一种插补方法 【技术领域】
本发明属于计算机数控领域，尤其是涉及一种控制物体运动轨迹的插补方法。
【背景技术】
1)插补的任务
数控系统广泛应用于机械运动轨迹的控制，可以控制机床、机器人、缝纫机、焊接机等的运动轨迹。所需路径或轮廓线的“插补”是数控技术的关键。
插补的任务就是在所需路径或轮廓线Q的二个已知点间插入若干个中间点，并确定所述中间点的位置坐标值。
插补所得结果将依次送给直线插补器；对应一组相邻二点的位置坐标值，直线插补器产生一组分布均匀的脉冲序列，并通过步进马达或伺服系统控制受控对象运动，产生一个直线段的运动轨迹。或者，插补所得结果直接以数值方式依次送给伺服系统，控制受控对象运动；对应一组相邻二点的位置坐标值，产生一个直线段的运动轨迹。受控对象整个运动轨迹将是一个由上述首尾相接的直线段构成的折线，折线的起点、终点、中间点与所需路径或轮廓线Q的对应起点、终点、中间点重合。换句话说，在所需路径或轮廓线Q的二个端点间插入若干个中间点，将曲线Q上相邻二点以直线段连接，这些首尾相接的直线段构成的折线就是受控对象的运动轨迹。
插补的目的就是确定受控对象的运动轨迹，使之尽可能接近所需路径或轮廓线Q；或者说，插补的目的就是确定所述的折线，也即受控对象的运动轨迹，以此拟合所需路径或轮廓线Q，且拟合误差不超过允许值。
2)现状
对于常见的正弦曲线、椭圆、圆弧等所需路径或轮廓线，准确确定所述中间点位置坐标值的运算涉及三角函数等比较复杂的计算。这样的计算，靠单片计算机很难完成，而由PC级计算机采用高级语言不难完成。在运动控制装置中，如果作为整个装置的控制核心配置PC级计算机，直接由之承担插补的实时运算将占用大量资源，从而影响整个装置工作；如果专为插补工作配置PC级计算机，将导致装置成本提高。
当前，运动控制技术已广泛应用于各领域，甚至将进入普通家庭，如家用机器人等；基于现有插补方法的产品难以适应、满足市场的需求。
可是，可以在单片计算机上快速、准确实现的插补方法，至今未见在公开资料上发表或在产品中使用。
【发明内容】
本发明的目的是针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，提出一种通过算术运算的递推公式准确确定曲线中间点位置坐标值增量的插补方法，并且还提出一种设定替代曲线的方法，以提高拟合精度或减小插补运算量。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低。
本发明的目的是按如下技术方案实现的：
1、本发明所述的一种插补方法，其所针对的所需路径或轮廓线Q的位置坐标ΩP(p＝1、2、3、……、mΩ)中包括有一个或若干个坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)，对应所述一个或若干个坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐标函数分别可以表示为以参数t为自变量、幅值分别为Hk(k＝1、2、3、……mΨ)、初始相位分别为αk(k＝1、2、3、……、mΨ)、周期相同为(2π/ω)的正弦函数，其表达式为
Ψk(t)＝Hk sin(ωt+αk)(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-1)
所述曲线Q对应坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐标函数指的是描述所述曲线Q上的点的位置坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)变化的以参数t为自变量地函数，
所述参数t可以是该曲线Q位置坐标ΩP(p＝1、2、3、……、mΩ)中的一个坐标，也可以是这些坐标之外的另一个参数，
所述的所需路径或轮廓线Q指的是二个已知点间的曲线段，所述曲线Q各坐标函数的定义域相同，定义域的二个端点分别与曲线Q二个已知点对应着相同的t值。
某一t值所对应的所需路径或轮廓线Q上的点的位置坐标值，就是同一t值所对应的所述坐标函数的函数值。针对所需路径或轮廓线Q的插补也就是针对其坐标函数ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的插补，即在其各个坐标函数ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的定义域二个端点间插入若干个中间点并确定对应所述中间点的坐标函数值。
申请人注意到，对所需路径或轮廓线Q进行插补时，为了提高拟合精度，或减小插补运算量，可以设定相应的替代曲线Qδ；在替代曲线Qδ的二个端点间插入若干个中间点，将替代曲线Qδ上相邻的二个点以直线段连接，用这些首尾相接的直线段构成的折线拟合二个已知点间的所需路径或轮廓线Q。为此，需通过插补确定所述替代曲线Qδ的中间点及其位置坐标值。
替代曲线Qδ的坐标函数ΩδP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)称为替代坐标函数，也称为所述曲线Q的坐标函数ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的替代坐标函数。确定替代曲线Qδ中间点及其位置坐标值，就是确定相应替代坐标函数ΩδP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)定义域的中间点及其函数值。插补中确定的中间点将所述定义域分成分段，每个分段定义域将对应一个线性函数，所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与替代坐标函数值相等，整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数ΨδLk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，而坐标函数Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)将以分段线性函数ΨδLk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)拟合。
申请人还注意到，所述曲线Q或Qδ二个端点间的中间点的位置坐标值，可依据与之相邻的前一个中间点或所述曲线的起始端点其位置坐标值与位置坐标值增量之和决定，因此，插补中确定了中间点的位置坐标值增量，也就确定了相应中间点的位置坐标值。或者说，插补中确定了定义域中间点坐标函数值增量，也就确定了定义域相应中间点的坐标函数值。
针对坐标函数Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)的插补步骤包括，
(1)设定对应所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，
(2)确定替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)定义域二个端点间的中间点，包括，
①确定所述中间点所对应的参数t的值或其增量Δt的值，
②确定所述中间点的个数，
(3)确定所述中间点的替代坐标函数值或其增量值，
(4)存储/输出运算结果，
上述插补步骤也适用于针对坐标函数ΩP(t)(p＝1、2、3、……、mΩ)的插补。
本发明提出的插补方法，其特征在于：
(1)对应所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数设定为与相应的坐标函数Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)具有相同周期(2π/ω)、相同初始相位αk(k＝1、2、3、……、mΨ)、相同定义域但不同幅值的正弦函数，其表达式为
Ψδk(t)＝Hδk sin(ωt+αk)(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-2)
式中，Hδk＝Hk+δk，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-3)
其中δk(k＝1、2、3、……、mΨ)为替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)幅值Hδk(k＝1、2、3、……、)相对相应的坐标函数Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)幅值Hk(k＝1、2、3、……、)的幅值差，或说是替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)的幅值差，或说是对应所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的幅值差，
