多目标最优化设计支持设备、方法和程序存储介质.pdf

本发明涉及多目标最优化设计支持设备、方法和程序存储介质，可使用设计参数的指定数目的采样组以及所计算的与它们对应的多个目标函数组，来以数学方式逼近目标函数。计算用于表示在数学逼近的多个目标函数中的任意两个或三个目标函数之间的关系的逻辑表达式，作为目标函数间逻辑表达式；且显示能够提取任意目标函数值的区域，作为在与任意目标函数对应的目标空间中的可用区域。此外，在显示的可用区域中显示设计空间中的点或区域，设计空间中的点或区域对应于与用户指定的点或区域对应的任意设计参数。由于可正常处理输入参数，所以可获得目标函数之间的逻辑关系和输入/输出关系。

1.  一种多目标最优化设计支持设备，通过输入多组设计参数并根据指定的计算方式计算多个目标函数，以及对所述多个目标函数采用多目标优化处理，来支持最优的设计参数组的确定，该设备包括：
采样组目标函数计算单元，计算与设计参数的指定数目的采样组对应的多个目标函数组；
目标函数逼近单元，使用所述设计参数的指定数目的采样组以及所计算的与所述设计参数的指定数目的采样组对应的多个目标函数组，来以数学方式逼近所述目标函数；
目标函数间逻辑表达式计算单元，计算用于表示在被数学逼近的所述多个目标函数中的任意目标函数之间的逻辑关系的逻辑表达式，作为目标函数间逻辑表达式；
目标空间显示单元，根据所述目标函数间逻辑表达式，显示能够提取任意目标函数值的区域，以作为在与任意目标函数对应的目标空间中的可用区域；以及
与目标空间对应的设计空间显示单元，在与所述目标空间显示单元显示的任意目标函数对应的目标空间的可用区域中，显示在设计空间中的点或区域，所述设计空间中的点或区域对应于与用户指定的点或区域对应的任意设计参数。

2.  根据权利要求1所述的多目标最优化设计支持设备，其中：
所述与目标空间对应的设计空间显示单元根据所述目标函数间逻辑表达式的计算，在所述目标空间的可用区域中，显示与用户指定的点或区域对应的栅格点，所显示的栅格点是在与所述任意设计参数对应的所述设计空间中具有指定间隔的栅格点。

3.  根据权利要求1所述的多目标最优化设计支持设备，其中：
所述与目标空间对应的设计空间显示单元计算用于表示所述目标空间与所述设计空间之间的逻辑关系的逻辑表达式，并且根据所计算的逻辑表达式，在所述目标空间的可用区域中显示与用户指定的点或区域对应的设计空间中的点或区域。

4.  根据权利要求1所述的多目标最优化设计支持设备，其中：
所述设计参数是用于确定硬盘磁存储设备的滑橇单元的形状的参数。

5.  一种多目标最优化设计支持设备，通过输入多组设计参数并根据指定计算方式计算多个目标函数，以及对所述多个目标函数采用多目标优化处理，来支持最优的设计参数组的确定，该设备包括：
采样组目标函数计算单元，计算与设计参数的指定数目的采样组对应的多个目标函数组；
目标函数逼近单元，使用所述设计参数的指定数目的采样组以及所计算的与所述设计参数的指定数目的采样组对应的多个目标函数组，来以数学方式逼近所述目标函数；
目标函数间逻辑表达式计算单元，计算用于表示在被数学逼近的所述目标函数中的任意目标函数之间的逻辑关系的逻辑表达式，作为目标函数间逻辑表达式；
目标空间显示单元，其根据所述目标函数间逻辑表达式显示能够提取任意目标函数值的区域，作为在与任意目标函数对应的目标空间中的可用区域；
与目标空间对应的设计空间计算单元，在与所述目标空间显示单元显示的任意目标函数对应的目标空间的可用区域中，计算在设计空间中的点或区域，所述设计空间中的点或区域对应于与用户指定的点或区域对应的任意设计参数；以及
比较对象目标空间显示单元，在比较对象目标空间中显示由所述与目标空间对应的设计空间计算单元计算的与设计空间中的点或区域对应的点或区域，其中所述比较对象目标空间对应于由用户指定为比较对象的任意比较对象目标函数。

6.  根据权利要求5所述的多目标最优化设计支持设备，其中：
所述设计参数是用于确定硬盘磁存储设备的滑橇单元的形状的参数。

7.  一种存储介质，在其上记录有能使得计算机执行以下操作的程序，即通过输入多组设计参数并根据指定计算方式计算多个目标函数，以及对所述多个目标函数采用多目标优化处理，来支持最优的设计参数组的确定，所述程序能使得计算机执行以下步骤：
计算与设计参数的指定数目的采样组对应的多个目标函数组；
使用所述设计参数的指定数目的采样组以及所计算的与设计参数的指定数目的采样组对应的多个目标函数组，来以数学方式逼近目标函数；
计算用于表示在被数学逼近的所述目标函数中的任意目标函数之间的逻辑关系的逻辑表达式，作为目标函数间逻辑表达式，即具有目标函数间逻辑表达式计算功能；
根据所述目标函数间逻辑表达式显示能够提取任意目标函数值的区域，作为在与任意目标函数对应的目标空间中的可用区域；以及
在与所显示的任意目标函数对应的目标空间的可用区域中，显示在设计空间中的点或区域，所述设计空间中的点或区域对应于与用户指定的点或区域对应的任意设计参数。

8.  根据权利要求7所述的存储介质，其中：
在根据所述目标函数间逻辑表达式计算的具有指定间隔的栅格点的目标空间的可用区域中，显示在与任意设计参数对应的设计空间中与用户指定的点或区域对应的栅格点。

