组成的稳定域边界线 ； 稳定域边界线包括 ω ≠ 0 时对应的非奇异边界线和 ω ＝ 0 时对应的奇异边界线 ；
     a) 非奇异边界线
     (I) 若参数 Kd 已知。令(Kp， Ki) 边界线的表达式为 ：
     其中， ω ∈ (0， 2π/T) ； (II) 若参数 Ki 已知。令 (Kp， Kd) 边界线的表达式为 ：与 Kd 已知的情形一致， 只需考虑 ω ∈ (0， 2π/T) 从 0 变化到 2π/T 的一个周期 内的非奇异边界 ；
     (III) 若参数 Kp 已知。令(Kd， Ki) 边界线的表达式为 ：
     与 Kd 和 Ki 已知的情形一致， 只需考虑 ω 从 0 变化到 2π/T 的一个周期内的非奇 异边界线 ；
     b) 奇异边界线
     (I) 当 Kd 已知时， 奇异边界线是 Ki ＝ 0 ；
     (II) 当 Ki 已 知 时， 若 Ki ≠ 0， 奇 异 边 界 线 不 存 在， 若 Ki ＝ 0， 奇异边界线是
     (III) 当 Kp 已知时， 奇异边界线是 Ki ＝ 0 ；
     5)、 通过判断稳定域边界线的哪一侧具有更少的不稳定极点， 从而确定被这些边 界线所分割的哪个区域是控制参数的稳定域， 根据以下规则确定稳定域位于非奇异边界线 的哪一侧 ：
     (5.1) 当 Kd 已知时， 当 ω ∈ (0， π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异 边界线的右侧 ； 当 ω ∈ (π/T， 2π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异边界线的 左侧 ；
     (5.2) 当 Ki 已知时， 当 ω ∈ (0， π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异 边界线的右侧 ； 当 ω ∈ (π/T， 2π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异边界线的左侧 ； (5.3) 当 Kp 已知时， 当 ω ∈ (0， π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异 边界线的右侧 ； 当 ω ∈ (π/T， 2π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异边界线的 左侧 ；
     根据以下规则确定稳定域位于奇异边界线的哪一侧 ：
     当 Re(0)/(Re(0)Kp+α) ＜ 0 时， 稳定域位于 Ki ＜ 0 的一侧 ； 当 Re(0)/(Re(0)Kp+α) ＞ 0 时， 稳定域位于 Ki ＞ 0 的一侧， 其中
     6)、 对一个确定的参数若存在能使多项式稳定的 PID 控制所得到的一组 PID 参数集合的交集即为满足 H ∞性能指标的数字 参数集合， 遍历 PID 参数集合， 若交集为空集， 说明不存在满足该 H ∞性能指标的 PID 参数集合 ；
     7)、 将连续时滞系统被控对象模型的参数输入所述数字 PID 控制器， 实现在线控 制。
     进一步， 所述控制方法还包括以下步骤 ： 8)、 在工控机中实现数字 PID 控制器的调 节、 仿真， 建立数字 PID 控制器监控模块， 对离线仿真、 调试和对被控对象的在线控制进行 切换。 本发明的技术构思为 ： 本发明的目的在于为了更清晰地获得满足 H ∞性能指标的 数字 PID 控制器参数集合特性而设计的一种方法。首先， 将满足 H ∞性能指标的数字 PID 控
     制参数域确定问题转化成关于参数的闭环特征方程的镇定问题 ； 接着， 计算不同的 值所对应的控制参数稳定域， 这些稳定域的交集即为满足 H ∞性能指标的数字 PID 控制器参数集 ； 最后， 实现 H ∞性能指标的数字 PID 控制器设计的 GUI 人机交互界面， 通过对 GUI 软件中系统以及 PID 控制器的参数取值， 直观地得到控制参数在稳定域中取不同值时 系统在控制器的调节下的各性能指标值变化情况和输出响应曲线， 让用户最简单化地完成 控制器及系统的设计与仿真。 对任意阶单输入单输出线性时滞系统， 能够快速、 有效和准确 地给出数字 PID 控制参数稳定域， 可通过参数的选取和调节实现良好的控制效果。
     本发明的有益效果主要表现在 ： 简化计算、 动态性能良好、 有效满足多性能指标、 实用性良好。 附图说明
     图 1 是采用本发明方法的工作流程图。
     图 2 为本发明采用数字 PID 控制器的设计方法所用的闭环控制结构图。
     其中 C 为控制器， G 为被控对象， r 和 y 分别为闭环系统的输入和输出， e 为 偏差 信号， u 为控制器输出， d 为干扰信号。
