基于点对邻域正交化算法的对称特征化石三维模型局部变形恢复方法.pdf

一种基于数字化化石对称问题的解析解处理方法，属于计算机视觉数据处理领域。本发明包括以下步骤：1）先在变形物体表面找到相应的点对；2）计算每个点对的加权质心；3）对于每个点对，估计其邻域的非正交坐标系；4）计算最小拉伸去正交每个局部框架；5）拉伸后，旋转所有的邻域去使对称平面平行于y轴；6）在输出模型的点对中将局部拉伸和旋转融合进整体的解决方案。本发明解决了局部平面的双侧对称问题，对于数字化化石及文物的变形研究有广泛的应用价值。与此同时，在计算机上修正对称变形，大大增加了数字化化石对称的准确性，节省了人力物力。

1.一种基于点对邻域正交化算法的对称特征化石三维模型局部变形恢复方法，其特征
在于，所述恢复方法包括下述步骤:
1)先在变形物体表面找到相应的点对；
2)计算每个点对的加权质心；
3)对于每个点对，估计其邻域的非正交坐标系；
4)计算最小拉伸去正交每个局部框架；
5)拉伸后，旋转所有的邻域去使对称平面平行于y轴；
6)在输出模型的点对中将局部拉伸和旋转融合进整体的解决方案。
2.根据权利要求1所述的对称特征化石三维模型局部变形恢复方法，其特征是，所述的
步骤1、2、3、4中的计算每个局部邻域的变换使其近似双侧对称，包括如下过程：
对于压缩模型
为了近似局部对称，将一对仿射变换(Mpi,Mqi)应用于点对pi和qi的邻域：先计算矩阵
与其结果经过压缩或弯曲后作为输入；在每个局部的邻域中，估算最小的拉伸使邻
域局部对称；
第一步，估计目标平面H*，通过变形将其能转换成对称平面，具体过程如下：高斯权重
θi,j确定每个pi，qi周围的加权邻域Pi，Qi，为了缩短符号接下来P,Q＝Pi,Qi；将目标平面H*与
(P,Q)相匹配，如果其协差方矩阵的主要元素是单位向量的话，那么这个点集具有各向同性
的性质；P'UQ'是双侧对称点集，但是仿射变换A，A不成比例的缩放，那么(P,Q)＝(AP',AQ')
就不再是双侧对称，而具有各向同性的仿射变换T，TPUTQ就是双侧对称；所以用矩阵T组成
最好的对称面H；用H*＝T-1H来匹配对称的目标平面(P,Q)；从PUQ中的加权协方差矩阵计算
T，t为PUQ的质量重心，协方差矩阵为：
$C=\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\θ}}_{i,j}\left(\right(p_j-t){\left(p_j-t\right)}^T+(q_j-t\left){\left(q_j-t\right)}^T\right)---\left(1\right)$
规定T＝C-1/2，这里C-1/2是一个矩阵，C-1/2C-1/2＝C-1，这里的矩阵通过计算C的SVD分解得
到；然后找到双侧对称点集(TP,TQ)的优化的对称平面H及其法线n，最后通过H*＝T-1H,n*＝
T-1n将H与n变换回(P,Q)空间；
第二步，计算最小拉伸使邻域通过H*对称，具体过程如下：找到了H*之后，拉伸其坐标
使n*垂直于H*，使用一个最小拉伸系数γ，最小对称化拉伸的方位向量v位于一个平面上，
其横跨n*以及n*在H*的投影m；
v＝(n*-m)/2，γ＝tan(β/2) (2)
这里的β是向量n*与-m的夹角；
用Si表示拉伸矩阵，在全局阶段设置应用同样的方法将Si到两边去
得到合适的双侧对称，使ni＝Sin*，其为拉伸后的对称平面的法线；
对于关节型模型
关节型模型有关节，因此弯曲或旋转，所以当其模型对称部分的邻域随意换了一
个姿势时，模型就不会双侧对称了，对于每个邻域(Pi,Qi)，找到最小旋转角Zi，用
使P和Q双侧对称；
第一步，缩小旋转R与反射U的误差，具体过程如下：首先移动两个点集Pi，Qi使他们的矩
心都落在原点上，注意旋转与反射在以原点为中心的点集中是可交换的；用下面公式缩小
旋转R与反射U的误差：
$\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2---\left(3\right)$
A表示对跖映射，因为A(p)＝-p，
$\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2=\underset{i}{\Σ}||p_i-\left(AU\right)RA\left(q_i\right)|{|}^2---\left(4\right)$
因为旋转V＝(AU)R，
那么得到：
$\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2=\underset{i}{\Σ}||p_i-V\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2---\left(5\right)$