9.  根据权利要求7所述的存储介质，其中：
所显示的点或区域计算用于表示所述目标空间与所述设计空间之间的逻辑关系的逻辑表达式，并且根据所计算的逻辑表达式，在所述目标空间的可用区域中显示与用户指定的点或区域对应的设计空间中的点或区域。

10.  根据权利要求7所述的存储介质，其中：
所述设计参数是用于确定硬盘磁存储设备的滑橇单元的形状的参数。

11.  一种存储介质，在其上记录有能使得计算机执行以下操作的程序，即通过输入多组设计参数并根据指定计算方式计算多个目标函数，以及对所述多个目标函数采用多目标优化处理，来支持最优的设计参数组的确定，所述程序能使得计算机执行以下步骤：
计算与设计参数的指定数目的采样组对应的多个目标函数组；
使用所述设计参数的指定数目的采样组以及所计算的与所述设计参数的指定数目的采样组对应的多个目标函数组，来以数学方式逼近目标函数；
计算用于表示在被数学逼近的所述目标函数中的任意目标函数之间的逻辑关系的逻辑表达式，作为目标函数间逻辑表达式；
根据所述目标函数间逻辑表达式显示能够提取任意目标函数值的区域，作为在与任意目标函数对应的目标空间中的可用区域；
在与所显示的任意目标函数对应的目标空间的可用区域中，计算在设计空间中的点或区域，所述设计空间中的点或区域对应于与用户指定的点或区域对应的任意设计参数；以及
在比较对象目标空间中显示由所述与目标空间对应的设计空间计算功能计算的与设计空间中的点或区域对应的点或区域，其中所述比较对象目标空间对应于由用户指定为比较对象的任意比较对象目标函数。

12.  根据权利要求11所述的存储介质，其中：
所述设计参数是用于确定硬盘磁存储设备的滑橇单元的形状的参数。

多目标最优化设计支持设备、方法和程序存储介质
技术领域
本发明涉及在硬盘等滑橇(slider)形状设计中使用的多目标最优化设计支持技术。
背景技术
随着硬盘的高密度/高容量，磁盘与头部之间的距离已变得越来越小。由于高度差和盘直径位置，需要具有少量飞行变量(fly variation)的滑橇设计。
如图1A中2001所示，滑橇安装在致动器2002的下部末端，所述致动器2002在硬盘中的磁盘上移动，并且头部的位置是基于滑橇2001的形状计算的。
当确定滑橇2001的最优化形状时，需要同时最小化飞行高度(图1A中的2003)、滚动(2004)和倾斜(pitch)(2005)的函数的有效计算，即需要所谓的多目标优化。
通常地，并不是直接解决多目标优化问题，而是执行单目标优化，其中如以下所示，计算将每个目标函数f_i与权重m_i相乘所获得的项的线性总和f及其最小值，
f＝m_1*f_1+...+m_t*f_t    (1)
然后，在通过程序逐渐修改用于确定图1B所示的滑橇形状S的参数p、q、r等的同时，计算函数值f，并计算函数值f被最小化时的滑橇形状S。
在以上方程式中，f取决于权重向量{m_i}。在实际设计中，在通过综合考虑最小值与{m_i}之间的平衡来确定进一步修改{m_i}和滑橇形状的同时，对应于每个修改值计算f的最小值。
在通过上述方法执行的多目标优化处理中，要计算的最优解的数目不总是一个。
例如，如图1C所示，当在某个产品的设计中优化“减小其重量”的目标函数值1以及“减小其成本”的目标函数值2时，根据如何给出设计参数，目标函数值1和2可以在二维坐标系统中提取各种坐标值。
由于需要目标函数值1和2独立地提取小值(产品是轻的和便宜的)，所以在连接图1C中所示的计算点2201-1、2201-2、2201-3、2201-4和2201-5的线2203上的点或其附近的点可能是最优解集(group)。这些点称为帕累托(Pareto)最优解。在这些计算值中，点2201-1对应于贵但轻的模型，点2201-5对应于便宜但不轻的模型。然而，由于可使得2202-1和2202-2更轻和更便宜，所以点2201-1和点2201-5不能是最优解。称为劣(inferior)解。
这样，在多目标优化处理中，能够适当获得帕累托最优解是非常重要的。为此，使得期望目标函数的帕累托最优解能够适当显现是重要的。
作为获取这种帕累托最优解的现有技术，公知一种所谓的法线边界交叉(NBI)方法，用于通过数值分析方法等在多目标优化(最优化曲面)中计算帕累托曲面。在这种技术中，例如，当在上述滑橇设计中给出某个设计规范和因子参数时，期望目标函数值(间距、飞行量等)之间的关系可通过对其进行数值计算来绘出，如图1D中所示的2301。
作为其它现有技术，示出一种按点显示或绘制帕累托曲线的技术，以及一种通过平衡图(trade-off chart)显示目标函数的技术，如图1E所示。
此外，还已知以下专利文献。专利文献1公开一种按颜色在设计空间中对多个设计点分类并实现三维绘制的技术。专利文献2公开一种通过轮廓(contour)显示实现三维绘制的技术。专利文献3公开一种通过与成本相比的统一的估算指标实现二维绘制的技术。
专利文献1：日本专利申请特开No.2005-70849
专利文献2：日本专利申请特开No.2003-39184
专利文献3：日本专利申请特开No.2004-118719
