双螺杆磨浆机构统计公差设计方法.pdf

本发明涉及一种双螺杆磨浆机构统计公差设计方法，将双螺杆磨浆机侧间隙和径向间隙的要求通过轴向尺寸链和径向尺寸链转化为双螺杆磨浆机螺纹元件、芯轴等零部件尺寸公差、形状位置公差的要求，为双螺杆磨浆机构的精度设计、容差设计、保证装配质量、降低制造成本奠定了良好的基础。尤其是基于混合卷积算法的计算机辅助统计公差设计方法，在保证复杂尺寸链装配质量的前提下，为进一步降低零部件的加工成本提供了更为有利的工具和方法。本发明对于双螺杆磨浆机的设计和制造、保证双螺杆磨浆机的质量具有重要的意义。

1、  一种双螺杆磨浆机构统计公差设计方法，其特征在于：在双螺杆磨浆机构轴向将双螺杆磨浆机侧间隙、双螺杆磨浆机螺杆上的螺纹元件长度和螺纹理论螺距组成一直线尺寸链，该尺寸链用下式表达：
A0=Σi=1n+1ξiAi=Σi=1nAi-Pt]]>
其中：Pt=Σj=1mPj]]>
式中：A₀——双螺杆磨浆机侧间隙为封闭环，为2～4mm；
ξ_i——第i个组成环的尺寸传递系数，在该尺寸链中对于增环ξ_i＝1，对于减环ξ_i＝-1；
A_i——第i个螺纹元件的长度，均为增环，i＝1，2，...，n，n为每根螺杆上螺纹元件的总数；
P_j——第j个螺纹的理论螺距，j＝1，2，...，m，m为螺杆上所有螺纹的总数；
P_t——螺杆螺纹理论螺距之和，为减环；
通过求解上述尺寸链，可将双螺杆磨浆机侧间隙的要求转化为每个螺纹元件长度的尺寸公差要求，即可完成双螺杆磨浆机构轴向公差设计。

2、  根据权利要求1所述的双螺杆磨浆机构统计公差设计方法，其特征在于：在双螺杆磨浆机的径向设定两根螺杆的轴承间隙、花键配合间隙、花键孔和螺纹外径同轴度误差相等，径向间隙和螺杆径向尺寸以及上述3项误差组成一平面尺寸链，
B＝C_L-R′_b-R′_s+2(e_z+e_jcosα-e_scosβ)
式中：B——双螺杆磨浆机径向间隙要求为封闭环，为3～5mm；
C_L——双螺杆磨浆机设计中心矩；
R_b’，R_s’——分别为实际的螺杆外半径、内半径；
e_z——螺杆两端的轴承间隙；
e_j——螺纹元件花键孔与螺杆芯轴花键的配合间隙；
e_s——螺纹元件花键孔中心与螺纹外径中心的同轴度误差；
α，β——分别为e_s，e_j与x轴的夹角。
通过求解上述尺寸链，将双螺杆磨浆机径向间隙的要求转化为螺杆径向尺寸、配合公差、同轴度和间隙的设计要求。

双螺杆磨浆机构统计公差设计方法
技术领域
本发明属于机械工程和制浆造纸工程领域，尤其是一种双螺杆磨浆机构统计公差设计方法。
背景技术
双螺杆磨浆机，又称双螺旋辊式磨浆机、双螺杆揉浆机，是一种资源节约型的新型磨浆设备，它采用挤压与切割原理将制浆材料如杨木片、棉秆等加工成一定长度纤维状的纸浆，其核心部件是双螺杆磨浆机构。双螺杆磨浆机构是由两个相互平行、彼此啮合、转向相同的特殊螺杆和与其配合的机筒组成的机构，特殊螺杆上的螺旋(纹)正反向交替，反向螺旋上开有数个斜槽，如图1所示。在磨浆过程中，制浆材料由进料口送入，沿正向螺旋的螺旋槽向前移动，被推向反向螺旋，在正、反向螺旋挤压作用下物料被压缩，由于正向螺旋挤压作用较大，物料被迫从反向螺旋的斜槽通过而被撕裂揉碎、进入下一个挤压区，如此反复，在出料口物料被磨制成纸浆。双螺杆磨浆机以其磨浆质量好、节能节水低污染等优良特性，受到国内外学者和制浆造纸行业的高度重视，被称为是继第一代打浆机、第二代盘磨机之后的第三代磨浆机械。
