一种倒阶梯形变截面单桩内力计算方法.pdf

一种倒阶梯形变截面单桩内力计算方法，包括计算单位剪力作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角；计算单位弯矩作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角；计算剪力Q0和弯矩M0作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角；上段基桩直径d1桩身内力计算；下段基直径d2桩身内力计算。本发明的有益效果是，将现有桩身内力算法从等截面桩推广到了倒阶梯形变截面桩，该算法可以精确算出变截面桩的内力分布，从而根据桩身的内力计算结果对变截面桩进行配筋，提高桩身的承载能力。

1.  一种倒阶梯形变截面单桩内力计算方法，其特征在于，按照以下步骤进行：
1)、单位剪力作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角：
当桩在地面或最大冲刷线处受单位剪力Q₀＝1，M₀＝0作用时，变截面处的剪力Q_l＝X₁，弯矩M_l＝X₂，联立方程解得：
δQQ=1α13E1I1·((α1X2B4l-X1B3l)+(B3lD4l-B4lD3l)A3lB4l-A4lB3l)---(30)]]>
δMQ=1α12E1I1·((α1X2B4l-X1A3l)+(A3lC4l-A4lC3l)A3lB4l-A4lB3l)---(31)]]>
式中：δ_QQ——桩在地面或最大冲刷线处受单位剪力作用时，桩在地面或最大冲刷线处的横向位移；
δ_MQ——桩在地面或最大冲刷线处受单位剪力作用时，桩在地面或最大冲刷线处的转角；
A_3l、B_3l、C_3l、D_3l、A_4l、B_4l、C_4l、D_4l——换算深度对应的影响函数A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄；
2)、单位弯矩作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角：
当桩在地面或最大冲刷线处受单位弯矩Q₀＝0，M₀＝1作用时，变截面处的剪力Q_l＝X₁，弯矩M_l＝X₂，联立方程解得：
δQM=1α12E1I1·((X2′B4l-X1′α1B3l)+(B3lC4l-B4lC3l)A3lB4l-A4lB3l)---(32)]]>
δMM=1α1E1I1·((X2′B4l-X1′α1A3l)+(A3lC4l-A4lC3l)A3lB4l-A4lB3l)---(33)]]>
式中：δ_QM——桩在地面或最大冲刷线处受单位弯矩作用时，桩在地面或最大冲刷线处的横向位移；
δ_MM——桩在地面或最大冲刷线处受单位弯矩作用时，桩在地面或最大冲刷线处的转角；
A_3l、B_3l、C_3l、D_3l、A_4l、B_4l、C_4l、D_4l——换算深度对应的影响函数A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄；
因为δ_MQ＝δ_QM，其值可任意从式(30)或式(32)求得；
3)、剪力Q₀和弯矩M₀作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角：
根据叠加原理，当桩在地面或最大冲刷线处受到剪力Q₀和弯矩M₀作用时，倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角：
x₀＝M₀δ_QM+Q₀δ_QQ(34)
φ₀＝-(M₀δ_MM+Q₀δ_MQ)(35)
4)、上段基桩直径d₁桩身内力计算：
MZ=α12E1I1((M0δQM+Q0δQQ)A3z-(M0δMM+Q0δMQ)α1B3z+M0α12E1I1C3z+Q0α13E1I1D3z)---(36)]]>
