基于平方根容积卡尔曼滤波的光电跟踪转台滑模控制方法.pdf

本发明公开了一种基于平方根容积卡尔曼滤波的光电跟踪转台滑模控制方法，其主要步骤为：步骤一：基于平方根容积卡尔曼滤波的跟踪目标状态估计；步骤二：光电跟踪转台控制系统建模；步骤三：在已经建立的转台模型的基础上设计滑模控制器。本发明针对光电跟踪转台控制系统，提出了一种基于平方根容积卡尔曼滤波的光电跟踪转台滑模控制方法，用于控制转台准确稳定地跟踪飞行目标。与现有技术相比，该方法能在光电跟踪转台的输入信号含有随机干扰的情况下，采用平方根容积卡尔曼滤波算法获取目标角速度和角加速度，避免了对目标位置信号求微分时放大随机干扰，实现了光电跟踪转台的滑模控制。

1.  基于平方根容积卡尔曼滤波的光电跟踪转台滑模控制方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：
步骤一：基于平方根容积卡尔曼滤波的跟踪目标状态估计
在极坐标系中采用平方根容积卡尔曼滤波算法对目标位置信号进行滤波预测，目标模型采用三阶常加 速模型。其具体算法流程如下：
设离散非线性动态系统的状态方程为：
x k = f ( x k - 1 ) + w k - 1 z k = h ( x k ) + v k ]]>
式中，x_k为系统状态向量；z_k为量测值；过程噪声w_k-1和量测噪声v_k相互独立，且w_k-1～N(0，Q_k-1)， v_k～N(0，R_k)。
以跟踪目标在方位平面上的角度滤波预测为例，选取目标方位角度、角速度和角加速度作为状态变量， 即
x k = θ ( k ) θ · ( k ) θ · · ( k ) T ]]>
则目标的状态方程为
f(x_k)=Φx_k-1+T_k-1w_k-1
式中， Φ = 1 T T 2 / 2 0 1 T 0 0 1 , Γ k - 1 = T 3 / 6 T 2 / 2 T . ]]>
假定转台处于坐标原点处，量测值为目标方位角，跟踪系统的量测方程为
z_k=Hx_k-1+v_k
式中，H=[1 0 0]^T。
使用三阶容积原则获得的基本容积点和对应权值为
ξ i = m 2 [ 1 ] i , ω i = 1 m , i = 1,2 , . . . , m ]]>
式中，ξ_i为容积点向量，其对应的权重为ω_i；m=2n；符号[1]表示生成算子，选择状态变量维数n=3， 则[1]_i表示如下所示点集中的第i个元素，即
{ 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , - 1 0 0 , 0 - 1 0 , 0 0 - 1 } ]]>
平方根容积卡尔曼滤波具体算法如下：
(1)时间更新
采用Cholesky方法分解协方差
S_k-1|k-1＝Chol(P_k-1|k-1)
计算容积点
X i , k - 1 | k - 1 = S k - 1 | k - 1 ξ i + x ^ k - 1 | k - 1 ]]>
式中i＝1，2，3，…，m。
计算通过状态方程传播的容积点
X i , k - 1 | k - 1 * = f ( X i , k - 1 | k - 1 ) ]]>
估计预测状态
x ^ k - 1 | k - 1 = 1 m Σ i = 1 m X i , k - 1 | k - 1 * ]]>
估计预测误差方差矩阵的平方根
S k | k - 1 = Tria ( [ χ k | k - 1 * S Q , k - 1 ] ) ]]>
式中，Tria(·)表示对矩阵进行三角化；S_Q，k-1为Q_k-1的平方根，即定义为：
χ k | k - 1 * = 1 m [ X 1 , k | k - 1 * - x ^ k | k - 1 , X 2 , k | k - 1 * - x ^ k | k - 1 , . . . , X m , k | k - 1 * - x ^ k | k - 1 ] ]]>
(2)量测更新
计算容积点
X i , k | k - 1 = S k | k - 1 ξ i + x ^ k | k - 1 ]]>
计算通过状态方程传播的容积点
Z_i，k|k-1=h(X_i，k|k-1)
量测预测为
z ^ k | k - 1 = 1 m Σ i = 1 m X i , k - 1 | k - 1 * ]]>
计算方差矩阵的平方根
S_zz，k|k-1=Tria([Z_k|k-1S_R，k])
式中S_R，k为R_k的平方根，即：
