本发明属于在金属曲面加工中为几何非可展曲面的展开提供一种理论计算方法。 一般认为，几何曲面按其可展性划分成几何可展曲面和几何非可展曲面两类。几何学的展开处理是用改变曲面在某法截面内的曲率，使之为零，从而获得展开平面的。讫今为止，包括造船业在内的众多金属曲面加工中，普遍采用几何学的展开方法对几何非可展曲面作展开。由于几何学的展开方法不能改变曲面的高斯曲率，因此当曲面的高斯曲率不为零时，亦即此曲面属几何非可展曲面时，则采用几何学的展开方法将包含因主观随意性而引入的系统误差。这一点在金属曲面加工中表现为，对展开曲面保留相当大的加工裕量，待加工曲面后再作二次切割清除。由此造成能耗、成本的上升和效益的降低。
本发明针对上述用几何学的展开方法对几何非可展曲面作展开所存在的误差较大的不足点，采用把曲面作为外力作用下平板变形的最终结果，而展开面即为未受外力作用时的初始形状这样一个特定的力学问题来处理，从而有效地解决了诸如金属曲面加工中存在裕量较大，须作二次切割清除等缺点。将实践结果与传统几何学展开方法作比较后显示，展开精度提高了一个数量级以上。
用本发明所涉及地曲面展开方法对几何非可展曲面作展开处理过程中，综合运用了内力平衡条件，材料应力应变关系，变形协调方程及最小变形能原理，最后在计算机上运算求解。
现对在金属曲面加工中几何非可展曲面的展开方法说明如下：
图1为一夹角dψ，球半径R的球壳Ω，展开面为A。先由以球径为交线的两个平面所截出的一个球面微元的展开来对球面Ω与展开面A作定量分析。
图中0-0′为球径，通过0-0′，相互夹角为dψ的两个平面与球面的交线为球面的短程线ρ，短程线在水平面上展直便是几何近似展开的处理方法。
由图1能得到下列几何关系
dφ间球壳面积：
dΩ＝R2（1-cosα）dφ （1-1）
球壳面积：
Ω＝R2∫2πo[1-cosα（φ）]dφ （1-2）
dφ间展开面积：dA＝ 1/2 ρ2dφ
或 （1-3）
dA = (R2)/22α2dφ
展开面积：
A =R22∫02π［α(φ)］2dφ (1-4)]]>
短程线长度：
ρ＝Rα （1-5）
为分析dΩ与dA面积差异及该差异的分布规律，现给出dψ夹角内球面弧长dσ与展开面弧长ds随短程线ρ的变化如图2。
由图2得几何关系
dφ角内球壳展开线长：
dσ＝Rsinαdφ （1-6）
dφ角内球壳按几何展开后的展开线长：
ds＝Rαdφ或ds＝ρdφ （1-7）
dφ角内展开后面积与球壳原面积差：
dF＝dA-dΩ
＝∫αO（ds-dσ）dαdφ
＝R2∫αo（α-sinα）dαdφ（1-8）
总展开面积与球壳原面积差：
F＝∫2πodF
＝R2∫2πo∫αo（α-sinα）dαdφ（1-9）
dψ角内由展开面加工到球壳面时，在短程线正交方向，球壳材料纤维的相对压缩量：
εs＝ (ds-dσ)/(ds)
＝1- (sinα)/(α) （1-10）
据此可有以下结论：
1，球壳板在边界确定后，它的面积是唯一的，但当用以展开的短程线汇交点0′（即展开中心）位置变化时，按式（1-8）（1-9）可知展开面积与球壳面积之差，也意味了展开面积是变化的。展开中心的位置决定了展开图形的面积和形状。一般几何近似展开方法没有明确的定位展开中心方法，展开中心的定位带有很大主观随意性，其展开结果自然也带着由随意性造成的难以估计的误差。
2，除整球冠状球壳以外，沿着球壳边界各短程线是边界位置的函数α＝α（ψ），因此各短程线间的压缩量dF＝∫αo（α-sinα）dαdψ不同，在这种不均匀的挤压作用下引起加工中短程线的弯曲，偏离了原来的位置（畸变）用几何的展开方法没有考虑也无法考虑畸变的影响。