δk＝Hδk-Hk，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-4)
δk≥0，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-5)
δk的数值可根据第4至11点所述的方法确定。
(2)将对应所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的各替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间点，这些中间点所对应的替代坐标函数值增量ΔΨδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，按下述公式确定：
ΔΨδΛ(tu+1)＝ΔΨδΛ(tu)cosΔTΛ+ΔΦδΛ(tu+1)sinΔTΛ，(1-6)
ΔΦδΛ(tu+1)＝ΔΦδΛ(tu)cosΔTΛ-ΔΨδΛ(tu)sinΔTΛ，(1-7)
式中，①ΨΛ表示所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某个坐标，Λ为序号k(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某个序号，
(②u+1为替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与之相邻的前一个中间点或定义域的起点的序号，
以nΛ表示替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域等分分段的段数，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)作为分段的序号，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ，nΛ+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及nΛ+1，二个端点间的中间点分别对应着序号iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)，u+1就是序号iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)中的某一个序号，u就是序号iΛ(iΛ＝1，2、3、……、nΛ)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，u+2就是序号iΛ(iΛ＝1，2、3、……、nΛ，nΛ+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号，
所述定义域起点指的是与所述替代曲线Qδ起点对应的定义域的端点，所述定义域的终点指的是与所述替代曲线Qδ终点对应的定义域的端点，
③tu+1为替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，
tu为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，
tu+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值，
t1为替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域起点所对应的参数t的值，
t(nΛ+1)为替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域终点所对应的参数t的值，
④ΔTΛ为替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，或说是替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域中序号为iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的点所对应的参数t的等效增量，或说是替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域各等分分段所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量ΔτΛ的ω倍，是常数，
ΔTΛ＝ωΔτΛ＝常数，(1-8)
(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)，(1-9)
其中，t(iΛ+1)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)为序号为(iΛ+1)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的点对应的参数t的值，
t(iΛ)(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)为序号为iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ)的点对应的参数t的值，
⑤ΔΨδΛ(tu+1)为替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值的增量，
ΔΨδΛ(tu+1)＝ΨδΛ(tu+2)-ΨδΛ(tu+1)，(1-10)
其中，ΨδΛ(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的替代坐标函数值，
ΨδΛ(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值，
⑥ΔΨδΛ(tu)为替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值增量，
ΔΨδΛ(tu)＝ΨδΛ(tu+1)-ΨδΛ(tu)，(1-11)
其中，ΨδΛ(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值，
ΨδΛ(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值，
⑦ΔΦδΛ(tu+1)为替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值的增量，
ΔΦδΛ(tu+1)＝ΦδΛ(tu+2)-ΦδΛ(tu+1)，(1-12)
其中，ΦδΛ(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的虚拟替代坐标函数值，
ΦδΛ(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值，
⑧ΔΦδΛ(tu)为替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值增量，
ΔΦδΛ(tu)＝ΦδΛ(tu+1)-ΦδΛ(tu)，(1-13)
其中，ΦδΛ(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值，
ΦδΛ(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值，
⑨sinΔTΛ为对应ΔTΛ的正弦函数值，cosΔTΛ为对应ΔTΛ的余弦函数值，
上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数ΦδΛ(t)是为简化公式(1-6)、(1-7)的表述设定的函数，ΨδΛ(t)与ΦδΛ(t)是一组具有相同幅值HδΛ、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αΛ及相同定义域的正弦函数与余弦函数，其表达式为
ΨδΛ(t)＝HδΛsin(ωt+αΛ)，(1-14)
ΦδΛ(t)＝HδΛcos(ωt+αΛ)。，，(1-15)
ΦδΛ(t)或说是对应坐标函数ΨΛ(t)设定的虚拟坐标函数ΦΛ(t)的替代坐标函数，ΨΛ(t)与ΦΛ(t)是一组具有相同幅值HΛ、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αΛ及相同定义域的正弦函数与余弦函数，其表达式为
ΨΛ(t)＝HΛsin(ωt+αΛ)，(1-16)
ΦΛ(t)＝HΛcos(ωt+αΛ)，(1-17)
其中HδΛ＝HΛ+δΛ， (1-18)
说明：