Z k | k - 1 = 1 m [ Z 1 , k | k - 1 - z ^ k | k - 1 , Z 2 , k | k - 1 - z ^ k | k - 1 , . . . , Z m , k | k - 1 - z ^ k | k - 1 ] ]]>
估计协方差矩阵
P xz , k | k - 1 = χ k | k - 1 Z k | k - 1 T ]]>
χ k | k - 1 = 1 m [ X 1 , k | k - 1 - x ^ k | k - 1 , X 2 , k | k - 1 - x ^ k | k - 1 , . . . , X 2 , k | k - 1 - x ^ k | k - 1 ] ]]>
计算卡尔曼增益
W k = ( P xz , k | k - 1 / S zz , k | k - 1 T ) / S zz , k | k - 1 ]]>
更新状态
x ^ k | k = x ^ k | k - 1 + W k ( z k - z ^ k | k - 1 ) ]]>
更新方差矩阵的平方根
S_k|k＝Tria([χ_k|k-1-W_kZ_k|k-1W_kS_R，k])
经滤波后得到作为滑模控制器的输入。其中θ_d=[θ_d(1)，θ_d(2)，…，θ_d(k)]， θ · d = [ θ · d ( 1 ) , θ · d ( 2 ) , . . . , θ · d ( k ) ] , θ · · d = [ θ · · d ( 1 ) , θ · · d ( 2 ) , . . . , θ · · d ( k ) ] . ]]>
步骤二：光电跟踪转台控制系统建模
由无刷直流力矩电机的工作原理可推出电枢回路的电压平衡方程为
U a = R a i a + L a di a dt + e b ]]>
其中，U_a为电枢两端平均电压；R_a，i_a，L_a分别为电枢回路的电阻，电流和电感；反电势e_b为：
e b = C e θ · ]]>
C_e，分别为电机的反电势系数和转角速度。
电机的电磁力矩与电流成正比
M_d=K_mi_a
式中，K_m为电磁力矩系数。
定义摩擦等干扰力矩为M_f，电机的转矩平衡方程可以表示为
M d - M f = J θ · · ]]>
式中，J为负载等效转动惯量。
步骤三：光电跟踪转台的滑模控制器设计
控制器输入的方位角的位移指令为θ_d，以及速度加速度均由前一步骤中的滤波算法得出。控 制误差及其导数为：
e = θ d - θ e · = θ · d - θ · ]]>
定义滑模面为：
s = ce + e · , c > 0 ]]>
则有
s · = c e · + e · · = c ( θ · d - θ · ) + ( θ · · d - θ · · ) = c ( θ · d - θ · ) + θ · · d - [ K m ( K p u - C e θ · ) JR - M f J ] - - - ( 1 ) ]]>
采用幂次趋近率，有：
s · = - k | s | α sgns - - - ( 2 ) ]]>
其中k>0，1>α>0。
联立公式(1)和(2)，得：
c e · + θ · · d - [ K m ( K p u - C e θ · ) JR - M f J ] = - k | s | α sgns - - - ( 3 ) ]]>
忽略电感的作用，滑模控制律可以设计为：
u ( e ) = 1 K P { JR a K m [ c e · + θ · · d + k | s | α sgn ( s ) + M f J ] + C e θ · } ]]>
显然，由于干扰力矩M_f，未知，上述控制律无法实现。为了解决这一问题，采用干扰的界来设计 控制律：
u ( e ) = 1 K P { JR a K m [ c e · + θ · · d + k | s | α sgn ( s ) + M fc J ] + C e θ · } - - - ( 4 ) ]]>
其中，M_fc为待设计的与干扰M_f的界相关的正实数。联立公式(14)和(12)：
s · = - k | s | α sgns + M f - M fc ]]>
设定M_L，M_U分别为干扰力矩的下界和上界，则有：
M_L≤M_f≤M_U
定义 M f 1 = M U - M L 2 , M f 1 = M U + M L 2 , ]]>则M_fc为：
M_fc=M_f2+M_f1sgns
