确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法.pdf

确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法，在牵引安装和张拉成形的施工过程中，作为机构的索杆系存在超大位移、机构位移和拉索松弛，采用常规的线性静力有限元法无法获得其施工阶段的静力平衡状态。采用非线性动力有限元法的找形分析，通过引入惯性力和粘滞阻尼力，建立非线性动力有限元方程，将难以求解的静力问题，转为易于求解的动力问题，并通过迭代更新索杆系位形，使索杆系的动力平衡状态逐渐收敛于静力平衡状态。索杆系在分析前处于静力不平衡状态，在分析中处于动力平衡状态，在收敛后达到静力平衡状态，即索杆系由初始的静力不平衡状态间断地运动(非连续运动)至稳定的静力平衡状态。

1.  一种确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法，其特征在于采用非线性动力有限元法和迭代方法，确定索杆系的静力平衡状态，使索杆系由初始位形的静力不平衡状态间断地运动至稳定的静力平衡状态；
确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法包含以下步骤：
1)分析准备：明确索杆系的设计成形状态和施工方案以及所需要分析的施工阶段；
2)建立索杆系初始有限元模型：选用满足工程精度要求的索单元和杆单元；按照设计成形状态的位形或其它假定的初始位形建立有限元模型；根据所需分析的施工阶段的情况，施加重力荷载和其它荷载以及边界约束条件；根据索杆的原长已知或者内力已知的条件，在索杆上施加等效初应变或等效温差；
3)设定分析参数和收敛标准：自振圆频率和阻尼比、允许最大时间步数、初始时间步长、时间步长调整系数、迭代收敛允许最大位移值、允许最大迭代次数；
4)迭代分析
a.调整时间步长，
b.非线性动力有限元分析：建立非线性动力有限元平衡方程，按照时间步连续求解，跟踪索杆系的位移、速度和总动能响应，
c.确定总动能峰值及其时间点，
d.更新有限元模型，包括更新索杆系的位形以及控制索杆的原长或者内力；
5)判断是否收敛或者已迭代次数是否达到允许最大值；
①若更新有限元模型的节点最大位移值小于允许最大位移值时，迭代收敛，索杆系达到静力平衡状态，分析结束；
②若迭代未满足收敛条件，且已迭代次数未达到允许最大迭代次数，则进入下一次的迭代；
③若迭代未满足收敛条件，但已迭代次数达到允许最大迭代次数，则结束分析；
6)检验静力平衡状态。

2.  根据权利要求1所述的确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法，其特征在于第4)步迭代分析中可调整时间步长，调整时间步长的操作方法为：①当第一次迭代则采用初始时间步长；②当不是第一次迭代，若上次迭代时非线性动力有限元分析的时间步数达到允许最大时间步数时总动能仍未出现下降，则将上次迭代的时间步长乘以时间步长调整系数，作为本次迭代的时间步长；若上次迭代时非线性动力有限元分析不收敛，则应将上次迭代的时间步长除以时间步长调整系数，作为本次迭代的时间步长；否则本次迭代不调整时间步长。

3.  根据权利要求1所述的确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法，其特征在于第4)步迭代分析中确定总动能峰值及其时间点的操作方法为：①在允许最大时间步数内，当出现某时间步的总动能低于前一个时间步，则将该时间步及其前两个时间步即共三个连续时间步的总动能进行曲线拟合，计算总动能曲线的峰值及其时间点；②若当动力分析的时间步数达到允许最大值时总动能仍未出现下降，则该次迭代的总动能峰值为最后时间步的总动能。

