一种基于复合分数重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法技术领域
本发明涉及磁悬浮转子谐波电流抑制的技术领域，具体涉及一种基于复合分数重
复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，用于对磁悬浮转子系统中的谐波电流进行抑
制，为磁悬浮转子系统在“超静”卫星平台上的应用提供技术支持。
背景技术
旋转设备中的周期性扰动是一个广受关注的问题。抑制周期性扰动的基本方法是
通过机械方式实现的，例如使用自动平衡机来减小周期性不平衡质量，采用隔振装置阻止
扰动的传递等。但是机械式的扰动抑制方法存在耗时并且成本较高的缺点，特别是当动力
学模型发生变化时其抑制效果有限。与传统的机械设备相比，磁悬浮转子系统由于具有无
摩擦、无需润滑以及主动振动可控等显著优点，受到了学术界越来越多的关注与研究，同时
它在透平机、分子泵以及磁悬浮控制力矩陀螺等高速旋转设备中也得到了日益广泛的应
用。
在磁悬浮转子系统中存在两个主要的引起周期性扰动的源头，包括转子质量不平
衡和传感器谐波。转子质量不平衡是由转子惯性轴和几何轴的偏差造成的，并且会在磁轴
承线圈中产生与转子转速同频的不平衡电流；传感器谐波主要来自于传感器的不均匀性检
测误差，它会在线圈电流中引发倍频周期性扰动。同频电流和倍频电流统称为谐波电流。进
而言之，谐波电流会导致磁悬浮转子产生谐波振动，并且振动力会直接传递到基座上。随着
转子转速的上升，尤其是当谐波成分接近转子壳体的固有模态时，会引起共振，振动幅值急
剧增加，严重影响“超静”卫星平台的高精度、高性能使用。
在磁悬浮转子系统中，谐波振动抑制一般可以分为零电流、零位移与零振动三类。
在综合考虑计算量、功率损耗和抑制效果的基础上，本发明对磁悬浮转子的谐波电流加以
抑制，从而达到消除谐波振动的效果。根据抑制频率成分的不同，现有技术主要可以分为以
下两类：第一类算法只能抑制具有单一频率成分，若要同时抑制不同频率的振动则需要此
类算法的叠加，如并联多个谐振控制器或多个LMS(Least Mean Square,LMS)滤波器等。该
类算法计算量大，且不同控制器之间收敛速度不一致，设计较复杂。第二类算法只需一个控
制器便可实现对不同频率谐波的同时抑制，如重复控制器、频域LMS算法等。重复控制器具
有计算量小、结构简单和易于实现等优点，但现有的应用于磁悬浮转子系统的重复控制器
只能在特定频率下实现所有阶次谐波成分的等效抑制，且谐波电流存在超调，收敛速度受
限。
发明内容
本发明的目的为：克服现有技术的不足，发明一种基于复合分数重复控制器的磁
悬浮转子谐波电流抑制方法，通过控制增益的分配、分数延时滤波器系数的在线更新以及
相移陷波器的额外抑制改善谐波电流抑制效果。
本发明采用的技术方案为：一种基于复合分数重复控制器的磁悬浮转子谐波电流
抑制方法，包括以下步骤：
步骤(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型
设磁轴承定子的几何中心为W，转子的几何中心为O，转子的质心为C，以W为中心建
立惯性坐标系WXY，(x,y)表示转子几何中心O在惯性坐标系下的坐标值，由于转子结构关于
轴向对称，其在X、Y方向的数学模型相同，故在X方向上对其径向谐波扰动来源以及控制算
法进行分析与研究；
根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程可写为：
其中，m表示转子质量，表示转子在X方向的加速度，fx表示磁轴承在X方向的轴承
力，fu表示转子的不平衡力，可写为：
fu＝meΩ2cos(Ωt+φ)
其中,e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，t表示时间，φ表
示转子不平衡质量的初始相位；
当转子在磁轴承中心位置悬浮时，磁轴承的电磁力可近似表示为线性化方程：
fx≈Kxx+Kiix
其中,Kx和Ki分别为磁轴承位移刚度和电流刚度，x为转子几何中心的真实坐标值，
ix为磁轴承线圈电流；
在实际转子系统中，由于受到机械加工精度和材料不均匀因素的影响，传感器谐
波不可避免，位移传感器实际测得X方向的转子位移xs(t)可表示为：
xs(t)＝x+xd(t)