QZ=α13E1I1((M0δQM+Q0δQQ)A4z-(M0δMM+Q0δMQ)α1B4z+M0α12E1I1C4z+Q0α13E1I1D4z)---(37)]]>
在深度z处土的侧向应力σ_x：
σx=mz((M0δQM+QδδQQ)A1z-(M0δMM+Q0δMQ)α1B1z+M0α12E1I1C1z+Q0α13E1I1D1z)---(38)]]>
式中：A_1z、B_1z、C_1z、D_1z、A_3z、B_3z、C_3z、D_3z、A_4z、B_4z、C_4z、D_4z——换算深度对应的影响函数A₁、B₁、C₁、D₁、A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄；
5)、下段基直径d₂桩身内力计算：
变截面处即上段基桩底、上段基桩顶部内力和变位为：
xl=(M0δQM+Q0δQQ)A1l-(M0δMM+Q0δMQ)α1B1l+M0E1I1α12C1l+Q0α13E1I1D1l---(4)]]>
φl=α1((M0δQM+Q0δQQ)A2l-(M0δMM+Q0δMQ)α1B2l+M0α12E1I1C2l+Q0α13E1I1D2l)---(5)]]>
Ml=α12E1I1((M0δQM+Q0δQQ)A3l-(M0δMM+Q0δMQ)α1B3l+M0α12E1I1C3l+Q0α13E1I1D3l)---(6)]]>
Ql=α13E1I1((M0δQM+Q0δQQ)A4l-(M0δMM+Q0δMQ)α1B4l+M0α12E1I1C4l+Q0α13E1I1D4l)---(7)]]>
在桩的下段直径d₂长度范围内任意深度z处桩身截面内的弯矩M_z和横向力Q_z以及在桩侧土的侧向应力σ_x按下面公式计算：
Mz=α2E2I2(α2xlA3z+φlB3z)+MlC3z+Qlα2D3zQz=α22E1I1(α2xlA4z+φlB4z)+α2MlC4z+QlD4zσx=mz(xlA1z+φlα2B1z+Mlα22E1I1C1z+Qlα23E1I1D1z)---(39)]]>
式中：A_1z、B_1z、C_1z、D_1z、A_3z、B_3z、C_3z、D_3z、A_4z、B_4z、C_4z、D_4z——换算深度对应的影响函数A₁、B₁、C₁、D₁、A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄。

一种倒阶梯形变截面单桩内力计算方法
技术领域
本发明属于土木工程技术领域，涉及一种横向荷载作用下倒阶梯形变截面单桩内力计算方法。
背景技术
随着桩基础在实际工程中的应用越来越多，桩基础的变形问题、承载力问题以及工程造价也逐渐成为建筑领域中非常令人关注的问题。在这种背景下，众多的学者和工程技术人员对桩基础的研究与应用进行了不断地探索与创新，许多新桩型也不断涌现出来，倒阶梯形变截面桩就是其中一种。变截面桩在减小沉降、增加桩基安全性、降低基础工程造价等方面都取得了较为显著的社会效益和经济效益，南昌八一大桥、苏通大桥、大胜关桥等均有采用，但日前关于变截面桩的理论研究成果还相对较少。
倒阶梯形变截面桩分析仍旧建立在传统的横向受力桩基分析方法的基础上，以m法为例，根据材料力学，常规弹性桩主要是求解桩的四阶弹性微分方程：
d4xdz4+mb1EIzxz=0---(1)]]>
式中：E、I——分别为桩的弹性模量及截面惯矩；
b₁——桩的计算宽度；
x_z——桩在深度z处的横向位移(即桩的挠度)。
m——地基系数随土的种类而变的比例系数；
令代入(1)式：
d4xzdZ4+a5Zxz=0---(2)]]>
式中：α——桩的变形系数(m^-1)，
按照微分方程的解析理论，可采用幂级数展开的方法求出桩挠曲微分方程(2)的通解。
当z＝0时，即地面处(或局部冲刷线处)：

