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一种去噪声算法，它通过以下步骤来获得含噪数字信号的无噪部分的估计，所述步骤如下：将一组M线性变换应用于含噪数字信号，确定数字信号的每个数字元素的M初始去噪声估计，通过按照线性估计问题公式化所述组合并且求解它以获得各个加权因子来导出每个数字元素的M初始去噪声估计的加权因子的组合，并且根据相应的M初始去噪声估计以及加权因子的组合来公式化每个数字元素的最终去噪声估计。加权因子的组合是使条件均方误差相对于所述初始去噪声估计最小化这样导出的最优组合。根据去除噪声离散的显式相关性的比例因子以及多个矩阵之一来进一步地确定所述最优确定。

1.  一种用于获得含噪数字信号的无噪部分的估计的方法，包括以下步骤：
(a)将一组M线性变换应用于含噪数字信号；
(b)确定数字信号的每个数字元素的M初始去噪声估计；
(c)通过按照线性估计问题公式化所述组合并且求解它以获得各个加权因子来导出每个数字元素的M初始去噪声估计的加权因子的组合；和
(d)根据相应的M初始去噪声估计以及分别在步骤(b)和(c)中确定的加权因子的组合来公式化每个数字元素的最终去噪声估计。

2.  如权利要求1所述的方法，其中将该M线性变换组应用于整个数字信号或者应用于每个数字元素。

3.  如权利要求1所述的方法，其中，对于该M线性变换组中的每个线性变换来说，通过为每个变换系数定阈值并且反变换未定阈值的变换系数来获得特定数字元素的M初始去噪声估计，其中每个变换系数具有一个低于阈值的绝对值。

4.  如权利要求1所述的方法，其中所述加权因子的组合是最优组合。

5.  如权利要求1所述的方法，其中加权因子的组合是这样导出的以便条件均方误差相对于所述初始去噪声估计被最小化。

6.  如权利要求1所述的方法，其中该M线性变换组包括(i)离散余弦变换以及预定数目的其过完备位移，(ii)子波变换以及预定数目的其过完备位移，或者(iii)傅里叶变换以及预定数目的其过完备位移。

7.  如权利要求1所述的方法，其中所述数字信号是由多个像素组成的图像或者视频帧，其中每个数字元素包括一个或者一组像素。

8.  一种用于获得含噪信号y的无噪部分x的估计的方法，包括以下步骤：
依照以下公式获得的每个元素n的估计所述公式为：
x ^ ( n ) = Σ i = 1 M α i ( n ) x ^ i ( n ) , n = 1 , . . . , N , ]]>
其中加权因子α_i(n)，i＝1，...，M，n＝1，...，N通过按照线性估计问题公式化其组合来最优地确定；以及
合并估计以获得

9.  如权利要求8所述的方法，其中α_i(n)被最优地确定以便使条件均方误差相对于所述初始去噪声估计最小化。

10.  如权利要求9所述的方法，其中根据比例因子以及矩阵来最优地确定α_i(n)，所述比例因子去除噪声离散的显式相关性，所述矩阵取决于获得每个的过程中应用的过完备变换组。

11.  如权利要求9所述的方法，其中根据比例因子以及对角矩阵来最优地确定α_i(n)，所述比例因子去除噪声离散的显式相关性，所述对角矩阵从取决于获得每个时应用的过完备变换组的矩阵导出。

12.  如权利要求9所述的方法，其中根据比例因子以及减小的对角矩阵来最优地确定α_i(n)，所述比例因子去除噪声离散的显式相关性，所述减小的对角矩阵由对角矩阵导出而所述对角矩阵又从取决于获得每个时应用的过完备变换组的矩阵导出。

13.  一种用于获得含噪数字信号的无噪部分的估计的设备，所述设备包括：
一个或多个部件，被配置为：
将一组M线性变换应用于含噪数字信号；
确定数字信号的每个数字元素的M初始去噪声估计；
通过按照线性估计问题公式化所述组合并且求解它以获得各个加权因子来导出每个数字元素的M初始去噪声估计的加权因子的组合；并且
根据相应的M初始去噪声估计以及分别在步骤(b)和(c)中确定的加权因子的组合来公式化每个数字元素的最终去噪声估计。

14.  如权利要求13所述的设备，其中将该M线性变换组应用于整个数字信号或者应用于每个数字元素。

15.  如权利要求13所述的设备，其中对于该M线性变换组中的每个线性变换来说，通过为每个变换系数定阈值并且反变换未定阈值的变换系数来获得特定数字元素的M初始去噪声估计，其中每个变换系数具有一个低于阈值的绝对值。