然而，在前述的现有技术的单目标函数f的优化技术中，必须重复占用很长时间进行飞行高度计算。具体地，当探查滑橇形状的精细部分时，输入参数(对应于图1B中的p、q、r等)的数目变为飞行高度的大约20和10,000倍或更多，所以计算是必要的。因此，优化要经过很长时间。
此外，在该方法中，f的最小值(和用于最小值的输入参数值)取决于如何确定权重向量(m_1，...，m_t)。在实际设计中，常常发生这样的情况，即期望对多组权重向量，都要最优化f。然而，在上述现有技术中，由于每次修改权重向量时必须从开始就重复执行优化计算，其伴随昂贵的飞行高度计算，所以要尝试的权重向量的类型数目是有限的。
此外，由于可对帕累托曲面上的仅一个点采用函数值f的最小值，所以难以预测目标函数之间的最优化关系，而且无法将这种信息反馈给设计者。
如上所述，通常，由于多目标优化处理本身需要很长时间，所以甚至难以显示正确的帕累托最优解。
在通过数值分析方法计算帕累托曲面的前述现有技术中，如果可用区域(feasible region)是非凸的，则不能得到解。如果作为计算帕累托曲面起源的点(端点)彼此接近，则算法不能很好地执行。此外，在帕累托最优解的获取中，因为如果目标函数值是以坐标显示的(如图1D所示)，则提供的是简单的绘制显示，所以难以确定哪个位置是帕累托最优解。
此外，即使在被设计为显示帕累托最优解的现有技术中，如图1E所示，也只不过是简单地显示帕累托最优解。例如，当在两个或三个目标函数之间获得柏拉图最佳解时，不能获得目标函数与设计参数之间的关系。或者，不能获得另一目标函数的贡献度。
发明内容
本发明的目的在于在短时间内基于目标函数在多目标最优化设计中实现视觉化(帕累托边界的显示等)，并能获取目标函数与设计参数之间的关系，且在基于视觉化适当显示帕累托最优解的同时能获取另一目标函数的贡献度。
本发明的一个方案假定一种设计支持设备，其通过输入多组设计参数(输入参数)，根据指定计算方式计算多个目标函数，以及对所述多个目标函数采用多目标优化处理，来支持设计参数的最优化组的确定。设计参数例如是用于确定硬盘磁存储设备的滑橇单元的形状的参数。
本发明的第一方案具有以下配置。
采样组目标函数计算单元(例如，图2中的101)计算与设计参数的指定数目的采样组对应的多个目标函数组。
目标函数逼近单元(例如，图2中的102)使用所述的设计参数的指定数目采样组以及所计算的与它们对应的多个目标函数组，来以数学方式逼近目标函数。
目标函数间逻辑表达式计算单元(例如，图2中的103)计算用于表示数学逼近的任意两个或三个目标函数之间的逻辑关系的逻辑表达式，以作为目标函数间逻辑表达式。
目标空间显示单元(例如，图2中的104)根据所述目标函数间逻辑表达式，显示能够提取任意目标函数值的区域，以作为在与任意目标函数对应的目标空间中的可用区域。
与设计空间显示单元(例如，图2中的104)对应的目标空间，在与所述目标空间显示单元显示的任意目标函数对应的目标空间的可用区域中，显示设计空间上的点或区域，设计空间上的点或区域对应于与用户指定的点或区域对应的任意设计参数。例如，所述与目标空间对应的设计空间显示单元根据目标函数间逻辑表达式的计算，在目标空间的可用区域中，显示与用户指定的点或区域对应的栅格点，所显示的栅格点是在与所述任意设计参数对应的所述设计空间中具有指定间隔的栅格点。作为替换，所述与目标空间对应的设计空间显示单元计算用于表示所述目标空间与所述设计空间之间的逻辑关系的逻辑表达式，并且根据逻辑表达式，在所述目标空间的可用区域中显示与用户指定的点或区域对应的设计空间中的点或区域。
本发明的第二方案具有以下配置。
采样组目标函数计算单元、目标函数逼近单元、目标函数间逻辑表达式计算单元及目标空间显示单元与本发明第一方案中的相同。
与目标空间对应的设计空间显示单元(例如，图2中104)在与目标空间显示单元显示的任意目标函数对应的目标空间的可用区域中，计算在设计空间中的点或区域，设计空间中的点或区域对应于与用户指定的点或区域对应的任意设计参数。
比较对象目标空间显示单元(例如，图2中的104)在比较对象目标空间中显示由所述与目标空间对应的设计空间计算单元计算的与设计空间中的点或区域对应的点或区域，其中所述比较对象目标空间对应于由用户指定为比较对象的任意比较对象目标函数。
本发明可通过硬盘滑橇形状等的设计参数的公式(例如使用多个设计参数的采样组的多项式等)逼近目标函数，并且可通过公式操作方法计算表达式。由于可正常处理输入参数，所以可容易获得在目标函数之间的逻辑关系和输入/输出关系。
附图说明
图1A示出硬盘的滑橇。
图1B示出滑橇形状的参数。
图1C说明多目标优化。
图1D示出现有技术(No.1)。
图1E示出现有技术(No.2)。
图2示出本发明优选实施例的功能框图。
图3是本发明优选实施例的整个处理的操作流程图。
图4A是通过公式操作的可用区域显示的操作流程图(No.1)。
图4B是通过公式操作的可用区域显示的操作流程图(No.2)。
图5示出输入参数的采样组107以及与它们对应的每个目标函数值的实例。
图6示出可用区域显示的实例(No.1)。
图7示出可用区域显示的实例(No.2)。