第二步，缩小旋转V来优化点集Pi与Aqi的校准误差，具体过程如下：旋转V虽然是唯一
的，但是优化双侧对称D并不是唯一的；假设D绕任意轴旋转180°，使U＝AD，以及R＝DV，那
么：
$\begin{array}{c}\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\left|\right|p_i-V\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2\\ =\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\left|\right|p_i-AADDV\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2\\ =\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\left|\right|p_i-AUR\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2\\ =\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2\end{array}---\left(6\right)$
也就是说，对于任意D，都计算旋转R与反射U的来缩小对称误差，V为a轴的旋转角，其范
围是0≤θ≤π，所以D是关于a轴的旋转，最小的旋转R＝DV绕着a轴旋转γ＝θ-π，Zi绕a轴旋
转了γ/2，设置ni为U的映射平面的法线。
3.根据权利要求1所述的数字化化石对称问题的解析解处理方法，其特征是，所述的步
骤5、6中的将局部变换与局部对称融合为组合变形，然后在最小二乘意义上保持形状，包括
如下过程：
对于全局对称
全局对称的输入是一组三元的集，每一个都编码了点对周围两表面邻域的双侧对称；
((pi,qi),ni,(Mpi,Mqi))是元组，其包含了点对(pi,qi)，局部平面镜像对称的法线ni；为了近
似局部对称，将一对仿射变换(Mpi,Mqi)应用于pi和qi的邻域；由ni构成的向量域必须指向x
轴的负极，对于每个ni先计算旋转矩阵Qi，使ni指向负极；
需要计算点对新的位置ri和si，其相对于y-z平面对称，同时使连接相邻点的向量尽可
能与变形输入的向量一致；他们的相似度表达如下：
$\begin{array}{c}\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\φ}}_{i,j}{\[\left(r_i-r_j\right)-Q_i{M}_{pi}\left(p_i-p_i\right)\]}^2\\ +{\mathrm{\φ}}_{i,j}{\[\left(s_i-s_j\right)-Q_i{M}_{qi}\left(q_i-q_j\right)\]}^2\\ +{\mathrm{\α\φ}}_{i,j}{\[\left(r_i-r_j\right)-Q_i\left(p_i-q_j\right)\]}^2\\ +{\mathrm{\α\φ}}_{i,j}{\[\left(s_i-s_j\right)-Q_i\left(q_i-p_j\right)\]}^2\end{array}---\left(7\right)$
其中：
ri,x＝-si,x,ri,y＝si,y,ri,z＝si,z
这里的φi,j是连接点i和j的高斯权重：
${\mathrm{\φ}}_{i,j}=min\left\{e^{\frac{-d^2(p_i-p_j)}{h^2}},e^{\frac{-d^2(q_i-q_j)}{h^2}}\right\}---\left(8\right)$
高斯权重确定了基于欧几里德距离的pi与qi的邻域；根据经验为每个模型选取了不同
的宽度h，大概是标记与邻近点距离的5倍，常数α通常取0.01；这个函数的法线方程组形成3
个关于x，y，z的线性方程；根据等式约束用ri替代si，解这些方程会得到点ri；最后，用博板
样条曲线移动网络的其他部分到由ri位置组成的对称位置。

基于点对邻域正交化算法的对称特征化石三维模型局部变形恢复方法

技术领域

本发明涉及一种非完备模型局部变形恢复方法，特别涉及基于点对邻域正交化算
法的对称特征化石三维模型局部变形恢复方法，属于计算机视觉数据处理领域。

背景技术

目前大部分生物进化过程的研究源自于化石，对灭绝动物骨头的研究，可以了解
它们是怎么运动或者联系彼此等等。但是骨头的形状在石化的过程中因为地质作用而变
形，对于头骨之类的化石，假设其原来的形状是对称的，用此假设来扭转变形，使化石对称。