根据通解结果和量纲平衡，桩的轴线挠曲方程：

根据材料力学知识，可知：
φz=α(x0A2+φ0αB2+M0α2EIC2+Q0α3EID2)---(5-1)]]>
MZ=α2EI(x0A3+φ0αB3+M0α2EIC3+Q0α3EID3)---(6-1)]]>
QZ=α3EI(x0A4+φ0αB4+M0α2EIC4+Q0α3EID4)---(7-1)]]>
式中：A₁、B₁、……C₄、D₄——无量纲系数，也称作影响函数，现行规范已经将这些系数根据不同的换算深度汇成表格，详见附表1。
上述内力计算方法仅适用于等截面桩，对于分段变截面桩水平向外力和弯矩的作用下，桩身内力、变形和桩侧土应力的计算方法尚出现。
发明内容
本发明的目的是提供一种倒阶梯形变截面单桩内力计算方法，精确度高。
本发明所采用的技术方案是，一种倒阶梯形变截面单桩内力计算方法，按照以下步骤进行：
1)、单位剪力作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角：
当桩在地面或最大冲刷线处受单位剪力Q₀＝1，M₀＝0作用时，变截面处的剪力Q_l＝X₁，弯矩M_l＝X₂，联立方程解得：
δQQ=1α13E1I1·((α1X2B4l-X1B3l)+(B3lD4l-B4lD3l)A3lB4l-A4lB3l)---(30)]]>
δMQ=1α12E1I1·((α1X2B4l-X1A3l)+(A3lC4l-A4lC3l)A3lB4l-A4lB3l)---(31)]]>
式中：δ_QQ——桩在地面或最大冲刷线处受单位剪力作用时，桩在地面或最大冲刷线处的横向位移；
δ_MQ——桩在地面或最大冲刷线处受单位剪力作用时，桩在地面或最大冲刷线处的转角；
A_3l、B_3l、C_3l、D_3l、A_4l、B_4l、C_4l、D_4l——换算深度对应的影响函数A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄；
2)、单位弯矩作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角：
当桩在地面或最大冲刷线处受单位弯矩Q₀＝0，M₀＝1作用时，变截面处的剪力Q_l＝X₁，弯矩M_l＝X₂，联立方程解得：
δQM=1α12E1I1·((x2′B4l-X1′α1B3l)+(B3lC4l-B4lC3l)A3lB4l-A4lB3l)---(32)]]>
δMM=1α1E1I1·((X2′B4l-X1′α1A3l)+(A3lC4l-A4lC3l)(A3lB4l-A4lB3l))---(33)]]>
式中：δ_QM——桩在地面或最大冲刷线处受单位弯矩作用时，桩在地面或最大冲刷线处的横向位移；
δ_MM——桩在地面或最大冲刷线处受单位弯矩作用时，桩在地面或最大冲刷线处的转角；
A_3l、B_3l、C_3l、D_3l、A_4l、B_4l、C_4l、D_4l——换算深度对应的影响函数A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄；
因为δ_MQ＝δ_QM，其值可任意从式(30)或式(32)求得；
3)、剪力Q₀和弯矩M₀作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角：
根据叠加原理，当桩在地面或最大冲刷线处受到剪力Q₀和弯矩M₀作用时，倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角：
x₀＝M₀δ_QM+Q₀δ_QQ(34)
φ₀＝-(M₀δ_MM+Q₀δ_MQ)(35)
4)、上段基桩直径d₁桩身内力计算：


在深度z处土的侧向应力σ_x：
σx=mz((M0δQM+Q0δQQ)A1z-(M0δMM+Q0δMQ)α1B1z+M0α12E1I1C1z+Q0α13E1I1D1z)---(38)]]>