4.  根据权利要求1所述的确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法，其特征在于第4)步迭代分析中更新索杆系位形的操作方法为：①采用线性插值的方法计算与总动能峰值对应的时间点的位移，更新索杆系位形；若总动能峰值为最后时间步的总动能，则直接按照最后时间步的位移更新索杆系位形；②对原长已知的索杆按照新模型中的几何长度更新等效初应变或等效温差；对内力已知的索杆上的等效初应变或等效温差，则无需更新。

5.  根据权利要求1所述的确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法，其特征在于第4)步迭代分析中控制索杆的原长或者内力的操作方法为：①按照初始位形建立的初始模型中，根据原长已知或者内力已知的条件，在索杆上施加等效初应变或者等效温差；②迭代分析中在更新有限元模型后，根据更新模型的几何长度，对原长已知的索杆更新等效初应变或等效温差，对内力已知的索杆则不更新等效初应变或等效温差。

6.  根据权利要求1所述的确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法，其特征在于第6)步检验静力平衡状态的操作方法为：对迭代分析最终收敛而得到的索杆系有限元模型，采用非线性静力有限元法再次求解其静力平衡状态，得到非线性静力有限元分析极易收敛且小位移满足精度要求的结果。

确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法
技术领域
本发明公开了一种利用非线性动力有限元法来确定索结构和杆结构(如索穹顶、索桁架、索网、斜拉网格结构、可开展结构等)中的索杆系(包括拉索、桅杆、撑杆、飞杆、连杆等)静力平衡状态的分析方法，属索结构和杆结构的施工或展开的数值模拟分析领域，涉及程序编制和软件开发。
背景技术
索杆系是由索或杆或索和杆构成的系统，其可自成结构，如索穹顶、索网、索桁架、可开展结构等，也可与其它刚构组合成结构，如斜拉网格结构、弦支穹顶、张弦梁等。
索杆系的现场施工过程主要包括三大步骤：组装连接、牵引安装和张拉成形。组装连接，是根据构件拓扑关系，将拉索和压杆在无应力状态下进行连接；牵引安装，是通过牵引或提升等方法将组装的索杆系安装至设计位置附近；张拉成形，是通过张拉拉索或顶撑压杆在结构中建立预应力使结构成形。
为使结构成形满足设计要求(如内力和位形等)，在现场施工前，需要先进行索杆系施工过程的数值模拟分析(主要是针对牵引安装和张拉成形两个过程)，以掌握关键施工阶段的索杆系的状态，验证施工过程中索杆系的稳定性，为施工、监测提供参数和依据。
施工过程是动态的，但就某个特定的施工阶段而言，索杆系处于静力平衡状态。因此可将索杆系施工过程分析划分为若干施工阶段的静力平衡状态的分析，即找形分析。
施工阶段静力平衡态下的索杆系位形与结构成形状态差异较大，特别是在早期施工阶段的差异非常大，而随着牵引安装和张拉成形，索杆系位形逐渐趋向、接近和达到成形状态。在未张拉前索杆系为机构，必须通过张拉建立预应力，方可具有结构刚度和形成结构。将设计要求的结构成形状态的位形作为初始位形建立模型，由此通过找形分析来确定某个施工阶段的索杆系静力平衡状态时，索杆系主要呈现的是机构位移，而弹性位移是小量。另外，由于柔性拉索(如钢丝束索、钢绞线、钢丝绳等)仅能受拉，不能受压和受弯，因此施工过程中部分拉索还会处于松弛状态。由于存在超大位移且包含机构位移和拉索松弛，采用针对常规结构的线性静力有限元方法已无法解决。
现确定索杆系静力平衡状态的找形分析方法主要有：非线性静力有限元法、非线性力法和动力松弛法。