图8说明输入参数的中心范围指定操作。
图9A示出可用区域显示的实例(No.3)。
图9B示出可用区域显示的实例(No.4)。
图10说明基于公式操作的可用区域显示的优点。
图11说明可用区域显示的第一功能(No.1)。
图12是可用区域显示单元104的第一功能的操作流程图(No.1)。
图13A说明可用区域显示单元104的第一功能(No.2)。
图13B说明可用区域显示单元104的第一功能(No.3)。
图13C说明可用区域显示单元104的第一功能(No.4)。
图14是可用区域显示单元104的第一功能的操作流程图(No.2)。
图15A说明可用区域显示单元104的第一功能(No.5)。
图15B说明可用区域显示单元104的第一功能(No.6)。
图16说明可用区域显示单元104的第二功能(No.1)。
图17是可用区域显示单元104的第二功能的操作流程图。
图18A说明可用区域显示单元104的第二功能(No.2)。
图18B说明可用区域显示单元104的第二功能(No.3)。
图19示出能够根据实现本发明优选实施例的系统的计算机的硬盘配置的一个实例。
具体实施方式
以下参照附图详细描述本发明的优选实施例。
<本发明的优选实施例的配置>
图2示出本发明的优选实施例的功能框图。
实际飞行高度计算单元101输入硬盘的滑橇形状的输入参数的采样组107，对每组进行滑橇飞行高度计算，并输出每个目标函数值。在这种情况下，输入参数的采样组107的数目至多为大约几百。
目标函数多项式逼近单元102利用输入参数的采样组107以及由实际飞行高度计算单元101计算的每组的每个目标函数值，通过基于多元回归分析(multiple regression analysis)的多元回归方程式等的多项式，来逼近滑橇形状的每个目标函数。尽管在本优选实施例中是基于多元回归分析来执行逼近的，但是也可使用其它公知多项式逼近方法，例如各种多项式插值、通过增加多项式次数的逼近方法等。
量词消去(QE，quantifier elimination)计算单元103，使用由目标函数多项式逼近单元102计算的每个目标函数多项式以及输入参数的采样组107(输入参数的组108)的约束条件，通过QE方法，计算任意两个目标函数之间的逻辑表达式。
可用区域显示单元104，根据由QE计算单元103计算出的任意两个目标函数逻辑表达式之间的逻辑表达式，在计算机显示器上显示目标函数的可用区域，计算机显示器没有在图2中特别示出。这部分最大程度地涉及本发明，并且能够获得目标函数与设计参数之间的关系、另一目标函数的贡献度等，同时可精确地显示帕累托最优解。
单目标函数优化单元105，使用由目标函数多项式逼近单元102计算出的每个目标函数多项式以及在可用区域显示单元104中由用户确定的权重向量，计算作为输入参数组108的目标函数的加权线性总和所获得的单目标函数值，并计算输入参数组108中变为最小的单目标函数值的候选项。输入参数组108的数目是10,000至20,000组。
实际飞行高度计算优化单元106，通过以下方式输出输入参数组108中变为最小的单目标函数值的候选项作为滑橇形状参数109的最优化组，即，通过对单目标函数优化单元105计算出的输入参数组108中变为最小的单目标函数值的候选项应用详细的飞行高度计算，并计算作为由详细的飞行高度计算确定的目标函数的加权线性总和所获得的单目标函数值。在这种情况下，对于每个目标函数，使用通过实际飞行高度计算所获得的一个目标函数，并且对于权重向量，使用在单目标函数优化单元105中使用的同一目标函数或通过对其略微修改而获得的一个目标函数。
以下描述具有上述配置的本发明优选实施例的操作。
<本发明的基本操作>
首先，以下根据图3～图4B中所示的操作流程图并参照图5～图8中所示的操作说明来描述本发明的基本操作。
图3是通过具有图2中所示的功能框图配置的系统，执行本发明优选实施例的全部处理的操作流程图。
首先，图2中所示的实际飞行高度计算单元101输入输入参数的几百个采样组107作为滑橇形状探究范围设计规范(图3中的步骤S201)，对于每个组采用滑橇飞行高度计算并输出每个目标函数值(图3中的步骤S202)。
因此，例如，创建如图5中所示的输入参数的采样组107以及它们的目标函数值的数据文件。在图5中，处于表示为x1，...，x8的列中的值是输入参数的采样组107，而处于表示为cost2的列中的值是某个目标函数的值。
然后，图2中所示的目标函数多项式逼近单元102利用输入参数的采样组107以及在数据文件中对每个组计算出的每个目标函数值，通过基于多元回归分析的多元回归方程式等的多项式，来逼近滑橇形状的每个目标函数(图3中的步骤S203)。
作为结果，可获得如下所示的目标函数的多项式。
f1:＝
99.0424978610709132-6.83556672325811121*x1+14.0478279657713
188*x2
-18.6265540605823148*～3-28.3737252180449389*x 4
-2.42724827545463118*～5+36.9188200131846998*x6-46.762070412
8296296*x7