式中：A_1z、B_1z、C_1z、D_1z、A_3z、B_3z、C_3z、D_3z、A_4z、B_4z、C_4z、D_4z——换算深度对应的影响函数A₁、B₁、C₁、D₁、A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄；
5)、下段基直径d₂桩身内力计算：
变截面处即上段基桩底、上段基桩顶部内力和变位为：




在桩的下段直径d₂长度范围内任意深度z处桩身截面内的弯矩M_z和横向力Q_z以及在桩侧土的侧向应力σ_x按下面公式计算：
Mz=α2E2I2(α2xlA3z+φlB3z)+MlC3z+Qlα2D3zQz=α22E1I1(α2xlA4z+φlB4z)+α2MlC4z+QlD4zσx=mz(xlA1z+φlα2B1z+Mlα22E1I1C1z+Qlα23E1I1D1z)---(39)]]>
式中：A_1z、B_1z、C_1z、D_1z、A_3z、B_3z、C_3z、D_3z、A_4z、B_4z、C_4z、D_4z——换算深度对应的影响函数A₁、B₁、C₁、D₁、A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄。
本发明的有益效果是，将现有桩身内力算法从等截面桩推广到了倒阶梯形变截面桩，该算法可以精确算出变截面桩的内力分布，从而根据桩身的内力计算结果对变截面桩进行配筋，提高桩身的承载能力。
附图说明
图1是变截面桩计算简图。
图2是地面处承受单位横向力和单位力矩作用下地面处所产生的位移和转角示意图。
图3是变截面处未知力示意图。
图4是地面处和切开面处单位横向力和单位力矩作用下地面处所产生的位移和转角示意图。
具体实施方式
基于既有弹性桩设计理论，根据变截面处桩身变形连续性，按结构力学原理组成力法正则方程，分别考虑了下部支撑于岩石地基和非岩石地基上的两种边界条件，推导了在水平力Q和弯矩M的作用下桩身的内力及变形计算公式。
本发明采用m法计算桩侧土抗力。
一、基本假设
假设桩侧土的横轴向弹性抗力与桩的横向位移成正比。
p_zx＝Cx_z
式中：p_zx——土的横轴向弹性抗力(kPa)；
C——横轴向地基系数(kN/m³)
x_z——深度z处桩的横轴向位移。
假设地基系数C随深度呈正比例增加(m法)。
C＝mz
式中：m——地基比例系数(kN/m⁴)。
二、力法正则方程
一倒阶梯形桩，桩在地面或局部冲刷线以上的长度为l₀，以下的长度为h。桩在地面下l深度处变径，上段桩的直径为d₁，下段桩的直径为d₂，如图1所示。
桩在地面或局部冲刷线处分别承受单位横向力Q₀＝1(图2a、图2c)和单位力矩M₀＝1(图2b、图2d)的作用。
现将桩身沿变截面处切开，如图3所示。按结构力学原理组成力法正则方程：
当地面处承受单位横向力Q₀＝1作用时：
δ11δ12δ21δ22X1X2=-Δ1Q-Δ2Q---(8)]]>
当地面处承受单位横向力M₀＝1作用时：
δ11δ12δ21δ22X1′X2′=-Δ1M-Δ2M---(9)]]>
式中：X₁——当桩在地面或局部冲刷线处受单位水平力作用时，变截面处的剪力，如图3(a)所示；
X₂——当桩在地面或局部冲刷线处受单位水平力作用时，变截面处的弯矩，如图3(c)所示；
X′₁——当桩在地面或局部冲刷线处受单位弯矩作用时，变截面处的剪力，如图3(b)所示；
X′₂——当桩在地面或局部冲刷线处受单位弯矩作用时，变截面处的弯矩，如图3(d)所示；
δ₁₁——当变截面处作用有单位剪力时，变截面处的横向位移，如图4(a)所示
δ₁₂——当变截面处作用有单位弯矩时，变截面处的横向位移，如图4(c)所示；
δ₂₁——当变截面处作用有单位剪力时，变截面处的转角，如图4(b)所示，δ₂₁＝δ₁₂；
δ₂₂——当变截面处作用有单位弯矩时，变截面处的转角，如图4(d)所示；
