一种增强型的增益鲁棒分数阶PID控制器参数整定方法
技术领域
本发明属于电机位置系统的分数阶自动控制技术领域，主要涉及一种基于 MATLAB分数阶FOPID结构的鲁棒控制器的参数整定方法。
背景技术
MATLAB是矩阵实验室的简称，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及控制 仿真等，尤其是近年来，MATLAB在控制系统仿真、分析和设计方面得到了广泛应用。 用MATLAB语言编程效率高，程序调试十分方便，可大大缩减软件开发周期。
工业现代化发展水平是衡量一个国家综合国力水平的重要因素，电机是这些工业 设备的动力来源，是设备正常运行的保障，这就使得对电机控制的研究就显得尤为迫 切，开发具有高位置精度、响应速度快、高鲁棒性性的伺服控制器已成为研究热点。
式(1)是一个典型的电机系统位置控制模型的传递函数
P ( s ) = K 1 Js ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) - - - ( 1 ) ]]>
其中J为有效负荷的惯性参数；T1,T2为系统的时间常数，s为拉普拉斯算子；K1为增益常数。电机系统中由于外界的不良扰动，会导致等效的增益常数K1变化。如果 某个电机系统中的增益常数K1不稳定，其在某个大范围内有变动,那么在没有充分考虑 系统参数鲁棒性的情况下将可能导致系统性能的下降，甚至将导致系统的不稳定。同 时,在满足系统增益鲁棒性的同时,人们往往不希望以牺牲系统动态性能为代价。特别在 一些环境较差但控制精度要求较高的系统中。
从频域的角度来考虑,对一个普通的控制系统而言增益常数K1的改变将导致系统 相位裕度的变化。从系统频域稳定裕度来看,这种改变不仅会影响系统的性能,如果系统 相位裕度受影响太大,还将可能导致系统的不稳定。所以,设计一个控制器使得控制系统 的相位裕度对K1值的改变具有鲁棒性在实际应用领域是具有很深远的意义的。
目前绝大多数电机系统都采用传统的整数阶PID控制器去优化电机系统的动态性 能及鲁棒性，随着工业技术控制精度的提高以及控制性能的需求提升，传统的整数阶 PID控制器对电机系统的控制性能遭到了瓶颈。随着分数阶控制理论的发展，证实了 分数阶控制器具有比传统整数阶控制器更好的响应能力和抗干扰能力，可以使控制系 统获得更好的动态性能和鲁棒性。其原因在于分数阶鲁棒PID控制器由于多了两个可 调参数λ,μ(0<λ<2,0<μ<2)，故控制器参数的调整范围变大，可更灵活地控制电机 系统，获得更好的控制效果。
当外界干扰强度增大的时候，会导致等效的增益常数K1变化增大，其他的分数阶 PID控制器参数整定方法缺少对K1较大范围变化的适应性及鲁棒性，仅仅只是在穿越 频率一个点处满足鲁棒性，系统的鲁棒性不强。
发明内容
本发明提供一种增强型的增益鲁棒分数阶PID控制器参数整定方法，以解决增益 常数K1变化范围较大的情况下系统鲁棒性不强，而使系统性能不良的问题。
本发明采取的技术方案是：电机系统位置控制模型的传递函数形如：
P ( s ) = K 1 Js ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) - - - ( 1 ) ]]>
其中J为有效负荷的惯性参数；T1,T2为系统的时间常数，s为拉普拉斯算子；K1为增益常数；其特征在于所述电机系统位置鲁棒控制器的参数整定方法，包括以下步 骤：
(1)对于电动位置系统被控对象的数学模型传递函数P(s)，其待整定 FOPID控制器传递函数形式![]()
待整定参数为比例系数Kp， 积分系数Ki，微分系数Kd，积分阶次λ，微分阶次μ，并给定需校正穿越频率 ωc和需保持稳定的相位裕度φm；
(2)利用MATLAB画出被控对象P(s)的伯德图，求得在频率ωc处的模 值|P(jωc)|，及相角Arg[P(jωc)]，同时给定ωc周围两个频率点ωb，ωh，其中 ωb，ωh经验值取值范围30％ωc≤ωb<ωc<ωh≤350％ωc，并利用MATLAB 所画出被控对象P(s)的伯德图，求得在频率ωb处的相角Arg[P(jωb)]及ωh处 的相角Arg[P(jωh)]；