+1.05958887094079946*x8+6.50858043416747911*x9-11.318111074
5759242*x10
-6.35438297722882960*～11+4.85313298773917622*x12-11.1428988
07281405*x[13]
3305897914634315*x14-53.2729720194943113*x15；
...(2)
在这种情况下，滑橇设计具有这样的趋势，即输入参数的类型随着其工作的处理(work progresses)而增加。可以估算，其中(由于其它参数的影响)存在对某个目标函数贡献较低的参数。因此，通过将用以消去贡献较低的参数的常规例程(routine)合并到处理中，可以实现更简单多项式的逼近，其中消去参数是通过多元回归分析等而实现的。当设计者输入用于分析的多个参数时，目标函数多项式逼近单元102将参数的数目缩减到其设定数目。通过这种参数减少处理，在QE方法的计算时间上可减少计算量，这随后将描述。
作为结果，可获得如下所示参数数目减少的目标函数的多项式。
f1:＝
100.236733508603720-.772229409006272793*x1-20.7218054045105
654*x3
-5.61123555392073126*x5+27.4287250065600468*x6-52.620921922
8864030*x7
+2.86781289549098428*x8-1.51535612687246779*x11-51.15372868
23153181*x15；
(从15个减少到8个变量)
...(3)
如上所述，本发明优选实施例可使用输入参数的至多几百个采样组107，通过基于多元回归方程式等的多项式，来获得逼近的目标函数。这是因为，在滑橇设计中，首先存在滑橇的初始形状，并且在指定范围内用于确定这个初始形状的摆动(swinging)参数的同时执行初始形状的优化，其中指定范围是目标函数可通过这样的方式以多项式来逼近的范围。这是基于以下观点，即在这种局部设计修改范围内的优化中，可通过多元回归方程式等的线性逼近，来充分有效地执行初始优化。
本发明优选实施例可通过使用在滑橇设计的先前阶段(具体地，为了确定帕累托边界时)计算的并且如此数学处理的目标函数，来实现非常有效的设计支持系统，如以下所述。
具体地，图2中所示的QE计算单元103使用由目标函数多项式逼近单元102计算的每个目标函数多项式以及输入参数的采样组107(输入参数的组108)的每个参数值的约束条件，通过QE方法计算任意两个目标函数之间的逻辑表达式，如图3中的步骤S204。
以下，根据图4A中所示的操作流程图描述在步骤S204中实现的QE方法的算法。
首先，用户指定期望显示可用区域的两个目标函数。假设它们是f1和f2。在这种情况下，也可以指定三个目标函数。
然后，QE计算单元103，使用通过由目标函数多项式逼近单元102计算并指定的两个目标函数的逼近多项式以及输入参数的采样组107(输入参数的组108)的每个参数值的约束条件，阐明问题，如图4A中的步骤S302。因此，例如可获得以下示出的公式。尽管在该实例中，参数的数目是15并且没有减少，但是参数的数目也可以减少。
Y1＝f1(x1，...，x15)，y2＝f2(x1，...，x15)
输入参数x1，...，x15在范围0＜＝x_i＜＝1中移动。F:=&Exists;x1&Exists;x2..&Exists;x15;]]>0≤x₁≤1且0≤x₂≤1且...且0≤x₁₅≤1，以及y₁＝f₁(x₁，...，x₁₅)且y₂＝f₂(x₁，...，x₁₅)    (4)
然后，QE计算单元103通过QE方法解出方程式(4)的值F(图4A中的步骤S303)。作为结果，如下所示，输入参数x1，...，x15被消去，并输出两个目标函数y1和y2的逻辑表达式。在三个目标函数的情况下，输出三个目标函数y1、y2和y3的逻辑表达式。
y2＞y1+1且y2＞2且y2＞2*y1-3    (5)
尽管这里忽略QE方法的具体描述，但是本发明的申请人在公知文献中公开了其处理方法，“计算实代数几何导论：CAD和QE概述(Introductionto Computational Real Algebraic Geometry：Summary of CAD and QE)”(Hirokazu Anai和Kazuhiro Yokoyama，《数学研讨》，2007年，第11期，第64-70页)，并且在本发明优选实施例中不修改的使用。
然后，图2中所示的可用区域显示单元104根据由QE计算单元103计算出的在任意两个目标函数逻辑表达式之间的逻辑表达式，在计算机显示器上显示两个目标函数的可用区域(图3中的步骤S204和图4A中的步骤S304)。
更具体地，可用区域显示单元104对多个点进行连续着色(paint)，所述多个点是当扫过在两个目标函数y1和y2的二维绘制平面上的每个点时，在通过QE计算单元103计算的两个目标函数y1和y2的逻辑表达式为真时的多个点，如表达式(5)所示。作为这样做的结果，可以以例如图6中所示的完全着色区域(completely painted area)的形式显示可用区域。