Δ_1Q——当桩在地面或局部冲刷线处受单位水平力作用时，变截面处的横向位移，如图4(e)所示；
Δ_2Q——当桩在地面或局部冲刷线处受单位水平力作用时，变截面处的转角，如图4(e)所示；
Δ_1M——当桩在地面或局部冲刷线处受单位弯矩作用时，变截面处的横向位移，如图4(f)所示；
Δ_2M——当桩在地面或局部冲刷线处受单位弯矩作用时，变截面处的转角，如图4(f)所示；
δ11=δ11′+δ11′′δ22=δ22′+δ22′′δ12=δ21=δ21′+δ21′′---(10)]]>
式中：δ′₁₁——当变截面处作用有单位剪力时，上段基桩引起的横向位移；
δ″₁₁——当变截面处作用有单位剪力时，下段基桩引起的横向位移；
δ′₂₂——当变截面处作用有单位弯矩时，上段基桩引起的转角；
δ″₂₂——当变截面处作用有单位弯矩时，下段基桩引起的转角；
δ′₂₁——当变截面处作用有单位剪力时，上段基桩引起的转角；或当变截面处作用有单位弯矩时，上段基桩引起的横向位移；
δ″₂₁——当变截面处作用有单位剪力时，下段基桩引起的转角；或当变截面处作用有单位弯矩时，下段基桩引起的横向位移；
三、δ₁₁、δ₁₂、δ₂₁和δ₂₂求解
1、δ′₁₁、δ′₂₁求解
δ′₁₁、δ′₂₁即为当桩身变截面处受单位剪力时，上段基桩引起的横向位移、转角。
桩在地面或最大冲刷线处自由，不考虑其受力，即水平力Q₀＝0和弯矩M₀＝0。代入公式(4)、(5)得：
xlφlα1=A1B1A2B2xlφ0α1---(11)]]>
式中：x_l——变截面处桩身横向位移；
φ_l——变截面处桩身转角；
α₁——上段基桩变形系数，
m——土体地基比例系数；
b₁——上段基桩计算宽度；
E₁——上段基桩混凝土弹性模量；
I₁——上段基桩转动惯量；
A₁、B₁、A₂、B₂——换算深度对应的影响函数，查附表1确定；
x₀——基桩在地面或局部冲刷线处的横向位移；
φ₀——基桩在地面或局部冲刷线处的转角；
桩身在变截面处(z＝l)的剪力X₁＝1，弯矩X₂＝0。代入公式(6)、(7)得：
01α13E1I1=A3B3A4B4x0φ0α1---(12)]]>
式中：A₃、B₃、A₄、B₄——换算深度对应的影响函数，查附表1确定；其余符号同上式。
求解方程(12)得
x0=B3α13E1I1(A4B3-A3B4)φ0α1=B3α12E1I1(A3B4-A4B3)---(13)]]>
将式(13)代入式(11)，此时x_l＝-δ′₁₁，φ_l＝δ′₂₁，即
δ11′=1α13E1I1A1B3-A3B1A3B4-A4B3---(14)]]>
δ21′=1α12E1I1A3B2-A2B3A3B4-A4B3---(15)]]>
2、δ′₁₂、δ′₂₂求解
同理可求得桩身在变截面处(z＝l)的剪力X₁＝0、弯矩X₂＝1时，变截面处桩身的横向位移δ′₁₂和转角δ′₂₂。
δ12′=1α12E1I1·A4B1-A1B4A3B4-A4B3---(16)]]>
δ22′=1α1E1I1·A2B4-A4B2A3B4-A4B3---(17)]]>
因为δ′₂₁＝δ′₁₂，其值可任意按式(10)或式(11)计算。
3、δ″₁₁、δ″₂₁求解
假设桩身直径全部为d₂(下段基桩的直径)，桩长h＝l+L，周围土体地基比例系数为m，δ″₁₁、δ″₂₁即为当桩身变截面处受单位剪力时，下段基桩引起的横向位移和转角。
(1)桩身底部支承于非岩石地基上
变截面处z＝l，该处的弯矩M_l＝X₂＝0，剪力Q_l＝X₁＝1；
桩端处z＝h，此处的边界条件为：弯矩M_h＝-C₀φ_hI₀，剪力Q_h＝0。
式中：C₀——桩端处土体的地基系数，C₀＝mh；
φ_h——桩端处的转角；
I₀——桩底面积对其重心的惯性矩；
将上述边界条件代入式(4)、(5)、(6)、(7)得：