(1)参见图2。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和ΨA，且坐标轴t和ΨA构成了直角坐标系tOΨA；则所需路径或轮廓线就是平面tOΨA上幅值为HA、初始相位为αA、周期为(2π/ω)的的正弦曲线段ZA，其替代曲线就是平面tOΨA上幅值为HδA、初始相位为αA、周期为(2π/ω)的替代正弦曲线段ZδA。
(2)参见图5。以序号为A的坐标函数ΨA(t)为例，坐标轴ΨA和ΦA构成了虚拟直角坐标系ΦAOΨA，坐标函数ΨA(t)与虚拟坐标函数ΦA(t)在ΦAOΨA虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为HA的圆弧段CA。圆弧段CA上的点与圆心O的连线相对轴ΦA的夹角即为(ωt+αA)。替代坐标函数ΨδA(t)与虚拟替代坐标函数ΦδA(t)在ΦAOΨA虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为HδA的替代圆弧段CδA。圆弧段CδA上的点与圆心O的连线相对轴ΦA的夹角即为(ωt+αA)。替代坐标函数ΨδA(t)定义域的端点与中间点对应着圆弧段CδA相应的端点与中间点。图中CA、CδA分别是第一象限的圆弧段。
(3)公式(1-6)、(1-7)的依据是：
参见图6。以序号为A的坐标函数ΨA(t)为例，替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为i(i＝2、3、……、n)的中间点对应着圆弧段CδA上相应的中间点。这些中间点将圆弧段CδA等分成序号为i(i＝1、2、3、……、n)n个分段。圆弧段CδA的等分分段对应的圆心角即为ΔTA。以lδA表示圆弧段CδA一个分段的内接弦的长度，对应于tu有
ΔΨδA(tu)=lδAcos[ω(tu+ΔτA2)+αA]=lδAcos(ωtu+ΔTA2+αA),---(1-19)]]>
ΔΦδA(tu)=-lδAsin[ω(tu+ΔτA2)+αA]=-lδAsin(ωtu+ΔTA2+αA),---(1-20)]]>
式中，ΔTA＝ωΔτA。(1-21)
以u+1表示所述的某个中间点的序号，则
ΔΨδA(tu+1)=lδAcos(ωtu+ΔTA2+ΔTA+αA)=]]>
=lδAcos(ωtu+ΔTA2+αA)cosΔTA-lδAsin(ωtu+ΔTA2+αA)sinΔTA,]]>
=ΔΨδA(tu)cosΔTA+ΔΦδA(tu)sinΔTA.---(1-22)]]>
ΔΦδA(tu+1)=-lδAsin(ωtu+ΔTA2+ΔTA+αA)=]]>
=-lδAsin(ωtu+ΔTA2+αA)cosΔTA-lδAcos(ωtu+ΔTA2+αA)sinΔTA,]]>
=ΔΦδA(tu)cosΔTA-ΔΨδA(tu)sinΔTA.---(1-23)]]>
(4)公式(1-6)、(1-7)中所述正弦函数值sinΔTΛ与余弦函数值cosΔTΛ，可按下述公式确定，
sinΔTΛ=ΔTΛ-16×(ΔTΛ)3+......+1v′![dv′dtv′sint]t=0(ΔTΛ)v′+RS,---(1-24)]]>
cosΔTΛ=1-12(ΔTΛ)2+124(ΔTΛ)4+......+1v′′![dv′′dtv′′cost]t=0(ΔTΛ)v′′+RC,---(1-25)]]>
其中，RS=1(v′+1)![dv′+1dtv′+1sint]t=γ′(ΔTΛ)v′+1,---(1-26)]]>
RC=1(v′′+1)![dv′′+1dtv′′+1cost]t=γ′′(ΔTΛ)v′′+1,---(1-27)]]>
式中，①v′+2为正整数，数值等于等式(1-24)右边部分的项数，
v′≥0，(1-28)
②γ′的取值范围为
0≤γ′≤ΔTΛ，(1-29)
③v″+2为正整数，数值等于等式(1-25)右边部分的项数
v″≥0，(1-30)
④γ″的取值范围为
0≤γ″≤ΔTΛ。(1-31)
按公式(1-24)、(1-25)确定sinΔTΛ、cosΔTΛ时，可以将RS、RC取值为0。sinΔTΛ、cosΔTΛ数值精度由舍去的RS、RC数值决定，而RS、RC数值由ΔTΛ及v′、v″决定。v′、v″的选择可参见实施例。
公式(1-24)、(1-25)的依据是：
sinΔTΛ=sin(0+ΔTΛ)=]]>
=[sint]t=0+[ddtsint]t=0(ΔTΛ)+12[d2dt2sint]t=0(ΔTΛ)2+13![d3dt3sint]t=0(ΔTΛ)3+]]>
+......+1v′![dv′dtv′sint]t=0(ΔTΛ)v′+RS=]]>
=sin0+(cos0)(ΔTΛ)-12(sin0)(ΔTΛ)213!(cos0)(ΔTΛ)3+......+]]>
+1v′![dv′dtv′sint]t=0(ΔTΛ)v′+RS=]]>
=0+(ΔTΛ)-0-16×(ΔTΛ)3+0+......+1v′![dv′dtv′sint]t=0(ΔTΛ)v′+RS,---(1-32)]]>
即sinΔTΛ=ΔTΛ-16×(ΔTΛ)3+......+1v′![dv′dtv′sint]t=0(ΔTΛ)v′+RS,---(1-24)]]>
其中，RS=1(v′+1)![dv′+1dtv′+1sint]t=γ′(ΔTΛ)v′+1,---(1-26)]]>
cosΔTΛ=cos(0+ΔTΛ)=]]>
=[cost]t=0+[ddtcost]t=0(ΔTΛ)+12[d2dt2cost]t=0(ΔTΛ)2+13![d3dt3cost]t=0(ΔTΛ)3+]]>
+......+1v′′![dv′′dtv′′cost]t=0(ΔTΛ)v′+RC=]]>
=cos0-(sin0)(ΔTΛ)-12(cos0)(ΔTΛ)2+13!(sin0)(ΔTΛ)3+......+]]>
+1v′′![dv′′dtv′′cost]t=0(ΔTΛ)v′+RC]]>
=1-0-12×(ΔTΛ)2+0+14!×1≥(ΔTΛ)4+......+1v′′![dv′′dtv′′cost]t=0(ΔTΛ)v′′+RC,---(1-33)]]>
即cosΔTJ=1-12(ΔTΛ)2+124(ΔTΛ)4+......+1v′′![dv′′dtv′′cost]t=0(ΔTΛ)v′′+RC,---(1-25)]]>
其中，RC=1(v′′+1)![dv′′+1dtv′′+1cost]t=γ′′(ΔTΛ)v′′+1.---(1-27)]]>
(5)公式(1-6)、(1-7)中对应所述坐标ΨΛ的替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域起点的函数值增量ΔΨδΛ(t1)、ΔΦδΛ(t1)，可按下述公式确定，
ΔΨδΛ(t1)＝ΨδΛ(t1)cosΔTΛ+ΦδΛ(t1)sinΔTΛ-ΨδΛ(t1)，(1-34)
ΔΦδΛ(t1)＝ΦδΛ(t1)cosΔTΛ-ΨδΛ(t1)sinΔTΛ-ΦδΛ(t1)。(1-35)
其依据是：
ΔΨδΛ(t1)＝ΨδΛ(t1+Δt1)-ΨδΛ(t1)＝
＝HδΛsin(ω(t1+Δt1)+αΛ)-ΨδΛ(t1)＝
＝HδΛsin(ωt1+αΛ+ΔTΛ)-ΨδΛ(t1)＝
＝HδΛ[sin(ωt1+αΛ)cosΔTΛ+cos(ωt1+αΛ)sinΔTΛ]-ΨδΛ(t1)＝
＝ΨδΛ(t1)cosΔTΛ+ΦδΛ(t1)sinΔTΛ-ΨδΛ(t1)，(1-36)
ΔΦδΛ(t1)＝ΦδA(t1+Δt1)-ΦδΛ(t1)＝
＝HδΛcos(ω(t1+Δt1)+αΛ)-ΦδΛ(t1)＝
＝HδΛcos(ωt1+αΛ+ΔTΛ)-ΦδΛ(t1)＝
＝HδΛ[cos(t1+αΛ)cosΔTΛ-sin(t1+αΛ)sinΔTΛ]-ΦδΛ(t1)＝
＝ΦδΛ(t1)cosΔTΛ-ΨδΛ(t1)sinΔTΛ-ΦδΛ(t1)。(1-37)
2、如第1点所述的插补方法，其特点为：
(1)所述坐标Ψk(k＝1、……、mΨ)共有二个坐标Ψk(k＝1、2)或Ψ1、Ψ2，对应Ψ1、Ψ2的坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)可以表示为一组幅值分别为H1与H2、周期相同为(2π/ω)、初始相位相同为α0的余弦函数与正弦函数，其表达式为
Ψ1(t)=H1sin(ωt+α1)=H1sin(ωt+α0+π2)=H1cos(ωt+α0),---2-1)]]>
Ψ2(t)＝H2sin(ωt+α2)＝H2sin(ωt+α0)，(2-2)
式中，α1=α0+π2,---(2-3)]]>
α2＝α0，(2-4)
(2)对应所述坐标Ψ1及Ψ2的替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)为
Ψδ1(t)＝Hδ1cos(ωt+α0)，(2-5)
Ψδ2(t)＝Hδ2sin(ωt+α0)，(2-6)
式中，Hδ1＝H1+δ1，(2-7)
Hδ2＝H2+δ2。(2-8)
坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)、Ψδ1(t)、Ψδ2(t)具有相同的定义域。