16.  如权利要求13所述的设备，其中所述加权因子的组合是最优组合。

17.  如权利要求13所述的设备，其中加权因子的组合是这样导出的以便条件均方误差相对于所述初始去噪声估计被最小化。

18.  如权利要求13所述的设备，其中该M线性变换组包括(i)离散余弦变换以及预定数目的其过完备位移，(ii)子波变换以及预定数目的其过完备位移，或者(iii)傅里叶变换以及预定数目的其过完备位移。

19.  如权利要求13所述的设备，其中所述数字信号是由多个像素组成的图像或者视频帧，其中每个数字元素包括一个或者一组像素。

20.  一种设备可读介质，具有用于指导机器执行获得含噪数字信号的无噪部分的估计的处理，所述程序包括：
(a)用于将一组M线性变换应用于含噪数字信号的指令；
(b)用于确定数字信号的每个数字元素的M初始去噪声估计的指令；
(c)用于通过按照线性估计问题公式化所述组合并且求解它以获得各个加权因子来导出每个数字元素的M初始去噪声估计的加权因子的组合的指令；和
(d)用于根据相应的M初始去噪声估计以及分别在步骤(b)和(c)中确定的加权因子的组合来公式化每个数字元素的最终去噪声估计的指令。

21.  如权利要求20所述的设备可读介质，其中指令(a)包括用于将该M线性变换组应用于全部数字信号或每个数字元素的指令(a)。

22.  如权利要求20所述的设备可读介质，其中指令(b)包括用于通过为该M线性变换组中的每个线性变换的每个变换系数定阈值、并且反变换未定阈值的变换系数，来获得每个数字元素的M初始去噪声估计的指令，所述每个变换系数具有一个低于阈值的绝对值。

23.  如权利要求20所述的设备可读介质，其中在指令(c)中，所述加权因子的组合是最优组合。

24.  如权利要求20所述的设备可读介质，其中在指令(c)中，所述加权因子的组合通过使条件均方误差相对于所述初始去噪声估计最小化来导出。

25.  如权利要求20所述的设备可读介质，其中在指令(a)中，该M线性变换组包括(i)离散余弦变换以及预定数目的其过完备位移，(ii)子波变换以及预定数目的其过完备位移，或者(iii)傅里叶变换以及预定数目的其过完备位移。

26.  如权利要求20所述的设备可读介质，其中所述数字信号是由多个像素组成的图像或者视频帧，其中每个数字元素包括一个或者一组像素。

27.  一种设备可读介质，具有用于指导机器执行获得含噪信号y的无噪部分x的估计的处理，所述程序包括：
用于依照以下公式获得的每个元素n的估计的指令，所述公式为：
x ^ ( n ) = Σ i = 1 M α i ( n ) x ^ i ( n ) , n = 1 , . . . , N , ]]>
其中加权因子α_i(n)，i＝1，...，M，n＝1，...，N是通过按照线性估计问题公式化其组合来最优地确定的；并且
用于合并估计以获得的指令。

28.  如权利要求27所述的设备可读介质，其中α_i(n)被最优地确定以便使条件均方误差相对于所述初始去噪声估计最小化。

29.  如权利要求28所述的设备可读介质，其中根据比例因子以及矩阵来最优地确定α_i(n)，所述比例因子去除噪声离散的显式相关性，所述矩阵取决于获得每个时应用的过完备变换组。

30.  如权利要求28所述的设备可读介质，其中根据比例因子以及对角矩阵来最优地确定α_i(n)，所述比例因子去除噪声离散的显式相关性，所述对角矩阵从取决于获得每个时应用的过完备变换组的矩阵导出。

31.  如权利要求28所述的设备可读介质，其中根据比例因子以及减小的对角矩阵来最优地确定α_i(n)，所述比例因子去除噪声离散的显式相关性，所述减小的对角矩阵由对角矩阵导出，而所述对角矩阵又从取决于获得每个时应用的过完备变换组的矩阵导出。

