一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法.pdf

摘要
申请专利号：	CN201310272796.1	申请日：	2013.06.30
公开号：	CN103345729A	公开日：	2013.10.09
当前法律状态：	驳回	有效性：	无权
法律详情：	发明专利申请公布后的驳回IPC(主分类):G06T 5/00申请公布日:20131009\|\|\|实质审查的生效IPC(主分类):G06T 5/00申请日:20130630\|\|\|公开
IPC分类号：	G06T5/00	主分类号：	G06T5/00
申请人：	浙江贝尔技术有限公司
发明人：	胡尧; 张德兵; 何晓飞; 洪燕昌; 刘奔; 蔡文涛
地址：	310012 浙江省杭州市西湖区西斗门路6号
优先权：
专利代理机构：	杭州赛科专利代理事务所 33230	代理人：	曹绍文
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内容摘要

一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，主要步骤如下：1、将原图片表示成矩阵形式，得到带有约束条件的优化问题；2、通过分析，将优化问题转化为迭代优化问题；3、使用TNNR-ADMM算法、TNNR-APGL算法或TNNR-ADMMAP算法求解上述迭代优化问题，优化得到的矩阵Xl即为最后恢复得到的图像X。本发明的有益效果在于：在核范数的基础上提出了矩阵的截断核范数，该范数能更好地逼近矩阵的秩；基于截断核范数的正则项能够更好地控制矩阵低秩特性，更加符合自然图像具有的低秩的本质属性；提出了TNNR-ADMM算法、TNNR-APGL算法和TNNR-ADMMAP算法，优化效率更高、更准确。

权利要求书

权利要求书
1. 一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，其特征在于：包括如下顺序步骤：
第一步、将原图片表示成矩阵形式，记为矩阵集合Ω为没有损坏的像素点的集合，将最后恢复得到的图片记为：矩阵辅助矩阵：m图片长的像素数，n为图片宽的像素数，r为小于m或n的整数，然后将关于图片矩阵X的截断核范数σi(X)分裂成两项之和，式中σ1(X)≥σ2(X)≥…σi(X)≥…≥σmin{m，s=n}(X)为X的奇异值，得到如下带有约束条件的优化问题：||X||*-maxAAT=I,BBT=ITr(AXBT),PΩ(X)=PΩ(M)(1),]]>式中||X||*为矩阵X的核范数，P是投影算子，Tr为对角线元素之和，T为矩阵的转置，I为单位矩阵；
第二步、通过对进行分析，我们将补全矩阵X作SVD分解，得到X=UΣV，矩阵U=(u1,u2,…um)T,矩阵V=(v1,v2,…vn)T，最终我们得到如下结论：
maxAAT=I,BBT=ITr(AXBT)=Tr(AXX(BX)T),]]>
矩阵A*=(u1,u2,…ur),矩阵B*=(v1,v2,…vr)，将公式1转化为如下优化问题：min{||X||*-Tr(A*X(B*)T)}，将上述优化问题转化为如下形式的迭代优化问题：
1)当前补全矩阵Xl=Ul∑lVl,矩阵Ul=(u1,u2,…um),矩阵Vl=(v1,v2,…vn)，更新矩阵Al=(u1,u2,…ur)T,矩阵Bl=(v1,v2,…vr)T，式中T为矩阵转置；
2)更新补全矩阵Xl+1通过Xl+1=argminX||X||*-Tr(AlXBlT)，
s.tPΩ(X)=PΩ(M)(2)，式中：
s.t为所需满足的约束条件，PΩ为在Ω上的投影算子，PΩ(X)=
PΩ(M)为X和M在Ω处的值应该相同；
第三步、使用TNNR-ADMM算法、TNNR-APGL算法或TNNR-ADMMAP算法求解上述迭代优化问题（2），优化得到的补全矩阵Xl即为最后恢复得到的图像X；
所述的TNNR-ADMM算法：先将公式2推导为：minX,W||X||*-
Tr(AlWBlT)，s.tX=W，PΩ(W)=PΩ(M)(3);其增广拉格朗日方程为：L(X,Y,W,β)=||X||*-Tr(AlWBlT)+β2||X-W||F2+]]>
Tr(YT(X-W)),]]>式中：
W为矩阵；T为矩阵转置；β为常数；||.||F为矩阵的Frobenius范数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
1)初始化:初始补全矩阵X1=MΩ，式中，辅助矩阵W1=X1，矩阵Y1=X1，常数β=1；
2)更新当前补全矩阵式中：Wk为矩阵，Yk为矩阵；
3)更新辅助矩阵Wk+1：Wk+1=Xk+1+1β(AlTBl+Yk),]]>式中：
Xk+1为更新后的补全矩阵，Yx为矩阵；
4)更新辅助矩阵Wk+1：wk+1=PΩc(Wk+1)+PΩ(M),]]>式中：Ωc为Ω的补集，即图片中除Ω之外的像素，为Wk+1在Ωc上的投影算子；
5)更新矩阵Yk+1:Yk+1=Yk+β(Xk+1-Wk+1);
6)重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈式中，
||.||F为矩阵的Frobenius范数；
所述的TNNR-APGL算法：首先通过迭代优化问题中公式2的约束条件，将公式2转化为：minX||X||*-Tr(AlXBlT)+λ2||PΩ(X)-]]>PΩ(M)||F2,]]>采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
1)初始化：常数t1=1，初始矩阵X1=MΩ，矩阵Y1=X1；
2)更新当前补全矩阵Xk+1：

3)更新常数tk+1:式中：tk为t在第k次迭代后的值；
4)更新矩阵Yk+1：Yk+1=Xk+tk-1tk+1(Xk-Xk-1);]]>
5)重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈式中，
||.||F为矩阵的Frobenius范数；
所述的TNNR-ADMMAP算法：将公式3的两个约束条件X=W和PΩ(W)=PΩ(M)合并成一个约束条件，并引入了一个自适应的惩罚项系数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
将公式3重写为：式中，为线性算子：采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
1)初始化：初始补全矩阵X1=MΩ，矩阵W1=X1，常数k=10-3，
常数ρ0=1，矩阵Y1=X1，常数∈=10-3以及常数β0=1；
2)更新当前补全矩阵Xk+1：
3)更新矩阵Wk+1：Wk+1=12βkPΩ[βk(M-Xk+1)-(AltBl+]]>
(Yk)11+(Yk)22)]+Xk+1+1βk(AlTBl+(Yk)11);]]>
4)更新矩阵Yk+1:
5)更新常数βk+1：βk+1=min(βmax，ρβk);
常数ρ=ρ0,ifβkmax{||Xk+1-Xk||F,||Wk+1-Wk||F||C||F<k1,otherwise;]]>
6)重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈。