参见图7。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标Ψ1和Ψ2，且坐标轴Ψ1和Ψ2构成了直角坐标系Ψ1OΨ2，则所需路径或轮廓线即为Ψ1OΨ2平面上中心在坐标轴原点O的椭圆弧段ZE。图中ZE是一个第一象限的椭圆弧段。其在直角坐标系Ψ1OΨ2下的曲线方程为
Ψ12H12+Ψ22H22=1,---(2-9)]]>
式中，H1和H2为椭圆的半轴。
椭圆弧段ZE上的点与坐标轴原点O的连线相对Ψ1轴的夹角即为(ωt+α0)。
当H1＝H2＝R0，(2-10)
所述的椭圆弧段ZE即成为半径为R0的圆弧段ZC。
3、如第2点所述的插补方法，其特点为：
(1)对应所述坐标Ψ1、Ψ2的坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)具有相同幅值R0，函数Ψ1(t)、Ψ2(t)的表达式为
Ψ1(t)=H1sin(ωt+α1)=R0sin(ωt+α0+π2)=R0cos(ωt+α0),---(3-1)]]>
Ψ2(t)＝H2sin(ωt+α2)＝R0sin(ωt+α0)，(3-2)
式中，H1＝H2＝R0，(3-3)
α1=α0+π2,---(3-4)]]>
α2＝α0，(3-5)
(2)对应所述坐标ΨX及ΨY的替代坐标函数为Ψδ1(t)、Ψδ2(t)具有相同的幅值Rδ0，函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)的表达式为
Ψδ1(t)＝Hδ1cos(ωt+α0)＝Rδ0cos(ωt+α0)，(3-6)
Ψδ2(t)＝Hδ2sin(ωt+α0)＝Rδ0sin(ωt+α0)，(3-7)
式中，Hδ1＝Hδ2＝Rδ0，(3-8)
Hδ1＝H1+δ1＝Hδ2＝H2+δ2＝R0+δR，(3-9)
其中，δ1＝δ2＝δR，(3-10)
(3)对应所述坐标Ψ1、Ψ2的替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定义域等分为相同的nC个分段，或者说，替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定义域各分段起点对应相同的参数t的增量ΔτC或等效增量ΔTC，
n1＝n2＝nC，(3-11)
Δτ1＝Δτ2＝ΔτC，(3-12)
ΔT1＝ΔT2＝ΔTC。(3-13)
由所述特点可知：
①在按第1点所述的插补方法确定替代坐标函数值增量时，对应于坐标函数Ψ2(t)的虚拟坐标函数Φ2(t)就是坐标函数Ψ1(t)，
Φ2(t)＝R0cos(ωt+α0)＝Ψ1(t)，(3-10)
虚拟替代坐标函数Φδ2(t)就是替代坐标函数Ψδ1(t)，
Φδ2(t)＝Ψδ1(t)。(3-11)
因此，在确定ΔΨδ1(t)、ΔΨδ2(t)过程中，无需为Ψδ1(t)、Ψδ2(t)另设虚拟替代坐标函数。
②如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标Ψ1和Ψ2，且坐标轴Ψ1和Ψ2构成了直角坐标系Ψ1OΨ2，则所需路径或轮廓线即为Ψ1OΨ2平面上圆心在坐标轴原点O、半径为R0的圆弧段ZC。圆弧段ZC上的点与圆心O的连线相对轴Ψ1的夹角即为(ωt+α0)。每个等分圆弧段所对应的圆心角为
ΔTC＝ωΔτC。(3-12)
曲线在直角坐标系Ψ1OΨ2下的方程为
Ψ12+Ψ22＝R02。(3-13)
替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)的图形就是半径为Rδ0的与ZC同心的替代圆弧段ZδC。其曲线方程为
Ψ12+Ψ22＝Rδ02(3-14)
所述图形可参见图5，Ψ1、Ψ2、R0、Rδ0、α0、t、ZC、ZδC分别对应图中的ΦA、ΨA、HA、HδA、αA、t、CA、CδA。图中CA、CδA分别是第一象限的圆弧段。
4、如上述第1至3点中任何一点所述的插补方法，其特点为：对应所述坐标其幅值差的取值、其替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值及替代坐标函数定义域等分分段段数的取值满足下述公式，
0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA，(4-1)
|ΔTA|≤8×ϵA+δA×|sin(ωt+αA)|MAXHA×|sin(ωt+αA)|MAX,---(4-2)]]>
n≥ω|tn+1-t1|×18×HA×|sin(ωt+αA)|MAXϵA+δA×|sin(ωt+αA)|MAX,---(4-3)]]>
式中，①ΨA表示所述坐标中的某一个坐标，A是序号k(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某个序号，对应坐标ΨA的坐标函数与替代坐标函数为
ΨA(t)＝HAsin(ωt+αA)，(4-4)
ΨδA(t)＝HδAsin(ωt+αA)，(4-5)
②δA为对应坐标ΨA的幅值差，
δA＝HδA-HA，(4-6)
③ΔTA为替代坐标函数ΨδA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其数值为所述参数t的增量ΔτA的ω倍，
ΔTA＝ωΔτA，(4-7)
④n表示替代坐标函数ΨδA(t)定义域等分分段的段数，
⑤t1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点所对应的参数t的值，
tn+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域终点所对应的参数t的值，
⑥|sin(ωt+αA)|MAX为对应替代坐标函数ΨδA(t)定义域|sin(ωt+αA)|的最大值，
⑦εA为以分段线性函数ΨδLA(t)拟合坐标函数ΨA(t)的误差绝对值|δΨδL-A(t)|的允许值，
δΨδL＝A(t)＝ΨδLA(t)-ΨA(t)，(4-8)
对应替代坐标函数ΨδA(t)的第i(i＝1、2、3、……、n)个分段定义域，所述的分段线性函数ΨδLA(t)为
ΨδLA(t)=ΨδA(ti)+ΔΨδA(ti)ΔTA(t-ti),,(i=1,2,3,......,n),---(4-9)]]>
式中，(a)i(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域n个等分分段的序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，
(b)ti(i＝1、2、3、……、n、n+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的点所对应的参数t的值，
(c)ΔΨδA(ti)(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量，
ΔΨδA(ti)＝ΨδA(ti+1)-ΨδA(ti )，(i＝1、2、3、……、n)，(4-10)
其中，ΨδA(ti+1)(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值，
ΨδA(ti)(i＝1、2、3、……、n)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。
满足公式(4-1)、(4-2)、(4-3)的δA、|ΔTA|、n取值，将使得所述的拟合误差|δΨδL-A(t)|不超过允许值εA。
参见图2。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和ΨA，且坐标轴t和ΨA构成了直角坐标系tOΨA；则所需路径或轮廓线即为平面tOΨA上幅值为HA、初始相位为αA的正弦曲线段ZA。其替代曲线段即为幅值为HδA、初始相位为αA的正弦曲线段ZδA。参见图3，分段线形函数ΨδLA(t)的图形就是由替代正弦曲线段ZδA的n个首尾相连的等长内接弦构成的折线ZδLA。以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)，即相当于以折线ZδLA拟合ZA。正弦曲线段ZδA分段的交点即为需要设定的正弦曲线段ZδA的中间点，i(i＝1、2、3、……、n、n+1)就是包括正弦曲线段ZδA的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号。
根据公式(4-1)、(4-2)、(4-3)确定δA、|ΔTA|、n取值的依据是：
(1)以替代圆弧段CδA的内接弦拟合圆弧段CA的径向误差
①坐标函数ΨA(t)与对应的虚拟坐标函数ΦA(t)是一组具有相同幅值HΛ、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定义域的正弦函数与余弦函数，