在三个目标函数的情况下，用三维显示。
以下描述可用区域显示处理的另一详细实例。
假设两个目标函数的逼近多项式包括三个输入参数x1、x2和x3，如下所示。
y1＝f1(x1，x2，x3)＝x1-2*x2+3*x3+6
y2＝f2(x1，x2，x3)＝2*x1+3*x2-x3+5    (6)
方程式(6)阐明如下。
F:=&Exists;x1&Exists;x2&Exists;x3;]]>0≤x₁≤1且0≤x₂≤1且...且0≤x₃≤1，以及y₁＝x₁-2x₂+3x₃+6且y₂＝2x₁+3x₂-x₃+5    (7)
当对表达式(7)进一步采用QE方法时，可获得以下表达式。
(3*y1+2*y2-35＞＝0和3*y1+2*y2-42＜＝0和y1+3*y2-28＞＝0和y1+3*y2-35＜＝0)
或(3*y1+2*y2-28＞＝0和3*y1+2*y2-35＜＝0和2*y1-y2-7＜＝0和2*y1-y2＞＝0)
或(2*y1-y2-7＞＝0和2*y1-y2-14＜＝0和y1+3*y2-21＞＝0和y1+3*y2-28＜＝0)(8)
当根据例如表达式(8)绘制可用区域时，获得图7。在图7中，倾斜的直线表示逻辑表达式(8)的各个逻辑边界，完全着色区域是两个目标函数的可用区域。
从图7中清楚显示的，在完全着色可用区域中，可容易地将两个目标函数的帕累托边界识别为直观地在坐标原点附近的下沿部分(lower edge part)中的边界，并且可识别出优化极限区域。尽管在三个目标函数的情况下，帕累托边界变为曲面(帕累托曲面)，但是还可用三维显示。
此外，当基于两个目标函数计算权重总和单目标函数时(见表达式(1))，在权重向量中两个目标函数之间的权重值之比的最优化值可通过识别可用区域的总斜度(overall inclination)来估算。
尽管在该实例中，假设在表达式(7)中构成输入参数的采样组107的每个输入参数具有在0和1之间随意取值的约束条件，期望的是，如果输入参数的中心点被指定并且该值在指定范围内，则可实际获得更好的结果。
为了支持这种操作，图2中所示的QE计算单元103和可用区域显示单元104执行图4B中所示的操作流程图，而非图4A中所示的操作流程图。
首先，用户指定期望显示可用区域的两个目标函数，如图4B中的步骤S401。假设它们是f1和f2。
然后，QE计算单元103在输入参数的采样组107以及彼此相关指定的两个目标函数(f1，f2)中提取点，其中几乎f2＝f1，并且还接近于原点，例如图8中由801所示的点。假设对应于该点的输入参数是(p1，...，p15)，如图4B中的步骤S402。
然后，QE计算单元103使用通过由目标函数多项式逼近单元102计算和指定的两个目标函数的逼近多项式以及输入参数的采样组107的每个参数值的摆动宽度t，阐明问题，如图4B中的步骤S403。因此，例如可获得以下示出的公式。
F:=&Exists;x1&Exists;x2...&Exists;x15;]]>p₁-t≤x₁≤p₁+t且p₂-t≤x₂≤p₂+t且...且p₁₅-t≤x₁₅≤p₁₅+t
以及y₁＝f₁(x₁，...，x₁₅)且y₂＝f₂(x₁，...，x₁₅)   (9)
每个输入参数x_i围绕p_i以宽度t移动。
然后，QE计算单元103按照QE方法解出方程式(9)的值F(图4B中的步骤S404)。作为这样做的结果，如下所示，输入参数x1，...，x15被消去，并输出两个目标函数y1和y2的逻辑表达式和摆动宽度t。
然后，图2中所示的可用区域显示单元104根据由QE计算单元103计算的在任意两个目标函数之间的逻辑表达式，当修改摆动宽度t的值时，在计算机显示器上显示两个目标函数的可用区域，如图4B中的S405。
在这种情况下，优选地以这样的方式选择t，即区域包括输入参数的采样组107，并且区域还被减少。
图9A示出通过使用与实际滑橇形状对应的输入参数的采样组107获得的可用区域显示的实例。图9B示出还显示逻辑表达式的边界的可用区域显示的实例。在该实例中，曲线图中在低空(0m)的滑橇飞行量、在高空(4200m)的滑橇飞行量以及它们的关系分别是第一目标函数f1、第二目标函数f2、及y1和y2。
由于在该图中帕累托曲线的斜度是-1/8～1/5，所以如果在需用以衡量这两个目标函数以及获取单目标函数的权重向量(见表达式(1))中，权重值之比是1∶8～1∶5，则斜度是足够的。
因此，在图2中所示的可用区域显示单元104的处理中，首先，根据显示器上的可用区域显示，在使用通过单目标函数优化(见表达式(1))的情况下，用户可估算权重向量中的权重值(图3中的步骤S205)。用户例如可通过使用鼠标等(图2中没有示出)在显示器上指定可用区域的总斜度，向系统通知在权重向量中权重值的比。作为替换，系统可根据规定算法自动地检测权重值的比。
如图7所示，在图2中所示的可用区域显示单元104的处理中，用户可容易地将两个目标函数的帕累托边界识别为直观地在显示器上的可用区域显示中在坐标原点附近的下沿部分中的边界，并且可期望优化的极限值，如图3中的步骤S206。用户例如可通过使用鼠标等(图2中没有示出)在显示器上指定极限区域，向系统通知极限值。作为替换，系统可根据规定算法自动地检测极限值。