双螺杆磨浆机是我国产业政策提倡发展的高浓制浆设备，具有广阔的应用前景，可用于化学机械浆和半化学浆等高得率浆的生产、渣浆再磨、废纸处理、浆料漂白和洗涤等工艺。双螺杆磨浆机可以替代目前广泛使用的盘磨机或者配合盘磨机提高机械浆的质量并降低生产成本。
双螺杆磨浆机构的螺杆结构较为复杂，如图1所示。为了便于加工，通常将螺杆分解成由不同螺距、不同旋向的螺纹元件和螺杆芯轴组合的结构。为了保证该两根螺杆装配以后的正常运转，在螺杆轴向相互啮合的螺纹侧面需要保证一定的侧间隙，在螺杆径向一根螺杆外径和另一根螺杆的内径之间需要保证一定的径向间隙，如何将螺杆装配时的侧间隙和径向间隙要求转换为螺杆零件的公差技术要求，是保证双螺杆磨浆机制造装配质量、降低制造成本的关键问题。目前主要采用经验或者实验的方法来保证双螺杆机构的侧间隙和径向间隙，这两种方法设计周期较长、制造成本较高。因此，双螺杆磨浆机构的统计公差分析方法的研究是很有必要的。
发明内容
本发明的目的是克服现有技术的不足，从保证两螺杆侧间隙和径向间隙入手，在双螺杆磨浆机构轴向和径向进行公差分析，建立尺寸链方程，并运用基于混合卷积算法的统计公差方法进行计算，从而对双螺杆磨浆机构进行公差设计，以提出经济合理的公差要求。
本发明的技术方案是：
一种双螺杆磨浆机构统计公差设计方法，其特征在于：在双螺杆磨浆机构轴向将双螺杆磨浆机侧间隙、双螺杆磨浆机螺杆上的螺纹元件长度和螺纹理论螺距组成一直线尺寸链，该尺寸链用下式表达：
A0=Σi=1n+1ξiAi=Σi=1nAi-Pt]]>
其中：Pt=Σj=1mPj]]>
式中：A₀——双螺杆磨浆机侧间隙为封闭环，为2～4mm；
ξ_i——第i个组成环的尺寸传递系数，在该尺寸链中对于增环ξ_i＝1，对于减环ξ_i＝-1；
A_i——第i个螺纹元件的长度，均为增环，i＝1，2，...，n，n为每根螺杆上螺纹元件的总数；
P_j——第j个螺纹的理论螺距，j＝1，2，...，m，m为螺杆上所有螺纹的总数；
P_t——螺杆螺纹理论螺距之和，为减环；
通过求解上述尺寸链，可将双螺杆磨浆机侧间隙的要求转化为每个螺纹元件长度的尺寸公差要求，即可完成双螺杆磨浆机构轴向公差设计。
而且，在双螺杆磨浆机的径向设定两根螺杆的轴承间隙、花键配合间隙、花键孔和螺纹外径同轴度误差相等，径向间隙和螺杆径向尺寸以及上述3项误差组成一平面尺寸链，
B＝C_L-R′_b-R′_s+2(e_z+e_jcosα-e_scosβ)
式中：B——双螺杆磨浆机径向间隙要求为封闭环，一般为3～5mm；
C_L——双螺杆磨浆机设计中心矩；
R_b’，R_s’——分别为实际的螺杆外半径、内半径；
e_z——螺杆两端的轴承间隙；
e_j——螺纹元件花键孔与螺杆芯轴花键的配合间隙；
e_s——螺纹元件花键孔中心与螺纹外径中心的同轴度误差；
α，β——分别为e_s，e_j与x轴的夹角。
通过求解上述尺寸链，将双螺杆磨浆机径向间隙的要求转化为螺杆径向尺寸、配合公差、同轴度和间隙的设计要求。
本发明的优点和积极效果是：
