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在由熔体提拉单晶期间将单晶直径控制为给定直径的方法，该熔体包含在坩埚中并且在单晶边缘的相界处形成弯月面，其中所述弯月面的高度对应于在相界与弯月面之外的熔体表面水平之间的距离，所述方法包括重复地实施以下步骤：确定弯月面上的亮环的直径；在考虑亮环直径及考虑亮环直径与弯月面高度及与单晶直径本身的相关性的情况下计算单晶直径；及基于所计算的单晶直径与单晶的给定直径之差计算至少一个用于控制单晶直径的操纵变量。

1.  在由熔体提拉单晶期间将单晶直径控制为给定直径的方法，该熔体包含在坩埚中并且在单晶边缘的相界处形成弯月面，其中所述弯月面的高度对应于在相界与弯月面之外的熔体表面水平之间的距离，所述方法包括重复地实施以下步骤：
确定弯月面上的亮环的直径；
在考虑亮环直径及考虑亮环直径与弯月面高度及与单晶直径本身的相关性的情况下计算单晶直径；及
基于所计算的单晶直径与单晶的给定直径之差计算至少一个用于控制单晶直径的操纵变量。

2.  根据权利要求1的方法，该方法包括形成查找表，该查找表是基于模拟数据并且将弯月面高度指定给亮环直径相对于时间的导数。

3.  根据权利要求1的方法，该方法包括由线性化的确定方程式(determination equation)计算弯月面高度。

4.  根据权利要求1至3之一的方法，该方法包括作为PID控制器的输出变量计算操纵变量。

5.  根据权利要求1至3之一的方法，该方法包括作为状态反馈控制的输出变量计算操纵变量。

6.  根据权利要求1至5之一的方法，其中作为操纵变量计算提拉速率。

7.  根据权利要求1至5之一的方法，其中作为操纵变量计算以环状包围单晶的热源的电功率。

8.  根据权利要求1至7之一的方法，其中作为第一操纵变量计算提拉速率，及作为第二操纵变量计算以环状包围单晶的热源的电功率。

9.  根据权利要求1至8之一的方法，该方法包括设置控制回路，其在提拉速率v_p偏离给定提拉速率v_ps或者电功率L_r偏离给定功率L_rs时作出反应，其操纵变量改变围绕坩埚设置的一个或多个热源的电功率L_f。