其中，xd(t)为传感器谐波，可表示为：
其中,cl表示谐波系数，l表示谐波次数，p表示最高谐波次数，θl表示谐波初始相
位；
将ix、xd(t)、fu依次进行拉普拉斯变换得ix(s)、xd(s)、fu(s)，则磁轴承线圈电流ix
(s)的传递函数可表示为：
其中，Gc(s)是反馈控制器的传递函数，Gw(s)是功放环节的传递函数，Gp(s)是磁悬
浮转子的传递函数，R(s)是参考输入信号，Ks是传感器增益；
步骤(2)复合分数重复控制器的设计
以谐波电流为控制目标，将谐波电流输入至复合分数重复控制器，复合分数重复
控制器的输出反馈至原控制系统的功放输入端，复合分数重复控制器的工作过程如下：
将谐波电流作为复合分数重复控制器的输入信号，复合分数重复控制器由双模分
数重复控制器和相移陷波器并联构成，双模分数重复控制器包含奇、偶次谐波抑制两条支
路，基于内模原理实现输入信号中谐波成分的消除，并通过分配控制增益的取值着重抑制
奇、偶次谐波，定义N为采样频率与谐波电流基频的比值，则奇、偶次谐波抑制支路分别含有
N/2个延时单元，在实际磁轴承控制系统中，采样频率固定，N/2一般不为整数，采用分数延
时滤波器代替N/2的小数部分，并通过分数延时滤波器系数的在线更新保证不同定转速下
的谐波电流抑制精度，此外，在双模分数重复控制器稳定的基础上，将相移陷波器和双模分
数重复控制器并联使用，对谐波电流中的主要成分即基频电流进行额外抑制，从而提高复
合分数重复控制器的收敛性能。
进一步的，所述的步骤(2)双模分数重复控制器的传递函数为：
式中，ko为奇次谐波控制增益，ke为偶次谐波控制增益，Ts为系统采样时间，
表示N/2个相串联的延时单元；
在实际工程应用中，系统采样频率固定，N/2一般为分数，令Z表示N/2的整数部分，
F表示N/2的小数部分且0<F<1，则双模分数重复控制器的传递函数转化如下：
其中整数延时环节能够直接实现，分数延时环节由分数延时滤波器代
替实现，并通过其系数的在线更新提高谐波电流的抑制精度。
进一步的，所述的步骤(2)双模分数重复控制器控制增益取值的分配原则为：
其中kRC为奇次谐波控制增益ko与偶次谐波控制增益ke之和，为恒定值，由双模分
数重复控制器的稳定性条件确定，ΣMo表示所有奇次谐波的幅值之和，ΣMe表示所有偶次谐
波的幅值之和。
本发明基本原理：对于磁悬浮转子系统来说，高频振动会降低“超静”卫星平台的
指向精度和稳定度，必须加以抑制。由于质量不平衡和传感器谐波的存在，磁轴承线圈电流
中含有谐波成分即谐波电流，进而在磁悬浮转子系统中产生谐波振动，因此可对谐波电流
进行抑制以减小谐波振动。本发明通过建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力
学模型，分析谐波电流，提出一种基于复合分数重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方
法。本发明直接以谐波电流为控制目标，将谐波电流输入至复合分数重复控制器，复合分数
重复控制器的输出反馈至原控制系统的功放输入端。复合分数重复控制器由双模分数重复
控制器和相移陷波器并联构成。双模分数重复控制器基于内模原理消除输入信号中的谐波
成分，并通过分配其控制增益的取值着重抑制奇、偶次谐波，增强动态响应性能。采用分数
延时滤波器代替分数延时环节，改善了谐波电流的抑制精度。根据最小增益理论，本发明在
保证重复控制器稳定工作的基础上引入相移陷波器对基频电流进行额外抑制，从而有效地
减小电流超调并加快谐波收敛速度，最终实现定转速下磁悬浮转子谐波电流的抑制。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)本发明提出一种基于复合分数重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，
引入双模分数重复控制器，能够减少系统延时时间，提高定转速下磁悬浮转子谐波电流的
抑制精度，同时通过分配控制增益的取值，可对奇、偶次谐波进行着重抑制，增强动态响应
性能。
(2)本发明将双模分数重复控制器和相移陷波器并联使用，通过相移陷波器对基
频电流的额外抑制，从而改善谐波电流的收敛速度，减小超调。
附图说明
图1为本发明的流程图；