当s>0时，M_fc=M_U， s &CenterDot; = - k | s | α sgns + M f - M fc < 0 , s s &CenterDot; < 0 ; ]]>当s<0时，M_fc=M_L， s &CenterDot; = - k | s | α sgns + M f - M fc > 0 , s s &CenterDot; < 0 ; ]]>显然，满足了滑模控制的逼近条件。
整个控制算法的设计流程结束。

基于平方根容积卡尔曼滤波的光电跟踪转台滑模控制方法
技术领域
本发明属于光电跟踪转台控制领域，特别地，涉及一种基于平方根容积卡尔曼滤波的光电跟踪转台 滑模控制方法，非常适合于提高光电跟踪转台的抗干扰性能和跟踪精度。
背景技术
光电跟踪转台是一种具有高探测能力和精密跟踪性能的设备，在目标动态测量、轨迹跟踪记录、 侦察监视、定位通信、制导瞄准等军事领域起着举足轻重的作用。
近年来，随着光电跟踪技术应用范围的不断扩展，对其提高其抗干扰性能和跟踪精度的要求也越 来越高。滑模控制方法因其所具有的优良特性而受到学者们的关注，该方法通过所设计的滑模面和等效控 制律，能快速响应输入信号的变化，且对于扰动不敏感，具有较好的鲁棒性。因此，应用滑模控制是光电 跟踪转台跟踪精度的一条有效途径。
图1给出了常见的伺服控制转台滑模控制原理框图。滑模控制律的设计需用到输入信号的微分和 二次微分，即所跟踪目标相对于跟踪转台的角速度和角加速度。但该方法存在以下缺陷：由于所跟踪目标 运动的机动性和设备量测误差，光电跟踪转台的输入信号中含有随机干扰，直接对其求微分后将导致干扰 更加严重，难以实现滑模控制。
发明内容
发明目的
本发明要解决的技术问题是，在光电跟踪转台的输入信号含有随机干扰的情况下，采用平方根容 积卡尔曼滤波算法获取目标角速度和角加速度，以实现光电跟踪转台的滑模控制。
本发明给出了一种光电跟踪转台的滑模控制方法，其设计思想是：首先，应用平方根容积卡尔曼 滤波算法对光电测量设备采集的目标角位移进行滤波预测，得到目标的角速度和角加速度；之后，将该目 标的角位移、角速度和角速度作为滑模控制方法的输入，实现对光电跟踪转台的控制。其具体原理框图如 图2所示。
下面以光电跟踪转台的方位角控制为例介绍该设计方法(俯仰角的控制与其相似)，具体步骤如下：
步骤一：基于平方根容积卡尔曼滤波的跟踪目标状态估计
在本发明中，光电跟踪转台采用CCD传感器测量跟踪目标的脱靶量，然后与光栅编码器测量的转 台角度值相加，就合成了目标当时的角位移量。由于所跟踪目标的量测信息是在极坐标系中得到的，直接 在极坐标系中进行滤波预测，目标模型采用三阶常加速模型。
设离散非线性动态系统的状态方程为：
x k = f ( x k - 1 ) + w k - 1 z k = h ( x k ) + v k ]]>
式中，x_k为系统状态向量；z_k为量测值；过程噪声w_k-1和量测噪声v_k相互独立，且w_k-1～N(0，Q_k-1)， v_k～N(0，R_k)。
以跟踪目标在方位平面上的角度滤波预测为例，选取目标方位角度、角速度和角加速度作为状态 变量，即
x k = θ ( k ) θ &CenterDot; ( k ) θ &CenterDot; &CenterDot; ( k ) T ]]>
则目标的状态方程为
f(x_k)＝Φx_k-1+Γ_k-1w_k-1
式中， Φ = 1 T T 2 / 2 0 1 T 0 0 1 , Γ k - 1 = T 3 / 6 T 2 / 2 T . ]]>
假定转台处于坐标原点处，量测值为目标方位角，则跟踪系统的量测方程为
z_k＝Hx_k-1+v_k
式中，H=[1 0 0]^T。
使用三阶容积原则获得的基本容积点和对应权值为
ξ i = m 2 [ 1 ] i , ω i = 1 m , i = 1,2 , . . . , m ]]>
式中，ξ_i为容积点向量，其对应的权重为ω_i；m=2n；符号[1]表示生成算子，选择状态变量维 数n=3，则[1]_i表示如下所示点集中的第i个元素，即
{ 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , - 1 0 0 , 0 - 1 0 , 0 0 - 1 } ]]>
平方根容积卡尔曼滤波具体算法如下：
(1)时间更新
采用Cholesky方法分解协方差
S_k-1|k-1=Chol(P_k-1|k-1)
计算容积点
X i , k - 1 | k - 1 = S k - 1 | k - 1 ξ i + x ^ k - 1 | k - 1 ]]>
式中i＝1，2，3，…，m。
计算通过状态方程传播的容积点