ΨA(t)＝HAsin(ωt+αA)，(4-11)
ΦA(t)＝HAcos(ωt+αA)。(4-12)
替代坐标函数ΨδA(t)与对应的虚拟替代坐标函数ΦδA(t)是一组具有相同幅值HδA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定义域的正弦函数与余弦函数，
ΨδA(t)＝HδAsin(ωt+αA)，(4-13)
ΦδA(t)＝HδAcos(ωt+αA)，(4-14)
其中，HδA＝HA+δA，(4-15)
δA为替代坐标函数的幅值差。
②参见图5，坐标轴ΨA和ΦA构成了虚拟直角坐标系ΦAOΨA，坐标函数ΨA(t)与虚拟坐标函数ΦA(t)在ΦAOΨA虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为HA的圆弧段CA，圆弧段CA上的点与圆心O的连线相对轴ΦA的夹角即为(ωt+αA)。替代坐标函数ΨδA(t)与虚拟替代坐标函数ΦδA(t)在ΦAOΨA虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点O、半径为HδA的替代圆弧段CδA，圆弧段CδA上的点与圆心O的连线相对轴ΦA的夹角即为(ωt+αA)。替代坐标函数ΨδA(t)定义域的端点与中间点对应着圆弧段CδA的端点与中间点。图中CA、CδA分别是第一象限的圆弧段。
③以CδA的内接弦拟合CδA的径向误差
参见图6，将替代圆弧段CδA分成序号为i(i＝1、2、3、……、n)的n个等分分段，每个分段对应的参数t的等效增量为ΔTA，ΔTA也是每个等分圆弧段对应的圆心角，
ΔTA＝ωΔτA，(4-16)
式中，ΔτA为每个分段对应的参数t的增量。
以圆弧段CδA的n个等分分段的内接弦构成的折线拟合CδA。拟合产生的最大径向误差绝对值|δHδA|发生在内接弦的中点处，且
|δHδA|≈|δHA|=18HA(ΔTA)2,---(4-17)]]>
式中，|δHA|为以圆弧段CA的n个等分圆弧段的内接弦构成的折线拟合圆弧段CA的最大径向误差的绝对值。
④以CδA的内接弦拟合CA的误差
以圆弧段CδA的内接弦构成的折线拟合圆弧段CA，其最大径向误差绝对值|δHδ-A|发生在内接弦的中点或内接弦的二个端点处。
(a)在中点处圆弧段CδA各内接弦拟合圆弧段CA的径向误差绝对值|δHδ-A，M|
i)当CδA内接弦与圆弧段CA相交，CδA内接弦就成为CA的割线，
|δHδ-A,M|=|δHδA|-δA≈|δHA|-δA=18HA(ΔTA)2-δA,---(4-18)]]>
此时，
|δHδ-A,M|=18HA(ΔTA)2-δA>0,---(4-19)]]>
或|ΔTA|>8δAHA.---(4-20)]]>
ii)当CδA内接弦与圆弧段CA相切，
|δHδ-A,M|=|δHδA|-δA=18HA(ΔTA)2-δA=0,---(4-21)]]>
或|ΔTA|=8δAHA.---(4-22)]]>
iii)当内接弦不与圆弧段CA相交，在圆弧段外侧，
|δHδ-A,M|=δA-|δHδA|≈δA-|δHA|=δA-18HA(ΔTA)2,---(4-23)]]>
此时|ΔTA|<8δAHA,---(4-24)]]>
且|δHδ-A，M|≤δA。(4-25)
(b)在端点处圆弧段CδA各内接弦拟合圆弧段CA的径向误差绝对值|δHδ-A，D|恒为δA，
|δHδ-A，D|＝δA。(4-26)
(2)δA、|ΔTA|、n的取值
①δA的取值
由于CδA内接弦端点处径向误差绝对值|δHδ-A，D|恒为δA，为使所述|δHδ-A，D|不超过允许值εΦ其值不能超过允许值εΦ，δA取值应满足下述公式，
0≤δA≤εΦ。(4-27)
②|ΔTA|的取值
(a)在端点处，以CδA内接弦拟合CA的径向误差绝对值|δHδ-A，D|恒为δA，不受|ΔTA|取值的影响。
(b)在中点处，以CδA内接弦拟合CA的径向误差绝对值|δHδ-A，M|应不超过允许值εΦ，
|δHδ-A，M|≤εΦ。(4-28)
i)当圆弧段CδA内接弦与圆弧段CA相交，
|ΔTA|>8δAHA.---(4-20)]]>
由式(4-18)可知，为使所述的拟合误差|δHδ-A，M|不超过允许εΦ，|ΔTA|的取值应满足下述公式，
|ΔTA|≤8×(ϵΦ+δA)HA.---(4-29)]]>
ii)当圆弧段CδA内接弦与圆弧段CA相切，
|ΔTA|=8δAHA.---(4-22)]]>
此时，|δHδ-A,M|=|δHA|-δA=18HA(ΔTA)2-δA=0.---(4-21)]]>
iii)当内接弦不与圆弧段CA相交，在圆弧段外侧，
|ΔTA|<8δAHA,---(4-24)]]>
且|δHδ-A，M|≤δA。(4-25)
由于式(4-27)的限定，拟合误差|δHδ-A，M|肯定不超过允许值εΦ，
|δHδ-A，M|≤δA≤εΦ。(4-30)
VI)综合i)、ii)、iii)所述可知，只要ΔTA的取值满足公式(4-29)，就可满足公式(4-28)的要求，使所述的拟合误差|δHδ-A，M|不超过允许值εΦ。
③综合①、②所述可知，为使以CδA内接弦拟合CA的径向误差绝对值|δHδ-A|不超过允许值εΦ，δA的取值应满足下述公式，
0≤δA≤εΦ，(4-31)
ΔTA的取值应满足下述公式，
|ΔTA|≤8×(ϵΦ+δA)HA,---(4-32)]]>
或|ΔτA|的取值应满足下述公式，
|ΔτA|≤1ω×8×(ϵΦ+δA)HA.---(4-33)]]>
相应地，圆弧段CδA的分段段数由于
n≥|tn+1-t1||ΔτA|,---(4-34)]]>
其取值应满足
n≥ω|tn+1-t1|×H48×(ϵΦ+δA).---(4-35)]]>
④|ΔTA|的最大允许取值
(a)为加大|ΔTA|取值，以减少分段数；δR的取值应尽量大，取
δA＝εΦ。(4-36)
相应地，ΔTA的取值应满足下述公式，
|ΔTA|≤4×ϵΦHA,,---(4-37)]]>
或|ΔτA|≤4×1ω×ϵΦHA.---(4-38)]]>
(b)|ΔTA|或|ΔτA|的最大允许取值即为
|ΔTA|=|ΔTA|MAX=4×ϵΦHA,---(4-39)]]>
或|ΔτA|=|ΔτA|MAX=4×1ω×ϵΦHA.---(4-40)]]>
而且，|ΔTA|MAX对应着|δHδA|或|δHA|的最大值|δHδA|MZX或|δHA|MAX，
|δHδA|MZX≈|δHA|MAX=18|ΔTA|MAX2HA=18×16×ϵΦHA×HA=2ϵΦ=2δA.---(4-41)]]>
此时，CδA内接弦中点与端点所对应的径向误差绝对值相等，
|δHδ-A，M|＝|δHA|MAX-δA＝2δA-δA＝δA＝|δHδ-A，D|。(4-42)
(3)以分段线形函数ΨδLA(t)拟合坐标函数ΨA(t)的误差δΨδL＝A(t)
①以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差记以δΨδL＝A(t)，
δΨδL＝A(t)＝ΨδLA(t)-ΨA(t)。(4-43)
②参见图2至图6。在tOΨA平面上，将ΨδA(t)所对应的正弦曲线段ZδA分成序号为i(i＝1、2、3、……、n)的n个等分分段；在虚拟ΦAOΨA平面上，将ΨδA(t)与ΦδA(t)所对应的圆弧段CδA分成相同的n个等分分段。序号相同的ZδA分段端点与CδA分段端点所对应的t值相同，都是ti(i＝1、2、3、……、n、n+1)。ZδA分段与CδA分段对应的参数t的增量或等效增量相同。以ZδA的内接弦构成的折线拟合ZA，其拟合误差为δΨδL＝A(t)；以CδA的内接弦构成的折线拟合CA，其对应坐标轴ΨA拟合误差等于内接弦径向误差在坐标轴上的投影值δHδ＝A，Ψ(t)。图6中，以tM，u表示一个分段中点处的参数t的值，对应tM，u的所述径向误差绝对值在坐标轴上的投影值即为|δHδ-A，Ψ(tM，u)|。
③以CδA的内接弦构成的折线拟合CA，其径向误差绝对值的最大值|δHδ-A|发生在CδA内接弦的中点或端点tM/D处，且|δHδ-A|在坐标轴ΨA上的投影为
|δHδ-A，Ψ(tM/D)|＝|δHδ-A|×|sin(ωtM/D+αA)|。(4-44)
④相应地认为，一个分段内在中点或端点tM/D处，以正弦曲线段ZA的内接弦拟合正弦曲线段ZδA的误差绝对值|δΨδ-LA(tM./D)|也是最大；且等于对应tM/D处|δHδ-A|在坐标轴ΨA上的投影，
|δΨδ-LA(tM./D)|＝|δHδ-A|×|sin(ωtM/D+αA)|。(4-45)
⑤在定义域范围内，|δΨδ-LA(tM./D)|的最大值|δΨδ-LA(tM./D)|MAX为|δΨδ-LA(tM./D)|MAX＝|δHδ-A|×|sin(ωtM/D+αA)|MAX，(4-46)
式中，|sin(ωtM/D+αA)|MAX为对应替代坐标函数ΨδA(t)定义域|sin(ωtM/D+αA)|的最大值。
