公私合营项目帕累托最优收益分配方法.pdf

本发明公开了一种基于改进夏普利(Shapely)值法的公私合营(PPP)项目帕累托最优收益分配方法，包括以下步骤：步骤1、建立公私合营项目总净收益的影响因素模型；步骤2、建立公私合营项目博弈模型，并比较纳什均衡状态和帕累托状态下的收益分配值；步骤3、建立基于改进夏普利(Shapely)值法的帕累托最优收益分配模型；本发明克服了传统夏普利(Shapely)值法在合作收益分配中公私双方单独实施项目的收益难以估计和各修正因素权重确定存在主观性的问题，得到了帕累托最优收益分配方法，为公私合营(PPP)项目合作的利益协调提供了定量的依据，保证了公私合营(PPP)项目合作过程的顺利进行。

1.基于改进夏普利(Shapely)值法的公私合营(PPP)项目帕累托最优收益分配方法，包
括以下步骤：步骤1、建立公私合营项目总净收益的影响因素模型；步骤2、建立公私合营项
目博弈模型，并比较纳什均衡状态和帕累托状态下的收益分配值；步骤3、建立基于改进
Shapely值法的帕累托最优收益分配模型。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于所述的步骤1中建立公私合营项目收益影响
因素包括贡献度(可以用投入比重和风险分摊系数来表示)、努力水平(或称为项目参与
度)；其中，公私双方的努力水平分别为x1和x2，公私双方对公私合营(PPP)项目的贡献系数
分别为和β；且经理论计算得到公共部门单独实施项目的总净收益为私人
部门单独实施项目总净收益为
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于所述的步骤2中建立了公私合营项目在纳什
均衡状态下的线性收益分配博弈模型；且公私双方总净收益和公私双方帕累托最优努力水
平分别为：
4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于所述的步骤3中建立的改进
Shapely值法的帕累托最优收益分配模型，公共部门和私人部门的总净收益分别为：

公私合营项目帕累托最优收益分配方法

技术领域

本发明涉及一种公私合营(PPP)项目博弈收益分配方法，尤其是一种基于改进夏
普利(Shapely)值法的帕累托最优收益分配方法。

背景技术

公私合营模式(Public Private Partnership，PPP)，是公共部门和私人部门在项
目合作的基础上形成的一种融资模式，因可以有效缓解政府财政压力和引进先进技术在我
国应用广泛。私营资本的目的是通过参与公私合营(PPP)项目获得期望的回报，而政府则希
望通过公私合营(PPP)项目的运营获得一定的收益，以加速推动其它公共设施的建设。由于
公私双方的利益诉求不同，确定科学合理的收益分配方案是公私合营(PPP)模式推广应用
的一个瓶颈。

公私合营(PPP)项目中矛盾最为突出的问题便是收益分配的不公平，只有建立互
利共赢的关系，公私双方的合作才能开展下去。目前，公私合营(PPP)项目各种收益分配方
法的优缺点如表1所示。

表1 收益分配方法对比分析

夏普利(Shapely)值法是Shapley L.S.在1953年提出的用于解决多人合作对策问
题的一种经典方法。但传统Shapely值法在合作收益分配存在以下问题：公私双方单独实施
项目的收益难以估计，各修正因素权重确定存在主观性。

发明内容

本发明提出了一种改进Shapely值法的帕累托最优收益分配方法，克服了传统
Shapely值法在合作收益分配中公私双方单独实施项目的收益难以估计和各修正因素权重
确定存在主观性的问题，改进后Shapely值法收益分配模型，达到了帕累托最优状态，这为
PPP项目合作的利益协调提供了定量的依据，保证了PPP项目合作过程的顺利进行，提高了
PPP模式的使用率和成功率。

本发明在充分考虑括投入比重、风险分摊系数、努力水平(或称为项目参与度)等
因素的情况下，建立了帕累托最优收益分配模型，包括以下步骤：

步骤1、建立公私合营项目收益影响因素模型；

步骤2、建立公私合营项目博弈模型模型，并比较纳什均衡状态和帕累托状态下的
收益分配值；

步骤3、建立基于改进Shapely值法的帕累托最优收益分配模型；

进一步的，步骤1中公私合营项目收益影响因素模型如下：

公私双方的努力水平分别为x1和x2，公私双方对PPP项目的贡献系数分别为和β，
贡献系数由投资比例和风险分摊系数共同决定，并有如下关系：

α＝ωI1+(1-ω)F1 (1)

β＝ωI2+(1-ω)F2 (2)