加权过完备去噪声
继续申请资料
根据35U.S.C.§119(e)的规定，本申请要求了于2003年6月2日提出的、临时申请序列号为60/475,401的专利申请的优先权。本申请还与申请序列号为10/229,667和10/646,248、分别于2002年8月28日、2003年8月22日提出的、标题为“Iterated De-NoisingFor Image Recovery”以及“Image Recovery Using Thresholding andDirect Linear Solvers”的申请有关。将这些申请的内容引入于此，以供参考。
技术领域
本发明涉及用于使用一组过完备(overcomplete)变换和定阈值来从数字表示(例如数字图像)中去除噪声的技术。所述技术可以依照这样一种方法/算法来实现，其能够以软件、硬件或者其组合来实现，并且可以在计算机或者其他处理器控制的设备上实现。
背景技术
由于添加的独立且同分布的(i.i.d.)噪声问题中的信号为精确的统计建模和信号表示提供了标准(benchmark)，因而其一直受到高度的重视。首先利用单个变换来处理所述问题，而稍后被扩展成过完备基。从那以后，在此领域的研究至今已经集中于获得最优变换以及最优定阈值的技术上。
利用线性变换和定阈值来去噪依赖于依照所利用的变换进行的稀疏分解(sparse decomposition)。根据i.i.d.噪声假定，可以表明：具有小数值的变换系数已经将信噪比(SNR)降得很低，并且可以示出用于有效地检测和去除(在硬阈值的情况下)或者降低(在软阈值的情况下)这些系数的阈值非线性，以便改善噪声特性。当然，此改进被限制在这样一类信号上，在所述信号上，所利用的线性变换提供稀疏分解。然而，如果设想在特定图像上典型使用局部变换、诸如小波或者块离散余弦变换(DCT)，那么很明显，许多DCT或者包括变换的小波基函数将使边缘重叠并且产生其他异常。众所周知的是，稀疏属性不保留这种特征，并且去噪声性能会因此而受到损失。具有过完备变换的去噪试图通过将每个像素处的多个去噪声估计(对应于同一变换的位移版本)求平均来改善此问题。人们希望一些估计将提供比其他估计更好的性能，这将以求平均来进行校正。
发明内容
本发明的目的在于通过采用利用上述去噪声方式无法获得的独立的自由度来为利用过完备变换和定阈值的去噪声技术提供进一步的改进。
本发明的另一个目的在于提供一种数字图像去噪声技术，该技术涉及为每个像素公式化去噪声的估计的最优组合并且求解该组合以获得最优估计。
依照本发明的一个方面，提供了用于获得含噪数字信号的无噪部分的估计的方法。一种方法，包括以下步骤：对含噪数字信号应用一组M线性变换；确定数字信号的每个数字元素的M初始去噪声的估计；通过按照线性估计问题来公式化所述组合并且求解它以获得各个加权因子来导出每个数字元素的M初始去噪声估计的加权因子的组合；以及根据相应的M初始去噪声估计和加权因子的组合公式化每个数字元素的最终去噪声估计。
优选的是，将该组M线性变换应用于整个数字信号或者应用于每个数字元素。
对于该组M线性变换中的每个线性变换来说，优选的是，通过为每个变换系数定阈值并且反变换未定阈值的变换系数来获得特定数字元素的M初始去噪声估计，其中所述每个变换系数具有一个低于阈值的绝对值。
优选的是，加权因子的组合是最优组合，所述最优组合是这样导出的以便使条件均方误差相对于初始的去噪声估计被最小化。
该组M线性变换可以采取许多形式，包括(i)离散余弦变换和预定数目的其过完备位移，(ii)子波变换和预定数目的其过完备位移，或者(iii)傅里叶变换和预定数目的其过完备位移。
在优选的实施例中，所述数字信号是由多个像素组成的图像或者视频帧，其中每个数字元素包括一个或者一组像素。
在另一种方法中，获得含噪信号y的无噪部分x的估计所述方法包括依照以下公式来获得的每个元素n的估计所述公式为：
x ^ ( n ) = Σ i = 1 M α i ( n ) x ^ i ( n ) , n = 1 , . . . , N , ]]>
其中加权因子α_i(n)，i＝1，...，M，n＝1，...，N通过按照线性估计问题公式化其组合来最优地确定。然后，合并估计以获得
优选的是，以这样一种方式来最优地确定α_i(n)以便使条件均方误差相对于初始去噪声的估计最小化。更加优选的是，根据去除噪声离散的显式相关性地比例因子和(i)取决于在获得每个的过程中应用的过完备变换组的矩阵，(ii)从取决于在获得每个的过程中应用的过完备变换组的矩阵导出的对角矩阵，或者(iii)从取决于在获得每个的过程中应用的过完备变换组的矩阵导出的对角矩阵导出的简化的对角矩阵来进一步确定α_i(n)的最优确定。
在其他方面中，本发明涉及一种设备，所述设备包括一个或多个部件，所述部件用于执行如上所述的方法步骤中的处理操作。这种部件可以利用硬件、软件或者其组合来实现。例如可以使用通用微处理器、或者一个或多个专用集成电路(ASIC)、数字信号处理电路等等或者其组合来实现硬件实现方式。