①非线性静力有限元法，是建立有限元模型，采用非线性迭代方法静力求解，确定静力平衡状态。为便于收敛，假定杆元运动轨迹或者设定趋向平衡位置的初始位移；对未施加预应力的松弛索元和不受力的桅杆的刚度不计入结构总刚，但将重量作为集中力作用在所连接的节点上。
②非线性力法，是基于力法的非线性分析方法，能够分析包括动不定、静不定体系在内的各种结构形式，解决结构含机构位移、同时机构位移和弹性位移耦合的结构受力或形态分析问题。虽然力法较有限元位移法具有更广的适用性，但力法所建立的平衡方程中，平衡矩阵是不对称的满阵，和位移法建立的刚度矩阵为对称、稀疏阵相比，计算机计算能力要求更高，而且矩阵的奇异值分解所需的计算量比刚度矩阵的三角分解大得多。
③动力松弛法，通过虚拟质量和粘滞阻尼将静力问题转化为动力问题，将结构离散为空间节点位置上具有一定虚拟质量的质点，在不平衡力的作用下，这些离散的质点必将产生沿不平衡力方向的运动，从宏观上使结构的总体不平衡力趋于减小。在某一时间段之后，如果结构的总动能小于前一时刻的动能，则认为动能在某一时刻达到极值，所有速度分量被置为零，在当前不平衡力作用下重新开始振动，如此反复直至结构的动能趋近于零，即达到静力平衡状态。动力松弛法逐点(空间)逐步(时间)地进行平衡迭代，不需要形成整体刚度矩阵，不会造成误差累积。
发明内容
技术问题：本发明的目的是提供一种确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法。在牵引安装和张拉成形的施工过程中，作为机构的索杆系存在超大位移、机构位移和拉索松弛，采用常规的线性静力有限元法无法获得其施工阶段的静力平衡状态。采用非线性动力有限元法的找形分析，通过引入惯性力和粘滞阻尼力，建立非线性动力有限元方程，将难以求解的静力问题，转为易于求解的动力问题，并通过迭代更新索杆系位形，使索杆系的动力平衡状态逐渐收敛于静力平衡状态。索杆系在分析前处于静力不平衡状态，在分析中处于动力平衡状态，在收敛后达到静力平衡状态，即索杆系由初始的静力不平衡状态间断地运动(非连续运动)至稳定的静力平衡状态。
技术方案：采用非线性动力有限元法确定索杆系静力平衡状态的找形分析的总体步骤为：建立初始有限元模型，进行非线性动力有限元分析，当总动能达到峰值时更新有限元模型，重新进行非线性动力有限元分析，直到迭代收敛达到静力平衡状态，最后对迭代收敛的有限元模型进行非线性静力有限元分析，检验索杆系的静力平衡状态，提取分析结果。
采用非线性动力有限元法和迭代方法，确定索杆系的静力平衡状态，使索杆系由初始位形的静力不平衡状态间断地运动至稳定的静力平衡状态；
确定索杆系静力平衡状态的非线性动力有限元法包含以下步骤：
1)分析准备：明确索杆系的设计成形状态和施工方案以及所需要分析的施工阶段；
2)建立索杆系初始有限元模型：选用满足工程精度要求的索单元和杆单元；按照设计成形状态的位形或其它假定的初始位形建立有限元模型；根据所需分析的施工阶段的情况，施加重力荷载和其它荷载以及边界约束条件；根据索杆的原长已知或者内力已知的条件，在索杆上施加等效初应变或等效温差；
3)设定分析参数和收敛标准：自振圆频率和阻尼比、允许最大时间步数、初始时间步长、时间步长调整系数、迭代收敛允许最大位移值、允许最大迭代次数；
4)迭代分析
a.调整时间步长，
b.非线性动力有限元分析：建立非线性动力有限元平衡方程，按照时间步连续求解，跟踪索杆系的位移、速度和总动能响应，
c.确定总动能峰值及其时间点，
d.更新有限元模型，包括更新索杆系的位形以及控制索杆的原长或者内力；
5)判断是否收敛或者已迭代次数是否达到允许最大值；
①若更新有限元模型的节点最大位移值小于允许最大位移值时，迭代收敛，索杆系达到静力平衡状态，分析结束；
②若迭代未满足收敛条件，且已迭代次数未达到允许最大迭代次数，则进入下一次的迭代；