A3lB3lC3lD3lA4lB4lC4lD4lA3h+KhA2hB3h+KhB2hC3h+KhC2hD3h+KhD2hA4hB4hC4hD4hx01φ01α2M01α22E2I2Q1α23E2I2=01α23E2I200---(18)]]>
式中：A_3l、B_3l、C_3l、D_3l、A_4l、B_4l、C_4l、D_4l——换算深度对应的影响函数A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄，其值查附表1确定。
A_2h、B_2h、C_2h、D_2h——换算深度对应的影响函数A₂、B₂、C₂、D₂，其值查附表1确定。
A_3h、B_3h、C_3h、D_3h、A_4h、B_4h、C_4h、D_4h——换算深度对应的影响函数A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄，其值查附表1确定。
K_h——系数，当α₂h≥4时，K_h＝0。
α₂——直径为d₂基桩的变形系数，
b₂——下段基桩计算宽度；
E₂——下段基桩混凝土弹性模量；
I₂——下段基桩转动惯量；
x₀₁、φ₀₁、M₀₁、Q₀₁——当变截面处作用于单位剪力(X₁＝1)时，桩在地面或局部冲刷线处的横向位移、转角、弯矩和剪力。
联解式(18)可求得x₀₁、φ₀₁、M₀₁和Q₀₁。
变截面处z＝l，此时，该处桩身的水平位移x_l＝δ″₁₁，转角φ_l＝-δ″₂₁，代入式(4)、(5)得：
δ11″=x01A1l+φ01α2B1l+M01α22E2I2C1l+Q01α23E2I2D1l---(19)]]>
δ21′′=-α2(x01A2l+φ01α2B2l+M01α22E2I2C2l+Q01α23E2I2D2l)---(20)]]>
式中：A_1l、B_1l、C_1l、D_1l、A_2l、B_2l、C_2l、D_2l——换算深度对应的影响函数A₁、B₁、C₁、D₁、A₂、B₂、C₂、D₂，其值查附表1确定。
(2)桩身底部嵌固于岩石内
变截面处z＝l，该处的弯矩M_l＝X₂＝0，剪力Q_l＝X₁＝1；
桩端处z＝h，此处的边界条件为：转角φ_h＝0，横向位移x_h＝0。
将上述边界条件代入式(4)、(5)、(6)、(7)得：
A3lB3lC3lD3lA4lB4lC4lD4lA1hB1hC1hD1hA2hB2hC2hD2hx01φ01α2M01α22E2I2Q01α23E2I2==01α23E2I200---(21)]]>
式中符号的意义与前面相同。
联解式(21)可求得x₀₁、φ₀₁、M₀₁和Q₀₁。代入式(19)和(20)，可求得桩身底部嵌固于岩石时的δ″₁₁和δ″₂₁。
4、δ″₁₂、δ″₂₂求解
δ″₁₂、δ″₂₂即为当桩身变截面处受单位弯矩时，下段基桩引起的横向位移和转角。
(1)桩身底部支承于非岩石地基上
变截面处z＝l，该处的弯矩M_l＝X₂＝1，剪力Q_l＝X₁＝0；
桩端处z＝h，此处的边界条件为：弯矩M_h＝-C₀φ_hI₀，剪力Q_h＝0。
将上述边界条件代入式(4)、(5)、(6)、(7)得：
A3lB3lC3lD3lA4lB4lC4lD4lA3h+KhA2hB3h+KhB2hC3h+KhC2hD3h+KhD2hA4hB4hC4hD4hx02φ02α2M02α22E2I2Q02α23E2I2=1α23E2I2000---(22)]]>
式中：x₀₂、φ₀₂、M₀₂、Q₀₂——当变截面处作用于单位弯矩(X₂＝1)时，桩在地面或局部冲刷线处的横向位移、转角、弯矩和剪力。其余符号意义同前。
联解式(22)可求得x₀₂、φ₀₂、M₀₂和Q₀₂。
变截面处z＝l，此时，该处桩身的水平位移x_l＝δ″₁₂，转角φ_l＝-δ″₂₂，将x₀₂、φ₀₂、M₀₂和Q₀₂代入式(4)、(5)得：
δ12′′=x02A1l+φ02α2B1l+M02α22E2I2C1l+Q02α23E2I2D1l---(23)]]>