依照本发明的又一方面，可以以指令程序(例如，软件)来实现任何上述方法或者其步骤，其中所述指令程序可以存储、传送到计算机或者其他处理器控制的设备上来执行。作为选择，可以将所述指令程序与被设计以执行一个或多个步骤的硬件集成在一起(例如，一个或多个ASIC、数字信号处理电路等等)。
通过结合附图参照以下说明和权利要求书，将使本发明的其他目的和优势以及对其更彻底地理解变得更加显并且易于理解。
附图说明
图1(a)举例说明了搀杂有噪声的分段恒定信号，图1(b)举例说明了用于在n_s处去噪声的等值线性滤波器，而图1(c)举例说明了在该点用于去噪声的最优滤波器。
图2举例说明了为在图像voronoi的三个像素处为全解、对角线解以及标准解计算的等值滤波器。
图3举例说明了测试图像voronoi(256×256)以及茶壶(960×1280)。
图4、5和6举例说明了在不同条件下实现的用于全解(只有图4)、对角线解、只有明显的解、以及标准解系统的峰值信噪比(PSNR)-阈值曲线。
图7(a)-(e)以及8(a)-(d)举例说明了测试图像的有噪声以及去噪声部分。
图9是举例说明了本发明主要算法的基本处理流程的流程图。
图10是举例说明了可用来实现本发明技术的示范性系统的框图。
具体实施例方式
A.概述
本发明主要致力于这样一种常见的情况，其中使用一组过完备线性变换以及定阈值来去除图像中的i.d.d.噪声。不是专门通过求去噪声估计(对应于每个变换)的平均来获得去噪声信号的标准方法，本发明按照线性估计问题为每个像素公式化最优组合并且求解它以便获得最优估计。本发明的方法不依赖于所利用的变换以及定阈值方案。本发明推导最优估计不要求明确的图像统计量，而是仅仅依靠对所利用的变换提供稀疏分解的假设。此外，本发明的自适应估计使用隐含的条件统计量，并且它们在标准稀疏假定失败的边缘和异常处周围产生最大的影响。
由此，依照本发明，在每一像素处估计了线性变换过完备组(即，或者同一变换的位移版本、或者具有H_iH_i^-1＝1，i＝1，...，M的通用变换集合(H₁，H₂，...，H_M}，其中1是恒等)、以及为变换系数定阈值(优选的是，硬阈值)且反变换以获得多个去噪声估计之后，不仅仅是对这些估计求平均来获得最终结果。而是，本发明提供了一种用于主动确定最优估计的技术，然后将所述最优估计合并以获得最终结果。
照此，本发明的公式既不会失去求平均的简单性，也不需要任何明确的统计量或者参数。按照减少计算复杂性的顺序来导出三个估计。即使当在所述信号中不存在异常(例如，边缘)，第一估计值也是最有效的估计值，也可以自始至终改善去噪声性能。第二估计值非常简单，并且只要求在应用每个变换之后、像素中保留的所期望的噪声能量的量。对于硬阈值来说，可以由继续存在的阈值的系数的数目，或者具有与给出像素重叠的基本函数的非零系数的数目(阈值处理之后)近似以产生第三估计。应该注意的是，如果|c|≤T，那么硬阈值处理系数c得出0，否则使所述系数不变。
作为依照上述相关申请的本发明的实例，所利用的变换的作用仍非常重要。实际上，本发明算法的根本运算基础是具有所利用的线性变换的稀疏图像表示。由此，本发明可用来从数字图像/视频帧中去除噪声，并且还能够用恢复算法来实现，所述恢复算法采用空间预测来恢复图像或者视频帧中丢失的数据。下面将描述本技术的细节以及本发明的算法。
B.注释
让x(N×1)表示信号，让y＝x+w表示搀杂有噪声的信号，并且让H_i(N×N)，i＝1，...，M表示过完备线性变换组。应该理解的是，(N×1)确定矩阵/向量x的维数。在过完备去噪声中，为每个变换的变换系数定阈值，以便在给定y时获得x的估计然后将这些单个估计合并，以得出总体估计在i＝1，...，M的三个阶段中，可以按如下来获得对应于每个变换的各个估计
c_i＝H_iy               (1)
c ^ i = τ ( c i ) - - - ( 2 ) ]]>
x ^ i = H i - 1 ( c ^ i ) - - - ( 3 ) ]]>
其中c_i(N×1)是H_i的变换系数，是定阈值的系数，τ(...)是定阈值函数，并且是x的第i个估计。注意，在
c ^ i = τ i ( c 1 , . . . , c i , . . . c M ) , ]]>i＝1，...，M中“定阈值”运算可以更加通用。在每个像素处合并各个估计以通过以下公式来得出最终的去噪声信号，所述公式为：
x ^ ( n ) = 1 / M Σ i = 1 M x ^ i ( n ) , n = 1 , . . . . . . N - - - ( 4 ) ]]>
依照本发明，将上述公式(1)替换为：
x ^ ( n ) = Σ i = 1 M α i ( n ) x ^ i ( n ) , n = 1 , . . . . . . N - - - ( 5 ) ]]>
其中如下所述来最优地确定权值α_i(n)，i＝1，...，M，n＝1，...，N。对于自然地过完备变换来说，本发明的这种复杂的小波技术对应于执行像素自适应反向变换。正如将变得更加显而易见的那样，本发明可以采纳大量定阈值非线性；然而，对于此处的例子来说，定阈值函数将以非线性来实现，所述非线性通过以下公式来对每个系数实现空间统一的硬阈值处理，所述公式为：