X i , k - 1 | k - 1 * = f ( X i , k - 1 | k - 1 ) ]]>
估计预测状态
x ^ k - 1 | k - 1 = 1 m Σ i = 1 m X i , k - 1 | k - 1 * ]]>
估计预测误差方差矩阵的平方根
S k | k - 1 = Tria ( [ χ k | k - 1 * S Q , k - 1 ] ) ]]>
式中，Tria(·)表示对矩阵进行三角化；S_Q，k-1为Q_k-1的平方根，即定义为：
χ k | k - 1 * = 1 m [ X 1 , k | k - 1 * - x ^ k | k - 1 , X 2 , k | k - 1 * - x ^ k | k - 1 , . . . , X m , k | k - 1 * - x ^ k | k - 1 ] ]]>
(2)量测更新
计算容积点
X i , k | k - 1 = S k | k - 1 ξ i + x ^ k | k - 1 ]]>
计算通过状态方程传播的容积点
Z_i，k|k-1=h(X_i，k|k-1)
量测预测为
z ^ k | k - 1 = 1 m Σ i = 1 m X i , k - 1 | k - 1 * ]]>
计算方差矩阵的平方根
S_zz，k|k-1=Tria([Z_k|k-1S_R，k])
式中S_R，k为R_k的平方根，即：
Z k | k - 1 = 1 m [ Z 1 , k | k - 1 - z ^ k | k - 1 , Z 2 , k | k - 1 - z ^ k | k - 1 , . . . , Z m , k | k - 1 - z ^ k | k - 1 ] ]]>
估计协方差矩阵
P xz , k | k - 1 = χ k | k - 1 Z k | k - 1 T ]]>
χ k | k - 1 = 1 m [ X 1 , k | k - 1 - x ^ k | k - 1 , X 2 , k | k - 1 - x ^ k | k - 1 , . . . , X m , k | k - 1 - x ^ k | k - 1 ] ]]>
计算卡尔曼增益
W k = ( P xz , k | k - 1 / S zz , k | k - 1 T ) / S zz , k | k - 1 ]]>
更新状态
x ^ k | k = x ^ k | k - 1 + W k ( z k - z ^ k | k - 1 ) ]]>
更新方差矩阵的平方根
S_k|k=Tria([χ_k|k-1-W_kZ_k|k-1W_kS_R，k])
经滤波后得到作为滑模控制器的输入。其中θ_d=[θ_d(1)，θ_d(2)，…，θ_d(k)]， θ &CenterDot; d = [ θ &CenterDot; d ( 1 ) , θ &CenterDot; d ( 2 ) , . . . , θ &CenterDot; d ( k ) ] , θ &CenterDot; &CenterDot; d = [ θ &CenterDot; &CenterDot; d ( 1 ) , θ &CenterDot; &CenterDot; d ( 2 ) , . . . , θ &CenterDot; &CenterDot; d ( k ) ] . ]]>
步骤二：光电跟踪转台控制系统建模
本发明中的光电跟踪转台使用的是由无刷直流力矩电机驱动。
无刷直流力矩电机采用PWM方式驱动，由于PWM脉冲调宽电流频率比较高，因此可以忽略 电枢中电流的波动性，把电流看作直流，这时无刷直流力矩电机近似为线性元件。由电机的工作原理 可推出电枢回路的电压平衡方程为
U a = R a i a + L a di a dt + e b ]]>
其中，U_a=K_pu为电枢两端平均电压，u为控制输入；R_a，i_a，L_a分别为电枢回路的电阻，电 流和电感；反电势e_b为：
e b = C e θ &CenterDot; ]]>
C_e，分别为电机的反电势系数和转角速度。
电机的电磁力矩与电流成正比
M_d=K_mi_a
式中，K_m为电磁力矩系数。
定义摩擦等干扰力矩为M_f，电机的转矩平衡方程可以表示为
M d - M f = J θ &CenterDot; &CenterDot; ]]>
式中，J为负载等效转动惯量。
步骤三：光电跟踪转台的滑模控制器设计
本发明所设计的滑模控制方法控制结构如图2所示。控制器输入的方位角的位移指令为θ_d，以及 速度加速度均由前一步骤中的滤波算法得出。控制误差及其导数为：