具体地，如图10所示，在本发明优选实施例中，可基于多项式逼近的公式处理，执行多目标优化处理，并且例如利用QE方法，可在算术表达式中显示帕累托最优解。因此，可容易地获得帕累托最优解。
在上述可用区域显示处理中，用户可有效指出在权重向量中的权重值的比以及对于每个目标函数的帕累托边界，同时依次指出两个目标函数。
在上述操作之后，图2中所示的单目标优化单元105使用由目标函数多项式逼近单元102计算的每个目标函数多项式以及在可用区域显示单元104中由用户确定的权重向量中的权重值的比，计算作为输入参数的组108的目标函数(见表达式(1))的加权线性总和所获得的单目标函数值，并计算单目标函数值变为最小时的输入参数的组108的候选项，如图3的步骤S207。在这种情况下，输入参数的组108的数目是10,000至20,000组。
在这种情况下，由于在每个目标函数值的计算中，没有实际进行飞行高度计算，而使用逼近多项式，所以特高速计算是可能的。此外，由于在可用区域显示单元104的操作中，通过用户适当指定的值用于权重向量中的权重值，并且在根据表达式(1)计算单目标函数值时使用，所以连续修改权重向量的重复计算不是必须的。
最后，图2中所示的实际飞行高度计算优化单元106向输入参数组的候选项应用详细的飞行高度计算，所述输入参数组的候选项的单目标函数值是通过单目标函数优化单元105计算的并且变为最小；并且实际飞行高度计算优化单元106计算作为由详细的飞行高度计算获得的目标函数的加权线性总和所获得的单目标函数值，如图3中的步骤S208。然后对于每个目标函数，使用通过实际飞行高度计算所获得的一个目标函数；并且对于权重向量，使用在单目标函数优化单元105中使用的同一目标函数或通过对其略微修改所获得的一个目标函数。
然后，实际飞行高度计算优化单元106确定优化是否关于在前述的可用区域显示处理中指定的目标函数的极限值而收敛，如图3中的步骤S209。
如果优化没有收敛，并且确定在步骤S209中的确定结果为否，则流程返回步骤S207，略微修改在权重向量中的权重值，并且再次执行在步骤S207和S208中的优化处理。
如果优化收敛，并且确定在步骤S209中的确定结果为是，则实际飞行高度计算优化单元106输出所获得的单目标函数值变为最小的输入参数组108，作为滑橇形状参数109的最优化组，如图3中的步骤S210。
<本发明的有效实施例中的可用区域显示的详细操作>
接下来，以下参照图11～图18B描述图2中所示的可用区域显示单元104的更详细操作。
可用区域显示单元104作为第一功能在显示器上显示的可用区域中突出地显示帕累托最优解部分(帕累托边界)，如图11中的1101所示。然后，在用户通过鼠标等追踪帕累托边界时，可用区域显示单元104显示这样的状态，即由用户预先指定的设计参数(构成输入参数组108的因数的任意组合)变为在二维或三维作标中对应于用户的轨迹，如图11中的1103所示。不仅在追踪帕累托边界时，而且在通过鼠标等从可用区域的右上部向帕累托边界追踪时，以同样的方式显示设计参数变化的状态。
在这种操作中，当可用区域显示单元104在通过QE计算单元计算的两个目标函数的逻辑表达式(表达式(5)和(8)等)为真时的点连续着色，同时扫过(sweep)任意两个目标函数的二维绘制面上的每个点时，可通过突出地显示在每个扫描行的最左边上出现的表达式点来容易地突出显示帕累托最优解，如图11中的1101。考虑到通常由于如图1D所示绘制和显示帕累托最优解，甚至难以突出地(emphatically)显示帕累托最优解，所以这个事实变为非常有利的特征。
接下来，通过图12中所示的操作流程图示出可用区域显示单元104的操作，所述可用区域显示单元104用于显示通过用户的与帕累托规范的移动相关的设计参数的改变。
首先，如图13A所示，可用区域显示单元104在当前显示的目标函数f1和f2的帕累托边界上指出一个点P1或其附近区域，如图12中的步骤S1201。
然后，可用区域显示单元104围绕指定点P1设置附近区域，如图12中的步骤S1202。该区域表示为[P1]。尽管区域的形状可以是矩形或圆形，但是考虑到计算效率，矩形更好。
然后，如图13B所示，可用区域显示单元104使用由图2中所示的目标函数多项式逼近单元102计算并指定的两个目标函数的逼近多项式，将每个栅格点(grating point)映射到目标空间，并计算对应的点，其中所述每个栅格点形成在设计空间中由用户期望的两个设计参数组成的坐标面上，如图13中的步骤S1203。在设计空间中的栅格点数目由用户指定。
然后，如图13C所示，可用区域显示单元104在显示器上仅显示对应于包含在区域[P1]中点的设计空间中的栅格点，如图12中的步骤S1204，其中在步骤S1203中计算目标空间中的点，在步骤S1202中指定区域[P1]。
由于用户通过鼠标等追踪帕累托边界，如图11中的1102所示，所以可用区域显示单元104重复上述计算处理，并连续更新在用户指定的设计空间中的显示。
尽管在该实例中，设计空间是二维的，但是在考虑三维或一维设计空间中的栅格点时，也可实现相同的显示。