当k＝1，...，N时，其中c_i(k)是第i次变换的第k个变换系数，并且T是给定的阈值。为了有助于稍后的注释，将下标集定义为：
V_i＝(m||c_i(m)|＞T}              (7)
并且相关的对角线选择矩阵：

依照此注释以及硬阈值处理，公式(3)变成：
x ^ i = H i - 1 S i H i y - - - ( 9 ) ]]>
C.本发明的主要原理
图1(a)连同图1(b)以及(c)示出了搀杂有噪声的分段恒定信号，举例说明了本发明的主要原理。为简化而使用了块DCT(4除1)分解。图1(a)描述了四次变换(DCT1，...，DCT4)的过完备系统，并且如图所示那样铺砌显示信息。应该观察到，在n_e处标识的像素具有重叠于它的四个块DCT，一个块来自于一次变换。在这四个块中，前两个与该图中的“边缘”(以阴影示出的)重叠，而后两个与信号的平滑部分重叠。根据近似原理，期望与所述平滑区域的重叠块DCT将提供稀疏分解并且为n_e处的像素产生各自的优良的去噪声估计，而与所述边缘重叠的块DCT将不会在n_e处产生优良的去噪声估计。因此，不是在公式(4)中设定α_i(n)＝0.25，i＝1，...，4，更有益的是当合并各个估计时，将更大的权值给定到i＝3，4，而将更小的权值给定到i＝1，2。
在像素n_s情况下，考虑这样一个例子，其中硬阈值处理操作只保留在四个重叠块中的DCT系数的DC项。对于这种情况，当公式(4)形成图1(b)中所示的等值滤波器时，如图1(c)所示，通过α₁(n_s)＝α₄(n_s)＝0.5，α₂(n_s)＝α₃(n_s)＝0来给出最优化。
为了方便起见，假定了零平均值数量以及正交变换。其目的在于导出公式(5)中的最优权值，其使条件均方误差最小化，且给出指数集合V₁，...，V_i，...，V_M，
E [ | x ( n ) - x ^ ( n ) | 2 | V 1 , . . . , V i , . . . , V M ] - - - ( 10 ) ]]>
其中E[..]表示预期数值。主要假定是所利用的变换提供了稀疏分解，阈值处理是成功的，并且各个去噪声估计去除了主要的噪声，即，