③若迭代未满足收敛条件，但已迭代次数达到允许最大迭代次数，则结束分析；
6)检验静力平衡状态。
其中：
第4)步迭代分析中可调整时间步长，调整时间步长的操作方法为：①当第一次迭代则采用初始时间步长；②当不是第一次迭代，若上次迭代时非线性动力有限元分析的时间步数达到允许最大时间步数时总动能仍未出现下降，则将上次迭代的时间步长乘以时间步长调整系数，作为本次迭代的时间步长；③当不是第一次迭代，若上次迭代时非线性动力有限元分析不收敛，则应将上次迭代的时间步长除以时间步长调整系数，作为本次迭代的时间步长；④否则本次迭代不调整时间步长。
第4)步迭代分析中确定总动能峰值及其时间点的操作方法为：①在允许最大时间步数内，当出现某时间步的总动能低于前一个时间步，则将该时间步及其前两个时间步即共三个连续时间步的总动能进行曲线拟合，计算总动能曲线的峰值及其时间点；②若当动力分析的时间步数达到允许最大值时总动能仍未出现下降，则该次迭代的总动能峰值为最后时间步的总动能。
第4)步迭代分析中更新索杆系位形的操作方法为：①采用线性插值的方法计算与总动能峰值对应的时间点的位移，更新索杆系位形；若总动能峰值为最后时间步的总动能，则直接按照最后时间步的位移更新索杆系位形；②对原长已知的索杆按照新模型中的几何长度更新等效初应变或等效温差；对内力已知的索杆上的等效初应变或等效温差，则无需更新。
第4)步迭代分析中控制索杆的原长或者内力的操作方法为：①按照初始位形建立的初始模型中，根据原长已知或者内力已知的条件，在索杆上施加等效初应变或者等效温差；②迭代分析中在更新有限元模型后，根据更新模型的几何长度，对原长已知的索杆更新等效初应变或等效温差，对内力已知的索杆则不更新等效初应变或等效温差。
第6)步检验静力平衡状态的操作方法为：对迭代分析最终收敛而得到的索杆系有限元模型，采用非线性静力有限元法再次求解其静力平衡状态，得到非线性静力有限元分析极易收敛且小位移满足精度要求的结果。
有益效果：采用非线性动力有限元法，将难以静力平衡的有限元分析转化为容易平衡的动力有限元分析，并通过迭代更新位形，使索杆系状态收敛于静力平衡，很好解决了存在超大位移和机构位移的索杆系找形问题。可直接将结构成形状态的位形作为初始位形，无需假定索杆的运动轨迹或者设定趋向平衡位置的初始位移，并从以下方面保证了迭代的稳定性和高效性：①由于引入惯性力和阻尼力，非线性动力有限元分析自身比非线性静力有限元分析更容易收敛；②基于整体有限元的非线性动力平衡方程求解，其总动能具有整体性；③对连续三个时间步的总动能进行曲线拟合来确定总动能峰值及其时间点，采用线性插值方法确定该时间点的位移，以此更新索杆系位形；④迭代过程中自动调整动力分析的时间步长，减少时间步数，提高分析效率；⑤迭代分析收敛后，基于迭代分析最终收敛而得到的索杆系有限元模型，采用非线性静力有限元法再次求解其静力平衡状态，检验分析结果。另外，索杆系找形分析的非线性动力有限元法，可解决索杆原长已知，或者索杆内力已知，或者部分索杆原长已知，部分索杆内力已知的条件下的找形问题。
附图说明
图1为非线性动力有限元法确定索杆系静力平衡状态的流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明进一步详细说明：
①初始有限元模型；②分析参数，包括：阻尼、时间步长、允许最大时间步数、时间步长调整系数、总动能峰值及其时间点等；③更新有限元模型；④收敛标准；⑤静力平衡状态的检验。
(1)建立初始有限元模型
压杆采用两端铰接的链杆单元。拉索可采用两节点直线索单元、两节点抛物线索单元、两节点悬链线索单元、多节点曲线索单元或多折线索单元，具体索单元类型可根据计算精度要求选用，如：在牵引安装施工阶段，索杆系处于低应力松垮状态，应采用精度较高的曲线索单元或多折线索单元；在张拉成形施工阶段，索杆系处于较高的应力状态，可简化采用两节点直线索单元。