说明书

说明书一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法
技术领域
本发明涉及一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，尤其涉及一种计算机视觉中的图像恢复领域的基于截断核范数正则化的图像恢复方法。
背景技术
随着信息技术的迅速发展，计算机的运行速度和运算精度得到进一步提高，其在图像处理领域的应用日见广泛。图像恢复作为图像处理的重要组成部分，正受到研究者们越来越多的关注，提出了各种各样的图像恢复方法，由于图像恢复是一个很富有挑战性的问题，所以现有的图像恢复方法还存在很多不足之处，无法满足实际需求。
目前基于核范数的图像恢复方法有：
最小化核范数方法：用核范数近似图像矩阵的秩，在恢复过程中，保证恢复得到的图像在清晰点处的值与原图像相同（约束条件），同时使得矩阵的核范数尽量小（目标方程）。该方法的复杂度较高，只能处理100*100大小的图像。
近似核范数方法：与上述最小化核范数方法不同的是，该方法用矩阵的核范数与Frobenius范数之和作为新的目标方程。由于此目标方程为强凸(strongly convex)函数，使得该方法的优化效率得到很大地提高。
NRLS方法:该方法中目标函数为恢复得到的图像与原图像在清晰点处的误差平方和与图像矩阵的核范数之和。从而去除了原先在原图清晰点处的约束条件。在图像恢复过程中，通过最小化目标方程，从而原图得到恢复。在优化过程中，该方法主要使用近似梯度下降技术来加速优化过程。
最大化边缘矩阵分解方法：该方法假设恢复得到的图像为两个矩阵(U,V)之积，目标方程为恢复得到的图像与原图像在清晰点处的误差平方和与U、V的Frobenius范数之和。在图像恢复过程中最小化上述目标方程。该方法存在很大的缺陷：当图像矩阵的秩比较小时会陷入局部极值，当图像矩阵的秩比较大时，算法的计算量会非常大。
其他方法：基于噪声的图像恢复方法、SVP方法。
为了进一步提高图像恢复的效果，本发明通过引入矩阵的截断核范数，使得矩阵的秩得到更好地近似。从而通过最小化图像矩阵的截断核范数，使得图像得到更合理地恢复。
发明内容
针对现有技术存在的不足，本发明公开了一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法。
一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，主要步骤如下：
第一步、将原图片表示成矩阵形式，记为矩阵集合Ω为没有损坏的像素点的集合，记最后恢复得到的图片为：矩阵辅助矩阵：（m,n为整数，为图片的长和宽（像素数），r为某个小于m、n的整数），然后将关于图片矩阵X的截断核范数σi(X)分裂成两项之和,σ1(X)≥σ2(X)≥…σi(X)≥…≥σmin{m，s=n}(X)为X的奇异值，得到如下带有约束条件的优化问题：||X||*-maxAAT=I,BBT=ITr(AXBT),]]>RΩ(x)=PΩ(M)（1），式中||x||*为矩阵X的核范数，也就是所有奇异值的和，P是投影算子，PΩ(x)=PΩ(M)的含义是X和M在Ω内的值相等，Tr为矩阵的迹，也就是对角线元素之和，T为矩阵的转置，BBT为B和BT相乘；I为单位矩阵；AAT、AXBT均类似。max为在AT=I,BBT=I的约束条件下求Tr(AXBT)的最大值。
第二步、通过对进行分析，我们将补全矩阵X作SVD分解，得到x=UΣV,矩阵U=（u1,u2…um)T,矩阵V=(v1,v2,…vn)T，最终我们得到如下结论：
maxAAT=I,BBT=ITr(AXBT)=Tr(AXX(BX)T),]]>
矩阵A*=(u1,u2,…ur)，矩阵B*=(v1,v2，…vr)，从而将公式1转化为如下优化问题：min{||X||*-Tr(A*X(B*)T)},将上述优化问题转化为如下形式的迭代优化问题：
1)当前补全矩阵Xl=UlΣlVl，矩阵ul=(u1,u2,…um)，矩阵Vl=(v1,v2,…vn)更新矩阵Al=(u1,u2,…ur)T，矩阵Bl=(v1,v2，…wr)T，（T为矩阵转置）；
2)更新补全矩阵Xl+1通过Xl+l=argminX||X||*Tr(AlXBlT),s.tPΩ(X)=PΩ(M)  (2)，其中：s.t为使得，即所需满足的约束条件；PΩ为在Ω上的投影算子，PΩ(X)=PΩ(M，即为X和M在Ω处的值应该相同；
第三步、使用TNNR-ADMM算法、TNNR-APGL算法或TNNR-ADMMAP算法求解上述迭代优化问题（2），优化得到的补全矩阵Xl即为最后恢复得到的图像X；
所述的TNNR-ADMM算法：先将公式2推导为：minX,W||X||*-Tr(AlWBlT)，s.tX=W，PΩ(W)=PΩ(M)(3);其增广拉格朗日方程为：L(X,Y,W,β)=||X||*-Tr(AlWBlT)+β2||X-W||F2+]]>Tr(YT(X-W)),]]>式中：
W为矩阵；T为矩阵转置；β为常数；||.||F为矩阵的Frobenius范数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
1)初始化:初始补全矩阵X1=MΩ（X1在Ω处与M相同），辅助矩阵W1=X1，矩阵Y1=X1，常数β=1；
2)更新当前补全矩阵Xk+1：式中：Wk为矩阵，即第k次迭代后W的值；Yk为矩阵，即第k次迭代后Y的值。
3)更新辅助矩阵Wk+1：Wk+1=Xk+1+1β(AlTBl+Yk),]]>式中：Xk+1为上一步更新后的补全矩阵；Yk为矩阵，即第k次迭代后Y的值。
4)更新辅助矩阵Wk+1：式中：Ωc为Ω的补集，即图片中除Ω之外的像素，为Wk+1在Ωc上的投影算子。
5)更新矩阵Yk+1:Yk+1=Yk+β(Xk+1-Wk+1)；
6)重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈式中，
||.||F为矩阵的Frobenius范数；
所述的TNNR-APGL算法：首先通过迭代优化问题中公式2的约束条件，将公式2转化为：minX||X||*-Tr(AlXBlT)+λ2||PΩ(X)-]]>PΩ(M)||F2,]]>采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
1)初始化：常数t1=1，初始矩阵X1=MΩ，矩阵Y1=X1；
2)更新当前补全矩阵Xk+1：
3)更新常数tk+1:（tk2为tk为t在第k次迭代后的值，tk2为tk的平方）;
4)更新矩阵Yk+1：Yk+1=Xk+tk-1tk+1(Xk-Xk-1);]]>
5)重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈式中，
（||.||F为矩阵的Frobenius范数）；
所述的TNNR-ADMMAP算法：将公式3的两个约束条件X=W和PΩ(W)=PΩ(M)合并成一个约束条件，并引入了一个自适应的惩罚项系数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
将公式3重写为：minX,W||X||*-Tr(AlWBlT)，为线性算子：采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
1)初始化：初始补全矩阵X1=MΩ，矩阵W1=X1，常数k=10-3，常数ρ0=1，矩阵Y1=X1，常数∈=10-3以及常数β0=1
2)更新当前补全矩阵Xk+1：
3)更新矩阵Wk+1：
Wk+1
=12βkPΩ[βk(M-Xk+1)-(AlTBl+(Yk)11+(Yk)22)]]]>
+Xk+1+1βk(AlTBl+(Yk)11)]]>
4)更新矩阵Yk+1:

5)更新常数βk+1：
βk+1=min(βmax，ρβk;
常数ρ=ρ0,ifβkmax{||Xk+1-Xk||F,||Wk+1-Wk||F}||C||F<k1,otherwise;]]>
6)重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈。
本发明的有益效果在于：提出了更好的近似矩阵秩的方法：在核范数的基础上提出了矩阵的截断核范数，该范数能更好地逼近矩阵的秩；得到了更优的图像恢复方法：基于截断核范数的正则项能够更好地控制矩阵低秩特性，更加符合自然图像具有的低秩的本质属性；提出了更加高效准确的优化方法：提出了三种优化方法，分别为TNNR-ADMM算法、TNNR-APGL算法和TNNR-ADMMAP算法。相对于之前的算法，这三种优化方法效率更高，同时也更准确。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明作进一步说明，但本发明的保护范围并不限于此。
实施例1
一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，包括如下顺序步骤：第一步、将原图片表示成矩阵形式，记为矩阵集合Ω为没有损坏的像素点的集合，记最后恢复得到的图片为：矩阵辅助矩阵：（m,n为整数，为图片的长和宽（像素数），r为某个小于m、n的整数），然后将关于图片矩阵X的截断核范数σi(X)分裂成两项之和,σ1(X)≥σ2(X)≥…σi(X)≥…≥σmin{m，s=n}(X)为X的奇异值，得到如下带有约束条件的优化问题：||X||*-maxAAT=I,BBT=ITr(AXBT),]]>PΩ(X)=PΩ(M)（1），式中||X||*为矩阵X的核范数，也就是所有奇异值的和，P是投影算子，PΩ(X)=PΩ(M)的含义是X和M在Ω内的值相等，Tr为矩阵的迹，也就是对角线元素之和，T为矩阵的转置，BBT为B和BT相乘；I为单位矩阵；AAT、AXBT均类似，max为在AT=I,BBT=I的约束条件下求Tr(AXBT)的最大值；
第二步、通过对进行分析，我们将补全矩阵X作SVD分解，得到X=UΣV，其中矩阵U=(u1,u2,…um)T,矩阵V=(v1,v2,…vn)T，最终我们得到如下结论：
maxAAT=I,BBT=ITr(AXBT)=Tr(AXX(BX)T),]]>
矩阵A*=(u1,u2,…ur),矩阵B*=(v1,v2,…vr)，从而将公式1转化为如下优化问题：min{||X||*-Tr(A*X(B*)T)}，将上述优化问题转化为如下形式的迭代优化问题：
1)当前补全矩阵Xl=UlΣlVl,矩阵Ul=(u1,u2,…um),矩阵Vl=(v1,v2,…vn)，更新矩阵Al=(u1,u2,…ur)T,矩阵Bl=(v1,v2,…vr)T，（T为矩阵转置）；
2)更新补全矩阵Xl+1通过Xl+1=argminX||X||*-Tr(AlXBlT),s.tPΩ(X)=PΩ(M)  (2)，其中： s.t为使得，即所需满足的约束条件；PΩ为在Ω上的投影算子，PΩ(x)=PΩ(M)即为X和M在Ω处的值应该相同；
第三步、使用TNNR-ADMM算法、TNNR-APGL算法或TNNR-ADMMAP算法求解上述迭代优化问题（2），优化得到的补全矩阵Xl即为最后恢复得到的图像X；
所述的TNNR-ADMM算法：先将公式2推导为：minX,W||X||*-Tr(AlWBlT)，s.tX=W，PΩ(W)=PΩ(M)(3);其增广拉格朗日方程为：L(X,Y,W,β)=||X||*-Tr(AlWBlT)+β2||X-W||F2+]]>Tr(YT(X-W)),]]>其中：
W为矩阵；T为矩阵转置；β为常数；||.||F为矩阵的Frobenius范数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
1）初始化补全矩阵X1=MΩ（X1在Ω处与M相同），辅助矩阵W1=X1，矩阵Y1=X1，常数β=1；
2）更新当前补全矩阵Xk+1：其中：Wk为矩阵，即第k次迭代后W的值；Yk为矩阵，即第k次迭代后Y的值；
3）新辅助矩阵Wk+1：Wk+1=Xk+1+1β(AlTBl+Yk);]]>其中：Xk+1为上一步更新后的补全矩阵；Yk为矩阵，即第k次迭代后Y的值；
4）新辅助矩阵Wk+1：其中：Ωc为Ω的补集，即图片中除Ω之外的像素，为Wk+1在Ωc上的投影算子；
5）新矩阵Yk+1:Yk+1=Yk+β(Xk+1-Wk+1);
6）重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈式中，
||.||F为矩阵的Frobenius范数；
所述的TNNR-APGL算法：首先通过迭代优化问题中公式2的约束条件，将公式2转化为：minX||X||*-Tr(AlXBlT)+λ2||PΩ(X)-]]>PΩ(M)||F2,]]>采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
1）化：常数t1=1，初始矩阵X1=MΩ，矩阵Y1=X1；
2）当前补全矩阵Xk+1：（为？；Yk为？；tk为？；λ为？）；
3）更新常数tk+1:(tk2为tk为t在第k次迭代后的值，tk2为tk的平方）
4）更新矩阵Yk+1：Yk+1=Xk+tk-1tk+1(Xk-Xk-1);]]>
5）重复2‐5直到||Xk+1=Xk||F≤∈其中，
（||.||F为矩阵的Frobenius范数）；
所述的TNNR-ADMMAP算法：将公式3的两个约束条件X=W和PΩ(W)=PΩ(M)合并成一个约束条件，并引入了一个自适应的惩罚项系数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
将公式3重写为:minX,W||X||*-tr(AlWBlT),C(4)，其中为线性算子：采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：
1)初始化：初始补全矩阵X1=MΩ，矩阵W1=X1，常数k=10-3，常数ρ0=1，矩阵Y1=X1，常数∈=10-3以及常数β0=1;
2)更新当前补全矩阵Xk+1：
3)更新矩阵Wk+1：Wk+1=12βkPΩ[βk(M-Xk+1)-(AlTBl+(Yk)11)+]]>(Yk)22)]+Xk+1+1βk(AlTBl+(Yk)11);]]>
4)更新矩阵Yk+1:
5)更新常数βk+1：βk+1=min(βmax，ρβk);其中常数ρ=]]>ρ0,ifβkmax{||Xk+1-Xk||F,||Wk+1-Wk||F}||C||F<k1,otherwise;]]>
6)重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈。
实施例2
一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，主要步骤如下：先将原图片表示成矩阵形式，记为记最后恢复得到的图片矩阵为然后将关于图片矩阵X的截断核范数σi(X)分裂成两项之和,得到如下带有约束条件的优化问题：
||X||*-maxAAT=I,BBT=ITr(AXBT),]]>PΩ(X)=PΩ(M)(*)
其中||X||*为矩阵X的核范数，通过分析，我们将上述问题转化为如下形式的迭代优化问题：
1)xl=UlΣlVlT，其中Ul=(u1,u2,…um)T，Vl=(v1,v2,…Un)T，更新Al=(u1,u2,…ur)T，Bl=仁v1,v2,…vr)T
2)更新Xl+1通过Xl+l=argminx||X｜｜*-Tr(AlXBlT)s.tPΩ(X)=PΩ(M)  (**)
最后使用我们所提出的三种优化算法求解上述优化问题，优化得到的矩阵记为最后恢复的图像。
记原图矩阵为最后恢复得到的图像矩阵记为辅助矩阵通过对进行分析，我们发现，若我们将X作SVD分解可以得到X=UΣVT,其中U=(u1,u2,…um)T,V=(v1,v2,…vn)T，最终我们得到如下结论：maxAAT=I,BBT=ITr(AXBT)Tr(A*X(B*)T),]]>
其中A*=(u1,u2，…ur)T，B*=(v1，v2，…vr)T从而问(*)转化为如下优化问题：min(||X||*-Tr(A*X(B*)T)),该问题可以通过迭代方式求解：
1)xl=UlΣlVlT，其中Ul=(u1,u2,…um)T，Vl=(v1,v2,…vn)T，更新Al=(u1,u2,…ur)T，Bl=(v1,v2,…vr)T
2)更新Xl+1:Xl+l=argminX||X||*-Tr(AlXBlT)
s.tPΩ(X)=PΩ(M)
对于优化问题(**)，我们提出三种优化算法别为TNNR-ADMM算法、TNNR-APGL算法和TNNR-ADMMAP算法。具体步骤如下：
■TNNR-ADMM算法:
在该算法中，我们先将将(**)问题重写为：
minX,W||X||*-Tr(AlWBlT)]]>
s.tX=w，PΩ(W)=PΩ(M)(***)
其增广拉格朗日方程为：
L(X，Y，w，β)
=||X||*-Tr(AlWBlT)+β2||X-W||F2+Tr(YT(X-W))]]>
在该算法中我们采用迭代求解方法，具体流程如下
1)初始化:X1=MΩ，W1=X1,Y1=X1,β=1;
2)更新Xk+1：
3)更新Wk+1：Wk+1=Xk+1+1β(AlTBl+Yk);]]>
4)更新Wk+1：Wk+1=PΩc(Wk+1)+PΩ(M);]]>
5)更新Yk+1:Yk+1=Yk+β(xk+1-Wk+1);
6)重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈
■TNNR-APGL算法：
虽然TNNR-ADMM算法能够解决问题(**)，但是该算法的效率受原始数据的噪声影响很大。为此我们通过适当放松问题(**)的约束项，提出了TNNR-APGL算法，需要指出的是，该算法具有的收敛速度。
首先我们通过放松问题(**)的约束条件，将问题(**)转化为：minX||X||*-Tr(AlXBlT)+λ2||pΩ(X)-PΩ(M)||F2]]>我们采用加速梯度技术解决上述问题，具体流程如下：
1)初始化：t1=1,X1=MΩ/Y1=X1;
2)更新Xk+1：
3)更新tk+1:tk+1=1+1+4tk22;]]>
4)更新Yk+1：Yk+1=Xk+tk-1tk+1(Xk-Xk-1);]]>
5)重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈;
■TNNR-ADMMAP算法：
当目标函数的约束条件增多时，TNNR-ADMM算法的收敛速度会减慢，针对这个问题，我们提出TNNR-ADMMAP算法。我们发现，可以通过一种特殊的方式，将问题(***)的两个约束条件X=W和PΩ(W)=PΩ(M)合并成一个约束条件，从而加速算法的收敛速度。另外，由于难以选择一个最优的惩罚项系数，为此我们引入了一个自适应的惩罚项系数，该系数能够高效地更新。
首先我们将问题(***)重写为：
minx,w||X||*-Tr(AlWBlT);