其中w_i(N×1)是在E[xw_i^T]＝0时的第i个去噪声的估计中的剩余噪声，其中(...)^T表示变换。例如，使用硬阈值处理，w_i只包括指数集合V_i中的w的变换系数。从这种意义上讲，假定每个V_i识别变换H_i的非零系数，其中所述变换Hi提供稀疏分解。应该注意到
w_i＝H_i^TS_iH_iw                           (12)
因此H_i是正交的。
把注意力集中在第n个像素上，使用公式(5)和(11)，给出
x ^ ( n ) = Σ i = 1 M α i ( n ) ( x ( n ) + w i ( n ) ) - - - ( 13 ) ]]>
所述目的在于选择α_i(n)，以便使公式(10)最小化。此任务变成条件线性估计问题，其中x(n)是在使用具有估计权值αi(n)的观察量x(n)+w_i(n)来估计的。
让Γ(n)＝[α₁(n)...α_M(n)]^T，σ_x²(n)＝E[x²(n)]，以及z(n)＝[x(n)+w₁(n)...x(n)+w_M(n)]^T.公式(13)变成
x ^ ( n ) = z ( n ) T Γ ( n ) - - - ( 14 ) ]]>
使用公式(10)中的此形式并且采用相对于Γ(n)的分量的导数给出
σ x 2 ( n ) 1 · · · 1 = ( σ x 2 ( n ) 1 · · · 1 · · · · · · 1 · · · 1 + W ( n ) ) Γ ( n ) - - - ( 15 ) ]]>
其中W(n)_p，q＝E[w^T_pW_q|V₁，...，V_i.，...，V_M]，并且如所看到的那样，E[xw_i^T]＝0]。
让u_n(N×1)表示在第n个分量中是1，否则是0的单位向量。使用公式(12)以及下面的i.i.d.噪声假定，可以将矩阵元素W(n)(M×M)写为
W(n)_p，q＝E[w_p(n)w_q(n)|V₁，...，V_M]                (16)
= u n T H p T S p H p E [ ww T ] H q T S q H q u n - - - ( 17 ) ]]>
= σ w 2 u n T H p T S p H p H q T S q H q u n - - - ( 18 ) ]]>
= σ w 2 G ( n ) p , q - - - ( 19 ) ]]>
其中σ_w²是噪声离散而G(n)(M×M)是只取决于过完备变换组以及指数集合V_i矩阵，其。
然后，公式(15)归纳为
λ 1 · · · 1 = G ( n ) Γ ( n ) - - - ( 20 ) ]]>
其中λ是比例因子。在获得了σ_x²(n)＞＞σ_w²，∑_iα_i(n)＝1的假定条件下，确定λ并且去除统计参数σ_x²(n)，σ_w²等的明显相关性。然而应该注意的是，G(n)的形式取决于所述指数集合，并且存在对图像统计量的隐式依赖。
由于G(n)是半正定的，所以公式(20)可以在G(n)的正的特征值(eigenspace)内求解，以便每当G(n)的阶是非零时产生Γ(n)。对于零阶的情况来说，将Γ(n)假定为待设置为其标准值。
参见作为“全解”的公式(20)，由于它要求在每个像素处G(n)的结构和解，因此此解是复杂的。通过公式(16)看式G(n)，应该观察到：矩阵元素(p，q)表示在用第p和第q次变换去噪声之后(除以σ_w²)像素n处剩余的噪声的互相关。假定这些交叉项与其他量相比是可以忽略的，由此设定为零的G(n)的非对角线元素产生对角矩阵D(n)，其中

通过以下公式由D(n)替代G(n)而得到的公式(20)的解，其中所述公式为：
λ 1 · · · 1 = D ( n ) Γ ( n ) - - - ( 22 ) ]]>
将其称为“对角线解”。
当更为简单时，该解仍然要求记录每个像素处的变换基函数的实际值，因为：
D ( n ) p , q = u n T H p T S p H p u n - - - ( 23 ) ]]>
对于块变换来说，这是简单明了的，但是需要计算像经由迭代滤波器组获得的小波变换的实际基函数。假定所述变换基函数在他们的空间支集中具有恒定的值，甚至可以获得更简单的方程。考虑由第m排的H_p经由H_p(m，n)n＝1，...，N给出的第p次变换的第m个基函数。让c_p(m)确定H_p(m，...)中的非零项的数值。对于给出的m和n＝1，...，N，定义