Michael Kazhdan等人在2004年提出一个新的反射对称描述符，可以通过模型的
质量中心来计算任意3D模型所有平面的反射对称。其好处是可以定义一个典型参数和描述
3D形状的全局属性，他们用傅立叶方法去获得任意3D形状的素格，实验表明反射对称描述
符与其他常见描述符的连接上表现良好。

Dan Raviv等人在2010年提出非刚性形态对称的一般化以及一个数字化框架。可
以处理近似对称的检测和分类问题，以及旋转对称和局部对称。他们提出的数字化框架可
以用于检测医学图像的变形。

M.Bokeloh等人在2009年提出一个新的对称性检测算法，其主要思想是寻找3D表
面上的特征线去确定其相似的部分，相比较以前的算法，避免了转换空间混乱的问题，因此
在对称处获得了良好的识别性能。

Alexander M.Bronstein等人在2010年介绍了仿射不变几何扩散，可以用来分析
经过挤压和剪切变形后的表面。仿射不变度量可以从提取的局部或者全局的几何结构中建
立拉普拉斯几何不变量。这种新的几何结构可以使计算工具同时处理两个非刚性大致等距
变形的表面。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于点对邻域正交化算法的对称特征化石三维模型局
部变形恢复方法。

本发明通过以下技术方案来实现，一种基于点对邻域正交化算法的对称特征化石
三维模型局部变形恢复方法，包括以下步骤:

1)先在变形物体表面找到相应的点对；

2)计算每个点对的加权质心；

3)对于每个点对，估计其局部邻域的非正交坐标系；

4)计算最小拉伸去正交每个局部框架；

5)拉伸后，旋转所有的局部框架使估计的对称平面平行于y轴；

6)在输出模型的点对中将局部拉伸和旋转融入整体的解决方案。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：本发明解决了局部平面的双侧对称
问题，对于数字化化石及文物的变形研究有广泛的应用价值。与此同时，在计算机上修正对
称变形，大大增加了数字化化石对称的准确性，节省了人力物力。

附图说明

图1为点对邻域正交化算法流程图。

具体实施方式

仿射变形模型的局部对称

为了近似局部对称，将一对仿射变换(Mpi,Mqi)应用于点对pi和qi的邻域。先计算矩
阵与其结果(经过压缩或弯曲后)作为输入。在每个局部的邻域中，估算最小的拉伸
使邻域局部对称，具体方法是：第一步，估计目标平面H*，可以通过变形将其能转换成对称
平面。第二步，计算最小拉伸使邻域通过H*对称。

第一步，估计目标平面H*，可以通过变形将其能转换成对称平面。具体过程如下：
高斯权重θi,j确定每个pi，qi周围的加权邻域Pi，Qi，为了缩短符号接下来P,Q＝Pi,Qi。将目标
平面H*与(P,Q)相匹配，如果其协差方矩阵的主要元素是单位向量的话，那么这个点集具有
各向同性的性质。P'∪Q'是双侧对称点集，但是仿射变换A(A不成比例的缩放)，那么(P,Q)
＝(AP',AQ')就不再是双侧对称，而具有各向同性的仿射变换T，比如TPUTQ就是双侧对称。
所以用矩阵T组成最好的对称面H。可以用H*＝T-1H来匹配对称的目标平面(P,Q)。从PUQ中的
加权协方差矩阵计算T，t为P∪Q的质量重心，协方差矩阵为：

$C=\underset{j}{\Σ}{\mathrm{\θ}}_{i,j}\left(\right(p_j-t){\left(p_j-t\right)}^T+(q_j-t\left){\left(q_j-t\right)}^T\right)---\left(1\right)$

规定T＝C-1/2，这里C-1/2是一个矩阵，比如C-1/2C-1/2＝C-1。这里的矩阵可以通过计算
C的SVD分解得到。然后找到双侧对称点集(TP,TQ)的优化的对称平面H及其法线n，最后通过
H*＝T-1H,n*＝T-1n将H与n变换回(P,Q)空间。

第二步，计算最小拉伸使邻域通过H*对称。具体过程如下：找到了H*之后，拉伸其
坐标使n*垂直于H*，使用一个最小拉伸系数γ，最小对称化拉伸的方位向量v位于一个平面
上，其横跨n*以及n*在H*的投影m。

v＝(n*-m)/2，γ＝tan(β/2) (2)