3，球壳的成形过程中dF（也就是F）要逐渐消失，伴随这一面积差异的消失，材料发生沿短程线方向的塑性流变，改变了成形前后短程线的长度，塑性流变自然也不是用几何方法可以解决的。
4，加工成形过程中，壳板在短程线正交方向的相对压缩量εs＝1- (sinα)/(α) ，在工程实践中单块壳板的边界各点α的取值约在（0.175～0.524）的范围内，相应的εs的变动范围约在（0.00773～0.0456）之间。就是说同一块壳板在其周界边沿各点的相对压缩量相差竟多达六倍。可以认为如果不能定性地把握壳板成形过程中的变形规律而又不得不考虑加工裕量时，确实须把裕量放得很大。另一方面因dF＝∫αo（α-sinα）dαdψ＝∫αoα（1- (sinα)/(α) ）dαdψ。注意到在上述范围内 (sinα)/(α) ＜＜1，这表示加工过程中的压缩量基本上以与α的平方关系上升，可见加大裕量会使消耗在加工中的损失按裕量的大小成平方关系上升。
为了便于推导，取R＝1的球为单位球，原来的各基本几何关系对应变换如下：
dΩ＝（1-cosα）dφ （1-1′）
Ω＝∫2πO[1-cosα（φ）]dφ （1-2′）
dA＝ 1/2 α2dφ （1-3′）
A＝ 1/2 ∫2πo[α（φ）]2dφ （1-4′）
ρ＝α （1-5′）
dF＝∫αo（α-sinα）dαdφ
＝（ 1/2 α2+cosα）｜αodφ
＝[ 1/2 α2-（1-cosα）]dφ （1-8′）
或 (dF)/(dφ) ＝ 1/2 α2-（1-cosα） （1-11）
板材在常温下模压加工成壳板时，还存在弹性应变和塑性应变过程，即部分材料已屈服，处于塑性状态。另一部分材料尚未屈服，处于弹性状态。塑性应变与弹性应变有同样的量级。协调方程和应力应变物理方程均很难处理，目前尚无现成解决方法。
由几何分析知，板材加工成壳板弯曲变形时，尚存在着短程线正交方向的挤压变形，对球壳板每一点每一个方向曲率均匀，而且在壳板加工的工程实践中壳板厚度t与球壳中性面直径D的比值t/D在0.0033～0.0045范围内，比挤压引起的应变εs值0.0077～0.0456小得多，故可忽略平面弯曲作用，作为简单弯曲处理如图3。
弯曲应变为：εb＝ (t)/(D)
挤压引起的应变见式（1-10）
为了利用球对称问题求解，将εb及εs转换成球座标下的径向应变εR及周向应变εT。
取短程线汇交点的球对称中心，短程线方向为径向，短程线正交方向为周向。
径向应变为：
εR＝εb＝ (t)/(D)
周向应变为：
εT＝εb+εs
＝ (t)/(D) +（1- (sinα)/(α) ）
由此解得周向应力和径向应力。
1，周向应力
σT＝ (E)/(（1+μ）（1-2μ）) [（1-μ）εR+2μεT]
＝ (E)/(（1-2μ）) · (t)/(D) + (2μE)/(（1+μ）（1-2μ）) （1- (sinα)/(α) ） （1-11）
2，径向应力
σR＝ (E)/(（1+μ）（1-2μ）) （εT+μεR）
＝ (E)/(（1-2μ）) · (t)/(D) + (E)/(（1+μ）（1-2μ）) （1- (sinα)/(α) ） （1-12）
由于壳板在常温下加工成形是刚塑性性质，所以采用屈雷斯加准则作为判别屈服的条件。因为壳板厚度远小于其它几何尺度，故可将壳板法线方向的应力视为零，即主应力σ3＝0。
另外两个主应力σ1，σ2当为σR与σT，因为由式（1-11）及式（1-12）比较可知，常用的碳素结构钢材料泊桑比在0.25与0.33之间，所以2μ<1，σR>σT。
由此，σ1＝σR
σ2＝σT
σ3＝0
最大切应力为：