由于|ΔTA|或说|ΔτA|很小，可以认为
|sin(ωtM/D+αA)|MAX＝|sin(ωt+αA)|MAX，(4-47)
式中，|sin(ωt+αA)|MAX为对应替代坐标函数ΨδA(t)定义域|sin(ωt+αA)|的最大值，式(4-46)可以改写为
|δΨδ-LA(tM./D)|MAX＝|δHδ-A|×|sin(ωt+αA)|MAX。(4-48)
由于所述的|δΨδ-LA(tM./D)|的最大值|δΨδ-LA(tM./D)|MAX也就是所述的拟合误差δΨδL＝A(t)绝对值的最大值|δΨδ-LA(t)|MAX，因此，
|δΨδ-LA(t)|MAX＝|δHδ-A|×|sin(ωt+αA)|MAX。(4-49)
(4)δA、|ΔTA|、n的取值
①δA的取值
CδA内接弦端点处径向误差绝对值|δHδ-A，D|恒为δA，相应地，端点处以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差绝对值的最大值|δΨδ-LA(t)|MAX为δA|sin(t+αA)|MAX，其值不能超过允许值εA；因此，δA取值应满足
0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA，(4-50)
或0≤δA≤εA/|sin(ωt+αA)|MAX。(4-51)
②|ΔTA|的取值
(a)在端点处，以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差绝对值|δΨδ-LA(t)|恒为δA|sin(ωt+αA)|MAX，不受|ΔTA|取值的影响，只要δA取值满足式(4-50)，|δΨδ-LA(t)|就不会超过允许值εA。
(b)在中点处以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差绝对值的最大值|δΨδ-LA(t)|MAX应不超过允许值εA，
|δΨδ-LA(t)|MAX＝|δHδ-A，M||sin(ωt+αA)|MAX≤εA，(4-52)
i)当|ΔTA|>8δAHA,---(4-20)]]>
CδA内接弦与圆弧段CA相交，CδA内接弦就成为CA的割线；此时，为满足式(4-52)的要求，由式(4-18)、(4-52)可知，应有
|ΔTA|≤8×ϵA+δA×|sin(ωt+αA)|MAXHA×|sin(ωt+αA)|MAX,---(4-53)]]>
或|ΔτA|≤1ω×8×ϵA+δA×|sin(ωt+αA)|MAXHA×|sin(ωt+αA)|MAX.---(4-54)]]>
ii)当|ΔTA|=8δAHA,---(4-22)]]>
CδA内接弦与圆弧段CA相切，中点处|δHδ-A，M|将为0，
|δHδ-A,M|=|δHA|-δA=18HA(ΔTA)2-δA=0.---(4-21)]]>
因而，相应的ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差|δΨδ-LA(t)|为0，
|δΨδ-LA(t)|＝|δHδ-A，M||sin(ωt+αA)|MAX＝0＜εA。(4-55)
iii)当|ΔTA|>8δAHA,---(4-24)]]>
CδA内接弦不与圆弧段CA相交，在圆弧段CA外侧，此时总有
|δHδ-A，M|＜δA，(4-25)
只要δA取值满足式(4-50)，|δΨδ-LA(t)|MAX都不会超过允许值εA，
|δΨδ-LA(t)|MAX＝|δHδ-A，M||sin(ωt+αA)|MAX＜δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA。(4-56)
VI)综合i)、ii)、iii)所述可知，只要ΔTA的取值满足公式(4-53)，就可满足公式(4-52)的要求，使所述的拟合误差|δΨδ-LA(t)|MAX不超过允许值εA。
③综合①、②所述可知，为使所述的拟合误差|δΨδL-A(t)|不超过允许值εA，δA的取值应满足下述公式，
0≤δA|sin(ωt+αA)|MAX≤εA， (4-57)
或0≤δA≤εA/|sin(ωt+αA)|MAX。(4-58)
ΔTA的取值应满足下述公式，
|ΔTA|≤8×ϵA+δA×|sin(ωt+αA)|MAXHA×|sin(ωt+αA)|MAX,---(4-59)]]>
或|ΔτA|的取值应满足下述公式
|ΔτA|≤1ω×8×ϵA+δA×|sin(ωt+αA)|MAXHA×|sin(ωt+αA)|MAX.---(4-60)]]>
相应地，替代坐标函数定义域的等分分段段数n的取值应满足
n≥ω|tn+1-t1|×18×HA×|sin(ωt+αA)|MAXϵA+δA×|sin(ωt+αA)|MAX.---(4-61)]]>
④|ΔTA|的最大允许取值值
(a)为加大|ΔTA|取值，以减少分段数；δA的取值尽量大，取
δA|sin(ωt+αA)|MAX＝εA。(4-62)
相应地，ΔTA的取值应满足下述公式，
|ΔTA|≤4×ϵAHA×|sin(ωt+αA)|MAX,---(4-63)]]>
或|ΔτA|≤1ω×4×ϵAHA×|sin(ωt+αA)|MAX.---(4-64)]]>
(b)|ΔTA|或|ΔτA|的最大允许取值即为
|ΔTA|=|ΔTA|MAX=4×ϵAHA×|sin(ωt+αA)|MAX,---(4-65)]]>
或|ΔτA|=|ΔτA|MAX=4×1ω×ϵAHA×|sin(ωt+αA)|MAX.--(4-66)]]>
而且，|ΔTA|MAX对应着|δHδA|或|δHA|的最大值
|δHA|MAX=18|ΔTA|MAX2HA=18×16×ϵAHA×HA=2ϵA/|sin(t+αA)|MAX=2δA,---(4-67)]]>
此时，CδA内接弦中点与端点所对应的径向误差绝对值相等，
|δHδ-A，M|＝|δHA|MAX-δA＝2δA-δA＝δA＝|δHδ-A，D|。(4-68)
5、如第4点所述的插补方法，其特点为：对应坐标ΨA其幅值差δA取值为
δA＝εA/|sin(ωt+αA)|MAX。(5-1)
相应地，对应所述坐标ΨA其替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量ΔTA的取值及其替代坐标函数定义域等分分段段数n的取值满足下述公式，
|ΔTA|≤4×ϵAHA×|sin(ωt+αA)|MAX,---(5-2)]]>
n≥ω|tn+1-t1|4×HA×|sin(ωt+ϵA)|MAXϵA.---(5-3)]]>
|ΔTA|的最大允许取值即为
|ΔTA|=|ΔTA|MAX=4×ϵAHA×|sin(ωt+αA)|MAX.---(5-4)]]>
其依据见第4点中对确定δA、|ΔTA|、n取值的依据的分析。
6、如第4点所述的一种插补方法，其特点为：所述|sin(ωt+αA)|MAX以1替换。
相应地，所述δA、ΔTA及n的取值满足下述公式，
0≤δA≤εA，(6-1)
|ΔTA|≤8×ϵA+δAHA,---(6-2)]]>
n≥ω|tn+1-t1|×18×HAϵA+δA.---(6-3)]]>
满足公式(6-1)、(6-2)、(6-3)的δA、|ΔTA|、n的取值，可以使得对任何可能的定义域，都可做到以分段线性函数ΨδLA(t)拟合坐标函数ΨA(t)的误差绝对值|δΨδL-A(t)|不超过允许值εA。
7、如第6点所述的插补方法，其特点为：对应坐标ΨA其幅值差δA取值为εA，
δA＝εA。(7-1)
相应地，对应所述坐标ΨA其替代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量ΔTA的取值及其替代坐标函数定义域等分分段段数n的取值满足下述公式，
|ΔTA|≤4×ϵAHA,---(7-2)]]>
n≥ω|tn+1-t1|4×HAϵA.---(7-3)]]>
|ΔTA|的最大允许取值即为
|ΔTA|=|ΔTA|MAX=4×ϵAHA.---(7-4)]]>
依据式(7-4)确定的|ΔTA|MAX是对任何可能的的定义域所述拟合误差|δΨδL-A(t)|都不超过允许值εA的|ΔTA|的最大允许取值
8、如第3点所述的插补方法，其特点为：对应所述坐标Ψ1、Ψ2其幅值差δR的取值、其替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量|ΔTC|的取值及其替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)定义域等分分段段数nC的取值满足下述公式，
0＜δR≤εC，(8-1)
|ΔTC|≤8×(ϵC+δR)R0,---(8-2)]]>
nC≥ω|t(nC+1)-t1|4×R08×(ϵC+δR),---(8-3)]]>
式中，①t1为替代坐标函数Ψδ1(t)或Ψδ2(t)定义域起点对应的参数t的值，
t(nC+1)为替代坐标函数Ψδ1(t)或Ψδ2(t)定义域终点对应的参数t的值，