本发明将双螺杆磨浆机侧间隙和径向间隙的要求通过轴向尺寸链和径向尺寸链转化为双螺杆磨浆机螺纹元件、芯轴等零部件尺寸公差、形状位置公差的要求，为双螺杆磨浆机构的精度设计、容差设计、保证装配质量、降低制造成本奠定了良好的基础。尤其是基于混合卷积算法的计算机辅助统计公差设计方法，在保证复杂尺寸链装配质量的前提下，为进一步降低零部件的加工成本提供了更为有利的工具和方法。本发明对于双螺杆磨浆机的设计和制造、保证双螺杆磨浆机的质量具有重要的意义。
附图说明
图1为本发明双螺杆磨浆机构示意图；
图2为本发明双螺杆磨浆机构轴向误差分析及轴向尺寸链；
图3为本发明双螺杆磨浆机构径向误差分析；
其中：(a)为没有误差的情况；(b)为轴承间隙特别是磨损后产生的误差(方向向外)；(c)为螺纹元件花键孔与花键芯轴间隙产生的误差；(d)为螺纹元件花键孔偏心误差与螺杆内径、外径误差；
图4为本发明双螺杆磨浆机构径向尺寸链。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明进一步说明；下述实施例是说明性的，不是限定性的，不能以下述实施例来限定本发明的保护范围。
一种双螺杆磨浆机构统计公差设计方法，是在双螺杆磨浆机构轴向将双螺杆磨浆机侧间隙、螺杆上的螺纹元件长度和螺纹理论螺距组成一直线尺寸链，该尺寸链用下式表达：
A0=Σi=1n+1ξiAi=Σi=1nAi-Pt]]>
其中：Pt=Σj=1mPj]]>
式中：A₀——双螺杆磨浆机侧间隙为封闭环，一般为2～4mm；
ξ_i——第i个组成环的尺寸传递系数，在该尺寸链中对于增环ξ_i＝1，对于减环ξ_i＝-1；
A_i——第i个螺纹元件的长度，均为增环，i＝1，2，...，n，n为每根螺杆上螺纹元件的总数；
P_j——第j个螺纹的理论螺距，j＝1，2，...，m，m为每根螺杆上所有螺纹的总数；
P_t——螺杆螺纹理论螺距之和，为减环；
通过求解上述尺寸链，将双螺杆磨浆机侧间隙的要求转化为每个螺纹元件的尺寸公差要求，即可完成双螺杆磨浆机轴向公差设计。
首先进行双螺杆磨浆机轴向误差分析如下：
假设每个螺杆沿轴向由n个螺纹元件A_i(i＝1，2，....，n)组成，每个螺纹元件的参数由螺纹元件长度、上偏差和下偏差及长度公差组成。假设每个螺杆由m个螺纹组成，每个螺纹的理论螺距为P_j(j＝1，2，...，m)(若为单头螺纹，螺纹导程与螺距相等，即T＝P)组成，考虑到采用车削加工的方法，每个螺距均应在其公差范围内，螺杆螺纹的理论螺距之和为P_t
Pt=Σj=1mPj---(1)]]>
其中，P_j为第j个螺纹的理论螺距，j＝1，2，...，m，m为螺杆上所有不同螺纹的总数。
根据双螺杆磨浆机的工作原理，由于两根螺杆都是由动力驱动的，所以在啮合时两螺纹啮合的侧表面应有一定的间隙(称为侧间隙)。如果侧间隙太大，会减小螺纹另一侧面的工作容积(物料挤压流动的容积)，如果侧间隙太小，会导致螺纹啮合表面摩擦磨损，增大螺杆转动的阻力；通常两螺杆啮合时螺杆外缘处两螺纹的侧间隙应为2～4mm。由于在两螺杆啮合时，m对螺纹啮合侧面都有螺纹侧间隙，分析是可能难以下手。我们可以考虑每根螺杆都在图2所示左端定位，螺纹侧间隙的误差可能累计到螺杆的最右端两啮合的螺纹，只要控制最右端螺纹侧间隙，其它螺纹侧间隙均可满足要求。所以，该轴向螺纹侧间隙可转化为螺纹元件组合以后实际螺杆有效长度和螺杆螺纹理论螺距之和的差值(也可以分段考虑，比如只考虑正向螺纹组合部分或反向螺纹组合部分，原理相同)。因此，可以建立螺杆长度方向的尺寸链，如图2所示。