(3)将增益鲁棒性条件作为目标函数，令：
V = dArg [ G ( jω ) ] dω | ω = ω c - - - ( 2 ) ]]>
其中G(jω)＝C(jω)P(jω)；
(4)利用幅值裕度稳定性条件，根据穿越频率的定义，开环系统传递函数 G(jωc)＝C(jωc)P(jωc)在穿越频率ωc处幅值为1，于是可以得到：
|G(jωc)|＝|C(jωc)P(jωc)|＝1 (3)
将(3)等式转换为不等式，可得：
||C(jωc)|-1/P(jωc)||≤0 (4)
(5)利用相位裕度稳定性条件，系统开环传递函数在穿越频率ωc处相位 裕度为φm；
Arg[G(jωc)]＝Arg[C(jωc)P(jωc)]＝-π+φm (5)
其中Arg[C(jωc)P(jωc)]＝Arg[C(jωc)]+Arg[P(jωc)]；
将(5)等式转换为不等式，可得
|Arg[C(jωc)P(jωc)]+π-φm|≤0 (6)
(6)为扩大系统开环相频特性的平坦范围，添加两个约束条件
Arg[G(jωb)]＝Arg[C(jωb)P(jωb)]＝-π+φm (7)
Arg[G(jωh)]＝Arg[C(jωh)P(jωh)]＝-π+φm (8)
将(7)(8)等式转换为不等式，可得
|Arg[C(jωb)P(jωb)]+π-φm|≤0 (9)
|Arg[C(jωh)P(jωh)]+π-φm|≤0 (10)
(7)利用MATLAB中的Fmincon函数工具箱，将(2)作为目标函数，(4) (6)(9)(10)作为约束条件，可求解出增强型分数阶控制器五个参数最优解， 即得到Kp,Ki,Kd,λ,μ；
(8)将上述求出的五个参数带入![]()
即完成控制器参 数整定。
本发明提供的电机系统控制器在拥有三个可调参数Kp,Ki,Kd前提下，又添加了 两个参数λ,μ,这五个参数配合调整，可大大增加系统的稳定性及动态响应，同时由 于增加了约束条件(7)(8)，还可以满足增益K1变化较大情况下的系统鲁棒性需求。 对电机系统控制精度及鲁棒性得到了很大的提升。
本发明具有如下优点：
(1)其他的分数阶PID控制器参数整定方法缺少对K1大范围变化的适应性及鲁 棒性，仅仅只是在穿越频率一个点处满足鲁棒性，而本发明利用(7)(8)式扩展了穿 越频率周围相位的平坦性，这就使得尽管K1大范围变化，系统依然具有很强的鲁棒性。
(2)相比于传统整数阶PID控制器整定方法，多增加了两个可调参数λ,μ，使 得系统不仅能对K1较大范围变化具有鲁棒性，而且在这基础上还能对系统动态性能有 很大地提升。
附图说明
图1是传统PID控制器的开环系统伯德图；
图2是传统PID控制器系统阶跃响应及开环增益变化±70％时的阶跃响应图；
图3是本发明的分数阶PID控制器的开环系统伯德图；
图4是本发明的分数阶PID控制器系统阶跃响应及开环增益变化±70％时的阶跃 响应图；
图5为整数阶PID控制系统和分数阶PID控制系统的阶跃响应对比图；
其中Magnitude(dB)表示幅度(分贝)，phase(deg)表示相位(角度)，Frequency (rad/sec)表示频率(弧度/秒)，Bode Diagram表示伯德图，System G表示传统整数 阶PID控制系统，K为增益常数，System H表示所提出的分数阶PID控制系统，FOPID 表示分数阶PID控制系统的阶跃响应，IOPID表示整数阶PID控制系统的阶跃响应。
具体实施方式
电机系统位置控制模型的传递函数形如：
P ( s ) = K 1 Js ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) - - - ( 1 ) ]]>
其中J为有效负荷的惯性参数；T1,T2为系统的时间常数，s为拉普拉斯算子；K1为增益常数；其特征在于所述电机系统位置鲁棒控制器的参数整定方法，包括以下步 骤：
(1)对于电动位置系统被控对象的数学模型传递函数P(s)，其待整定FOPID控 制器传递函数形式![]()