通过可用区域显示单元104实现的上述第一功能，用户可直观地知道当追踪帕累托边界时设计参数如何改变。
尽管在上述操作中，关于设计空间中的每个栅格点，计算目标空间中的点，并计算它们的对应关系，但是还可以通过基于目标空间中的区域[P1]的QE方法，直接计算在设计空间中的对应区域。
图14是实现该操作的可用区域显示单元104的操作流程图。
首先，如图15A所示，可用区域显示单元104在当前显示的目标函数f1和f2的帕累托边界上指定一个点P1或其附近区域，如图14中的步骤S1401。假设P1的坐标是(a，b)。
然后，可用区域显示单元104围绕指定点P1设置附近区域，如图14中的步骤S1402。这个区域表示为[P1]。假设对于指定点P1＝(a，b)的区域是(a±Δo，b±Δo)(见图15B)。
然后，可用区域显示单元104使用微量Δd阐明设计空间和目标空间的以下表达式(10)，如图14中的步骤S1403(见图15B)。
&Exists;x1&Exists;x2;]]>e₁≤x₁≤e₁+Δd∧e₂≤x₂≤e₂+Δd
以及a-Δo≤f₁(x₁，x₂)≤a+Δo∧b-Δo≤f₂(x₁，x₂)≤b+Δo    (10)
此外，可用区域显示单元104通过步骤S1403中阐明的QE问题的表达式，采用QE方法来计算用于表示e1和e2的可实现可用区域的表达式φ(e1，e2)，如图14中的步骤S1404。
然后，可用区域显示单元104在设计空间上绘制在步骤S1404中计算的表达式φ(e1，e2)，如图14中的步骤S1405。
由于用户通过鼠标等在显示器上显示的可用区域中追踪如图16中1601所示突出显示的帕累托边界，所以可用区域显示单元104在二维或三维坐标上显示这样的状态，即通过与用户追踪对应的用户改变预先指定的比较对象(comparison-target)目标空间的目标函数值，以作为第二函数，如图16所示。
不仅通过鼠标等追踪帕累托边界，而且甚至在从可用区域的右上部向帕累托边界进行追踪时，以相同方式在显示器上显示比较对象目标空间的目标函数值的改变的状态。
在这个操作中，如图18A所示，可用区域显示单元104获得与第一函数的目标空间中的指定区域[P1]相关的在设计空间上的一组栅格点。
在这种状态下，可用区域显示单元104使用由图2中所示和如图18B中所示的目标函数多项式逼近单元102计算的逼近多项式，计算用于构成这组栅格点的比较对象目标空间的目标函数值，并在目标空间中绘制它们，如图17中的步骤S1701。构成比较对象目标空间的目标函数的数目可以是一个、两个或三个，并且它或它们可分别是一维地、二维地或三维地显示。
当通过可用区域显示单元104实现的第二函数在某个目标空间中追踪帕累托边界时，用户可直观地知道在其它目标空间中目标函数值如何改变。
<本发明优选实施例的硬件配置>
图19示出能够实现上述系统的计算机的硬件配置的一个实例。
图19中所示的计算机包括：中央处理单元(CPU)1901、存储器1902、输入设备1903、输出设备1904、外部存储设备1905、便携式存储介质驱动设备1906(其中插入有便携式存储介质1909)以及网络连接设备1907，它们通过总线1908彼此连接。图19中所示的配置是能够实现上述系统的计算机的实例，并且计算机不限于这个配置。
CPU 1901控制整个计算机。存储器1902为RAM等，用于当执行程序、更新日期等时，暂时存储外部存储设备1905(或便携式存储介质1909)中存储的程序或数据。CPU 1901通过将程序读取到存储器1902中并执行该程序的方式，控制整个计算机。
输入设备1903包括例如键盘、鼠标等及其接口控制设备。输入设备1903检测通过用户的键盘、鼠标等的输入操作，并向CPU 1901通知检测结果。
输出设备1904包括显示器、打印机等及其接口控制设备。输出设备1904在CPU 1901的控制下向显示器和打印机输出数据。
外部存储设备1905是例如硬盘存储设备，并主要用于存储各条数据和各个程序。
便携式存储介质驱动设备1906容纳便携式存储介质1909，例如光盘、SDRAM、压缩闪存等，并扮演外部存储设备1905的辅助角色。
网络连接设备1907连接通信线路，例如局域网(LAN)、广域网(WAN)等。
可通过CPU 1901执行在图2中所示的功能框安装的程序，来实现根据这个优选实施例的系统。可将程序记录在外部存储设备1905或便携式存储介质1909中，并且可分布式处理。作为替换，可通过网络连接设备1907从网络获得。
尽管在本发明的以上优选实施例中，将本发明用作支持硬盘的滑橇设计的设计支持设备，但是本发明不限于此，而是还可用于支持在执行多目标优化时设计的多个设备。
根据本发明，可通过硬盘滑橇形状等的设计参数的公式(例如使用多个设计参数的采样组的多项式等)逼近目标函数，并且可通过公式操作方法计算表达式。由于可正常处理输入参数，所以可容易地获得在目标函数之间的逻辑关系和输入/输出关系。
更具体地，当在某个目标空间中追踪帕累托边界时，用户可直观地知道设计参数如何改变。
此外，当在某个目标空间中追踪帕累托边界时，用户可直观地知道在其它目标空间中目标函数值如何改变。