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1、(10)申请公布号 CN 104091018 A (43)申请公布日 2014.10.08 C N 1 0 4 0 9 1 0 1 8 A (21)申请号 201410323290.3 (22)申请日 2014.07.08 G06F 17/50(2006.01) (71)申请人哈尔滨工业大学 地址 150000 黑龙江省哈尔滨市南岗区西大 直街92号 (72)发明人杜娟 谭惠丰 林国昌 卫剑征 (54) 发明名称 一种基于欧几里得范数意义下的最佳最小二 乘解分析抛物面天线反射面精度的方法 (57) 摘要 本发明提供了一种基于欧几里得范数意义下 的最佳最小二乘解分析抛物面天线反射面精度的 方法，。
2、所述方法步骤如下：一、对抛物面天线反射 面精度进行测量；二、确定拟合方程；三、将测量 值代入写成矩阵的拟合方程中；四、定义系数矩 阵和z向量；五、求系数矩阵A的Moore-Penrose 广义逆A + ；六、求方程参数；七、得到参数后 代入下式即得到抛物面的焦距f值；八、计算均方 根RMS值。本发明采用非接触式测量方法，计算简 单。 (51)Int.Cl. 权利要求书1页 说明书6页 附图1页 (19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请 权利要求书1页 说明书6页 附图1页 (10)申请公布号 CN 104091018 A CN 104091018 A 1/1页 2 1.一种基。
3、于欧几里得范数意义下的最佳最小二乘解分析抛物面天线反射面精度的方 法，其特征在于所述方法步骤如下： 一、对抛物面天线反射面精度进行测量，得到反射面的形状数据； 二、确定拟合方程： zx 2 +y 2 ； 其中：x、y、z代表测量的天线反射面的空间点的三维坐标，是待定的方程系数值； 三、将测量值代入写成矩阵的拟合方程中： 四、定义系数矩阵和z向量： 其中：A为系数矩阵，n代表测量的点的数目； 五、求系数矩阵A的Moore-Penrose广义逆A + ； 六、求方程参数，代入下列方程，即可计算出方程的参数： A + z； 七、得到参数后代入下式即得到抛物面的焦距f值： f1/(4)； 八、计算均方。
4、根RMS值： 其中：代表计算值与测量值的偏差。 2.根据权利要求1所述的基于欧几里得范数意义下的最佳最小二乘解分析抛物面天 线反射面精度的方法，其特征在于所述偏差按照以下公式计算： 其中：X、Y、Z为测量点坐标值。 3.根据权利要求1所述的基于欧几里得范数意义下的最佳最小二乘解分析抛物面天 线反射面精度的方法，其特征在于采用非接触测量方法测量反射面的形状数据。 权 利 要 求 书CN 104091018 A 1/6页 3 一种基于欧几里得范数意义下的最佳最小二乘解分析抛物 面天线反射面精度的方法 技术领域 0001 本发明涉及一种非接触式天线反射面精度分析方法，具体涉及一种欧几里得范数 意义下。
5、的最佳最小二乘解分析反射面精度的方法。 背景技术 0002 天线是无线电波的发射与接收装置。天线的用途很广泛，只要利用电磁波来传递 信息的地方都要用到天线，如广播、电视、遥感玩具、手机通信、无线上网、物流快递跟踪服 务、电子对抗等等。因天线面的精度直接影响天线的方向图，制约着天线的口面效率和增 益，直接决定天线反射面的最短工作波长。抛物面天线反射面是将微小的卫星信号聚集起 来。它的精度直接影响对卫星信号的聚集效果。而抛物面天线的核心构件是反射面，反射 面的机械精度是结构设计的核心，直接影响天线的电气性能。所以，天线的精度决定着天线 的性能。 0003 非接触式测量方法是一种可以通过不接触被测物。
6、，却能对被测物进行数据测量的 试验方法。摄影测量方法作为一种非接触式的测量技术，已成为柔性薄膜结构位置测量经 常采用的一种方法。非接触式摄影测量法是通过对不同角度上相机拍摄到的同一靶点的图 像信息进行处理，可以得到相应靶点的空间位置三维坐标，从而实现非接触式对微小变形 的测量。 0004 充气展开天线具有体积小、重量轻等优点，并逐渐代替机械展开天线，成为未来空 间研究利用的重点。高精度充气结构已经引起了国际的高度重视，而结构精度影响着充气 展开天线能否成功展开、使用寿命和性能。所以，研究精度问题具有很强的工程应用背景。 高精度空间充气天线是未来空间任务的重点之一，目前已引起国际高度关注，而对于。
7、充气 天线结构的设计，型面精度的测量以及模拟分析将是未来大型充气展开天线研究的技术基 础。 0005 潘红兵对6.2m卫星接收天线反射面的精度进行检测，并简明扼要地介绍天线反 射面精度的检测方法及数据处理方法，但并没有具体计算出数值。钱宏亮等人以上海65m 天线结构为研究对象，对其主反射面面形精度问题展开研究。他们首先说明了反射面最佳 拟合抛物面的求解方法和面形精度的计算方法，然后分析了结构自重、风、温度作用对反射 面面形精度的影响，并给出了分析结果，分析时考虑了不同风速、不同俯仰角、非均匀温度 场及反射面的影响。研究表明，主反射面的最佳安装调整角为48.9，由此求得重力荷载下 的精度最大值为。