图2为磁悬浮转子系统结构示意图，其中1为径轴一体位移传感器，2为径向磁轴
承，3为轴向磁轴承，4为惯性轴，5为几何轴，6为磁悬浮转子；
图3为X方向磁悬浮转子系统框图；
图4为Y方向磁悬浮转子系统框图；
图5为X方向复合分数重复控制器系统框图；
图6为Y方向复合分数重复控制器系统框图；
图7为拉格朗日插值多项式幅频特性曲线，其中，图7a、图7b分别为n＝2和n＝3时
拉格朗日插值多项式幅频特性曲线。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实例进一步说明本发明。
如图1所示，一种基于复合分数重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法的实
施过程是：首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，然后设计一种
基于复合分数重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法。
(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型
磁悬浮转子系统的结构示意图如图2所示。设磁轴承定子的几何中心为W，转子的
几何中心为O，转子的质心为C，以W为中心建立惯性坐标系WXY，(x,y)表示转子几何中心O在
惯性坐标系下的坐标值，
根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在径向的动力学方程可写为：
其中，m表示转子质量，分别表示转子在X、Y方向的加速度，fx、fy分别表示磁
轴承在X、Y方向的轴承力，fu表示转子的不平衡力，可写为：
fu＝meΩ2cos(Ωt+φ)
其中,e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，t表示时间，φ表
示转子不平衡质量的初始相位。
当转子在磁轴承中心位置悬浮时，磁轴承的电磁力可近似表示为线性化方程：
fx≈Kxx+Kiix
fy≈Kyy+Kiiy
其中,Kx和Ky分别为磁轴承在X、Y方向的位移刚度，Ki为电流刚度，x、y分别为转子
几何中心在X、Y方向的真实坐标值，ix、iy为磁轴承线圈电流。
在实际转子系统中，由于受到机械加工精度和材料不均匀因素的影响，传感器谐
波不可避免，位移传感器实际测得X、Y方向的转子位移xs(t)、ys(t)分别为：
xs(t)＝x+xd(t)
ys(t)＝y+yd(t)
其中，xd(t)与yd(t)为传感器谐波，可表示为：
其中,cl表示谐波系数，l表示谐波次数，p表示最高谐波次数，θl表示谐波初始相
位。
将ix、iy、xd(t)、yd(t)、fu依次进行拉普拉斯变换得ix(s)、iy(s)、xd(s)、yd(s)、fu
(s)，图3、图4分别为X、Y方向的磁悬浮转子系统框图，则磁轴承线圈电流ix(s)、iy(s)的传递
函数可分别表示为：
其中，Gc(s)是反馈控制器的传递函数，Gw(s)是功放环节的传递函数，Gp(s)是磁悬
浮转子的传递函数，R(s)是参考输入信号，Ks是传感器增益。
从上式可以看出，转子质量不平衡以及传感器谐波会使磁轴承线圈产生谐波电
流，谐波电流不仅会增加磁轴承功耗，还会引起谐波振动，并通过磁轴承直接传递给航天
器，影响航天器姿态控制的精度，因此需要加以抑制。
(2)设计基于复合分数重复控制器的磁悬浮转子谐波电流抑制方法
针对步骤(1)磁轴承线圈中存在谐波电流这一问题，本发明采用一种基于复合分
数重复控制器的方法对谐波电流进行抑制。X、Y方向的复合分数重复控制器系统框图分别
如图5、图6所示，复合分数重复控制器GHR(s)由双模分数重复控制器GDR(s)和相移陷波器GNF
(s)并联构成。双模分数重复控制器包含奇、偶次谐波抑制两条支路，基于内模原理可消除
输入信号中的谐波成分，并可通过分配控制增益ko、ke的取值着重抑制奇、偶次谐波，增强动
态响应性能。N为采样频率与谐波电流基频的比值，Ts为采样周期，为延时环节，其小
数部分由分数延时滤波器代替得到；Q(s)为低通滤波器的传递函数，C(s)为相位补偿器的
传递函数；Nf(s)为跟踪滤波器的传递函数，ε为反馈系数。采用基于复合分数重复控制器的