将单晶直径控制为给定直径的方法
技术领域
本发明涉及在由坩埚中所包含的熔体提拉单晶期间将单晶直径控制为给定直径的方法。
背景技术
CZ法是一种在工业规模上采用的例如用于制造硅单晶的方法，硅单晶被进一步加工成为晶片。需要晶片作为用于制造电子元件的基材。为了根据CZ法制造硅单晶，使硅在坩埚中熔化，将晶种浸入熔体中，并由熔体提起。在消除位错之后，在晶种的下端生长所期望的单晶。单晶的生长包括起始阶段和结束阶段，在此期间单晶直径分别增大和减小。这通常是通过改变提拉晶种的提拉速率实现的。在起始阶段与结束阶段之间的阶段中努力保持单晶直径尽可能地恒定，因为只有在此阶段中提拉的单晶的区段被进一步加工成为晶片。
在单晶边缘的相界处，熔体形成弯月面。该弯月面是熔体以特定的曲率由单晶边缘处的相界向下延伸至弯月面之外的熔体表面水平的区域。弯月面的外边缘是弯月面达到熔体表面水平的位置。弯月面高度是在相界与弯月面之外的熔体表面水平之间的垂直距离。单晶边缘处的相界是生长的单晶、熔体和周围的气氛相遇的位置。该相界和弯月面的切线与竖直方向的夹角的数值取决于弯月面高度。
在以单晶的恒定的给定直径实现单晶的圆柱体生长的理想条件下，单晶以生长速率进行生长，生长速率对应于提拉速率的数值，但是与提拉速率的方向相反。在此条件下，弯月面高度对应于高度z₀。在此条件下，弯月面和相界的切线与竖直方向的夹角的数值为β₀。
若弯月面高度z或弯月面角β相对于z₀或β₀发生偏离，则单晶向内或者向外生长，单晶的实际直径D_cr相对于给定直径发生偏离。在z>z₀或β<β₀的情况下，直径相对于时间的导数dD_cr/dt<0，或反之亦然。
已知用于控制单晶直径的不同方法。这些方法例如可以根据用于控制的操纵变量加以区分。在此借助提拉速率v_p作为操纵变量或以环状包围单晶的热源的电功率L_r作为操纵变量进行控制是突出的。这两个变量的优点在于，能够以比较迅速的响应时间对单晶直径相对于给定直径的偏离作出反应。JP1096089A2、WO01/57294A1和US2011/0126757A1包含这些方法的实例。
US2009/0064923A1描述了一种将弯月面高度用于控制直径的方法，其中弯月面高度是通过在观察亮环时评估亮度分布得出的。该亮环是在弯月面上的反射，其是通过提拉单晶的装置的相邻组件反射在弯月面中而产生的。这些组件特别是通常包围着单晶的坩埚壁和挡热板下端，以及若存在以环状包围单晶的热源。根据US2009/0064923A1，假设亮环的具有最大亮度的位置代表单晶边缘处的相界的位置，而弯月面之外的熔体表面水平则可以根据所观察到的亮度分布进行检测。
但是这一假设仅仅是对于物理状态的近似。此外，也没有意识到短时间改变弯月面高度对于单晶的生长速率没有明显的影响。因此，基于上述方法控制单晶直径是不精确的。
发明内容
本发明的目的是提供将单晶直径控制为给定直径的改进的方法，其涉及更少地改变用于控制的操纵变量。
该目的是通过在由熔体提拉单晶期间将单晶直径控制为给定直径的方法实现的，该熔体包含在坩埚中并且在单晶边缘的相界处形成弯月面，其中所述弯月面的高度对应于在相界与弯月面之外的熔体表面水平之间的距离，所述方法包括重复地实施以下步骤：
确定弯月面上的亮环的直径；
在考虑亮环直径及考虑亮环直径与弯月面高度及与单晶直径本身的相关性的情况下计算单晶直径；及
基于所计算的单晶直径与单晶的给定直径之差计算至少一个用于控制单晶直径的操纵变量。
重复地实施上述步骤，其中每次重复之间的时间间隔可以相等，虽然不必相等。作为用于控制的操纵变量，优选考虑提拉速率v_p或以环状包围生长的单晶的热源的电功率L_r，或者考虑两者。
该方法优选用于制造硅单晶。
单晶的生长速率v_cr及差值Δβ(z)＝(β(z)–β₀)是随时间改变单晶直径的关键性变量：
dD_cr/dt＝v_cr×2tanΔβ(z)   (1)
弯月面角β与β₀之差Δβ取决于弯月面高度z。
单晶的生长速率v_cr主要取决于结晶边界处的温度场。因此其主要受围绕坩埚设置的热源的电功率L_f以及由于通过热源供应热量产生的在熔体中的温度波动的影响。