待整定参数为比例系数Kp，积分系数Ki， 微分系数Kd，积分阶次λ，微分阶次μ，并给定需校正穿越频率ωc和需保持稳定的相 位裕度φm；
(2)利用MATLAB画出被控对象P(s)的伯德图，求得在频率ωc处的模值 |P(jωc)|，及相角Arg[P(jωc)]，同时给定ωc周围两个频率点ωb，ωh，其中ωb，ωh经 验值取值范围30％ωc≤ωb<ωc<ωh≤350％ωc，并利用MATLAB所画出被控对象 P(s)的伯德图，求得在频率ωb处的相角Arg[P(jωb)]及ωh处的相角Arg[P(jωh)]；
(3)将增益鲁棒性条件作为目标函数，令：
V = dArg [ G ( jω ) ] dω | ω = ω c - - - ( 2 ) ]]>
其中G(jω)＝C(jω)P(jω)；
(4)利用幅值裕度稳定性条件，根据穿越频率的定义，开环系统传递函数
G(jωc)＝C(jωc)P(jωc)在穿越频率ωc处幅值为1，于是可以得到：
|G(jωc)|＝|C(jωc)P(jωc)|＝1 (3)
将(3)等式转换为不等式，可得：
||C(jωc)|-1/P(jωc)||≤0 (4)
(5)利用相位裕度稳定性条件，系统开环传递函数在穿越频率ωc处相位裕度为 φm；
Arg[G(jωc)]＝Arg[C(jωc)P(jωc)]＝-π+φm (5)
其中Arg[C(jωc)P(jωc)]＝Arg[C(jωc)]+Arg[P(jωc)]；
将(5)等式转换为不等式，可得
|Arg[C(jωc)P(jωc)]+π-φm|≤0 (6)
(6)为扩大系统开环相频特性的平坦范围，添加两个约束条件
Arg[G(jωb)]＝Arg[C(jωb)P(jωb)]＝-π+φm (7)
Arg[G(jωh)]＝Arg[C(jωh)P(jωh)]＝-π+φm (8)
将(7)(8)等式转换为不等式，可得
|Arg[C(jωb)P(jωb)]+π-φm|≤0 (9)
|Arg[C(jωh)P(jωh)]+π-φm|≤0 (10)
(7)利用MATLAB中的Fmincon函数工具箱，将(2)作为目标函数，(4)(6) (9)(10)作为约束条件，可求解出增强型分数阶控制器五个参数最优解，即得到 Kp,Ki,Kd,λ,μ；
(8)将上述求出的五个参数带入![]()
即完成控制器参数整定。
下边通过应用实例进一步说明本发明的效果。
以式(1)电机系统为例，
给定被控对象系统的数学模型传递函数![]()
其中 T1＝0.5,T2＝0.15,J＝1，并给定设计指标穿越频率ωc＝1.5rad/s,需要保持的相位裕度 φm＝70°，K1＝1。
求出被控对象在ωc＝1.5rad/s处的幅值、相角及相角的变化率。并给定 ωc＝1.5rad/s处附近两频率点ωb,ωh，其中ωb,ωh经验值取值范围为 30％ωc≤ωb<ωc<ωh≤350％ωc。求出被控对象在ωb,ωh处的相角。
设控制器的五个参数为Kp,Ki,Kd,λ,μ。利用式(2)写出目标函数的表达式，利 用式(4)(6)(9)(10)写出约束函数表达式。
利用Matlab工具箱中的Fmincon函数工具箱来求解最优解,得Kp＝1.9288、 Ki＝0.1979、Kd＝0.6972、λ＝0.9834和μ＝1.1505。
对比整数阶PID控制系统和分数阶PID控制系统的阶跃响应图2和图4，在满足 动态性能的同时，可以看出当在系统开环增益变化±70％，分数阶PID控制系统的超 调量变化明显小于整数阶PID控制系统超调量的变化，就是说分数阶PID控制系统的 增益鲁棒性优于整数阶PID控制系统。
对比分数阶PID控制系统和整数阶PID控制系统伯德图(图1和图3)，可得分数 阶PID控制系统开环传递函数伯德图相频特性在穿越频率处曲线平坦的范围均大于整 数阶PID控制系统，即分数阶PID控制系统具有比整数阶PID控制系统更好的增益变 化鲁棒性。主要有两点：1、分数阶PID控制器其自身的强鲁棒性；2、由于增加了约 束条件(7)(8)，充分利用了分数阶PID控制器微积分阶次可微调能力，将其用于扩 大系统开环传递函数伯德图相频特性在穿越频率处曲线平坦的范围，即用于增强增益 变化鲁棒性。