其中为线性算子。

所以问题(****)是传统的具有线性约束条件的可分离凸优化问题，所以可以用ADMM得到高效解决。具体流程如下：
1)初始化：x1=MΩ/W1=X1,K=10-3，ρ0，Y1=X1以及β0;
2)更新Xk+1：
3)更新Wk+1：
Wk+1
=12βkPΩ[βk(M-Xk+1)-(AlTBl+(Yk)11+(Yk)22)]]]>+Xk+1+1βk(AlTBl+(Yk)11)]]>
4)更新Yk+1:
5)更新βk+1：βk+1=min(βmax，ρβk);
其中ρ=ρ0,ifβkmax{||Xk+1-Xk||F,||Wk+1-Wk||F||C||F<k1,otherwise;]]>
6)重复2‐5直到||Xk+1-Xk||F≤∈;
一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法的具体计算步骤如下：
1)初始化：X1=PΩ(M)
2)更新Al+1，Bl+1：对Xl进行SVD分解，得到Xl=Ul∑lVl,其中Ul=(u1,u2,…um)，Vl=(v1，v2,…vn)，更新Al+1=(u1,u2，…ur)T,Bl+1=(v1,v2,…vr)T
3)更新Xl+1：Xl+1=argminx||X||*-Tr(AlXBlT)
s.tPΩ(x)二PΩ(M)  (**)
重复2-3直到||Xl+l-Xl||F≤∈0。