根据方程式(2)给出弯月面高度z随时间的改变，其中假设，由于单晶的生长使熔体体积减少从而导致熔体表面水平的下降通过升起坩埚而精确地加以补偿：
dz/dt＝v_p-v_cr   (2)
若情况并非如此，则必须将表面水平改变的速率与坩埚移动的速率之差加至该方程式的右侧。
提拉速率v_p的改变直接导致弯月面高度z和弯月面角β也发生改变。生长速率最初保持不受所述提拉速率v_p的改变的影响。本发明考虑了这一情况以及亮环直径取决于单晶直径及弯月面高度的情况。若忽略级数 展开的更高阶项，则亮环直径D_br及生长的单晶的直径D_cr通过方程式(3)相互关联。
D_br＝D_cr+f_cr(D_cr)+f_z(z)   (3)
因此，其他两项对于计算D_cr具有重要性，即涉及亮环直径的分量f_cr(D_cr)，其数值取决于单晶直径及由此取决于弯月面的径向位置，以及涉及亮环直径的分量f_z(z)，其数值取决于弯月面高度及由此取决于弯月面的形状。
若将方程式(3)相对于时间求导，则由方程式(4a)通过重排获得方程式(4b)，及通过将方程式(1)和方程式(2)代入方程式(4b)中获得方程式(5)。
dDbrdt=dDcrdt+dfcr(Dcr)dt+dfz(z)dt---(4a)]]>
dDbrdt=dDcrdt+dfcr(Dcr)dDcr×dDcrdt+dfz(z)dz×dzdt---(4b)]]>
dDcrdt=(1+dfcr(Dcr)dDcr)×vcr×2tanΔβ(z)+dfz(z)dz×(vp-vcr)---(5)]]>
可以假设，生长速率vcr对应于提拉速率的给定值v_ps，df_cr(D_cr)/dD_cr＝df_cr(D_crs)/dD_cr是针对单晶直径的小幅改变，其中D_crs代表单晶的给定直径。然而替代性地，df_cr(D_cr)/dD_cr项也可以迭代计算。
根据本发明，方程式(5)作为基础用于最初确定弯月面高度z。其取决于弯月面高度的改变考虑了涉及取决于弯月面高度的亮环直径的分量的改变，并对其以取决于提拉速率v_p和生长速率v_cr的因子进行加权。
为了确定亮环直径，观察亮环，进行光学记录，并对图像在至少一个位置、优选至少三个位置上进行电子评估。这三个位置优选均匀地分 布在围绕单晶的半圆上。在所记录的图像中由暗至亮的外部过渡被解释为直径对应于亮环直径D_br的圆的线段的一部分。若在不同的位置进行评估获得不同的直径，则对其求平均从而获得亮环直径。
亮环直径随时间的改变dD_br/dt是通过确定亮环直径及随后相对于时间进行数字微分从而获得的。
基于方程式(5)确定弯月面高度z的一个优选的方式是使用基于模拟数据的查找表。其是预先地即在提拉单晶之前编制的，并在距离Δz例如为0.1mm的情况下例如在1mm≤z≤11mm的范围内，将弯月面的不同的高度z分别指定给tanΔβ(z)的对应的数值或df_z(z)/dz的对应的数值。模拟(射线追踪模拟)包括由照相机到达弯月面并由此处反射到环境中的射线路径的追踪。在此，该模拟考虑了在提拉单晶时使用的“热区”的构造以及提拉单晶时的工艺条件。尤其是考虑挡热板的位置和形状，及任选考虑围绕生长的单晶的热源的位置和形状，以及考虑记录亮环的照相机的位置。基于2D观察法的模拟数据不如基于3D观察法的模拟数据精确。因此在编制查找表时优选考虑这一点，并采用3D观察法。尤其是使得在距离Δz的情况下df_z(z)/dz的数值的指定变得更加精确。3D观察法包括通过在空间关系上设定位于照相机平面以外的亮环上的评估点的位置的模拟过程，以类似于真实图像处理的方式，确定亮环直径。照相机、最靠近照相机位置的在亮环上的评估点以及生长的单晶升起所沿着的轴位于照相机的平面内。
以如下方式将这两个查找表合并成为单个查找表tab(z)，将每个高度z指定给方程式(5)的相应的右侧，这由方程式(6)表示：
tab(z)=(1+dfcr(Dcr)dDcr)×vcr×2tanΔβ(z)+dfz(z)dz×(vp-vcr)---(6)]]>