②εC为以圆弧段ZδC的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段ZC的径向误差的绝对值的允许值，圆弧段ZδC为替代坐标函数Ψδ1(t)、Ψδ2(t)在坐标轴Ψ1和Ψ2构成的直角坐标系Ψ1OΨ2的坐标平面上的图形，圆弧段ZC为坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)在坐标平面Ψ1OΨ2上的图形。所述圆弧段ZC、ZδC可参见图5，Ψ1、Ψ2、R0、Rδ0、α0、t、ZC、ZδC分别是图中的ΦA、ΨA、HA、HδA、αA、t、CA、CδA。
满足公式(8-1)、(8-2)、(8-3)的δR、|ΔTC|或nC取值，将使得以圆弧段ZδC的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段ZC的径向误差的绝对值不超过允许值εC。
公式(8-1)、(8-2)、(8-3)的依据见第4点对δA、|ΔTA|、n取值依据的分析。
9、如第8点所述的插补方法，其特点为：所述δR取值为εC，
δR＝εC。(9-1)
相应地，所述|ΔTC|及nC的取值满足下述公式，
|ΔTC|≤4×ϵCR0,---(9-2)]]>
nC≥ω|t(nC+1)-t1|4×R0ϵC.---(9-3)]]>
|ΔTA|的最大允许取值即为
|ΔTA|=|ΔTA|MAX=4×ϵCR0.---(9-4)]]>
其依据见第4点中对δA、|ΔTA|、n取值依据的分析。
10、如第1至3点或第5至9点中的任何一点所述的插补方法，其特点为：
ω＝1。(10-1)
也就是说，所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2π。此时，所述坐标对应的替代坐标函数定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，等于所述参数t的增量；以A表示所述坐标其序号k(k＝1、2、3、……、mΨ)中的某个序号，则有
ΔTA＝ΔτA。(10-2)
11、如第4点所述的插补方法，其特点为：
ω＝1。(11-1)
也就是说，所述坐标ΨA对应的正弦坐标函数ΨA(t)的周期为2π。此时，所述替代坐标函数ΨδA(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量ΔTA，等于所述参数t的增量ΔτA，
ΔTA＝ΔτA。(11-2)
值得注意的是，如果一个坐标函数是由若干个函数之和构成，则该坐标函数的插补结果等于构成该坐标函数的各个函数各自的插补结果之和。特别是构成该坐标函数的某个函数如果是常量，则该常量不会影响该函数的增量值。此外，所需路径或轮廓线其所在的直角坐标系坐标轴平移时，也不影响其位置坐标值增量的数值。
本发明的有益效果为：本发明针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，提出一种通过算术运算的递推公式准确确定曲线中间点位置坐标值增量的插补方法，并且还提出一种设定替代曲线的方法，以提高拟合精度或减小插补运算量。由于运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低。
【附图说明】
图1是本发明的坐标函数ΨΛ(t)插补的程序流程图，
图2是本发明的正弦曲线示意图，
图3是本发明的分段线性函数示意图，
图4是本发明的正弦曲线段局部示意图，
图5是本发明的圆弧曲线示意图，
图6是本发明的圆弧曲线局部示意图，
图7是本发明的椭圆曲线示意图。
【具体实施方式】
一、参见图1，这是坐标函数ΨΛ(t)插补的程序流程图。所述的坐标函数为
ΨΛ(t)＝HΛsin(ωt+αΛ)，(J1-1)
程序由步骤(1)至步骤(9)组成：
(1)设定ΨΛ(t)的替代坐标函数ΨδΛ(t)
ΨδΛ(t)＝HδΛsin(ωt+αΛ)，(J1-2)
HδΛ＝HΛ+δΛ，(J1-3)
确定替代坐标函数ΨδΛ(t)的幅值差δΛ的数值；
(2)确定替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域起点及中间点所对应的参数t的等效增量ΔTΛ，其数值为所述参数t的增量ΔτΛ的ω倍，是常数，
ΔTΛ＝ωΔτΛ＝常数，(J1-4)
(3)确定替代坐标函数ΨδΛ(t)定义域中间点的个数nΛ-1，以iΛ(iΛ＝1、2、3、……、nΛ、nΛ+1)表示包括定义域端点与中间点在内的点的序号，中间点的序号为iΛ(iΛ＝2、3、……、nΛ)；
(4)初始化iΛ值，即将iΛ设置为2，
2→iΛ；(J1-5)
(5)确定序号为iΛ的中间点所对应的替代坐标函数函数值增量ΔΨδΛ(t)的值；
(6)存储/输出运算结果；
(7)判定
iΛ＝nΛ？(J1-6)
若iΛ≠nΛ，表明插补尚未完成，则转至步骤(8)，
若iΛ＝nΛ，则转至步骤(9)；
(8)将iΛ加1，并保存，
iΛ+1→iΛ，(J1-7)
再转至步骤(5)，继续进行插补；
(9)插补完成。
二、参见图2，这是正弦曲线示意图。在直角坐标系tOΨA下的一个幅值为HA、初始相位为αA的正弦曲线QA，其坐标函数为
ΨA(t)＝HAsin(ωt+αA)，(J2-1)
曲线QA的替代曲线为幅值为HδA、初始相位为αA的正弦曲线QδA，相应地，替代坐标函数为
ΨδA(t)＝HδAsin(ωt+αA)，(J2-2)
式中，HδA＝HA+δA，(J2-3)
δA是替代坐标函数ΨδΛ(t)的幅值差。
对应于所需路径或轮廓线，坐标函数ΨA(t)、ΨδA(t)定义域为[t1，tn+1]，该定义域对应的正弦曲线段记以ZA，对应的替代正弦曲线段记以ZδA。
三、参见图3，这是等分分段线性函数示意图。在直角坐标系tOΨA下的替代正弦曲线段ZδA，其替代坐标函数为
ΨδA(t)＝HδAsin(ωt+αA)，(J3-1)
n是替代坐标函数ΨδA(t)定义域的等分分段数。正弦曲线段ZδA的n个等分分段的内接弦构成折线ZδLA，其相应的分段线性函数ΨδLA(t)为
ΨδLA(t)=ΨδA(ti)+ΔΨδA(ti)ΔTA(t-ti),,(ti<t≤ti+1),]]>
(i＝1、2、3、……、n)，(J3-2)
式中，①i(i＝1、2、3、……、n)是替代坐标函数ΨδA(t)定义域n个等分分段的序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以i(i＝1、2、3、……、n、n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，
②ti(i＝1、2、3、……、n、n+1)是替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n、n+1)的点所对应的参数t的值，
t1是替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点所对应的参数t的值，
tn+1是替代坐标函数ΨδA(t)定义域终点所对应的参数t的值，
[t1、tu+1]是替代坐标函数ΨδA(t)的定义域，
③ΔTA是替代坐标函数ΨδA(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的等效增量的值，或说是替代坐标函数ΨδA(t)定义域各等分分段所对应的参数t的等效增量，是所述参数t的增量ΔτA的ω倍，是常数，
ΔTA＝ωΔτA，(J3-3)
④ΔΨδA(ti)(i＝1、2、3、……、n)是替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量，
ΔΨδA(ti)＝ΨδA(ti+1)-ΨδA(ti)，(i＝1、2、3、……、n)，(J3-5)
其中，ΨδA(ti+1)(i＝1、2、3、……、n)是替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值，
ΨδA(ti)(i＝1、2、3、……、n)是替代坐标函数ΨδA(t)定义域序号为i(i＝1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。
四、参见图4，这是正弦曲线段局部示意图。示意图表示相应于定义域[t1，tn+1]的一个分段，正弦曲线段ZA、替代正弦曲线段ZδA及由替代正弦曲线段ZδA内接弦构成的折线ZδLA之间的关系。图中以u表示所示分段的序号，该分段对应的参数t的区间为[tu，tu+1]，[tu，tu+1]的中点以tM，u表示。ΨA(tM，u)、ΨδA(tM，u)、ΨδLA(tM，u)分别是对应于tM，u函数ΨA(t)、ΨδA(t)、ΨδLA(t)的值，δΨδ-LA(tM，u)是对应于点tM，u以ΨδLA(t)拟合ΨA(t)的误差δΨδ-LA(t)，
δΨδ-LA(tM，u)＝ΨδLA(tM，u)-ΨA(tM，u)。(J4-1)