可以看出，图2是一个直线尺寸链，需要保证的最右端两螺纹侧间隙A₀是封闭环，由螺杆螺纹理论螺距之和P_t为减环，n个螺纹元件的长度A_i均为增环，则根据直线尺寸链的有关计算公式可以得到：
封闭环基本尺寸：
A0=Σi=1n+1ξiAi=Σi=1nAi-Pt---(2)]]>
封闭环公差为：
T0=Σi=1n+1|ξi|Ti=Σi=1nTi+TPt---(3)]]>
式中：ξ_i——第i个组成环的尺寸传递系数，在直线尺寸链中，对于增环ξ_i＝1，对于减环ξ_i＝-1。
封闭环中间偏差：
Δ0=Σi=1n+1ξiΔi=Σi=1nΔi-ΔPt---(4)]]>
式中，Δ_i——第i个组成环的中间偏差。封闭环极限偏差：
ES0=Σi=1nESi-EIPtEI0=Σi=1nEIi-ESPt---(5)]]>
为了进行统计公差分析，需给出每个组成环的概率密度分布曲线的类型，考虑到双螺杆磨浆机生产批量不大，螺纹元件属于批量生产，其分布曲线可假设为均匀分布；螺杆螺纹理论螺距之和也假设为均匀分布。
当确定了封闭环公差以后，可以用极值法或统计公差方法设计每个螺纹元件(组成环)的公差。显然，这是一个反计算问题。实际上，由于双螺杆磨浆机每根螺杆组成环较多(通常由15～20个螺纹元件组成)，如采用极值法势必会造成组成环的公差过小、制造精度提高，所以，采用统计公差方法将会适当放大组成环公差，降低螺纹元件加工成本。
其次，对双螺杆磨浆机进行径向误差分析如下：
如图3所示，两螺杆装配后在螺杆径向通常应保证一螺杆螺纹顶部与另一螺杆螺纹底部的间隙(径向间隙)B。假定物料在双螺杆磨浆机螺杆螺槽中分布均匀，物料对螺杆的作用力均匀分布，忽略了物料在螺杆中分布不均匀对螺杆侧间隙的影响。由于在一般情况下螺杆的长径比较大(通常L/D_b＞15)，忽略螺杆两端轴承间隙造成的螺杆轴线角度摆动的影响，则影响侧间隙的因素有螺杆两轴承间隙、螺杆芯轴与螺纹元件连接的花键间隙、螺纹外径与花键孔同轴度误差、螺纹元件内外径的加工误差等。
(1)轴承间隙e_z1，e_z2的影响：装配初始，轴承间隙很小，当工作一段时间轴承滚子磨损后，轴承间隙增大，此时对径向间隙的影响增大；轴承间隙e_z1，e_z2方向不定，随螺杆中物料的作用而发生变化。但考虑到啮合区挤压力较大，e_z1，e_z2使径向间隙B有增大的趋势。
(2)花键配合间隙e_j1，e_j2的影响：e_j1，e_j2是螺纹元件花键孔与螺杆花键芯轴的配合间隙，由于螺纹元件频繁拆卸、组装，要求螺纹元件与芯轴必须有一定的间隙，该间隙对螺杆径向间隙有一定的影响。双螺杆磨浆机通常采用渐开线花键，考虑齿距累计误差、齿向误差对渐开线花键的配合间隙影响不大，齿形误差、内花键大径和外花键小径误差对花键配合间隙影响较大，由于不允许螺纹元件花键孔与螺杆花键芯轴相对转动，所以花键配合间隙e_j1，e_j2方向是确定的，其作用相当于在螺杆回转轴线发生了偏心。