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1、(10)申请公布号 CN 103345729 A (43)申请公布日 2013.10.09 CN 103345729 A *CN103345729A* (21)申请号 201310272796.1 (22)申请日 2013.06.30 G06T 5/00(2006.01) (71)申请人浙江贝尔技术有限公司地址 310012 浙江省杭州市西湖区西斗门路 6 号 (72)发明人胡尧张德兵何晓飞洪燕昌刘奔蔡文涛 (74)专利代理机构杭州赛科专利代理事务所 33230 代理人曹绍文 (54) 发明名称一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法 (57) 摘要一种基于截断核范数正则。

2、化的图像恢复方法，主要步骤如下： 1、将原图片表示成矩阵形式，得到带有约束条件的优化问题； 2、通过分析，将优化问题转化为迭代优化问题； 3、使用 TNNR-ADMM 算法、 TNNR-APGL 算法或 TNNR-ADMMAP 算法求解上述迭代优化问题，优化得到的矩阵 Xl 即为最后恢复得到的图像 X。本发明的有益效果在于：在核范数的基础上提出了矩阵的截断核范数，该范数能更好地逼近矩阵的秩；基于截断核范数的正则项能够更好地控制矩阵低秩特性，更加符合自然图像具有的低秩的本质属性；提出了 TNNR-ADMM 算法、 TNNR-APGL 算法和 TN。

3、NR-ADMMAP 算法，优化效率更高、更准确。 (51)Int.Cl. 权利要求书 3 页说明书 9 页 (19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请权利要求书3页说明书9页 (10)申请公布号 CN 103345729 A CN 103345729 A *CN103345729A* 1/3 页 2 1. 一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，其特征在于：包括如下顺序步骤：第一步、将原图片表示成矩阵形式，记为矩阵集合为没有损坏的像素点的集合，将最后恢复得到的图片记为：矩阵辅助矩阵： m 图片长的像素数，。

4、n 为图片宽的像素数， r 为小于 m 或 n 的整数，然后将关于图片矩阵 X 的截断核范数i(X) 分裂成两项之和，式中 1(X) 2(X) i(X) minm， s=n(X) 为 X 的奇异值，得到如下带有约束条件的优化问题：式中 |X|*为矩阵 X 的核范数， P 是投影算子， Tr 为对角线元素之和， T 为矩阵的转置， I 为单位矩阵；第二步、通过对进行分析，我们将补全矩阵 X 作 SVD 分解，得到 X=UV，矩阵 U=(u1,u2,um)T, 矩阵 V=(v1,v2,vn)T，最终我们得到如下结论：矩阵 A*=(u1,u2,ur), 矩阵。

5、B*=(v1,v2,vr)，将公式 1 转化为如下优化问题： min|X|*-Tr(A*X(B*)T)，将上述优化问题转化为如下形式的迭代优化问题： 1) 当前补全矩阵 Xl=Ul lVl, 矩阵 Ul=(u1,u2,um), 矩阵 Vl=(v1,v2,vn)，更新矩阵 Al=(u1,u2,ur)T, 矩阵 Bl=(v1,v2,vr)T，式中 T 为矩阵转置； 2) 更新补全矩阵 Xl+1通过 Xl+1=argminX|X|*-Tr(AlXBlT)， s.tP(X)=P(M)(2)，式中： s.t 为所需满足的约束条件， P为在上的投影算子， P(X)=。

6、 P(M) 为 X 和 M 在处的值应该相同；第三步、使用 TNNR-ADMM 算法、 TNNR-APGL 算法或 TNNR-ADMMAP 算法求解上述迭代优化问题（2），优化得到的补全矩阵 Xl即为最后恢复得到的图像 X ；所述的 TNNR-ADMM 算法：先将公式 2 推导为： minX,W|X|*- Tr(AlWBlT)， s.tX=W， P(W)=P(M)(3); 其增广拉格朗日方程为：式中： W为矩阵； T为矩阵转置；为常数； |.|F为矩阵的Frobenius范数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 1) 初始化 : 初始补全矩阵 X。

7、1=M，式中，辅助矩阵 W1=X1，矩阵 Y1=X1，常数 =1 ； 2) 更新当前补全矩阵式中： Wk 为矩阵， Yk为矩阵； 3) 更新辅助矩阵 Wk+1：式中： Xk+1为更新后的补全矩阵， Yx 为矩阵；权利要求书 CN 103345729 A 2 2/3 页 3 4)更新辅助矩阵Wk+1：式中： c为的补集，即图片中除之外的像素，为 Wk+1在 c上的投影算子； 5) 更新矩阵 Yk+1:Yk+1=Yk+(Xk+1-Wk+1); 6) 重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F式中， |.|F为矩阵的 Frobenius 范数；所述的 TNNR-A。

8、PGL 算法：首先通过迭代优化问题中公式 2 的约束条件，将公式 2 转化为：采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 1) 初始化：常数 t1=1，初始矩阵 X1=M，矩阵 Y1=X1； 2) 更新当前补全矩阵 Xk+1 ： 3) 更新常数 tk+1:式中： tk为 t 在第 k 次迭代后的值； 4) 更新矩阵 Yk+1： 5) 重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F式中， |.|F为矩阵的 Frobenius 范数；所述的 TNNR-ADMMAP 算法：将公式 3 的两个约束条件 X=W 和 P(W)=P(M) 合并成一个约束条件，并引入了一个自适应的惩。