τ13＝σ1-σ3＝σR
所以屈雷斯加屈服准则在此便简化为：
σR≥σs（1-13）
式中σs为壳板材料的屈服极限。
设αo为壳板在成形过程中的开始屈服位置，则由式（1-3）及式（1-13）可解出αo：
sinαOαO= 1 - (1 + μ)［σS(1 - 2μ)E-tD］ (1-14)]]>
由此已得到屈服极限σs和开始屈服位置αo。
因为材料体积是无塑性的，壳板成形在模具中，加工模具可作为对壳板厚度方向的刚性约束，因此周向挤压迫使材料中晶格发生趋向径向的伸长。要获得正确的展开图形就应对该伸长作反向补偿。
反向补偿的基本原则是：对原短程线长度ρi＝αi扣除某一数值后成为ρj＝αj，且使壳板微元按αj展开，使展开面积的增量与按αi展开增量相当，如图4。
由图4可解出：
1/2 αisinαi- 1/2 αj(αj)/(αi) sinαi
= 1/2 αi(αi- sinαi) - 1/2 αo(αo)/(αi) (αi- sinαi)
解出：
αj=α2i- (αisinαi- 1)(α2i- α20)0(1－15）]]>
实践中除了整体球冠板外，多数均为非球对称问题。同一块球壳以不同的展开中心展开时，可以获得不同的展开图形，不但形状不同，面积也不同。客观上一块确定的球壳应有唯一对应的展开图。
球壳板一般至少存在一根几何对称轴。其中一部分壳板存在一对正交的几何对称轴，依其几何对称性推断力学对称性，可判定几何对称轴的交点即为展开中心。对仅存在一根几何对称轴的壳板，问题归结为展开中心在几何对称轴上如何定位。
壳板置于模具上压制成形，外负荷作用的方向最初处于展开板平面的法线方向，随着加工过程逐步转到壳板球面的法线方向。模具对其加工物没有侧向约束，短程线正交方向的挤压是在平面发展为球面过程中高斯曲率变化引起的内力作用之结果。因此展开板总是自然趋向内力最小，变形能最小的球壳面。球壳的变形能包括弯曲变形能和挤压变形能，其中弯曲变形能处处均匀相等，而挤压变形能与挤压面积F有关，F＝A-Ω，因为球壳面积Ω在球壳既定之后便不变，故展开面积之大小直接决定了挤压面积的数值。
由挤压变形面积越小，壳板内积聚的挤压变形能越小，可推论出确定展开中心的原则为：
I＝minΩ＝constA＝minΩ＝const∫2πo[α（φ）]2dφ （1-16）
即是按展开面积最小为目标函数求解，确定展开中心位置。
壳板在成形过程中，每束短程线都受到邻接短程线的挤压。由内力平衡条件建立方程求解出不均匀挤压下挤压应变的分布规律，从而求得每个短程线的畸变量，在展开壳板时用此畸变量作反向补偿，能获得抵消畸变的展开图形，
壳板沿每根短程线的截面上所受到挤压应力对展开中心的力矩为：
M＝∫ρoEtεT（α）ρdρ
＝∫αoEt（ (t)/(D) +α-sinα）dα
Et[ 1/2 α2-（1-cosα）] （1-17）
上式略去 (t)/(D) 是因为通常 (t)/(D) ＝0.0033～0.0045＜＜1
球壳成形后内力是平衡的，沿着两个任意通过短程线到展开中心截取出任何一壳板都存在平衡条件：
M≡const
由（1-17）式力矩平衡条件又可表示为：
1/2 α-（1-cosα）≡const
上式与（1-11）式比较后力矩平衡条件可表达为：
(dF)/(dφ) ≡const
即壳板展开时，应保持在单位角度内短程线间的补偿面积为常数。
由于α＝α（ψ）通常为非连续可导函数，畸变的补偿采用差分方法离散化数值求解。前述各式中的微分处理都将改为差分处理。
设原来未经畸变修正前的短程线方位角为ψi，修正后的对应位置角为ψi，畸变补偿步骤如下：
1，展开差分角：
△φi＝φi-φi-1