通过在公式(22)中、依照以下公式来替换对角矩阵D(n)_p，p来获得“只有明显的”解，所述公式为：

应该观察到，对于块变换来说，对角线项是通过具有与第n个像素重叠的基函数的第p次变换产生的非零系数的数目(块中系数的总数减去硬阈值为零的系数的数目)来确定的。在给定像素处的第p次变换的权值将由此与通过具有与像素重叠的基函数变换产生的非零系数的数目的倒数成比例。
使用公式(5)和(9)，可以将最终去噪声估计构造为：
x ^ ( n ) = Σ i = 1 M α i ( n ) x ^ i ( n ) ]]>
= [ Σ i = 1 M α i ( n ) u n T H i T S i H i ] y - - - ( 26 ) ]]>
= L ( n ) T y ]]>
其中 L ( n ) = [ u T n ( Σ i = 1 M α i ( n ) H T i S i H i ) ] T ( N × 1 ) . ]]>L(n)可以被认为随等效时间变化的线性滤波器，其被应用于有噪声信号y以获得去噪声的输出。图2举例说明了用于在逐渐远离图像voronoi边缘的三个像素处的全解、对角线解、以及标准解的计算的等值滤波器，如图像voronoi的放大部分所示。(所述整个图像还在图3中示出，在图3中还有另一个测试图像，茶壶。)所述等值滤波器使用全部过完备8×8DCT，σ_w＝5来构造。图中的45°/135 °轴是图像的列/行维数。点(0，0)在各个像素的顶部，并且它表明由所述等值滤波器使用的乘以所述像素因子。所有解使用用于实现最优相应图像宽度峰信值噪比(PSNR)性能的阈值。
由于分段常数模式适于该图像，期望L(n)将处于黑色voronoi区域中的像素求平均以获得去噪声的结果。从图中可以看出，所述标准解在此区域中几乎不作空间平均值。滤波器的空间支集被限制在相应像素的局部邻域，并且即使当所述像素远离所述边缘时，它也不会略微变宽。另一方面，所述对角线解产生在黑色区域中更宽的滤波器，这产生更优的空间平均并且改善了边缘周围的去噪声性能。对于此例子来说，通过全解来产生在黑色voronoi区域中最宽的滤波器，其甚至对最接近边缘的像素1执行显著的空间平均。在不接近所述边缘的情况下，所有解都很好地工作，但是只有本发明中提出的解产生在校正区域中执行显著地宽平均的滤波器。
D.模拟结果
呈现了图3中所示的两个测试图像的去噪声结果。将所有技术显示在实现峰值PSNR的阈值。所利用的8×8DCT和3级、正交的、Daubechies D8小波全部是过完备的。用于全解(只有图4)、对角线解、只有明显的解以及标准解系统的PSNR-阈值曲线如图4-6中所示。图4是具有σ_w＝5的voronoi的8×8DCT结果；图5是具有σ_w＝10的茶壶的8×8DCT结果；以及图6是具有σ_w＝10的茶壶的正交的D8结果。图7(a)-(e)以及8(a)-(d)举例说明了图像的有噪声以及去噪声的部分，图7(a)-(e)示出了具有σ_w＝5的voronoi的8×8DCT结果，并且图8(a)-(d)示出了具有σ_w＝10的茶壶的8×8DCT结果。在图4中，能够看出：全解的PSNR在同其他解比较起来在最小的阈值处达到峰值。
在采用公式(11)的模型中，所述全解是最积极的，并且对建模故障还是最敏感的。使用硬阈值处理，在高阈值处会不可避免地发生建模故障，所述模型故障限制了全解的性能。人们期望最优定阈值技术以便改善最优化解的相对性能。对于小波来说，所获得的结果比标准系统(以标准图像Lena为基础，在标准系统之上的改进在σ_w＝10处大约为0.1分贝)多大约为0.2分贝。使用硬阈值处理，与所利用的小波组相关联的过完备变换在D(n)_p，p p＝1，...，M，中产生可比较的项，其限制增益。人们期望最优定阈值技术来改善性能。
E.算法
本发明的上述原理可以并入去噪声算法。参见图9的流程图，这种算法之一通过获得搀杂有噪声的信号y、在步骤901中开始。在步骤902中，例如将阈值T设置为噪声的多个标准偏差，或者可以使用另一种适当的统计计算方法来计算，或者设置为固定常数诸如10或者40。
在步骤903中，将过完备线性变换组应用于所述信号y。在步骤904中，对变换系数集执行诸如公式(6)中定义的定阈值(优选的是，硬阈值处理)操作，以便获得x的每个像素的估计所述信号没有噪声因子w。接下来，在步骤905中，估计每一像素处的各个估计并且导出所述估计的最优权值。在每一像素处的加权估计算术地合并(例如，求平均)以获得最终去噪声的信号(步骤906)。
F.实现以及应用