9、罚项系数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题：将公式 3 重写为：式中，为线性算子：采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 1) 初始化：初始补全矩阵 X1=M，矩阵 W1=X1，常数 k=10-3，常数 0=1，矩阵 Y1=X1，常数 =10-3以及常数 0=1 ； 2) 更新当前补全矩阵 Xk+1： 3) 更新矩阵 Wk+1： 4) 更新矩阵 Yk+1: 权利要求书 CN 103345729 A 3 3/3 页 4 5) 更新常数 k+1： k+1=min(max， k); 常数 6) 重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F。。

10、权利要求书 CN 103345729 A 4 1/9 页 5 一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法技术领域 0001 本发明涉及一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，尤其涉及一种计算机视觉中的图像恢复领域的基于截断核范数正则化的图像恢复方法。背景技术 0002 随着信息技术的迅速发展，计算机的运行速度和运算精度得到进一步提高，其在图像处理领域的应用日见广泛。图像恢复作为图像处理的重要组成部分，正受到研究者们越来越多的关注，提出了各种各样的图像恢复方法，由于图像恢复是一个很富有挑战性的问题，所以现有的图像恢复方法还存在很多不足之处，无法满足实际需求。 00。

11、03 目前基于核范数的图像恢复方法有： 0004 最小化核范数方法：用核范数近似图像矩阵的秩，在恢复过程中，保证恢复得到的图像在清晰点处的值与原图像相同（约束条件），同时使得矩阵的核范数尽量小（目标方程）。该方法的复杂度较高，只能处理 100*100 大小的图像。 0005 近似核范数方法：与上述最小化核范数方法不同的是，该方法用矩阵的核范数与 Frobenius范数之和作为新的目标方程。由于此目标方程为强凸(strongly convex)函数，使得该方法的优化效率得到很大地提高。 0006 NRLS 方法 : 该方法中目标函数为恢复得到的图像与原图像在清。

12、晰点处的误差平方和与图像矩阵的核范数之和。从而去除了原先在原图清晰点处的约束条件。在图像恢复过程中，通过最小化目标方程，从而原图得到恢复。在优化过程中，该方法主要使用近似梯度下降技术来加速优化过程。 0007 最大化边缘矩阵分解方法：该方法假设恢复得到的图像为两个矩阵 (U,V) 之积，目标方程为恢复得到的图像与原图像在清晰点处的误差平方和与U、 V的Frobenius范数之和。在图像恢复过程中最小化上述目标方程。该方法存在很大的缺陷：当图像矩阵的秩比较小时会陷入局部极值，当图像矩阵的秩比较大时，算法的计算量会非常大。 0008 其他方法：基于噪声的图像恢复方。

13、法、 SVP 方法。 0009 为了进一步提高图像恢复的效果，本发明通过引入矩阵的截断核范数，使得矩阵的秩得到更好地近似。从而通过最小化图像矩阵的截断核范数，使得图像得到更合理地恢复。发明内容 0010 针对现有技术存在的不足，本发明公开了一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法。 0011 一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，主要步骤如下： 0012 第一步、将原图片表示成矩阵形式，记为矩阵集合为没有损坏的像素点的集合，记最后恢复得到的图片为：矩阵辅助矩阵：（m,n 为整数，为图片的长和宽（像素数）， r 为某个。

14、小于 m、 n 的说明书 CN 103345729 A 5 2/9 页 6 整数），然后将关于图片矩阵 X 的截断核范数i(X) 分裂成两项之和 ,1(X) 2(X) i(X) minm， s=n(X) 为 X 的奇异值，得到如下带有约束条件的优化问题：R(x)=P(M)（1），式中 |x|* 为矩阵X的核范数，也就是所有奇异值的和， P是投影算子， P(x)=P(M)的含义是X和M在内的值相等， Tr 为矩阵的迹，也就是对角线元素之和， T 为矩阵的转置， BBT为 B 和 BT相乘； I 为单位矩阵； AAT、 AXBT均类似。max 为在 AT=I,BB。

15、T=I 的约束条件下求 Tr(AXBT) 的最大值。 0013 第二步、通过对进行分析，我们将补全矩阵 X 作 SVD 分解，得到 x=UV, 矩阵 U=（u1,u2um)T, 矩阵 V=(v1,v2,vn)T，最终我们得到如下结论： 0014 0015 矩阵 A*=(u1,u2,ur)，矩阵 B*=(v1,v2， vr)，从而将公式 1 转化为如下优化问题： min|X|*-Tr(A*X(B*)T), 将上述优化问题转化为如下形式的迭代优化问题： 0016 1) 当前补全矩阵 Xl=UllVl，矩阵 ul=(u1,u2,um)，矩阵 Vl=(v1,v2,vn) 更新矩。

16、阵 Al=(u1,u2,ur)T，矩阵 Bl=(v1,v2，wr)T，（T 为矩阵转置）； 0017 2) 更新补全矩阵 Xl+1通过 Xl+l=argminX|X|*Tr(AlXBlT),s.tP(X)=P(M) (2)，其中： s.t 为使得，即所需满足的约束条件； P为在上的投影算子， P(X)=P(M，即为 X 和 M 在处的值应该相同； 0018 第三步、使用 TNNR-ADMM 算法、 TNNR-APGL 算法或 TNNR-ADMMAP 算法求解上述迭代优化问题（2），优化得到的补全矩阵 Xl即为最后恢复得到的图像 X ； 0019 所述的 T N N。

17、 R - A D M M 算法：先将公式 2 推导为： minX,W|X|*-Tr(AlWBlT)， s.tX=W， P(W)=P(M)(3); 其增广拉格朗日方程为：式中： 0020 W为矩阵； T为矩阵转置；为常数； |.|F为矩阵的Frobenius范数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 0021 1)初始化:初始补全矩阵X1=M（X1在处与M相同），辅助矩阵W1=X1，矩阵Y1=X1，常数 =1 ； 0022 2) 更新当前补全矩阵 Xk+1：式中： Wk为矩阵，即第 k 次迭代后 W 的值； Yk为矩阵，即第 k 。

18、次迭代后 Y 的值。 0023 3) 更新辅助矩阵 Wk+1：式中： Xk+1为上一步更新后的补全矩阵； Yk为矩阵，即第 k 次迭代后 Y 的值。 0024 4) 更新辅助矩阵 Wk+1：式中： c为的补集，说明书 CN 103345729 A 6 3/9 页 7 即图片中除之外的像素，为 Wk+1在 c上的投影算子。 0025 5) 更新矩阵 Yk+1:Yk+1=Yk+(Xk+1-Wk+1) ； 0026 6) 重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F式中， 0027 |.|F为矩阵的 Frobenius 范数； 0028 所述的TNNR-APGL算法：首先通过迭代。