其中，Ii(i＝1，2)为公私双方的投资比例，I1+I2＝1；Fi(i＝1，2)为公私双方的风
险分担系数，F1+F2＝1；ω为投资比例和风险分摊系数的权重，由式(1)和式(2)可知公私双
方的贡献系数关系为α+β＝1。

公私双方的成本由固定成本和创新性成本这两个部分组成。固定成本是与努力程
度无关的一个常数，而创新性成本是努力程度的递增函数，且速度递增。为了研究的方便，
也不是一般性，进一步假设创新性成本Ci(i＝1，2)和项目总收益R是努力水平的二次函数，
则在PPP项目中，公共部门创新性成本投入C1、私营部门创新性成本投入C2、项目总收益R和
项目总净收益Y分别为：

$C_1=C_a+\frac{1}{2}{\left(r_1{x}_1\right)}^2---\left(3\right)$

$C_2=C_b+\frac{1}{2}{\left(r_2{x}_2\right)}^2---\left(4\right)$

$R=\frac{1}{2}{({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)}^2+({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)+R_0---\left(5\right)$

$Y=R-C_1-C_2=\[\frac{1}{2}{({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)}^2+({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)+R_0\]-\[C_a+\frac{1}{2}{\left(r_1{x}_1\right)}^2\]-\[C_b+\frac{1}{2}{\left(r_2{x}_2\right)}^2\]---\left(6\right)$

其中，上式中的R0，Ca，Cb均为常数，对于函数的各个变量关系都没有影响，系数是
出于计算方便的目的，r1和r2为公私双方的为创新性成本系数。

由于努力水平x1和x2为零时总净总收益也为零，即R0-Ca-Cb＝0，

所以有项目总净收益：

进一步的，步骤21中建立公私合营项目博弈模型模型，并比较纳什均衡状态和帕
累托状态下的收益分配值的具体过程如下：

根据产出分享型的收益分配模式，在PPP项目中，假设私营部门从总收益中获得的
分配比例为k(0＜k＜1)，公私双方的净收益为Y1和Y2，则有：

$Y_1=(1-k)R-C_1=(1-k)\[\frac{1}{2}{({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)}^2+({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)+R_0\]-\[C_a+\frac{1}{2}{\left(r_1{x}_1\right)}^2\]---\left(8\right)$

$y_2=kR-C_2=k\[\frac{1}{2}{({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)}^2+({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)+R_0\]-\[C_b+\frac{1}{2}{\left(r_2{x}_2\right)}^2\]---\left(9\right)$

由于努力水平x1和x2为零时，各自的净总收益Y1和Y2也为零，有：

$Y_1=(-k)R-C_1=(1-k)\[\frac{1}{2}{({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)}^2+({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)\]-\frac{1}{2}{\left(r_1{x}_1\right)}^2---\left(10\right)$

$Y_2=kR-C_2=k\[\frac{1}{2}{({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)}^2+({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)\]-\frac{1}{2}{\left(r_2{x}_2\right)}^2---\left(11\right)$

从博弈论原理出发，把政府和私营资本方的博弈分为两阶段；第一阶段中，政府和
私营资本根据各种因素共同确定一个双方都认可的收益分配比例。第二阶段中，公私双方
会根据自身的利益需要，在确定的收益分配比例下，形成各自的收益函数，并做出各自最优
努力水平使得自身利益最大化。两阶段博弈具体步骤如下：

第一阶段：公私双方各自利益最大化

假设已知均衡状态下的收益分配比例为k，求解最优努力水平x1和x2。由于最优策
略的目标是让各自利益的最大化，因此可以通过对双方的净收益函数Y1和Y2求偏导，并令
它们的偏导数分别为零来求解最优努力水平x1和x2。由式(10)和式(11)得到关于x1和x2的
方程组：

$\frac{\∂Y_1}{\∂x_1}=(1-k)({\mathrm{\α}}^2{x}_1+{\mathrm{\α\βx}}_2+\mathrm{\α})-r_1^2{x}_1=0---\left(12\right)$

$\frac{\∂Y_2}{\∂x_2}=k({\mathrm{\β}}^2{x}_2+{\mathrm{\α\βx}}_1+\mathrm{\β})-r_2^2{x}_2=0---\left(13\right)$

根据式(12)和式(13)可知，公共部门和私营部门的最优努力水平x1和x2分别为：

$x_1=\frac{(1-k){\mathrm{\αr}}_2^2}{r_1^2{r}_2^2-(1-k){\mathrm{\α}}^2{r}_2^2-{\mathrm{k\β}}^2{r}_1^2}---\left(14\right)$