δ22′′=-α2(x02A2l+φ02α2B2l+M02α22E2I2C2l+Q02α23E2I2D2l)---(24)]]>
因为δ″₂₁＝δ″₁₂，故其值可任意从式(15)或式(18)求得。
(2)桩身底部嵌固于岩石内
变截面处z＝l，该处的弯矩M_l＝X₂＝1，剪力Q_l＝X₁＝0；
桩端处z＝h，此处的边界条件为：转角φ_h＝0，横向位移x_h＝0。
将上述边界条件代入式(4)、(5)、(6)、(7)得：
A3lB3lC3lD3lA4lB4lC4lD4lA1hB1hC1hD1hA2hB2hC2hD2hx02φ02α2M02α22E2I2Q02α23E2I2==1α22E2I2000---(25)]]>
联解式(20)可求得x₀₂、φ₀₂、M₀₂和Q₀₂。代入式(23)和(24)，可求得δ″₁₂和δ″₂₂。
求得δ′₁₁、δ′₂₁、δ′₁₂、δ′₂₂、δ″₁₁、δ″₂₁、δ″₁₂、δ″₂₂后，将计算结果代入式(10)，即可求得系数δ₁₁、δ₁₂、δ₂₁和δ₂₂。
四、Δ_1Q、Δ_2Q、Δ_1M和Δ_2M求解
将上段基桩考虑为自由体，桩上段自由体在地面处横向力Q₀＝1、弯矩M₀＝0作用下，下端自由，剪力Q_l＝0，弯矩M_l＝0，如图4(e)所示。此时，Δ_1Q＝-x_l，将边界条件代入式(4)、(5)、(6)、(7)，联立方程解得：
Δ1Q=1α13E1I1(-A1l·B3lD4l-B4lD3lA3lB4l-A4lB3l+B1l·A3lD4l-A4lD3lA3lB4l-A4lB3l-D1l)---(26)]]>
Δ2Q=1α12E1I1(A2l·B3lD4l-B4lD3lA3lB4l-A4lB3l-B2l·A3lD4l-A4lD3lA3lB4l-A4lB3l+D2l)---(27)]]>
式中，A_1l、B_1l、D_1l、A_2l、B_2l、D_2l、A_3l、B_3l、D_3l、A_4l、B_4l、D_4l为换算深度对应的影响函数A₁、B₁、D₁、A₂、B₂、D₂、A₃、B₃、D₃、A₄、B₄、D₄，其值查附表1确定。
将上段基桩考虑为自由体，桩上段自由体在地面处横向力Q₀＝0、弯矩M₀＝1作用下，下端自由，剪力Q_l＝0，弯矩M_l＝0，如图4(f)所示。考虑到B_3lC_4l-B_4lC_3l＝A_3lD_4l-A_4lD_3l，将上边界条件代入式(4)、(5)、(6)、(7)，联立方程解得：
Δ1M=1α12E1I1(-A1l·A3lD4l-A4lD3lA3lB4l-A4lB3l+B1l·A3lC4l-A4lC3lA3lB4l-A4lB3l-C1l)---(28)]]>
Δ2M=1α1E1I1(A2l·A3lD4l-A4lD3lA3lB4l-A4lB3l-B2l·A3lC4l-A4lC3lA3lB4l-A4lB3l+C2l)---(29)]]>
五、X₁、X₂、X′₁、X′₂求解
根据式(10)求得δ₁₁、δ₁₂、δ₂₁和δ₂₂。
根据式(26)、(27)、(28)、(29)求得Δ_1Q、Δ_2Q、Δ_1M和Δ_2M。
将上述结果代入方程(3)、(4)，联解求出X₁、X₂、X′₁、X′₂。
六、倒阶梯形变截面单桩内力计算
1、单位剪力作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角
当桩在地面或最大冲刷线处受单位剪力(Q₀＝1，M₀＝0)作用时，变截面处的剪力Q_l＝X₁，弯矩M_l＝X₂，如图3a、图3c所示。将上边界条件代入式(6)、(7)，联立方程解得：
δQQ=1α13E1I1·((α1X2B4l-X1B3l)+(B3lD4l-B4lD3l)A3lB4l-A4lB3l)---(30)]]>
δMQ=1α12E1I1·((α1X2B4l-X1A3l)+(A3lC4l-A4lC3l)A3lB4l-A4lB3l)---(31)]]>