     下面结合附图对本发明作进一步描述。
     参照图 1 ～图 2， 一种基于数字 H ∞ PID 控制器的的连续时滞系统控制方法， 先利 用工控系统对控制对象进行自动继电反馈辨识， 得到被控对象模型参数。将满足 H ∞性能指 标的数字 PID 控制参数域确定问题转化成多项式的镇定问题， 计算出稳定域的稳定边界和 方向。最后， 用 GUI 软件工具编制成相应的数字 PID 控制监控模块进行控制器调节、 仿真与 验证， 明确给出满足 H ∞性能指标的数字 PID 控制参数集合， 并将设计出的数字 PID 控制器 应用到工控系统中对实际被控对象进行控制。本发明从理论上证明了满足 H ∞性能指标的数字 PID 控制器参数不是唯一的一组 值， 而是一个集合。该方法直观、 准确， 易于工程人员掌握。仿真例子验证了所提出方法的 有效性。 基于该方法还可进一步发展满足多性能指标 ( 如超调量、 相位裕度和幅值裕度等 ) 的数字 PID 控制器设计方法。
     具体步骤如下 ：
     1)、 在系统进入数字 PID 控制器的设计之前， 先利用工控系统对控制对象进行自 动继电反馈辨识， 得到具有如下传递函数的被控对象模型
     其中，ai， bi， αi， βi(i ＝ 0， 1， 2，…， n) 为任意实数且满足 βn ＞…＞ β1 ＞ β0 ≥ 0， αn ＞…＞ α1 ＞ α0 ≥ 0 和 αn ＞ βn。
     2)、 采用数字 PID 控制器
     其中， Kp 是比例系数， Ki 是积分系数， Kd 是微分系数， T 是采样周期。根据被控对 象的模型 (10) 和数字 PID 控制器 (11)， 计算系统的灵敏度函数 S(z)， 灵敏度函数的表达式 为
     (12)
     其中， G(z) 为系统采用计算机控制后， 被控对象模型转化成的包含零阶保持器的 线性离散时模型， 为
     其中， 表示 z 变换。 3)、 选择 γ0 的值 (γ0 ＞ 0)， 将满足 H ∞灵敏度约束条件 ||S(z)|| ∞≤ γ0 (14) 的数字 PID 控制器设计问题转化为一族系数为复数的下述多项式的稳定性问题4)、 根据被控对象的模型参数， 通过遍历其中一个控制参数， 计算二维平面上由另 外两个控制参数组成的稳定域边界线。稳定域边界线包括 ω ≠ 0 时对应的非奇异边界线 和 ω ＝ 0 时对应的奇异边界线。
     a) 非奇异边界线
     (I) 若参数 Kd 已知。令(Kp， Ki) 边界线的表达式为
     其中， ω ∈ (0， 2π/T)。 (II) 若参数 Ki 已知。令 (Kp， Kd) 边界线的表达式为与 Kd 已知的情形一致， 只需考虑 ω ∈ (0， 2π/T) 从 0 变化到 2π/T 的一个周期 内的非奇异边界。
     (III) 若参数 Kp 已知。令(Kd， Ki) 边界线的表达式为
     与 Kd 和 Ki 已知的情形一致， 只需考虑 ω 从 0 变化到 2π/T 的一个周期内的非奇 异边界线。b) 奇异边界线 (I) 当 Kd 已知时， 奇异边界线是 Ki ＝ 0。 (II) 当 Ki 已 知 时， 若 Ki ≠ 0， 奇 异 边 界 线 不 存 在， 若 Ki ＝ 0， 奇异边界线是(III) 当 Kp 已知时， 奇异边界线是 Ki ＝ 0。
     5)、 通过判断稳定域边界线的哪一侧具有更少的不稳定极点， 从而确定被这些边 界线所分割的哪个区域是控制参数的稳定域。 本发明根据以下规则确定稳定域位于非奇异 边界线的哪一侧 ：
     (5.1) 当 Kd 已知时， 当 ω ∈ (0， π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异 边界线的右侧 ； 当 ω ∈ (π/T， 2π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异边界线的 左侧。
     (5.2) 当 Ki 已知时， 当 ω ∈ (0， π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异 边界线的右侧 ； 当 ω ∈ (π/T， 2π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异边界线的 左侧。
     (5.3) 当 Kp 已知时， 当 ω ∈ (0， π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异 边界线的右侧 ； 当 ω ∈ (π/T， 2π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异边界线的 左侧。
     本发明根据以下规则确定稳定域位于奇异边界线的哪一侧 ：