图10举例说明了示范性系统100，其可用来实现本发明的处理。如图10所示，所述系统包括中央处理单元(CPU)101，用于提供计算资源并且控制计算机。CPU101可以以微处理器等来实现，并且还可以包括图形处理器和/或用于数学计算的浮点协处理器。系统100还包括系统存储器102，其可以是随机存取存储器(RAM)和只读存储器(ROM)形式。所述系统存储器可在其执行期间用来存储去噪声的程序和待处理的数据和中间结果。
如图10所示，还提供了多个控制器和外围设备。输入控制器103表示到不同输入装置104的接口，所述输入装置104诸如键盘、鼠标或者铁笔。还有控制器105，用于与使包括待依照本发明处理的图像的文档数字化的扫描仪106或者等效装置进行通信。存储控制器107与一个或多个存储装置108连接，每个所述存储装置均包括可用来记录用于操作包括实现本发明不同方面的程序的实施例的系统、设备和应用程序的指令程序的诸如磁带或者盘的存储介质，或者光学介质。显示控制器109提供了到显示装置111的接口，该显示装置可以是任何已知类型的显示器。还提供了打印机控制器112，以便与打印机113进行通信，用来打印包括依照本发明处理的图像的文档。通信控制器114与一个或多个通信装置115连接，所述通信装置能够使系统100经由任何各种网络或者任何适当的电磁载波信号诸如红外信号与远程设备连接，所述各种网络包括互联网、局域网(LAN)、广域网(WAN)。
在举例说明的系统中，所有主要系统部件与总线116连接，其可以表示一个以上的物理总线。然而，不同系统部件可以或者不可以彼此物理接近。例如，可以将输入数据和/或输出数据远程地从一个物理位置发送到另一个物理位置。此外，也可以远程(例如，服务器)经由网络来访问实现本发明不同方面的程序。这种数据和/或程序可以经由任何各种机器可读介质来传送，所述机器可读介质包括磁带或者盘或者光盘，网络信号，或者任何其他适当的电磁载波信号，包括红外信号。
虽然可以依照软件、硬件实现方式来方便地实现本发明，但是还能够依照组合的硬件/软件实现方式来实现。例如可以使用ASIC、数字信号处理电路等来实现硬件实现方式。因此，权利要求书语言“设备可读介质”不仅包括承载软件的介质，而且还包括硬连接到其上、具有执行所要处理的指令的硬件，以及硬件/软件组合。同样地，权利要求语言“指令程序”包括软件与嵌入硬件的指令两者。此外，在设备权利要求中提及的部件包括任何装置，或者能够执行如权利要求所述的操作的装置的组合。这种装置可以包括基于指令的处理器(例如，CPU)、ASIC、数字处理电路、或者它们的组合。使用这些想到的可选实现方式，应该理解的是，附图和所附说明提供了本领域普通技术人员往往需要编写程序代码(即软件)或者需要制造电路(即，硬件)以执行所要求的处理的功能信息。
如上所述，本发明提供了用于使用定阈值并结合提供稀疏分解的线性变换从数字信号中去除噪声的基于软件或者硬件的算法/技术。本发明的算法具有广泛应用，并且总的来说可用来从任何数字信号中去除噪声，所述数字信号包括视频、静像、音频(语音、音乐等)信号。依照一些改进方案，本发明的算法还可以用于预测任何类型信号中丢失的数据区域，包括由网络传输引起的纠错、损坏图像的恢复、划痕消除等等。在本申请的算法中，将所述定阈值操作应用于特定线性变换的每个系数。在下面简短描述的数据恢复算法中，将定阈值应用于所选择的系数。
相对于预测丢失的数据区域而论，本发明的算法可以并入在上述相关申请中提及的更多的特殊去噪声算法。这种申请之一的算法重述地恢复这些层中的丢失像素。当以初始值填充所述层时，所述算法选择阈值并且估计在所述层之上的多个过完备变换。选择硬阈值处理的变换系数并且反变换以恢复一层的像素，同时保持其他层中的像素不变。对于给出的L层，重复此操作L次，以恢复所有层。此后，算法将阈值减小特定的量，并且再次从第一层开始继续进行用于层恢复的相同计算。当所述阈值达到预定的较低级别时终止算法。
其他相关申请的算法，也是发明者意识到大多数恢复性能一般来自初始重复的理论的结果。因此，虽然也实现了其大部分的益处，但此相关申请的算法提供了上述相关申请算法的最快的一个。在此相关申请的算法中，使用初始定阈值判定来固定变换系数集，其中，将其阈值化为0。然而，不以每个迭代再计算此集合。相反，由于现在将迭代解减少为可以被直接求解的线性方程系统，即，在单个步骤中恢复每个层而不需要迭代，所以对于每个层来说，此集合保持定值，由此在计算过程中产生明显的节约。与上述相关申请的算法相比较，此相关申请的算法通过经由相应公式直接为每层中的像素求解而获得了明显的简捷。在其最简形式中，此相关申请的算法使用单个阈值来彻底地恢复层像素，即，只有当待恢复非常详细的信息时才需要减小阈值和进一步的迭代。
虽然已经结合多个特殊的实施例描述了本发明，但是按照上述说明，进一步的代替、改进、变化以及应用对于本领域技术人员来说是显而易见的。由此，在此描述的本发明是用来包含所有这些替代、改进、变化以及应用，这些内容都落入所附利要求的精神和范围内。