(3)螺纹元件外径与花键孔同轴度误差e_s1，e_s2的影响：螺纹元件内孔是花键孔，外圆是螺纹外径，由于不在同一道工序加工，花键孔中心与螺纹外径中心会发生偏心，即同轴度误差。螺纹元件外径与花键孔同轴度误差e_s1，e_s2方向是确定的，不随螺杆转动变化，相当于在螺杆回转轴线发生了偏心。
(4)螺纹内、外径误差Δ_s1，Δ_b2(或者Δ_s2，Δ_b1)的影响：螺纹内、外径误差可能是加工误差或者螺杆经过一段时间工作磨损造成的。螺纹内、外径误差Δ_s1，Δ_b2(或者Δ_s2，Δ_b1)(假定这4个误差为双边误差，可能为正，也可能为负)会使螺纹内径或者外径发生变化，从而影响径向间隙B。实际螺纹内、外径D_s1，D_b2或者D_s2，S_b1分别为，
Ds1=Ds+2Δs1Db2=Db+2Δb2]]>或者Ds2=Ds+2Δs2Db1=Db+2Δb1---(6)]]>
考虑到两根螺杆加工制造条件相同，运转时受力、磨损与变形工况基本相同，所以假定：e_z＝e_z1＝e_z2；e_j＝e_j1＝e_j2；e_s＝e_s1＝e_s2；D′_b＝D_b1＝D_b2，D′_s＝D_s1＝D_s2，则实际螺纹内、外半径为R′_s＝R_s1＝R_s2，R′_b＝R_b1＝R_b2。
因此，可建立螺杆径向尺寸链，如图4所示：图中O₁，O₂为双螺杆磨浆机理想的螺杆回转中心，C_L为设计中心距，O₁₀，O₂₀是由于误差造成的双螺杆磨浆机实际的螺杆回转中心，R_s’，R_b’分别为实际的螺纹内半径和外半径，α，β分别为偏心误差e_j，e_s与x轴的夹角，设径向间隙B为封闭环。
根据几何关系，可以得到
由于C_L+2e_z+2e_jcosα＝B+R′_s+R′_b+2e_scosβ
所以
B＝C_L-R′_b-R′_s+2(e_z+e_jcosα-e_scosβ)(7)
可以看出，图4是一个非线性尺寸链，式(7)是该非线性尺寸链的基本方程。图4的尺寸链有8个组成环，其中由于轴承为大批量生产，假定轴承间隙e_z为正态分布；假定设计中心距C_L为对称三角分布，花键配合间隙e_j为均匀分布；由于每根螺杆上有15以上的螺纹元件，所以螺纹元件相对生产批量较大，假定螺纹元件的同轴度误差e_s、实际螺纹外半径R_b’和内半径R_s’均为正态分布；α的分布与花键配合间隙e_j相同，β与同轴度误差e_s相同。
通过上述分析，为了计算上述非线性尺寸链问题，所提出的基于混合卷积算法的统计公差计算方法如下：
1基于混合卷积的统计公差方法
1.1统计公差设计的混合卷积算法
设一个尺寸链有n个组成环，若用随机变量X_i(i＝1，2，…，n)表示第i个组成环的加工尺寸，则该尺寸链封闭环的尺寸Z是随机变量X_i(i＝1，2，…，n)的函数，记为
Z＝h(X₁，X₂，…，X_n)                  (8a)
式(8a)称为设计函数，设计函数可分解为
Z＝X+Y＝g(X₁，X₂，…，X_m)+q(X_m+1，X_m+2，…，X_n)(8b)
其中，X＝g(X₁，X₂，…，X_m)是随机变量X_i的非线性函数，Y＝q(X_m+1，X_m+2，…，X_n)是随机变量X_i的线性函数。
由于随机变量X和Y相互独立，因此要计算封闭环尺寸Z的分布，只需计算随机变量X和Y的分布，然后运用卷积公式
fZ(z)=∫-∞∞fX(x)·fY(z-x)dx]]>或fZ(z)=∫-∞∞fY(y)·fX(z-y)dy---(9)]]>