展开面微元差分球面积：
△Ωi＝ 1/2 αisinαi△φi
展开差分补偿面积：
△Fi＝ 1/2 αi（αi-sinαi）△φi
单位差分角平均补偿面积：
△F= 1/(2π)Σi = 1n△Fi]]>
2，按平衡条件作第一次近似补偿：
展开面补偿后展开面积差分。
△Aio= △Ωi+ △F×△φi
第一次近似差分角：
△ψio= (2△Aio)/(α2i)
第一次近似二陛差分角
3，按连续条件作第二次近似补偿：
连续条件校核：
S = 2π -Σi = 1n△ψio= 0]]>
如果经第一次近似补偿已满足S＝0，则补偿已结束取：
△2ψi＝△2ψi0;△ψi＝△ψi0
如果S≠0则作第二次近似补偿分配：
二陛差分角修正：
△2ψi= △2ψio( 1 +△2ψiΣi = 1n△2ψioS)]]>
展开差分角修正：
△ψi＝△ψi0+△2ψ;
展开角修正：
ψi=Σi = 1i = j△ψi]]>
展开面积差分修正：
△Ai＝△Ωi+ 1/2 α2i△2ψ;
短程线的塑性流动由其正交方向的挤压引起。不均匀挤压导至畸变，畸变改变了塑性流变值。
按照图3-2，在非球对称条件下，式（3-5）按面积相等关系有：
( 1/2 αisinαi- 1/2 αj(αj)/(αi) sinαi)(△ψi- △2ψi)
= 1/2 (αzi]]>-αzo]]>)△2ψi
解出：
αj=α2i- (α2i- α2o)△2ψi△ψi- △2ψiαisinαi]]>
综上所述，在求得εj＝1- (sinα)/(α) （1-10）
αj=α2i- (αisinαi- 1)(α2i- α2o)(1－15)]]>
I＝minΩ＝constA＝minα＝const∫2πo[α（φ）]2dψ （1-16）
1/2 α2-（1-cosα）≡const （1-19）
和
αj=α2i- (α2i- α2o)△2ψi△ψi- △2ψiαisinαi(1－21）]]>
诸表达式后，便可据此将欲作常温下模压成型加工的金属曲面作一精确展开，在此基础上经放样下料后对板材作曲面加工，其优点将是显而易见的。
下面作为本发明的实施例，介绍用几何近似方法和本发明所指的展开方法得到的不同试验结果，籍此说明本发明与一般几何学的展开处理方法比较后所具有的优点。
一、几何近似展开方法试验结果
试验材料：16MnR，t＝30mm，屈服极限σs＝31kg/mm2
展开对象：内径φ6596mm，赤道板
实测结果与理论值尺度比较见表5-1及图5
表5-1 几何近似展开壳板成型后实测尺度与理论值对比表（单位mm）
项目 实侧值 理论值 绝对误差 相对误差
短轴长度 OB869.0 863.4 5.6 6.5‰
长轴长度 OA1304.5 1295.0 9.5 7.3‰
长边界弧长1319.6 1295.0 24.6 19.0‰
短边界弧长796.6 797.2 -0.6 0.75‰
二、本发明所指的展开方法试验结果
试验材料：SPV36N，t＝42mm，屈服极限σs＝40kg/mm2
展开对象：内径φ12300mm 1，温带板（见图6及表5-2）
表5-2 精确展开壳板成型后实尺度与理论值对比表（单位mm）
项目 实测值 理论值 绝对误差 相对误差
短轴长度 OC751.5 751.1 0.4 0.5‰
长轴 OA长度 1792.0 1792.5 -0.5 0.3‰
长轴 OE长度 3040.0 3037.7 2.3 0.8‰
短边弧长 891.0 892.5 -1.5 1.7‰
短边弧长 370.0 369.7 -0.3 0.8‰
长边弧长4832.0 4830.2 1.8 0.4‰