$x_2=\frac{{\mathrm{k\βr}}_1^2}{r_1^2{r}_2^2-(1-k){\mathrm{\α}}^2{r}_2^2-{\mathrm{k\β}}^2{r}_1^2}---\left(15\right)$

式(14)和式(15)两式相除，得到x1和x2的关系：

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{(1-k)}{k}\frac{\mathrm{\α}}{\mathrm{\β}}\frac{r_2^2}{r_1^2}---\left(16\right)$

第二阶段：项目总净收益最大化

为了项目总净收益最大化，需对总净收益函数Y求关于k的导数，并令其等于零，便
可得到均衡状态下公私双方的收益分配比例。其中，总净收益函数Y是双方的努力水平x1和
x2的函数，公私双方的最优努力水平x1和x2又都是k的函数，有如下表达式：

$\frac{\∂Y}{\∂k}=\frac{\∂Y}{\∂x_1}\frac{\∂x_1}{\∂k}+\frac{\∂Y}{\∂x_2}\frac{\∂x_2}{\∂k}=0---\left(17\right)$

由式(7)、式(12)、式(13)和式(16)计算可求得和如下：

$\frac{\∂Y}{\∂x_1}=({\mathrm{\α}}^2{x}_1+{\mathrm{\α\βx}}_2+\mathrm{\α})-r_1^2{x}_1=\frac{k}{1-k}{r}_1^2{x}_1---\left(18\right)$

$\frac{\∂Y}{\∂x_2}={\mathrm{\β}}^2{x}_2+{\mathrm{\α\βx}}_1+\mathrm{\β}-r_2^2{x}_2=\frac{1-k}{k}{r}_2^2{x}_2=\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\α}}{r}_1^2{x}_1---\left(19\right)$

由式(14)和式15)计算可求得和如下

$\frac{\∂x_1}{\∂k}=\frac{{\mathrm{\αr}}_1^2{r}_2^2({\mathrm{\β}}^2-r_2^2)}{{\[r_1^2{r}_2^2-(1-k){\mathrm{\α}}^2{r}_2^2-{\mathrm{k\β}}^2{r}_1^2\]}^2}---\left(20\right)$

$\frac{\∂x_2}{\∂k}=\frac{{\mathrm{\βr}}_1^2{r}_2^2(r_1^2-{\mathrm{\α}}^2)}{{\[r_1^2{r}_2^2-(1-k){\mathrm{\α}}^2{r}_2^2-{\mathrm{k\β}}^2{r}_1^2\]}^2}---\left(21\right)$

将式(18)、式(19)、式(20)和式(21)代入式(17)中，可求出均衡状态下私营部门的
收益分配比例：

$k=\frac{{\mathrm{\β}}^2(r_1^2-{\mathrm{\α}}^2)}{{\mathrm{\α}}^2(r_2^2-{\mathrm{\β}}^2)+{\mathrm{\β}}^2(r_1^2-{\mathrm{\α}}^2)}---\left(21\right)$

均衡状态下努力水平：

${x_1}^J=\frac{{\mathrm{\β}}^3{r}_1^2}{(r_2^2-{\mathrm{\β}}^2)({\mathrm{\α}}^2{r}_2^2+{\mathrm{\β}}^2{r}_1^2)}---\left(22\right)$

${x_2}^J=\frac{{\mathrm{\α}}^3{r}_2^2}{(r_1^2-{\mathrm{\α}}^2)({\mathrm{\α}}^2{r}_2^2+{\mathrm{\β}}^2{r}_1^2)}---\left(23\right)$

以上分析了博弈中公私双方采取不合作行动策略，以个体利益为最大为目标时，
纳什均衡状态下各成员的最优努力水平和分配比例。如果公私双方能够采取合作的行动策
略，以集体利益最大为目标，有如下结果：

$\frac{\∂Y}{\∂x_1}=({\mathrm{\α}}^2{x}_1+{\mathrm{\α\βx}}_2+\mathrm{\α})-r_1^2{x}_1=0---\left(24\right)$

$\frac{\∂Y}{\∂x_2}=({\mathrm{\β}}^2{x}_2+{\mathrm{\α\βx}}_1+\mathrm{\β})-r_2^2{x}_2=0---\left(25\right)$

得到帕累托均衡下各成员的最优努力水平：

${x_1}^P=\frac{{\mathrm{\αr}}_2^2}{r_1^2{r}_2^2-{\mathrm{\α}}^2{r}_2^2-{\mathrm{\β}}^2{r}_1^2}---\left(26\right)$