计算随机变量Z的分布。式(9)中的f_X(x)，f_Y(y)，f_Z(z)依次是随机变量X、Y及Z的概率密度函数。在运用卷积式(9)计算随机变量Z的分布时，若能通过解析积分求解，则称之为解析卷积；否则就要通过数值积分求解，称之为数值卷积。
在式(9)中概率密度函数f_Y(y)的计算比较容易，因为q(X_m+1，X_m+2，…，X_n)是随机变量X_i的线性函数，且X_m+1，X_m+2，…，X_n相互独立，所以只需累计使用n-m-1次卷积公式(9)就可求出f_Y(y)。但概率密度函数f_X(x)的计算比较困难。理论上讲，随机变量X的分布函数F_X(x)应当运用公式
FX(x)=P(X≤x)=∫∫···g(x1,x2,···,xm)≤x∫f(x1,x2,···,xm)dx1dx2···dxm---(10)]]>
但上式的解析计算非常困难，目前尚无法实现，因此采用线性化的方法。
将X在(x₁₀，x₂₀，…，x_n0)展开并略去高阶余项，则有，
X≈-Σi=1mωixi0+Σi=1mωiXi,]]>(i＝1，2，...，m)                   (11)
式中，x_i0为组成环X_i的公称尺寸，ω_i称为第i个组成环的传递系数
ωi=∂g(x10,x20,···,xm0)∂xi]]>
g(X₁，X₂，…，X_m)线性化以后，设计函数(8)变成
Z=-Σi=1mωixi0+Σi=1mωiXi+q(Xm+1,Xm+2,···,Xn)---(12)]]>
根据上式，累计运用n-1次卷积公式(9)，采用混合卷积算法可得封闭环Z的概率密度函数f_Z(z)。
1.2混合卷积算法计算误差的修正
当设计函数(8)中不含非线性函数时，混合卷积算法的精度是很高的，不需要进行计算误差修正。但当设计函数(8)中含非线性函数时，要运用式(11)计算设计函数(8)中随机变量X的概率密度函数f_X(x)要产生一定的误差，从而影响计算结果的精度和可靠性。为了保证分析结果的可靠性，对计算误差进行修正是非常必要的。
1.2.1封闭环修正法
当设计函数(8)中含非线性函数g(X₁，X₂，…，X_m)时，假设线性化之前极值法情况下封闭环尺寸的公差T_Z^*，线性化之后极值法情况下封闭环尺寸的公差T_LZ^*。
假定设计函数(8)、式(9)和式(10)计算的封闭环尺寸的统计公差为T_Z(装配成功率为100％)。令根据设计函数(12)和式(9)计算的封闭环尺寸的上偏差、下偏差及公差分别记为ES_LZ，EI_LZ及T_LZ(装配成功率为100％)，其中T_LZ＝ES_LZ-EI_LZ。由于TZ*=TZ,]]>TLZ*=TLZ,]]>令
β=TZ*TLZ*=TZTLZ---(13)]]>
式中β称为封闭环公差修正系数，则有T_Z＝βT_LZ。
因此对基于设计函数(12)和式(9)计算的封闭环尺寸的上偏差、下偏差的修正公式为
ESLZ′=12(ESLZ+EILZ+βTLZ)EILZ′=12(ESLZ+EILZ-βTLZ)---(14)]]>
其中ES′_LZ、EI′_LZ分别为ES_LZ、EI_LZ的修正值，修正后的公差值为T′_LZ＝βT_LZ。
记基于设计函数(12)和式(9)计算的封闭环尺寸Z的概率密度函数为f_Z(z)，则由