方法，一方面可以有针对性地消除奇、偶次谐波，并提高定转速下谐波电流的抑制精度；另
一方面可以实现对基频电流的额外抑制，减小电流超调，加快谐波收敛速度。
以参考输入信号R(s)和等效谐波扰动信号Dx(s)、Dy(s)作为输入，磁轴承线圈电流
作为输出的灵敏度函数S1x(s)、S1y(s)可分别表示为：
其中，表示除去复合分数重复控制器时以磁轴承线
圈电流作为输出的灵敏度函数。从上式可以看出，对于谐波成分而言存在因
此，采用复合分数重复控制器能够实现定转速下磁悬浮转子谐波电流的抑制。
1.双模分数重复控制器分析
在双模分数重复控制器中，由于奇、偶次谐波抑制支路同时运行，因此与现有重复
控制器相比其时滞减少一半。同时引入分数延时滤波器代替分数延时环节，提高了其定转
速下谐波电流的抑制精度。双模分数重复控制器的通用表达式如下：
双模分数重复控制器为多种重复控制器提供了一个通用结构，包括传统重复控制
器(ko＝ke)，奇次谐波重复控制器(ke＝0)以及偶次谐波重复控制器(ko＝0)等。
对于参数固定的磁悬浮转子系统而言，奇次谐波控制增益ko与偶次谐波控制增益
ke之和kRC保持恒定，而各支路谐波电流的收敛速度与其控制增益的大小成正比。为进一步
改善谐波电流抑制效果，增强系统的动态响应性能，在不同定转速下可根据系统奇、偶次谐
波的幅值分配控制增益的取值，即
其中ΣMo表示所有奇次谐波的幅值之和，ΣMe表示所有偶次谐波的幅值之和。
2.分数延时环节分析
在采样频率固定的情况下，N/2一般不为整数。令N/2＝Z+F即其
中Z表示N/2的整数部分，F表示N/2的小数部分且0<F<1。由于在工程应用中分数延时环节
无法直接实现，因此可用一种拉格朗日插值多项式代替表示：
其中拉格朗日系数Ah可表示为：
多项式与分数阶延时环节的差值Rn可表示如下：
其中ξ∈[Th,Th+1]，Th和Th+1分别表示第h个和第h+1个采样时刻。可以看出，随着多
项式阶数n的增大，差值Rn逐渐减小，即拉格朗日插值多项式的近似程度逐渐升高，但此时
算法计算量也大幅增加。在实际应用中，应该综合考虑差值和计算负担这两个因素，下面分
别给出n＝2和n＝3两种情况下F从0到0.9变化时的拉格朗日插值多项式幅频特性曲线。
图7a和图7b分别为n＝2和n＝3时拉格朗日插值多项式的幅频特性曲线，拉格朗日
插值多项式的截止频率均高于系统截止频率ωc。当n＝2时，最大幅值衰减极小，拉格朗日
插值多项式与分数延时环节的近似程度极高，完全能够满足差值Rn尽可能小的要求，且与n
＝3时相比其计算负担较轻，所以在本发明中选取n＝2。
3.稳定性与陷波器分析
系统稳定是谐波抑制算法正常运行的关键。为了减轻同时调节大量参数的复杂
性，首先在保证双模分数重复控制器稳定的基础上，再对相移陷波器进行稳定性分析。为方
便下文分析，令ko＝ke＝0.5kRC。图5、图6中所示的相位补偿器C(s)可表示为：
其中G1(s)、G2(s)、分别为低、中、高频段的相位补偿函数。
由图5、图6得到去除相移陷波器时系统的闭环特征方程为：
其中T0表示磁悬浮转子的旋转周期，M(s)＝1+Gc(s)Gw(s)Gp(s)Ks，N(s)＝1+Gc(s)
Gw(s)Gp(s)Ks+2koC(s)Q(s)Gw(s)。
加入重复控制器后系统的重构谱函数R(ω)可表示为：
根据最小增益理论可知：对于一个稳定的磁悬浮转子系统，若加入重复控制器后
新系统的重构谱函数能够在ω∈(0,ωc)上满足R(ω)<1，则该系统也是稳定的。
定义系统函数F(s)：
其中F(s)|s＝jω＝L(ω)eiθ(ω)。令则上述稳定性条
件可等效为：
定义相角λ(ω)＝θ(ω)+θb(ω)+Nc·Tsω，为保证上式有解，必有以下两个条件同
时成立：
90°<λ(ω)<270°
因此，通过串联合适的相位补偿函数并选择合适的控制增益，可以保证加入双模
分数重复控制器后新系统的稳定性。在此基础上，再加入相移陷波器对基频电流进行额外
抑制。
相移陷波器的传递函数可表示为：
其中ε为比例系数，Ω为转子转速，η为补偿相角。
当满足下述不等式时，可以确保加入相移陷波器后整个系统的稳定性：
-90°<arg[S2(jΩ)]+η<90°
其中表示除去相移陷波器时
以磁轴承线圈电流作为输出的灵敏度函数。
本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。