初始有限元模型可直接按照设计要求的成形状态下的位形建立，也可按照假定的初始位形建立。根据所分析的施工阶段，在初始模型上施加重力荷载和其它荷载(如吊挂荷载等)以及边界约束条件。根据索杆的原长已知或内力(如牵引力、张拉力)已知的条件，在索杆上施加等效初应变或等效温差。
(2)动力分析阻尼
动力平衡方程的阻尼可采用Rayleigh阻尼矩阵，其中自振圆频率和阻尼比可虚拟设定。
(3)允许最大时间步数、总动能峰值及其时间点
设定单次迭代中非线性动力有限元分析的允许最大时间步数。
某次迭代的非线性动力有限元分析中，在允许最大时间步数内，当出现某时间步的总动能低于前一个时间步，则停止动力分析，将该时间步及其前两个时间步(共三个连续时间步)的总动能进行曲线拟合(如抛物线拟合)，计算总动能曲线的峰值及其时间点。若当动力分析的时间步数达到允许最大值时总动能仍未出现下降，则停止动力分析，该次迭代的总动能峰值为最后时间步的总动能。
(4)更新有限元模型
当判断出总动能峰值及其时间点后，更新有限元模型。
采用线性插值的方法计算与总动能峰值对应的时间点的位移，更新索杆系位形；若总动能峰值为最后时间步的总动能，则直接按照最后时间步的位移更新索杆系位形。
对原长已知的索杆根据新模型中的几何长度更新等效初应变或等效温差；对内力已知的索杆上的等效初应变或等效温差，则无需更新。
(5)动力分析的时间步长和时间步长调整系数
非线性动力有限元分析的时间步长是决定找形分析收敛速度的关键因素之一。非线性动力有限元分析的时间步长越短，则动力分析越易收敛，但需要更多的时间步数达到静力平衡状态，分析效率低。在某次迭代中，合理的非线性动力有限元分析的时间步长，应该在保证动力分析收敛的前提下，在尽可能少的时间步数内总动能达到峰值。针对整个找形分析而言，应尽量减少各次迭代的总时间步数。找形分析可分为初期、中期和后期三个阶段：①在初期阶段，索杆系运动剧烈，动力分析可设置较小的时间步长，便于动力分析收敛；②在中期阶段，索杆系主位移方向明确，趋向最终静力平衡状态，此时应加大时间步长，从而在较少的时间步数和迭代次数下使索杆系位形迅速接近静力平衡状态；③在后期阶段，索杆系在静力平衡状态附近振动，此时应再加大时间步长，从而使迭代尽快收敛，达到静力平衡状态。
通过设定合理的非线性动力有限元分析的允许最大时间步数和时间步长调整系数，来调整时间步长。当找形分析中出现下列情况时可在后续非线性动力有限元分析中按照时间步长调整系数来调整时间步长：①在上次迭代中，当非线性动力有限元分析的时间步数达到允许最大值时总动能仍未出现下降，则应将上次迭代的时间步长乘以时间步长调整系数，作为本次迭代的时间步长；②在上次迭代中，当非线性动力有限元分析出现不收敛，则应将上次迭代的时间步长除以时间步长调整系数，作为本次迭代的时间步长。
(6)迭代分析收敛标准
迭代收敛标准可设定为：当更新有限元模型的节点最大位移值小于允许最大位移值时，迭代收敛，索杆系达到平衡状态。
(7)静力平衡状态的检验
良好的迭代分析的结果应该是索杆系位形与静力平衡状态的误差满足工程精度要求。为检验迭代分析结果的质量，基于迭代分析最终收敛而得到的索杆系有限元模型，采用非线性静力有限元法再次求解其静力平衡状态，此时非线性静力有限元分析应极易收敛且位移小。
本发明公开的利用非线性动力有限元法来确定索杆系静力平衡状态的方法，可通过编制程序和软件来实现，也可在具有非线性动力有限元分析能力的软件平台上进行二次开发编程实现。程序可分为四个模块：前处理、分析、检验和后处理。
1)前处理模块——建立索杆系初始有限元模型