∫EILZ′ESLZ′θfZ(z)dz=1---(15)]]>
式中θ称为密度函数f_Z(z)的修正系数，修正后的密度函数fZ*(z)=θfZ(z).]]>依据修正后的密度函数f_Z^*(z)，针对不同的装配成功率p，可对封闭环的统计公差进行分析，确定封闭环的统计上偏差、下偏差及公差。这种对计算误差进行修正的方法称为封闭环修正法。
1.2.2组成环修正法
当设计函数(8)中含非线性函数时，设封闭环为X，组成环为X₁，X₂，…，X_m；可以将函数X＝g(X₁，X₂，…，X_m)线性化为式(11)。将组成环的极限尺寸代入式(8)可得极值法封闭环X的公差T_X^*。将组成环的极限尺寸代入式(11)可得极值法设计函数线性化后封闭环X的公差T_LX^*。
假定根据设计函数X＝g(X₁，X₂，…，X_m)和式(10)计算的封闭环X的统计公差为T_X(装配成功率为100％)。令根据式(12)和式(9)计算的封闭环X的统计公差为T_LX(装配成功率为100％)。
设组成环X_i(i＝1，2，…，m)的统计上偏差、下偏差及公差分别记为ES_i、EI_i及T_i(装配成功率为100％)，其中T_i＝ES_i-EI_i。由于TX*=TX,]]>TLX*=TLX,]]>令
λ=TXTLX=TX*TLX*---(16)]]>
式中λ称为组成环公差修正系数。此时组成环X_i(i＝1，2，…，m)修正后的公差为λT_i(装配成功率为100％)，组成环X_i(i＝1，2，…，m)修正后的上偏差ES′_i和下偏差EI′_i可由下式计算。
ESi′=12(ESi+EIi+λTi)EIi′=12(ESi+EIi-λTi)---(17)]]>
令
∫EIi′ESi′αifXi(xi)dxi=1,]]>(i＝1，2，...，m)                        (18)
式中α_i(i＝1，2，...，m)称为随机变量X_i概率密度函数的修正系数。用作为随机变量X_i(i＝1，2，…，m)修正后的概率密度函数，以式(11)为设计函数，累计运用n-1次卷积公式(9)，采用混合卷积算法得到修正后的封闭环尺寸Z的概率密度函数f_Z^*(z)，且以f_Z^*(z)为基础对封闭环的统计公差进行分析，根据不同的装配成功率p，确定封闭环的统计上偏差ES′_Z、下偏差EI′_Z及公差T′_Z。这种对计算误差进行修正的方法称为组成环修正法。
2实际算例
已知(注：以下长度尺寸单位均为mm)，D_b＝200，D_s＝130，C_L＝168；螺纹理论螺距参数为：P₁＝P₂＝160，P₃＝140，P₄＝P₅＝P₆＝120，P₇＝P₈＝P₉＝100，P₁₀＝P₁₁＝P₁₂＝120，P₁₃＝P₁₄＝P₁₅＝100，P₁₆＝P₁₇＝P₁₈＝120，P₁₉＝P₂₀＝P₂₁＝100，则P_t＝2440。螺纹元件长度公称尺寸为：A₁＝A₂＝160，A₃＝140，A₄＝A₅＝180，A₆＝A₇＝150，A₈＝A₉＝180，A₁₀＝A₁₁＝150，A₁₂＝A₁₃＝180，A₁₄＝A₁₅＝150。
根据设计要求，A₀＝2～4，B＝3～5；试设计螺纹元件A_i的公差及上、下偏差，设计螺纹内、外径、螺杆中心距的公差及上、下偏差，设计螺杆轴承间隙、螺纹元件花键孔和花键芯轴的配合间隙、螺纹外径与花键孔的同轴度。