e = θ d - θ e &CenterDot; = θ &CenterDot; d - θ &CenterDot; θ ]]>
定义滑模面为：
s = ce + e &CenterDot; , c > 0 ]]>
则有
s &CenterDot; = c e &CenterDot; + e &CenterDot; &CenterDot; = c ( θ &CenterDot; d - θ &CenterDot; ) + ( θ &CenterDot; &CenterDot; d - θ &CenterDot; &CenterDot; ) = c ( θ &CenterDot; d - θ &CenterDot; ) + θ &CenterDot; &CenterDot; d - [ K m ( K p u - C e θ &CenterDot; ) JR - M f J ] - - - ( 1 ) ]]>
采用幂次趋近率，有：
s &CenterDot; = - k | s | α sgns - - - ( 2 ) ]]>
其中k>0，1>α>0。
联立公式(1)和(2)，得：
c e &CenterDot; + θ &CenterDot; &CenterDot; d - [ K m ( K p u - C e θ &CenterDot; ) JR - M f J ] = - k | s | α sgns - - - ( 3 ) ]]>
忽略电感的作用，滑模控制律可以设计为：
u ( e ) = 1 K P { JR a K m [ c e &CenterDot; + θ &CenterDot; &CenterDot; d + k | s | α sgn ( s ) + M f J ] + C e θ &CenterDot; } ]]>
显然，由于干扰力矩M_f，未知，上述控制律无法实现。为了解决这一问题，采用干扰的界来设 计控制律：
u ( e ) = 1 K P { JR a K m [ c e &CenterDot; + θ &CenterDot; &CenterDot; d + k | s | α sgn ( s ) + M fc J ] + C e θ &CenterDot; } - - - ( 4 ) ]]>
其中，M_fc为待设计的与干扰M_f的界相关的正实数。
联立公式(14)和(12)：
s &CenterDot; = - k | s | α sgns + M f - M fc ]]>
设定M_L，M_U分别为干扰力矩的下界和上界，则有：
M_L≤M_f≤M_U
定义 M f 1 = M U - M L 2 , M f 1 = M U + M L 2 , ]]>则M_fc为
M_fc＝M_f2+M_f1sgns
当s>0时，M_fc=M_U， s &CenterDot; = - k | s | α sgns + M f - M fc < 0 , s s &CenterDot; < 0 ; ]]>当s<0时，M_fc=M_L， s &CenterDot; = - k | s | α sgns + M f - M fc > 0 , s s &CenterDot; < 0 ; ]]>
显然，满足了滑模控制的逼近条件。
优点及功效
本发明针对光电跟踪系统，给出了一种滑模控制方法，用于光电跟踪转台的控制。具体优点在于： 与目前存在的滑模控制算法相比，这种方法采用平方根容积卡尔曼滤波获取跟踪目标角速度和角加速度信 息，避免了直接对采集的目标位置信号进行微分可能导致的干扰被放大，有利于光电跟踪转台的滑模控制 算法在工程实践中实现，以提高光电跟踪转台的跟踪精度和鲁棒性。
附图说明
图1常见的伺服控制转台滑模控制原理框图
图2本发明方法的原理框图
图3实测目标方位角位移信号
图4由实测信号微分得到的目标角速度
图5平方根容积卡尔曼滤波算法预测的目标角速度
图6平方根容积卡尔曼滤波算法预测的目标角加速度
图7本发明实施方式中对输入信号的跟踪效果图
具体实施方式
设计目标为基于平方根容积卡尔曼滤波的光电跟踪转台滑模控制方法，其具体实施中，转台滑模 控制方法的仿真和检验都借助于Matlab7.1中的Simulink工具箱来实现。下面结合附图和实施例对本发明 作进一步描述。
实施方式
步骤一：基于平方根容积卡尔曼滤波的跟踪目标状态估计
以跟踪目标在方位平面上的角度滤波预测为例，选取目标方位角度、角速度和角加速度作为状态 变量，即
x k = θ d ( k ) θ &CenterDot; d ( k ) θ &CenterDot; &CenterDot; d ( k ) T ]]>