在提拉单晶期间，采用共同的查找表tab(z)，及在将由预先确定的亮环直径的导数得出的数值用于亮环直径随时间的改变dD_br/dt时，取决于提拉速率v_p和生长速率v_cr，用满足方程式(5)的z的数值进行内插。
基于方程式(5)确定相关的弯月面高度z的另一个方式包括通过tanΔβ(z)和df_z(z)/dz的线性化简化方程式(5)。
2tanΔβ(z)≈a_t+_bt×z   (7)
df_z(z)/dz≈a_m+b_m×z   (8)
系数a_t、b_t、a_m和b_m例如可以借助最小二乘法(最小二乘拟合)预先地，即在提拉单晶之前确定。在将方程式(7)和(8)代入方程式(5)中及重排之后，利用方程式(9)获得能够明确地计算弯月面高度z的表达式。
z=dDbr/dt-(1+dfcr(Dcr)/dDcr)×vcr×at-(vp-vcr)×am(1+dfcr(Dcr)/dDcr)×vcr×bt+(vp-vcr)×bm---(9)]]>
在接下来的步骤中，将根据方程式(6)或(9)得到的弯月面高度z的数值用于根据由方程式(3)导出的方程式(10)计算单晶直径D_cr，或者用于根据方程式(1)计算其相对于时间的导数dD_cr/dt。D_crs是指单晶的给定直径。
Dcr=Dcrs+(Dbr-Dcrs-fz(z)-fcr(Dcrs))(1+dfcr(Dcrs)dDcr)---(10)]]>
dD_cr/dt＝v_cr×2tanΔβ(z)   (1)
利用D_cr和dD_cr/dt，以修正形式获得用于控制单晶直径的输入变量，从而考虑亮环直径与弯月面高度及与单晶直径的相关性。
作为用于控制单晶直径的控制器，优选考虑PID控制器或状态反馈控制。
在使用PID控制器时，将差值D_cr–D_crs作为系统偏差e(t)及将导数de(t)/dt作为D元件的分量代入控制器的方程式中以计算操纵变量u(t)。在数值上确定导数de(t)/dt，或者优选根据方程式(1)进行计算。方程式(11)描述了理想的PID控制器，其中k_p是指P增益因子，Ti和TD分别是I元件和D元件的时间常数：
u(t)=kp×(e(t)+&Integral;1Tie(t)dt+TDde(t)dt)---(11)]]>
在使用状态反馈控制时，根据方程式(12)计算操纵变量u(t)，其中k_D和k_z是指状态变量的反馈因子，ΔD_cr和Δz分别是指状态变量(单晶直径D_cr或弯月面高度z)与相关的状态变量的给定值(分别为D_crs或z_s)之差。
u(t)＝kDΔDcr(t)+kzΔz(t)   (12)
在起始阶段和结束阶段中，单晶直径分别增大和减小，或者为了在中间阶段中使单晶直径适应于给定直径，必须根据方程式(13)借助取决于单晶的长度预先确定的给定直径D_crs计算z_s。
dDcrsdt=vcr×2tanΔβ(zs)---(13)]]>
作为用于使单晶直径D_cr适应于给定直径D_crs的操纵变量u(t)，优选考虑：提拉速率v_p或以环状包围单晶的热源的电功率Lr，或者两者。
在使用L_r作为操纵变量的情况下，使预先确定的给定提拉速率v_ps尽可能不发生偏离。以已述方式确定弯月面高度z，其中在方程式(5)、(6)和(9)中使用方程式(14)代替假设v_cr＝v_ps。
vcr=vps+dvcrdLr×ΔLr---(14)]]>
在此情况下，优选假设dv_cr/dL_r是恒定的，并根据经验加以确定。ΔL_r是指以环状包围单晶的热源的电功率L_r与其给定值L_rs之差。
于是根据方程式(11)或(12)计算出的操纵变量u(t)可以换算成相应的操纵变量u_Lr(t)。为了进行换算，根据经验确定将u(t)换算成u_Lr(t)的因子。操纵变量u_Lr(t)对应于热源的电功率的改变ΔL_r，其是导致生长速率改变所需的，其使单晶直径D_cr接近给定直径。
值得推荐及因此优选地，将受测量噪声影响的变量在其用作相应的方程式中的计算变量之前进行滤波。这尤其是适用于以下变量：亮环直径Dbr、弯月面高度z、提拉速率v_p及围绕生长的单晶的热源的电功率L_r。优选将具有可调节的时间常数的PT1滤波器用于滤波。