     当 Re(0)/(Re(0)Kp+α) ＜ 0 时， 稳定域位于 Ki ＜ 0 的一侧 ； 当 Re(0)/(Re(0)Kp+α) ＞ 0 时， 稳定域位于 Ki ＞ 0 的一侧， 其中
     6)、 对一个确定的参数若存在能使多项式稳定的 PID 控制所得到的一组 PID 参数集合的交集即为满足 H ∞性能指标的数字 PID 参数集合， 若交集为空集， 说明不存在满足该 H ∞性能指标的 PID 参数集合。
     7)、 将连续时滞系统被控对象模型的参数输入所述数字 PID 控制器， 实现在线控 制。
     8)、 基于以上步骤中求解满足 H ∞性能指标的控制参数域的算法和 GUI 开发软件在 工控机中实现数字 PID 控制器的调节、 仿真， 建立数字 PID 控制器监控模块， 对离线仿真、 调 试和对被控对象的在线实际控制进行灵活切换。 本专利中的用户界面能够进行被控对象模 型的参数输入， 超调、 幅值裕度和相位裕度等性能指标的设置， 控制参数稳定域和系统输出 响应曲线的显示， 并通过鼠标点击所获得的控制参数区域中各组不同的控制参数值， 给出 所对应的输出响应曲线及系统各性能指标的值。最终得到满足 H ∞性能指标的参数域。
     如图 1 所示， 首先利用工控系统对控制对象进行继电反馈辨识， 确定其模型参数 ； 然后将模型参数和用户选取的数字 PID 控制器参数 Kp， Ki 或 Kd 输入人机交互界面 ； 基于数 字 PID 控制器的控制参数稳定域求解算法， 对确定的 计算奇异和非奇异边界线。
     进一步判断稳定域分别位于奇异和非奇异边界线的哪一侧， 从而得到由奇异和非 奇异边界线围成的 PID 参数稳定域直观的给出由各边界线围成的 PID 控制参数稳定域 ； 用 户可通过鼠标点击选取控制参数稳定域中的控制参数值， 确定能够到达预期性能指标的分 数阶 PID 控制参数值， 从而实现对被控对象的 PID 控制。
     实施例 ：11参数集合， 遍历CN 102455660 A
     说明书8/9 页利 用 该 造 纸 生 产 工 控 系 统 对 控 制 对 象 进 行 自 动 继 电 反 馈 辨 识， 将本发明提 出的控制方法用于造纸生产过程自动控制系统。设计要求为 ： 保证灵敏度函数满足 ||S(z)|| ∞≤ 2， 从而使系统具有好的鲁棒性能和跟踪性能。
     接下来介绍具体实施步骤 ：
     (1) 将造纸生产工控系统对控制对象进行自动继电反馈辨识。辨识后的被控对象 模型是
     采样周期 T ＝ 0.4s， 离散化之后的传递函数为(2) 确定参数时所对应的稳定域边界线。奇异边界线是 Ki ＝ 0， 非奇异边界线由下式决定其中， |G(ω)|2 ＝ Re2(ω)+Im2(ω)。
     当 ω ∈ (0， π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异边界线的右侧 ； 当 ω ∈ (π/T， 2π/T) 时， 沿着 ω 增大的方向， 稳定域位于非奇异边界线的左侧。
     遍历 可得到一系列由非奇异和奇异边界线围成的区域， 这些区域的交 集即为满足 H ∞性能指标 ||S(z)|| ∞≤ 2 的 PID 参数稳定域。
     用同样的方法， 若可在 (Ki， Kd) 平面上获得满足 H ∞性能指标的 PID 参数域； 若可在 (Kp， Kd) 平面上获得满足 H ∞性能指标的数字 PID 参数域。在以上给出的 PID 参数集合中选取参数， 如选取 Kp， Ki， Kd ＝ 0.1， 0.1， 0.5， Kp， Ki， Kd ＝ 0.5， 0.3， 0.4 和 Kp， Ki， Kd ＝ 0.3， 0.2， 0.3， 通过计算得相应的 H ∞性能指标分别为 1.3027， 1.6513 和 1.3593， 均小于 γ0 ＝ 2。
     (3) 将控制参数稳定域求解算法进行编程并将程序嵌入到 GUI 图形软件界面工具 中， 即可直观、 简单地实现满足多个不同性能指标的控制参数选取， 从而实现满足 H ∞性能 指标的 PID 参数域的满意设计。
     具体步骤如下 ：
     (a) 在 System Parameters 面板中输入被控对象的传递函数表达式 ；
     (b) 在 Fix PID Parameters 面板中选择参数 Kp ＝ 0.5 ；(c) 点击 Plot 2D， 得到 (Ki， Kd) 空间的二维参数稳定域 ；
     (d) 点击 View Perfor， 可在 (Ki， Kd) 参数平面中选取控制参数， 得到相应闭环系统 的单位阶跃响应曲线和超调量， 上升时间， 调节时间， 相位裕度及幅值裕度等性能指标值和 单位阶跃响应曲线。
     本发明采用的算法简单， 结果直观准确， 易与人工掌握。采用本发明设计的满足 H ∞性能指标的数字 PID 控制器， 能够获得良好的动态性能， 基于该方法还可进一步发展满 足多性能指标 ( 如超调量、 相位裕度和幅值裕度等 ) 的数字 PID 控制器设计方法。