8、0.73mm。沈龙等人对16m大口径天线反射体分系统进行静力学分析，计算 得到天线主反射体表面的变形量，应用“最佳吻合抛物面”理论分析，计算出实际天线主面 相对最佳吻合抛物面的型面精度。 0006 武斌功采用了直角坐标(x，y，z)三次样条曲线拟合方法和极坐标三次样条曲线 拟合方法解决了某大型双弯曲曲面天线的测试问题。对于双电子经纬仪测试坐标点，经曲 线拟合可以找到对应的理论坐标点，利用他编写的计算程序软件将所有的实际测试坐标值 说 明 书CN 104091018 A 2/6页 4 计算出整个 天线反射面的均方根误差值，该误差值大约在0.25mm左右。李明涛等人利用 两台徕卡T3000电子经纬。
9、仪组成一套工业测量系统，先对两把不同长度的基准尺观测定向 解算建立了测量坐标系，再通过确定观测圆周内工件的最佳测量位置，确定了某一标准抛 物面型天线的焦距等相关参数及其测量精度，并得出标志点位坐标偏差及拟合结果表，如 表1所示。 0007 表1标志点位坐标偏差及拟合结果表 0008 0009 肖薇薇等人提出了基于理想抛物而逆向分瓣裁切粘合成形的反射面设计法，分析 了引入形面误差的因素，给出了形面误差参数定义，研究了反射面分瓣数、裁切逼近方式和 数值网格划分等对型面误差的影响。利用Visual BasiC语言计算了平均焦距误差、焦距误 差均方差并分析了应力型面误差。丁庆文对双曲率反射面天线的测量。
10、数据进行了处理，计 算出离散点的坐标值、测试点的坐标值、均方根的误差值。 0010 以上分析方法并没有详细针对抛物面天线反射面精度进行分析，缺少专业的数学 分析方法。 发明内容 0011 本发明的目的是提供一种基于欧几里得范数意义下的最佳最小二乘解分析抛物 面天线反射面精度的方法，计算简单，解决了以上分析方法的不足。 0012 本发明的目的是通过以下技术方案实现的： 0013 如图1所示，一种基于欧几里得范数意义下的最佳最小二乘解分析抛物面天线反 射面精度的方法，包括如下步骤： 0014 一、对抛物面天线反射面精度进行测量，得到反射面的形状数据； 0015 二、确定拟合方程，如本发明中抛物面的。
11、方程为：(关键是确定参数值，x、y、z是 通过测量已知的数据点) 0016 zx 2 +y 2 ； 0017 其中：x、y、z代表测量的天线反射面的空间点的三维坐标，是待定的方程系数 说 明 书CN 104091018 A 3/6页 5 值； 0018 三、将测量值代入写成矩阵的拟合方程中： 0019 0020 四、定义系数矩阵和z向量： 0021 0022 其中：A为系数矩阵，n代表测量的点的数目。 0023 五、求系数矩阵A的Moore-Penrose广义逆A + (也称为加号广义逆)。下面是 Moore-Penrose广义逆的求解方法。 0024 1)若矩阵AC mn 存在加号广义逆，则。
12、A的加号广义逆唯一。 0025 2)任意矩阵AC mn 都存在加号广义逆A + 。设A的秩为r，A的一个满秩分解为： 0026 ABD，BC mr ，DC rn ，rank(B)rank(D)r， 0027 A + D H (DD H ) -1 (D H D)B H ， 0028 其中：rank代表矩阵的秩，B、D代表A的矩阵分解后的矩阵，C mn 代表复数域mn 阶矩阵的集合，B H 、D H 代表矩阵B、D的共轭转置。 0029 3)任意矩阵AC mn 都存在加号广义逆A + 。设A的秩为r，A的奇异值分解为： 0030 0031 0032 其中：为对角线由A的正奇异值所构成的对角矩阵，C。
13、 rr ；UV为矩阵奇异 值分解得到的矩阵，U H 、V H 代表矩阵U、V的共轭转置。 0033 4)若AC mn 是列满秩的，则： 0034 A + (A H A) -1 A H 。 0035 A H 代表矩阵A的共轭转置，C mn 代表复数域mn阶矩阵的集合。 0036 5)若AC mn 是行满秩的，则： 0037 A + A H (AA H ) -1 。 0038 6)若A有满秩分解ABD，则： 0039 A + D + B + ， 0040 其中：B、D为A满秩分解后得到的矩阵，B + 、D + 分别代表矩阵B、D的Moore-Penrose 广义逆。 0041 六、求方程参数，代入。
14、下列方程，即可计算出方程的参数： 说 明 书CN 104091018 A 4/6页 6 0042 A + z。 0043 七、得到参数后代入下式即得到抛物面的焦距f值： 0044 f1/(4)。 0045 八、计算均方根RMS值： 0046 0047 z 测 -z 计算 ； 0048 0049 其中：代表计算值与测量值的偏差，X、Y、Z为测量点坐标值。 0050 本发明的方法适用于所有具有设计曲面的反射面，相比于现有方法，具有如下优 点： 0051 1、快速计算出参数值，给出抛物面拟合方程； 0052 2、确定焦距值，方便精度调整； 0053 3、精度较高，计算出的拟合均方根误差值RMS较小。。