五、参见图5，这是圆弧曲线示意图。在直角坐标系ΦAOΨA下的一个圆心在坐标轴原点O、半径为HA的圆弧曲线QC，其曲线方程为
ΦA2+ΨA2＝HA2。(J5-1)
曲线的坐标函数为
ΨA(t)＝HAsin(ωt+αA)，(J5-2)
ΦA(t)＝HAcos(ωt+αA)。(J5-3)
圆弧QC上的点与圆心O的连线相对轴ΦA的夹角即为(ωt+αA)。
替代圆弧曲线QCδ为圆心在坐标轴原点O、半径为HδA的圆弧，其曲线方程为
ΦA2+ΨA2＝HδΛ2。(J5-4)
曲线QCδ的坐标函数为
ΨδA(t)＝HδAsin(ωt+αA)，(J5-5)
ΦδA(t)＝HδAcos(ωt+αA)，(J5-6)
式中HδA＝HA+δA，(J5-7)
δA是ΨδA(t)、ΦδA(t)的幅值差。
圆弧QCδ上的点与圆心O的连线相对轴ΦA的夹角即为(ωt+αA)。
坐标函数ΨA(t)、ΦA(t)、ΨδA(t)、ΦδA(t)定义域为[t1，tn+1]，该定义域对应的圆弧曲线段记以CA，对应的替代圆弧曲线段记以CδA；图中CA、CδA分别是第一象限的圆弧段。
六、参见图6，这是圆弧曲线局部示意图。示意图表示相应于圆弧曲线段CA在第一象限的一个分段其圆弧段CA、替代圆弧段CδA及由替代圆弧曲线段CδA内接弦之间的关系。
①图中圆弧段CδA的内接弦就是圆弧段CA的割线。以圆弧段CδA内接弦构成的折线拟合圆弧段CA，实际上就是由圆弧段CA的割线构成的折线拟合圆弧段CA，从而减小拟合的误差。
②以tM，u表示一个分段中点处的参数t的值。对应tM，u，所述CδA内接弦拟合CA的径向误差绝对值在坐标轴上的投影值即为|δHδ-A，Ψ(tM，u)|。
③圆弧段CδA的等分分段对应的圆心角为ΔTA。以lδA表示圆弧段CδA一个分段的内接弦的长度，对应于tu有
ΔΨδA(tu)=lδAcos[ω(tu+ΔτA2)+αA]=lδAcos(ωtu+ΔTA2+αA),---(J6-1)]]>
ΔΦδA(tu)=-lδAsin[ω(tu+ΔτA2)+αA]=-lδAsin(ωtu+ΔTA2+αA),---(J6-2)]]>
式中，ΔTA＝ωΔτA。(J6-3)
七、参见图7，这是椭圆曲线示意图。在直角坐标系Ψ1OΨ2下的中心在坐标轴原点O的椭圆曲线QE，其曲线方程为
Ψ12H12+Ψ22H22=1,---(J7-1)]]>
式中：H1和H2为椭圆的半轴。
曲线的坐标函数为
Ψ1(t)=H1sin(ωt+α1)=H1sin(ωt+α0+π2)=H1cos(ωt+α0),---(J7-2)]]>
Ψ2(t)＝H2sin(ωt+α2)＝H2sin(ωt+α0)，(J7-3)
式中，α1=α0+π2,---(J7-4)]]>
α2＝α0，(J7-5)
椭圆曲线QE上的点与坐标轴原点O的连线相对Ψ1轴的夹角即为(ωt+α0)。
坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)定义域所对应的椭圆曲线段记以ZE；图中ZE是一个第一象限的椭圆弧段。
八、实施例
所需路径或轮廓线是在直角坐标平面ΨXOΨY上的圆心在坐标轴原点O、半径为R0的第1象限圆弧段ZC，其曲线方程为
ΨX2+ΨY2＝R02。(L-1)
曲线的坐标函数为
ΨX(t)＝R0cost，(L-2)
ΨY(t)＝R0sint。(L-3)
R0＝50000，
圆弧段ZC上的点与圆心O的连线相对轴ΨX的夹角即为参数t。要求以折线拟合圆弧段ZC的最大径向误差绝对值不超过εC，
εC＝0.5。(L-4)
参见图5，ΨX、ΨY、R0、t、ZC分别是图中的ΦA、ΨA、HA、ωt、CA。
以替代圆弧段ZδC的内接弦构成的折线拟合圆弧段ZC，其插补过程如下：
1、设定替代曲线确定幅值差
(1)设定替代曲线
以与圆弧段ZC同心的第1象限圆弧段ZδC设定为圆弧段ZC的替代曲线，以替代圆弧段ZδC的内接弦拟合圆弧段ZC。ZδC的曲线方程为
ΨX2+ΨY2＝Rδ02。(L-5)
曲线的坐标函数为
ΨδX(t)＝Rδ0cost，(L-6)
ΨδY(t)＝Rδ0sint，(L-7)
Rδ0＝R0+δR。(L-8)
(2)确定ΨδX(t)、ΨδY(t)的幅值差δR
根据公式(9-1)，取
δR＝εC＝0.5，(L-9)
则Rδ0＝R0+δR＝50000.5。(L-10)
参见图5，ΨX、ΨY、Rδ0、t、ZδC分别是图中的ΦA、ΨA、HδA、t、CδA。
2、确定内接弦对应的圆心角ΔTC与圆弧段ZδC的分段
(1)确定ΔTC
将圆弧段ZδC等分，以ΔTC表示圆弧段ZδC各等分分段起点所对应的参数t的等效增量，ΔTC也就是圆弧段ZδC内接弦对应的圆心角。对于本例，ΔTC等于所述参数t的增量ΔτC，
ΔTC＝ΔτC。(L-11)
如果要求ZδC内接弦拟合ZC在内接弦中点处的径向误差绝对值的最大值|δRδ-0，M|不超过0.5，则根据公式(9-2)，
|ΔTC|≤4×ϵCR0=4×0.55000=0.012649,---(L-12)]]>
取|ΔTC|＝0.012649，(L-13)
(2)确定圆弧段ZδC分段段数
依据式(L-13)确定的ΔTC值，对圆弧段ZδC进行分段，其分段段数理论值应为
nCL=π2×0.0126=124.18,---(L-14)]]>
实际分段段数nC只能是整数，根据公式(9-3)，取
nC＝125，(L-15)
此时，|ΔTC|实际值为
|ΔTC|=π2×nC=π2×125=0.01257,---(L-16)]]>
根据公式(4-18)，ZδC内接弦拟合ZC中点处径向误差为
|δRδ-0，M|＝|δRδ0|-δR＝0.487＜εC＝0.5，(L-17)
根据公式(4-26)，ZδC内接弦拟合ZC端点处的径向误差绝对值为
|δRδ-0，D|＝δR＝εC＝0.5。(L-18)
3、确定替代坐标函数定义域中间点的位置坐标值
以iC(iC＝1、2、3、……、125、126)表示构成逼近圆弧ZC的折线的125个内接弦的起点及最后一个内接弦的终点在内的各点的序号，也就是坐标函数ΨδX(t)、ΨδY(t)定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及126，二个端点间的中间点分别对应着序号
iC＝2、3、……、125。(L-19)
(1)当iC＝1，即圆弧段ZC起点，其位置坐标值为已知
ΨδX(t1)＝Rδ0＝50000.5，(L-20)
ΨδY(t1)＝0，(L-21)
式中t1＝0。
(2)当iC＝2～175，以v+1表示iC(iC＝2、3、……、nC-1)中的某个中间点的序号，v代表与之相邻的前一个点的序号.，根据第3点的说明可知，ΨX(t)可视为ΨY(t)的虚拟坐标函数，因此，可根据公式(1-6)、(1-7)确定圆弧段各中间点的坐标函数值增量，
ΔΨδX(tv+1)＝ΔΨδX(tv)cosΔTC-ΔΨδY(tv)sinΔTC，(L-22)
ΔΨδY(tv+1)＝ΔΨδY(tv)cosΔTC+ΔΨδX(tv)sinΔTC。(L-23)
相应的各中间点的位置坐标值ΨδX(tv+1)、ΨδY(tv+1)由下式确定
ΨδX(tv+1)＝ΨδX(tv)+ΔΨδX(tv)，(L-24)
ΨδY(tv+1)＝ΨδY(tv)+ΔΨδY(tv)，(L-25)
式(L-22)、(L-23)中，
①根据公式(1-24)、(1-25)，sinΔTC、cosΔTC可按下式确定，
sinΔTC=ΔTC-16×(ΔTC)3,---(L-26)]]>
cosΔTC=1-12(ΔTC)2+124(ΔTC)4.---(L-27)]]>
②根据公式(1-34)、(1-35)，对应圆弧段ZδC起点的位置坐标值增量ΔΨδX(t1)、ΔΨδY(t1)可按下式确定，
ΔΨδX(t1)＝ΨδX(t1)cosΔTC-ΨδY(t1)sinΔTC-ΨδX(t1)，(L-28)
ΔΨδY(t1)＝ΨδY(t1)cosΔTC+ΨδX(t1)sinΔTC-ΨδY(t1)。(L-29)
式中，t1＝0。(L-30)
(3)当iC＝125，即对应最后一个中间点，其相应的位置坐标值增量ΔΨδX(t125)、ΔΨδY(t125)无需计算，因为最后一个内接弦的终点即圆弧段ZδC的终点，其位置坐标值是已知的，
ΨδX(t126)＝0，(L-31)
ΨδY(t126)＝50000.5。(L-32)
如果不设替代曲线，直接以圆弧段ZC的内接弦拟合圆弧段ZC，为了保证内接弦相对圆弧段ZC的径向误差绝对值不超过εC，对本例εC为0.5，则应有
|ΔTC|≤8ϵCR0.---(L-33)]]>
若取|ΔTC|=8ϵCR0,---(L-34)]]>
则其取值是式(L-13)取值的倍。由此可见，设定替代曲线将减小分段段数，从而减小插补运算量。
由于第一象限的1/4圆弧相对角XOY的平分线是对称的；因此，插补可以只针对圆心角为0～(π/4)部分的圆弧进行就可以了。圆心角为(π/4)～(π/2)部分的圆弧的位置坐标值或其增量可利用所述的对称性获得，计算量可以节省50％。