则目标的状态方程为
f(x_k)=Φx_k-1+Γ_k-1w_k-1
式中， Φ = 1 T T 2 / 2 0 1 T 0 0 1 , Γ k - 1 = T 3 / 6 T 2 / 2 T , ]]>过程噪声w_k-1～N(0，Q_k-1)。设置量测系统的量测间隔为 T＝0.01s；系统噪声方差为Q_k=0.021(°／s²)²；滤波状态初值选为x₀=[0，0，0]^T。
假定转台处于坐标原点处，量测值为合成的目标方位角，则跟踪系统的量测方程为
z_k=Hx_k-1+v_k
式中，H=[1 0 0]^T。z_k为合成的量测值；过程噪声w_k-1和量测噪声v_k相互独立，且，v_k～N(0，R_k)， 量测噪声方差为R_k=0.001(°)²。
使用三阶容积原则获得的基本容积点和对应权值为
ξ i = m 2 [ 1 ] i , ω i = 1 m , i = 1,2 , . . . , m ]]>
式中，ξ_i为容积点向量，其对应的权重为ω_i；选择状态变量维数n=3，则m=2n=6，[1]_i表示如 下所示点集中的第i个元素，即
{ 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , - 1 0 0 , 0 - 1 0 , 0 0 - 1 } ]]>
设定P_0|0=diag[100,100，100]，平方根容积卡尔曼滤波具体算法如下：
(1)时间更新
采用Cholesky方法分解协方差
S_k-1|k-1=Chol(P_k-1|k-1)
计算容积点
X i , k - 1 | k - 1 = S k - 1 | k - 1 ξ i + x ^ k - 1 | k - 1 ]]>
式中i＝1，2，3，…，m。
计算通过状态方程传播的容积点
X i , k - 1 | k - 1 * = f ( X i , k - 1 | k - 1 ) ]]>
估计预测状态
x ^ k - 1 | k - 1 = 1 m Σ i = 1 m X i , k - 1 | k - 1 * ]]>
估计预测误差方差矩阵的平方根
S k | k - 1 = Tria ( [ χ k | k - 1 * S Q , k - 1 ] ) ]]>
式中，Tria(·)表示对矩阵进行三角化；S_Q，k-1为Q_k-1的平方根，即定义为：
χ k | k - 1 * = 1 m [ X 1 , k | k - 1 * - x ^ k | k - 1 , X 2 , k | k - 1 * - x ^ k | k - 1 , . . . , X m , k | k - 1 * - x ^ k | k - 1 ] ]]>
(2)量测更新
计算容积点
X i , k | k - 1 = S k | k - 1 ξ i + x ^ k | k - 1 ]]>
计算通过状态方程传播的容积点
Z_i，k|k-1=h(X_i，k|k-1)
量测预测
z ^ k | k - 1 = 1 m Σ i = 1 m X i , k - 1 | k - 1 * ]]>
计算方差矩阵的平方根
S_zz，k|k-1=Tria([Z_k|k-1S_R，k])
式中S_R，k为R_k的平方根，即：
Z k | k - 1 = 1 m [ Z 1 , k | k - 1 - z ^ k | k - 1 , Z 2 , k | k - 1 - z ^ k | k - 1 , . . . , Z m , k | k - 1 - z ^ k | k - 1 ] ]]>
估计协方差矩阵
P xz , k | k - 1 = χ k | k - 1 Z k | k - 1 T ]]>
χ k | k - 1 = 1 m [ X 1 , k | k - 1 - x ^ k | k - 1 , X 2 , k | k - 1 - x ^ k | k - 1 , . . . , X m , k | k - 1 - x ^ k | k - 1 ] ]]>
计算卡尔曼增益
W k = ( P xz , k | k - 1 / S zz , k | k - 1 T ) / S zz , k | k - 1 ]]>
更新状态
x ^ k | k = x ^ k | k - 1 + W k ( z k - z ^ k | k - 1 ) ]]>
更新方差矩阵的平方根
S_k|k=Tria([χ_k|k-1-W_kZ_k|k-1W_kS_R，k])
经滤波后得到作为滑模控制器的输入。
步骤二：光电跟踪转台控制系统建模