选用满足工程精度要求的索单元和杆单元；按照假定的初始位形(可直接按照设计成形状态的位形)建立有限元模型；将索杆材料的物理属性(包括弹性模量、温度膨胀系数等)和索杆的截面积赋予单元；根据所需分析的施工阶段的情况，施加重力荷载和其它荷载(如吊挂荷载等)以及边界约束条件；根据索杆的原长已知或者内力已知的条件，在索杆上施加等效初应变或等效温差。
2)分析模块——设定分析参数和收敛标准，非线性动力有限元分析、迭代分析和控制
(1)设定分析参数和收敛标准：自振圆频率和阻尼比、允许最大时间步数、初始时间步长、时间步长调整系数、迭代收敛允许最大位移值、允许最大迭代次数。
(2)非线性动力有限元分析：建立非线性有限元动力平衡方程，按照时间步连续求解动力平衡状态，跟踪位移、速度和总动能响应。
(3)迭代分析和控制：确定总动能峰值及其时间点、更新有限元模型、调整时间步、迭代收敛判断、迭代循环控制。
3)检验模块——对迭代分析最终收敛而得到的索杆系有限元模型进行非线性静力有限元分析
对迭代分析最终收敛而得到的索杆系有限元模型，采用非线性静力有限元法再次求解其静力平衡状态，良好的结果应该是非线性静力有限元分析极易收敛且小位移满足精度要求。
4)后处理模块——提取分析结果
提取索杆系静力平衡状态下的数据和模型，如索力、杆力、节点坐标、三维视图等。
实例具体如下：
1)分析准备：明确索杆系的设计成形状态和施工方案以及所需要分析的施工阶段。
2)建立索杆系初始有限元模型：选用满足工程精度要求的索单元和杆单元；按照假定的初始位形(可直接按照设计成形状态的位形)建立有限元模型；根据所需分析的施工阶段的情况，施加重力荷载和其它荷载(如吊挂荷载等)以及边界约束条件；根据索杆的原长已知或者内力已知的条件，在索杆上施加等效初应变或等效温差。
3)设定分析参数和收敛标准：自振圆频率和阻尼比、允许最大时间步数、初始时间步长、时间步长调整系数、迭代收敛允许最大位移值、允许最大迭代次数。
4)迭代分析
(1)调整时间步长
①当第一次迭代则采用初始时间步长；
②当不是第一次迭代，若上次迭代时非线性动力有限元分析的时间步数达到允许最大时间步数时总动能仍未出现下降，则将上次迭代的时间步长乘以时间步长调整系数，作为本次迭代的时间步长；
③当不是第一次迭代，若上次迭代时非线性动力有限元分析不收敛，则应将上次迭代的时间步长除以时间步长调整系数，作为本次迭代的时间步长；
④否则本次迭代不调整时间步长。
(2)非线性动力有限元分析：建立非线性动力有限元平衡方程，按照时间步连续求解，跟踪索杆系的位移、速度和总动能响应。
(3)确定总动能峰值及其时间点
①在允许最大时间步数内，当出现某时间步的总动能低于前一个时间步，则停止动力分析，将该时间步及其前两个时间步(共三个连续时间步)的总动能进行曲线拟合(如抛物线拟合)，计算总动能曲线的峰值及其时间点。
②若当动力分析的时间步数达到允许最大值时总动能仍未出现下降，则停止动力分析，该次迭代的总动能峰值为最后时间步的总动能。
(4)更新有限元模型
①采用线性插值的方法计算与总动能峰值对应的时间点的位移，更新索杆系位形；若总动能峰值为最后时间步的总动能，则直接按照最后时间步的位移更新索杆系位形。
②对原长已知的索杆按照新模型中的几何长度更新等效初应变或等效温差；对内力已知的索杆上的等效初应变或等效温差，则无需更新。
5)判断是否收敛或者已迭代次数是否达到允许最大值
①若更新有限元模型的节点最大位移值小于允许最大位移值时，迭代收敛，索杆系达到静力平衡状态，分析结束；
②若迭代未满足收敛条件，且已迭代次数未达到允许最大迭代次数，则进入下一次的迭代；
③若迭代未满足收敛条件，但已迭代次数达到允许最大迭代次数，则结束分析。
6)检验静力平衡状态。
对迭代分析最终收敛而得到的索杆系有限元模型，采用非线性静力有限元法再次求解其静力平衡状态，良好的结果应该是非线性静力有限元分析极易收敛且小位移满足精度要求。