15、 附图说明 0054 图1为本发明的流程图。 具体实施方式 0055 下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限如此，凡是对本 发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖 在本发明的保护范围中。 0056 本发明提供了一种欧几里得范数意义下的最佳最小二乘解分析反射面精度的方 法，采用非接触式测量方法，对实验室现有的充气展开天线反射面精度进行测量，该方法对 其他的天线反射面同样适用。 0057 1、范数的概念 0058 为了研究解的误差分析和迭代法的收敛性，需要对n维向量和n阶方阵引入某种 度量，这就是向量范数和矩阵范数的概念。因为下文所使用的都。
16、是向量的欧几里得范数 (也称2范数)，这里只说明向量的欧几里得范数的定义。欧几里得范数通常记为| 2 ， 计算式通常记为： 0059 0060 其中，x i 为向量x的元素。向量范数有三个公理： 0061 (1)非负性：|x|0，且|x|0的充要条件是x0； 0062 (2)齐次性：|x|x|；表示常数，任意一个系数值。 0063 (3)三角不等式：|x+y|x|+|y|。 说 明 书CN 104091018 A 5/6页 7 0064 2、最佳最小二乘解的理论 0065 (1)定义 0066 设AC mn ，bC m ，如果存在uC n ，使得： 0067 0068 则称u是方程组Axb的一。
17、个最小二乘解。 0069 设x 0 是方程组Axb的一个最小二乘解，若对于Axb的每一个最小二乘解u， 都有： 0070 |x 0 |u 2 |， 0071 则称x 0 是最佳的最小二乘解，也可称为按欧几里得范数最小的最小二乘解，或称 最佳逼近。 0072 (2)定理 0073 设AC mn ，bC m ，则x 0 A + b是线性方程组Axb的最佳的最小二乘解，C代 表复数域。 0074 其中，A + 是Moore-Penrose广义逆，也称为加号广义逆。加号广义逆的性质和计算 方法如下： 0075 1)若矩阵AC mn 存在加号广义逆，则A的加号广义逆唯一。 0076 2)任意矩阵AC m。
18、n 都存在加号广义逆A + 。设A的秩为r，A的一个满秩分解为： 0077 ABD，BC mr ，DC rn ，rank(B)rank(D)r， 0078 A + D H (DD H ) -1 (B H B)B H 。 0079 其中：rank代表矩阵的秩，B H 代表矩阵B的共轭转置。 0080 3)任意矩阵AC mn 都存在加号广义逆A + 。设A的秩为r，A的奇异值分解为： 0081 0082 0083 其中，UV为矩阵奇异值分解得到的矩阵，为对角线由A的正奇异值所构成的对 角矩阵，C rr 。 0084 4)若AC mn 是列满秩的，则 0085 A + (A H A) -1 A H 。
19、。 0086 5)若AC mn 是行满秩的，则 0087 A + A H (AA H ) -1 。 0088 6)若A有满秩分解ABD，则 0089 A + D + B + 。 0090 其中：B、D为A满秩分解后得到的矩阵。 0091 3、最佳最小二乘解的计算 0092 通过测量抛物面天线反射面的型面精度数据。设计方程已知： 说 明 书CN 104091018 A 6/6页 8 0093 0094 希望拟合的方程和设计方程形式一致。故使用zx 2 +y 2 ，其中1/4f，可 以根据求得的最佳值计算出f值。设坐标点为(x 1 ，y 1 ，z 1 )，(x 2 ，y 2 ，z 2 )(x n 。
20、，y n ，z n )，根 据zx 2 +y 2 得到如下矩阵形式： 0095 0096 定义系数矩阵A和z向量： 0097 0098 因为A是列满秩的，故A + (A H A) -1 A H ，参数A + z。欧几里得范数误差| 2 |A-z| 2 。 0099 4、实例： 0100 测量充气抛物面天线，通过非接触测量法，测量701个靶点，如表1所示。 0101 表1 0102 0103 利用自行编写的MATLAB函数进行计算得到： 0104 A + (A H A) -1 A H (3.6510 -10 ，2.2310 -10 ， 1.0510 -9 ) 7011 ； 0105 A + z6.44210 -5 ； 0106 f3880.8mm； 0107 | 2 |A-z| 2 47.1221； 0108 得到轴向偏差均方根误差为RMS1.7798mm。 说 明 书CN 104091018 A 1/1页 9 图1 说 明 书 附 图CN 104091018 A 。