${x_2}^P=\frac{{\mathrm{\βr}}_1^2}{r_1^2{r}_2^2-{\mathrm{\α}}^2{r}_2^2-{\mathrm{\β}}^2{r}_1^2}---\left(27\right)$

对比式(22)和式(26)、式(23)和式(27)可知，公私双方纳什均衡下的努力水平小
于帕累托均衡下的努力水平，纳什均衡下的总净收益小于帕累托均衡下的总净收益，公私
双方不同合作态度的比较结果如式(28)、式(29)和表2所示。

x1P＞x1J，x2P＞x2J， (28)

Y(x1P，x2P)＞Y(x1J，x2J) (29)

产生这种结果的原因在于，公私双方在博弈过程中由于缺乏激励函数和利益协调
机制，各成员都是以自身利益为目标，从而损害到整体利益。因此，要想达到帕累托最优，不
仅需要收益分配系数，还需要设计合理的激励机制；其中，公私双方不同合作态度结果比较
如表2所示。

表2 公私双方不同合作态度结果比较

进一步的，步骤3中建立基于改进Shapely值法的帕累托最优收益分配模型具体过
程如下：

Shapley值法是Shapley L.S.提出的用于解决多人合作对策问题的一种经典方
法。在先各因素得到后，得到公私双方单独实施项目的最大收益，然后结合Shapely值法，得
到时的收益分配方案，并论证其达到帕累托均衡。

当政府部门单独实施项目时，私营部门努力水平x2＝0，代入根据式(7)，得到

${Y_1}^D\left(x_1\right)=\frac{1}{2}{\left({\mathrm{\αx}}_1\right)}^2+\left({\mathrm{\αx}}_1\right)-\frac{1}{2}{\left(r_1{x}_1\right)}^2=\frac{1}{2}({\mathrm{\α}}^2-{r_1}^2){x_1}^2+{\mathrm{\αx}}_1---\left(30\right)$

Y1D(x1)为开口向下的抛物线，当时，Y1D(x1)取最大值为

即认为是政府部门单独实施项目总净收益，同理可得，私人部门单独实施项目总
净收益为

根据Shapely值理论，公私双方收益结果如下：

$Y_g=\frac{0!+1!}{2!}\×{Y_1}^D+\frac{1!+0!}{2!}\×\[Y(x_1,x_2)-{Y_2}^D\]=\frac{1}{2}\×{Y_1}^D+\frac{1}{2}\×\[Y(x_1,x_2)-{Y_2}^D\]---\left(31\right)$

$Y_s=\frac{0!+1!}{2!}\×{Y_2}^D+\frac{1!+0!}{2!}\×\[Y(x_1,x_2)-{Y_1}^D\]=\frac{1}{2}\×{Y_2}^D+\frac{1}{2}\×\[Y(x_1,x_2)-{Y_1}^D\]---\left(32\right)$

其中，Y(x1，x2)为公私双方的总净收益，Y1D和Y2D为公私双方单独实施项目的总净
收益，由于Y1D和Y2D均为常数；

当公私双方从各自利益出发时有如下结果：

$\frac{\∂Y_g}{\∂x_1}=\frac{\∂Y(x_1,x_2)}{\∂x_1}=0---\left(33\right)$

$\frac{\∂Y_s}{\∂x_2}=\frac{\∂Y(x_1,x_2)}{\∂x_2}=0---\left(34\right)$

由式(33)和(34)可知，公私双方从各自利益出发和从整体利益出发时，满足的条
件是一致的，即公共部门总净收益Yg对x1求导和总净收益Y对x1相等。因此，引入Shapely值
法作为激励函数后，能得到帕累托状态下的收益分配方案，即公私双方的各自收益如下：

$Y_g=\frac{1}{2}\×{Y_1}^D+\frac{1}{2}\×\[Y(x_1^P,x_2^P)-{Y_2}^D\]---\left(35\right)$

$Y_s=\frac{1}{2}\×{Y_2}^D+\frac{1}{2}\×\[Y(x_1^P,x_2^P)-{Y_1}^D\]---\left(36\right)$

以上从公私双方利益的视角出发，综合考虑了投资比例、风险分摊、努力水平等因
素后，第一步建立了线性-产出分享式收益分配模型，运用两阶段博弈模型得到纳什均衡状
态下的努力水平和收益分配比例；第二步建立了非线性-产出分享式收益分配模型，如果式
(35)和(36)所示，引入Shapely值作为激励函数得到帕累托状态下的最优努力水平和收益
分配方案，实现了公私双方互利共赢的目标。