19、优化问题中公式2的约束条件，将公式2转化为：采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 0029 1) 初始化：常数 t1=1，初始矩阵 X1=M，矩阵 Y1=X1； 0030 2) 更新当前补全矩阵 Xk+1： 0031 3) 更新常数 tk+1:（tk2为 tk为 t 在第 k 次迭代后的值， tk2为 tk的平方） ; 0032 4) 更新矩阵 Yk+1： 0033 5) 重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F式中， 0034 （|.|F为矩阵的 Frobenius 范数）； 0035 所述的 TNNR-ADMMAP 算法：将公式 3 的两个约束条件 X。

20、=W 和 P(W)=P(M) 合并成一个约束条件，并引入了一个自适应的惩罚项系数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 0036 将公式 3 重写为： minX,W|X|*-Tr(AlWBlT)，为线性算子：采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 0037 1) 初始化：初始补全矩阵X1=M，矩阵W1=X1，常数k=10-3，常数0=1，矩阵Y1=X1，常数 =10-3以及常数 0=1 0038 2) 更新当前补全矩阵 Xk+1： 0039 3) 更新矩阵 Wk+1： 0040 Wk+1 0041 说明书 CN 103345729 A 7 4/9 页。

21、 8 0042 0043 4) 更新矩阵 Yk+1: 0044 0045 5) 更新常数 k+1： 0046 k+1=min(max， k; 0047 常数 0048 6) 重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F。 0049 本发明的有益效果在于：提出了更好的近似矩阵秩的方法：在核范数的基础上提出了矩阵的截断核范数，该范数能更好地逼近矩阵的秩；得到了更优的图像恢复方法：基于截断核范数的正则项能够更好地控制矩阵低秩特性，更加符合自然图像具有的低秩的本质属性；提出了更加高效准确的优化方法：提出了三种优化方法，分别为 TNNR-ADMM 算法、 TNNR-APGL。

22、算法和 TNNR-ADMMAP 算法。相对于之前的算法，这三种优化方法效率更高，同时也更准确。具体实施方式 0050 下面结合实施例对本发明作进一步说明，但本发明的保护范围并不限于此。 0051 实施例 1 0052 一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，包括如下顺序步骤：第一步、将原图片表示成矩阵形式，记为矩阵集合为没有损坏的像素点的集合，记最后恢复得到的图片为：矩阵辅助矩阵：（m,n 为整数，为图片的长和宽（像素数）， r 为某个小于 m、 n 的整数），然后将关于图片矩阵 X 的截断核范数i(X) 分裂成两项之和 ,1(X) 2(X) i。

23、(X) minm， s=n(X) 为 X 的奇异值，得到如下带有约束条件的优化问题： P(X)=P(M)（1），式中 |X|*为矩阵 X 的核范数，也就是所有奇异值的和， P是投影算子， P(X)=P(M)的含义是X和M在内的值相等， Tr为矩阵的迹，也就是对角线元素之和， T为矩阵的转置， BBT为B和BT相乘； I为单位矩阵； AAT、 AXBT均类似， max 为在 AT=I,BBT=I 的约束条件下求 Tr(AXBT) 的最大值； 0053 第二步、通过对进行分析，我们将补全矩阵 X 作 SVD 分解，得到 X=UV，其中矩阵 U=(u1,u2,um)T, 。

24、矩阵 V=(v1,v2,vn)T，最终我们得到如下结论： 0054 0055 矩阵 A*=(u1,u2,ur), 矩阵 B*=(v1,v2,vr)，从而将公式 1 转化为如下优化问题：说明书 CN 103345729 A 8 5/9 页 9 min|X|*-Tr(A*X(B*)T)，将上述优化问题转化为如下形式的迭代优化问题： 0056 1) 当前补全矩阵 Xl=UllVl, 矩阵 Ul=(u1,u2,um), 矩阵 Vl=(v1,v2,vn)，更新矩阵 Al=(u1,u2,ur)T, 矩阵 Bl=(v1,v2,vr)T，（T 为矩阵转置）； 0057 2) 更新补全。

25、矩阵 Xl+1通过 Xl+1=argminX|X|*-Tr(AlXBlT),s.tP(X)=P(M) (2)，其中： s.t 为使得，即所需满足的约束条件； P为在上的投影算子， P(x)=P(M) 即为 X 和 M 在处的值应该相同； 0058 第三步、使用 TNNR-ADMM 算法、 TNNR-APGL 算法或 TNNR-ADMMAP 算法求解上述迭代优化问题（2），优化得到的补全矩阵 Xl即为最后恢复得到的图像 X ； 0059 所述的 T N N R - A D M M 算法：先将公式 2 推导为： minX,W|X|*-Tr(AlWBlT)， s.tX=。

26、W， P(W)=P(M)(3); 其增广拉格朗日方程为：其中： 0060 W为矩阵； T为矩阵转置；为常数； |.|F为矩阵的Frobenius范数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 0061 1）初始化补全矩阵 X1=M（X1在处与 M 相同），辅助矩阵 W1=X1，矩阵 Y1=X1，常数 =1 ； 0062 2）更新当前补全矩阵 Xk+1：其中： Wk为矩阵，即第 k 次迭代后 W 的值； Yk为矩阵，即第 k 次迭代后 Y 的值； 0063 3）新辅助矩阵Wk+1：其中： Xk+1为上一步更新后的补全矩阵； Y。

27、k为矩阵，即第 k 次迭代后 Y 的值； 0064 4）新辅助矩阵Wk+1：其中： c为的补集，即图片中除之外的像素，为 Wk+1在 c上的投影算子； 0065 5）新矩阵 Yk+1:Yk+1=Yk+(Xk+1-Wk+1); 0066 6）重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F式中， 0067 |.|F为矩阵的 Frobenius 范数； 0068 所述的TNNR-APGL算法：首先通过迭代优化问题中公式2的约束条件，将公式2转化为：采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 0069 1）化：常数 t1=1，初始矩阵 X1=M，矩阵 Y1=X1； 0。

28、070 2）当前补全矩阵 Xk+1：（为？； Yk为？； tk为？；为？）； 0071 3）更新常数 tk+1:(tk2为 tk为 t 在第 k 次迭代后的值， tk2为 tk的平方）说明书 CN 103345729 A 9 6/9 页 10 0072 4）更新矩阵 Yk+1： 0073 5）重复 25 直到 |Xk+1=Xk|F其中， 0074 （|.|F为矩阵的 Frobenius 范数）； 0075 所述的 TNNR-ADMMAP 算法：将公式 3 的两个约束条件 X=W 和 P(W)=P(M) 合并成一个约束条件，并引入了一个自适应的惩罚。