本发明中的光电跟踪转台使用的是由无刷直流力矩电机驱动，由电机的工作原理可推出电枢回 路的电压平衡方程为
U a = R a i a + L a di a dt + e b ]]>
反电势e_b为：
e b = C e θ &CenterDot; ]]>
电机的电磁力矩与电流成正比
M_d=K_Pi_a
定义摩擦等干扰力矩为M_f，电机的转矩平衡方程可以表示为
M d - M f = J θ &CenterDot; &CenterDot; ]]>
参数设置为：C_e=0.91V／(rad／s)，K_P=3.48N·m／A，R_a=13.65Ω，J=0.465。
步骤三：光电跟踪转台的滑模控制设计
本发明所设计的滑模控制方法控制结构如图2所示。控制器输入的方位角的位移指令为θ_d，以及 速度加速度均由前一步骤中的滤波算法得出。控制误差及其导数为：
e = θ d - θ e &CenterDot; = θ &CenterDot; d - θ &CenterDot; ]]>
定义滑模面为：
s = ce + e &CenterDot; , c > 0 ]]>
则有
s &CenterDot; = c e &CenterDot; + e &CenterDot; &CenterDot; = c ( θ &CenterDot; d - θ &CenterDot; ) + ( θ &CenterDot; &CenterDot; d - θ &CenterDot; &CenterDot; ) = c ( θ &CenterDot; d - θ &CenterDot; ) + θ &CenterDot; &CenterDot; d - [ K m ( K p u - C e θ &CenterDot; ) JR - M f J ] - - - ( 5 ) ]]>
采用幂次趋近率，有：
s &CenterDot; = - k | s | α sgns - - - ( 6 ) ]]>
其中k>0，1>α>0。
联立公式(5)和(6)，得：
c e &CenterDot; + θ &CenterDot; &CenterDot; d - [ K m ( K p u - C e θ &CenterDot; ) JR - M f J ] = - k | s | α sgns - - - ( 7 ) ]]>
忽略电感的作用，滑模控制律可以设计为：
u ( e ) = 1 K P { JR a K m [ c e &CenterDot; + θ &CenterDot; &CenterDot; d + k | s | α sgn ( s ) + M f J ] + C e θ &CenterDot; } ]]>
显然，由于干扰力矩M_f，未知，上述控制律无法实现。为了解决这一问题，采用干扰的界来设 计控制律：
u ( e ) = 1 K P { JR a K m [ c e &CenterDot; + θ &CenterDot; &CenterDot; d + k | s | α sgn ( s ) + M fc J ] + C e θ &CenterDot; } - - - ( 8 ) ]]>
其中，M_fc为待设计的与干扰M_f的界相关的正实数。
联立公式(7)和(8)：
s &CenterDot; = - k | s | α sgns + M f - M fc ]]>
设定M_L，M_U分别为干扰力矩的下界和上界，则有：
M_L≤M_f≤M_U
定义 M f 1 = M U - M L 2 , M f 2 = M U + M L 2 , ]]>则M_fc为
M_fc=M_f2+M_f1sgns
参数设置选取如下：取干扰力矩M_f=0.5sin(0.84t)，则有M_L=-0.5，M_U＝0.5，M_f1=0.5， M_f2=0；c=15，k=10，α=0.8。
步骤四：仿真检验与参数调节
设定光电靶标在方位角上相对于光电跟踪转台进行等效正弦运动22.5°sin(1.256t)，光电探测设备采 集的实测目标角位移信号如图3所示。对实测目标角位移信号分别进行微分和平方根容积卡尔曼滤波。对 目标角位移信号进行微分后得到的信号如图4所示，由图4可见，由于合成的信号中有随机干扰，直接对 其求微分后更加严重，这样的信号不能作为滑模控制器的输入；而如图5、6所示，平方根容积卡尔曼滤 波算法能较为准确地预测出跟踪目标的角速度、角加速度。将目标的运动信息作为滑模控制器的输入，进 行仿真实验，其跟踪效果如图7所示，由于跟踪误差较小，两条曲线基本已重合。可见，本发明顺利实现 了光电跟踪转台的滑模控制。