附图说明

图1为本发明的帕累托最优收益分配方法流程图。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本申请中的技术方案，基于改进Shapely值
法的PPP项目收益分配研究，下面将结合本申请实施例中的附图和案例分析，对本申请实施
例中的技术方案进行清楚、完整地描述。

案例分析：

以某地方政府和私营投资集团合作，共同运营某PPP项目。且PPP模式项目的实际
运营符合前面的假说，政府和私营部门的创新性成本和项目总收益均为努力水平的二次函
数。通过谈判和经专家审核，投资比例和风险分担系数中投资比例权重ω＝0.6，其余算例
数据如表3所示。

表3 算例数据

根据式(1)和(2)，政府部门和私营部门贡献系数分别为：

α＝ωI1+(1-ω)F1＝0.6×0.6+0.4×0.55＝0.58；

β＝ωI2+(1-ω)F2＝0.6×0.4+0.4×0.45＝0.42；

根据式(21)、(22)、(23)和式(7)，求得纳什均衡状态下私人部门收益分配比例、公
私双方的努力水平、总净收益为：

$k=\frac{{\mathrm{\β}}^2(r_1^2-{\mathrm{\α}}^2)}{{\mathrm{\α}}^2(r_2^2-{\mathrm{\β}}^2)+{\mathrm{\β}}^2(r_1^2-{\mathrm{\α}}^2)}=0.543;$

${x_1}^J=\frac{{\mathrm{\β}}^3{r}_1^2}{(r_2^2-{\mathrm{\β}}^2)({\mathrm{\α}}^2{r}_2^2+{\mathrm{\β}}^2{r}_1^2)}=594\×{10}^{-4};$

${x_2}^J=\frac{{\mathrm{\α}}^3{r}_2^2}{(r_1^2-{\mathrm{\α}}^2)({\mathrm{\α}}^2{r}_2^2+{\mathrm{\β}}^2{r}_1^2)}=307\×{10}^{-4};$

$Y^J=\frac{1}{2}{({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)}^2+({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)-\frac{1}{2}{\left(r_1{x}_1\right)}^2-\frac{1}{2}{\left(r_2{x}_2\right)}^2=307.04\×{10}^{-4};$

根据式(26)、(27)和(7)，求得帕累托均衡下公私双方的努力水平和总净收益为：

${x_1}^P=\frac{{\mathrm{\αr}}_2^2}{r_1^2{r}_2^2-{\mathrm{\α}}^2{r}_2^2-{\mathrm{\β}}^2{r}_1^2}=701.6\×{10}^{-4};$

${x_2}^P=\frac{{\mathrm{\βr}}_1^2}{r_1^2{r}_2^2-{\mathrm{\α}}^2{r}_2^2-{\mathrm{\β}}^2{r}_1^2}=1143.1\×{10}^{-4};$

$Y^P=\frac{1}{2}{({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)}^2+({\mathrm{\αx}}_1+{\mathrm{\βx}}_2)-\frac{1}{2}{\left(r_1{x}_1\right)}^2-\frac{1}{2}{\left(r_2{x}_2\right)}^2=443.5\×{10}^{-4};$

比较上述结果可知x1P＞x1J，x2P＞x2J，Y(x1P，x2P)＞Y(x1J，x2J)，即公私双方帕累托
均衡下的总净收益大于纳什均衡下的总净收益，所以须引入Shapely值法作为激励函数，公
私双方单独实施项目的净收益分别为：

${Y_1}^D=\frac{{\mathrm{\α}}^2}{2(r_1^2-{\mathrm{\α}}^2)}=\frac{{0.58}^2}{2\×(3^2-{0.58}^2)}=194.1\×{10}^{-4};$

${Y_2}^D=\frac{{\mathrm{\β}}^2}{2(r_2^2-{\mathrm{\β}}^2)}=\frac{{0.42}^2}{2\×(2^2-{0.42}^2)}=230.7\×{10}^{-4};$

根据入和式(35)和(36)，得到公私双方的收益分配方案：

${Y_g}^P=\frac{1}{2}\×{Y_1}^P+\frac{1}{2}\×[Y^P-{Y_2}^D]=203.45\×{10}^{-4};$

${Y_s}^P=\frac{1}{2}\×{Y_2}^P+\frac{1}{2}\×[Y^P-{Y_1}^D]=240.05\×{10}^{-4};$

比较表4中结果可知，运用改进Shapely值法-非线性收益分配模型后，总收益增
加，且公私双方各自的净收益也都增加。

表4 改进Shapely值法收益分配模型 单位：10-4

显然所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本
申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实
施例，都应当属于本申请保护的范围。