解：(1)双螺杆磨浆机轴向尺寸链解算：
如图2所示，设计函数为式(2)，这是一个线性尺寸链的反计算问题。封闭环尺寸A0=024,]]>封闭环公差T₀＝2。
用极值法求解：
设螺纹元件长度A_i均为IT9级精度，查设计手册，在A_i＝140～180尺寸段中，均有T_i＝0.1mm，根据式(3)，T_Pt＝0.5，在IT9～IT10级精度之间。令P_t为对称偏差，则有P_t＝2440±0.25。根据式(5)可得∑ES_i＝3.75，∑EI_i＝2.25；假定15个螺纹元件长度A_i上、下偏差均相同，则有ES_i＝3.75/15＝0.25，EI_i＝2.25/15＝0.15，则Ai=Ai+0.15+0.25.]]>
用概率法求解：
设双螺杆磨浆机轴向尺寸链中所有增环、减环均为均匀分布，则不对称系数e_i＝0，相对分布系数k_i＝1.73；由于尺寸链中环数较多，A₀为正态分布，e₀＝0，k₀＝1。设螺纹元件长度A_i均为IT10～IT11级精度，查设计手册，在A_i＝140～180尺寸段中，标准公差均相等，取T_i＝0.20mm。
概率法的封闭环公差按下式计算，
T0=1k0Σi=1n+1ξi2ki2Ti2---(19)]]>
概率法封闭环的中间偏差按下式计算，
Δ0=Σi=1n+1ξi(Δi+ei2iT)---(20)]]>
根据式(19)，T0=1.7315Ti2+TPt2,]]>则：T_Pt＝0.8582。取P_t为对称公差，则P_t＝2440±0.4291mm。计算中间偏差：Δ₀＝3，Δ_Pt＝0；根据式(20)，Δ₀＝∑Δ_i-Δ_Pt＝15Δ_i，故Δ_i＝3/15＝0.2；则：ES_i＝Δ_i+T_i/2＝0.3，EI_i＝Δ_i-T_i/2＝0.1，假定15个螺纹元件长度A_i上、下偏差均相同，所以Ai=Ai+0.1+0.3.]]>
用混合卷积法求解：
各组成环与封闭环的分布与概率法相同，计算结果如表1所示。
表1双螺杆磨浆机轴向尺寸链计算结果比较

(2)双螺杆磨浆机径向尺寸链计算：
设计函数如式(7)所示，这是一个有8个组成环的非线性尺寸链的反计算问题。封闭环尺寸B=30+2,]]>封闭环公差T_B＝2。
用极值法求解：
设螺纹内、外径均为IT9级精度，设计中心距为IT10级精度。查设计手册，螺纹内、外径按入体原则标注，设计中心距按对称公差标注。C_L＝168±0.08mm。Db′=200-0.1150,]]>Ds′=130-0.100,]]>相应半径尺寸为：Rb′=100-0.0580,]]>Rs′=65-0.050;]]>设偏差e_z，e_j，e_s公称尺寸均为0，ej=00+0.5,]]>按10级同轴度公差es=00+0.2,]]>求解e_z。
α，β的变化范围为0～180°，分析表明，当两螺杆α，β同时在45°左右时，e_j，e_s对B的影响较大，所以可以把这种情况作为一般情况来分析。当然，在两螺杆α→0，β→180°时，e_j，e_s对B的影响最大，但此极端情况可能很少发生，很可能是一螺杆α→0，β→180°时，另一螺杆α→180°，β→0。取α，β公差均为±5°。
表2  双螺杆磨浆机径向尺寸链增减环判断

表3  双螺杆磨浆机径向尺寸链各环尺寸的概率分布