式中：δ_QQ——桩在地面或最大冲刷线处受单位剪力(Q₀＝1，M₀＝0)作用时，桩在地面或最大冲刷线处的横向位移。
δ_MQ——桩在地面或最大冲刷线处受单位剪力(Q₀＝1，M₀＝0)作用时，桩在地面或最大冲刷线处的转角。
A_3l、B_3l、C_3l、D_3l、A_4l、B_4l、C_4l、D_4l——换算深度对应的影响函数A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄，其值查附表1确定。
2、单位弯矩作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角
当桩在地面或最大冲刷线处受单位弯矩(Q₀＝0，M₀＝1)作用时，变截面处的剪力Q_l＝X₁，弯矩M_l＝X₂，如图3a、图3c所示。将上边界条件代入式(6)、(7)，联立方程解得：
δQM=1α12E1I1·((x2′B4l-X1′α1B3l)+(B3lC4l-B4lC3l)A3lB4l-A4lB3l)---(32)]]>
δMM=1α1E1I1·((X2′B4l-X1′α1A3l)+(A3lC4l-A4lC3l)(A3lB4l-A4lB3l))---(33)]]>
式中：δ_QM——桩在地面或最大冲刷线处受单位弯矩(Q₀＝0，M₀＝1)作用时，桩在地面或最大冲刷线处的横向位移。
δ_MM——桩在地面或最大冲刷线处受单位弯矩(Q₀＝0，M₀＝1)作用时，桩在地面或最大冲刷线处的转角。
A_3l、B_3l、C_3l、D_3l、A_4l、B_4l、C_4l、D_4l——换算深度对应的影响函数A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄，其值查附表1确定。
因为δ_MQ＝δ_QM，其值可任意从式(30)或式(32)求得。
3、剪力Q₀和弯矩M₀作用下倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角
根据叠加原理，当桩在地面或最大冲刷线处受到剪力Q₀和弯矩M₀作用时，倒阶梯形变截面单桩在地面或最大冲刷线处的横向位移和转角：
x₀＝M₀δ_QM+Q₀δ_QQ(34)
φ₀＝-(M₀δ_MM+Q₀δ_MQ)(35)。
4、上段基桩(直径d₁)桩身内力计算
根据公式(6)、(7)可知：


在深度z处土的侧向应力σ_x：
σx=mz((M0δQM+Q0δQQ)A1z-(M0δMM+Q0δMQ)α1B1z+M0α12E1I1C1z+Q0α13E1I1D1z)---(38)]]>
式中：A_1z、B_1z、C_1z、D_1z、A_3z、B_3z、C_3z、D_3z、A_4z、B_4z、C_4z、D_4z——换算深度对应的影响函数A₁、B₁、C₁、D₁、A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄，其值查附表1确定。
5、下段基桩(直径d₂)桩身内力计算
变截面处(即上段基桩底、上段基桩顶部)内力和变位为




在桩的下段(直径d₂)长度范围内任意深度z处桩身截面内的弯矩M_z和横向力Q_z以及在桩侧土的侧向应力σ_x可按下面公式计算：
Mz=α2E2I2(α2xlA3z+φlB3z)+MlC3z+Qlα2D3zQz=α22E1I1(α2xlA4z+φlB4z)+α2MlC4z+QlD4zσx=mz(xlA1z+φlα2B1z+Mlα22E1I1C1z+Qlα23E1I1D1z)---(39)]]>
式中：A_1z、B_1z、C_1z、D_1z、A_3z、B_3z、C_3z、D_3z、A_4z、B_4z、C_4z、D_4z——换算深度对应的影响函数A₁、B₁、C₁、D₁、A₃、B₃、C₃、D₃、A₄、B₄、C₄、D₄，其值查附表1确定。
表1