此外，有利地及因此优选地，除了所述的单晶直径控制，设定其他的控制回路，其在提拉速率v_p偏离给定提拉速率v_ps或者电功率Lr偏离给定功率L_rs时作出反应，其操纵变量改变至少一个围绕坩埚设置的热源的电功率L_f。因此，该其他的控制回路减轻了根据本发明的单晶直径控制的负担。
下面依照附图阐述本发明。
附图说明
图1所示为生长的单晶、熔体及周围的气氛之间的相界的附近的情况。
图2所示为亮环直径与弯月面高度的相关性及弯月面角与弯月面高度的相关性。
图3所示为适合于实施根据本发明的方法的设备的典型特征。
图4所示为在不进行控制及根据本发明进行控制的情况下提拉速率v_p和给定提拉速率v_ps作为时间的函数的变化曲线。
具体实施方式
如图1所示，熔体向着单晶边缘处的相界TRP升高，并在此形成弯月面。相界是指熔体的液相l、单晶的固相s及气氛的气相g彼此相遇的位置。弯月面高度z是在相界TRP与弯月面之外的熔体表面水平ML之间的垂直距离。
相界和弯月面的切线与竖直方向围成弯月面角β，其数值取决于弯月面高度。单晶以提拉速率v_p由熔体进行提拉，并以生长速率v_cr在相反的方向上生长。若单晶以恒定的给定直径D_crs进行生长，则β＝β₀，z＝z₀且v_p＝v_cr。这些条件对于随后应当进一步加工成晶片的单晶区段的提拉是理想的。
在发生偏离Δz≠0(Δz＝z–z₀)或Δβ≠0(Δβ＝β–β₀)的情况下，
单晶开始向内或向外生长，单晶直径D_cr相对于给定直径D_crs开始发生偏离。在z>z₀且β<β₀的情况下，单晶直径变小(dD_cr/dt<0)，或反之亦然。
如图2所示，在亮环直径与弯月面高度之间存在非线性相关性(ΔD_br＝D_br(z)–D_br(z₀))。同样显示了在方程式(5)中所含的2tanΔβ(z)和df_z(z)/dz项的相应的相关性。
图3所示为适合于实施根据本发明的方法的设备的典型特征。该设备包括坩埚1，其包含熔体2，由熔体提拉单晶3。围绕坩埚设置热源4，
其使熔体保持为液态。此外，通常设置用于产生磁场的装置，由此影响熔体中的流。可以提供其他的热源5，其围绕单晶3设置，并加热在单晶、熔体和周围的气氛之间的相界的区域。该其他的热源5可以根据本发明的方式用于控制单晶直径。在此情况下，该控制的操纵变量的目的在于影响该其他的热源5的电功率L_r。代替该其他的热源5，在图3中仅简略显示的用于由熔体提拉单晶的装置6也可用于控制单晶直径。于是该控制的操纵变量的目的在于影响单晶由熔体向上提拉的提拉速率v_p。 替代性地，可以提供其他的热源5的电功率Lr及提拉速率v_p作为该控制的操纵变量。
随着单晶3的生长，熔体2的体积减少，由此使熔体表面水平相对于坩埚边缘降低。通常根据熔体的体积损失升高坩埚，从而使熔体表面水平ML与包围生长的单晶的挡热板7的下边缘之间的距离保持不变。若不使该距离保持恒定，则在控制单晶直径的系统的计算过程中还必须考虑熔体体积的减少。
该设备的其他特征是至少一个用于观察在弯月面的区域内的熔体2的照相机8以及用于评估由照相机提供的图像信号的图像处理单元9。该评估包括确定亮环直径D_br，及将其作为输入信息传送至补偿器单元10。在此，通过使用该输入信息以根据本发明的方式计算单晶直径D_cr，并传送至控制器单元11。作为控制器单元11，优选考虑PID控制器或状态反馈控制。控制器单元11计算操纵变量，并将其提供给控制装置12。控制装置12在考虑操纵变量的情况下承担着用于向热源供电的供电单元13的控制、坩埚移动装置14的控制及由熔体提拉单晶的装置6的控制。
由图4可以看出本发明的成功实施。其显示了在不进行控制及根据本发明进行控制的情况下提拉速率v_p和给定提拉速率v_ps作为时间的函数的变化曲线。提拉具有略微大于300mm的给定直径的硅单晶。提拉速率的变化曲线表明，通过如箭头所示引入补偿器单元，显著地降低了通过改变操纵变量使单晶直径适应于给定直径所需的花费。