这里的β是向量n*与-m的夹角。

用Si表示拉伸矩阵，在全局阶段设置(Mpi,Mqi)＝(Si,Si)，应用同样的方法将Si到两
边去得到合适的双侧对称，使ni＝Sin*，其为拉伸后的对称平面的法线。

关节型模型的局部对称

关节型模型有关节，因此可以弯曲或旋转，所以当其模型对称部分的邻域随意换
了一个姿势时，模型就不会双侧对称了，对于每个邻域(Pi,Qi)，找到最小旋转角Zi，比如用
使P和Q双侧对称。

第一步，缩小旋转R与反射U的误差。具体过程如下：首先移动两个点集Pi，Qi使其矩
心都落在原点上，注意旋转与反射在以原点为中心的点集中是可交换的。用下面公式缩小
旋转R与反射U的误差：

$\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2---\left(3\right)$

A表示对跖映射，因为A(p)＝-p，

$\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2=\underset{i}{\Σ}||p_i-\left(AU\right)RA\left(q_i\right)|{|}^2---\left(4\right)$

因为旋转V＝(AU)R，

那么可以得到：

$\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2=\underset{i}{\Σ}||p_i-V\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2---\left(5\right)$

第二步，缩小旋转V来优化点集Pi与Aqi的校准误差。具体过程如下：旋转V虽然是唯
一的，但是优化双侧对称D并不是唯一的。假设D绕任意轴旋转180°，使U＝AD，以及R＝DV，那
么：

$\begin{array}{c}\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-V\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2\\ =\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-AADDV\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2\\ =\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-AUR\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2\\ =\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2\end{array}---\left(6\right)$

也就是说，对于任意D，都可以计算旋转R与反射U的来缩小对称误差，V为a轴的旋
转角，其范围是0≤θ≤π，所以D是关于a轴的旋转，最小的旋转R＝DV绕着a轴旋转γ＝θ-π，
Zi绕a轴旋转了γ/2，设置ni为U的映射平面的法线。

全局对称

全局对称的输入是一组三元的集，每一个都编码了点对周围两表面邻域的双侧对
称。((pi,qi),ni,(Mpi,Mqi))是元组，其包含了点对(pi,qi)，局部平面镜像对称的法线ni。为
了近似局部对称，将一对仿射变换(Mpi,Mqi)应用于pi和qi的邻域。由ni构成的向量域必须指
向x轴的负极，对于每个ni先计算旋转矩阵Qi，可以使ni指向负极。

需要计算点对新的位置ri和si，其相对于y-z平面对称，同时使连接相邻点的向量
尽可能与变形输入的向量一致。其相似度可以表达如下：

$\begin{array}{c}\underset{i}{\Σ}\underset{j}{\Σ}{\mathrm{\φ}}_{i,j}{\[(r_i-r_j)-Q_i{M}_{pi}(p_i-p_i)\]}^2\\ +{\mathrm{\φ}}_{i,j}{\[(s_i-s_j)-Q_i{M}_{qi}(q_i-q_j)\]}^2\\ +{\mathrm{\α\φ}}_{i,j}{\[(r_i-r_j)-Q_i(p_i-q_j)\]}^2\\ +{\mathrm{\α\φ}}_{i,j}{\[(s_i-s_j)-Q_i(q_i-p_j)\]}^2\end{array}---\left(7\right)$

其中：

ri,x＝-si,x,ri,y＝si,y,ri,z＝si,z

这里的φi,j是连接点i和j的高斯权重：

${\mathrm{\φ}}_{i,j}=min\{e^{\frac{-d^2(p_i-p_j)}{h^2}},e^{\frac{-d^2(q_i-q_j)}{h^2}}\}---\left(8\right)$

高斯权重确定了基于欧几里德距离的pi与qi的邻域。根据经验为每个模型选取了
不同的宽度h，大概是标记与邻近点距离的5倍，常数α通常取0.01。这个函数的法线方程组
形成3个关于x,y,z的线性方程。根据等式约束用ri替代si，解这些方程会得到点ri。最后，用
博板样条曲线移动网络的其他部分到由ri位置组成的对称位置。