29、项系数，采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 0076 将公式 3 重写为 :minX,W|X|*-tr(AlWBlT), C(4)，其中为线性算子：采用如下具体流程解决上述迭代优化问题： 0077 1) 初始化：初始补全矩阵X1=M，矩阵W1=X1，常数k=10-3，常数0=1，矩阵Y1=X1，常数 =10-3以及常数 0=1; 0078 2) 更新当前补全矩阵 Xk+1： 0079 3) 更新矩阵 Wk+1： 0080 4) 更新矩阵 Yk+1: 0081 5) 更新常数 k+1： k+1=min(max，k); 其中常数 0082 6) 。

30、重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F。 0083 实施例 2 0084 一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法，主要步骤如下：先将原图片表示成矩阵形式，记为记最后恢复得到的图片矩阵为然后将关于图片矩阵 X 的截断核范数 i(X) 分裂成两项之和 , 得到如下带有约束条件的优化问题： 0085 P(X)=P(M)(*) 0086 其中 |X|*为矩阵 X 的核范数，通过分析，我们将上述问题转化为如下形式的迭代优化问题： 0087 1)xl=UllVlT，。

31、其中 Ul=(u1,u2,um)T， Vl=(v1,v2,Un)T，更新 Al=(u1,u2,ur)T， Bl= 说明书 CN 103345729 A 10 7/9 页 11 仁 v1,v2,vr)T 0088 2) 更新 Xl+1通过 Xl+l=argminx|X *-Tr(AlXBl T)s.tP (X)=P(M) (*) 0089 最后使用我们所提出的三种优化算法求解上述优化问题，优化得到的矩阵记为最后恢复的图像。 0090 记原图矩阵为最后恢复得到的图像矩阵记为辅助矩阵通过对进行分析，我们发现，若我们将 X 作 SVD 分解可以得到 X=UVT, 其中 U=(u1,u。

32、2,um)T,V=(v1,v2,vn)T，最终我们得到如下结论： 0091 其中 A*=(u1,u2，ur)T， B*=(v1， v2，vr)T从而问 (*) 转化为如下优化问题： min(|X|*-Tr(A*X(B*)T), 该问题可以通过迭代方式求解： 0092 1)xl=UllVlT，其中 Ul=(u1,u2,um)T， Vl=(v1,v2,vn)T，更新 Al=(u1,u2,ur)T， Bl=(v1,v2,vr)T 0093 2) 更新 Xl+1:Xl+l=argminX|X|*-Tr(AlXBlT) 0094 s.tP(X)=P(M) 0095 对于优化问题(*)，。

33、我们提出三种优化算法别为TNNR-ADMM算法、 TNNR-APGL算法和 TNNR-ADMMAP 算法。具体步骤如下： 0096 TNNR-ADMM 算法 : 0097 在该算法中，我们先将将 (*) 问题重写为： 0098 0099 s.tX=w， P(W)=P(M)(*) 0100 其增广拉格朗日方程为： 0101 L(X， Y， w， ) 0102 0103 在该算法中我们采用迭代求解方法，具体流程如下 0104 1) 初始化 :X1=M， W1=X1,Y1=X1,=1; 0105 2) 更新 Xk+1： 0106 3) 更新 Wk+1： 0107 4) 更新 Wk+1：。

34、 0108 5) 更新 Yk+1:Yk+1=Yk+(xk+1-Wk+1); 0109 6) 重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F 0110 TNNR-APGL 算法： 0111 虽然 TNNR-ADMM 算法能够解决问题 (*)，但是该算法的效率受原始数据的噪声影响很大。为此我们通过适当放松问题 (*) 的约束项，提出了 TNNR-APGL 算法，需要指出的说明书 CN 103345729 A 11 8/9 页 12 是，该算法具有的收敛速度。 0112 首先我们通过放松问题 (*) 的约束条件，将问题 (*) 转化为：我们采用加速梯度。

35、技术解决上述问题，具体流程如下： 0113 1) 初始化： t1=1,X1=M/Y1=X1; 0114 2) 更新 Xk+1： 0115 3) 更新 tk+1: 0116 4) 更新 Yk+1： 0117 5) 重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F ; 0118 TNNR-ADMMAP 算法： 0119 当目标函数的约束条件增多时， TNNR-ADMM 算法的收敛速度会减慢，针对这个问题，我们提出 TNNR-ADMMAP 算法。我们发现，可以通过一种特殊的方式，将问题 (*) 的两个约束条件X=W和P(W)=P(M)合并成一个约束条件，从而加速算法的收敛速度。另外，。

36、由于难以选择一个最优的惩罚项系数，为此我们引入了一个自适应的惩罚项系数，该系数能够高效地更新。 0120 首先我们将问题 (*) 重写为： 0121 minx,w|X|*-Tr(AlWBlT); 0122 0123 其中为线性算子。 0124 0125 0126 所以问题 (*) 是传统的具有线性约束条件的可分离凸优化问题，所以可以用 ADMM 得到高效解决。具体流程如下： 0127 1) 初始化： x1=M/W1=X1,K=10-3， 0， Y1=X1以及 0; 0128 2) 更新 Xk+1： 0129 3) 更新 Wk+1： 0130 Wk+1 说明书 CN 103。

37、345729 A 12 9/9 页 13 0131 0132 4) 更新 Yk+1: 0133 5) 更新 k+1： k+1=min(max， k); 0134 其中 0135 6) 重复 25 直到 |Xk+1-Xk|F ; 0136 一种基于截断核范数正则化的图像恢复方法的具体计算步骤如下： 0137 1) 初始化： X1=P(M) 0138 2) 更新 Al+1， Bl+1：对 Xl进行 SVD 分解，得到 Xl=Ul lVl, 其中 Ul=(u1,u2,um)， Vl=(v1， v2,vn)，更新 Al+1=(u1,u2，ur)T,Bl+1=(v1,v2,vr)T 0139 3) 更新 Xl+1： Xl+1=argminx|X|*-Tr(AlXBlT) 0140 s.tP(x) 二 P(M) (*) 0141 重复 2-3 直到 |Xl+l-Xl|F 0。说明书 CN 103345729 A 13 。

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