一个多载波信号的设计 1.发明的领域
1.1一般领域
本发明的领域在于特别为可移动物体接收而设计的数字的或模拟的数据和抽样数据的发送或广播方面。更具体地说，本发明涉及到借助新调制形式以及相应的调制和解调技术而产生的信号。
多年来，一直寻求建立适于高度非固定信道的调制方案。例如为向移动物体发射的非固定信道。在这样的信道中，发出的信号受衰落现象和多重路径影响。CCETT在欧洲项目EUREKA 147(DAB：数字音频广播)的结构内所进行的工作已显示出对多载波调制，特别是OFDM(正交频率划分多路传输)对这种类型的信道的价值。
OFDM在这个欧洲项目结构内被选作DAB标准的基础。这个技术还可被想象为电视节目广播的调制技术。但是，已发现在处理如数字电视应用所需的调制这样有高频谱效率的编码调制问题尚存在一些局限(如下文列举的)。
1.2可能地应用
本发明可应用在许多领域，特别是当要求高频谱效率时和信道是高度非固定时更有它的应用。
第一类应用涉及到不论是图象、声音和/或数据的陆地数字无线电广播。特别的，本发明可应用于固有地产生长期多重路径的同步广播。它还有利地应用于对可移动物体的广播。
另一类应用涉及到数字无线电通讯。本发明可专门应用在例如UMTS(RACE项目)中的这样以高比特率同可移动物体的数字通讯系统中。本发明还可设想用于高比特率的本地无线电网络(HIPERLAN型)。
第三类应用是水下发送。由于声波在水中的传输速率很低，水下声学的传输信道被高度干扰。这就导致了多重路径和多普勒频谱的主要的扩展。多载波调制技术和特别是成为本发明目的的技术正适合这个领域。
2.先前技术
2.1关于信号表征的理论评述
在介绍根据本发明的信号前，在下面说明一下已知的信号。这个说明是基于对作者所定义的多载波信号的一般处理。这个处理本身是新颖的。这个一般处理的确没有先前技术里相等同之处，并且对本技术专业人员来说决不是明显的。因而，必须把它看作本发明的一部分而不是先前技术的组成部分。
所感兴趣的信号是些实信号(例如，一个电学量)。它们有有限的能量并是时间的函数。因而，信号可用L2(R)的实函数表示。此外，这些信号是有有限带宽W的信号，而它们的频谱包含在内。fc是信号的载波频率。通过其复数的包络s(t)以相同的方式表示一个实信号a(t)是可能的。s(t)=e-2iπfctFA[a](t)----(1)]]>
其中FA表示分析滤波器。
信号s(t)属于有可求和平方L2(R)的实变量的复函数空间的一个子向量空间(以到的带宽限制为特征)。这个向量空间可用2种不同的方式来定义。这取决于是在复数值域上还是在实数值域上建立空间。用每个空间都可能联系在C或R里取值的标量积建立Hilbertion(希尔伯特)空间。H表示在复数值域上建立的Hilbertion空间，而HR表示在实数值域上建立的Hilbertion空间。
相应的标量值写作如下：在H的情况下，(x|y)=∫Rx(t)y*(t)dt----(2)]]>在HR的情况下(x|y)R=Re∫Rx(t)y*(t)dt----(3)]]>在2种情况下相关的标准显然是等同的：||x||=[∫R|x(t)|2dt]1/2----(4)]]>
2.2OFDM的一般原理
OFDM的一般原理在1986年7月2日归档的法国专利FR-8609622里作为例子介绍过。技术的基本思想是，按着基本波形的系数来发送编码信号，基本波形尽可能是限制在时间-频率平面内，对此发送信道可视作局部固定的。这样一来，信道显得是简单的倍增器信道，这种信道用遵守Rice(赖斯)或Rayleigh(瑞利)定律的系数的模数分布来表征。
于是，借助编码防止衰落现象。这个编码可用在同时间和频率交错相联系的加权判定方式中。这个方式保证在最小编码啮合中起作用的信号被无关的衰落现象影响到最大可能的程度。
这个用在时间-频率平面内交错的编码技术称作CDFDM。例如在文件(2，3)中说明这个技术。(见附录1(为阅读简便，大多数先前技术参考文献都列在附录1中，这个附录以及附录2和附录3当然被视作本发明说明的组成部分))。
有两种类型已知的OFDM调制。在文献中用术语常常含糊不清。这里我们介绍新的名称，当联想同现有文献对应时，它们是更精确的。我们将使用普通名称OFDM加后缀标明此类中的调制类型。
2.3OFDM/QAM
2.3.1理论原理
第一类调制视作在二进制数据码元的特定情况下的QAM(正交幅度调制)调制载波或可能是QPSK(90度相移键控)调制载波的多路传输。在下面，这个系统称作OFDM/QAM。载波全都同步，并且载波频率以符号时间的倒数分隔开。尽管这些载波频谱重迭，然而系统的同步使得保证不同载波所送出的符号间的正交性有可能。
参考文献(1)到(7)给出了有关这个问题可得文献的合适概念。
为书写更加简单起见并根据本发明的新颖处理，信号将用其上述复数包络表示。在这些条件下，一个OFDM/QAM信号的一般方程式写作：s(t)=Σm,nam,nxm,n(t)----(5)]]>
系数am，n取复数值表示发送数据。函数xm，n(t)被转移到同一原型函数x(t)的时间-频率空间里：
是任何相位，可被任意地设为0。函数x(t)是对中心的，即它的一阶矩为零，给出标志x(t)的Fourier(富里哀)变换的x(f)。
在这些条件下，遵守：∫t|x(t)|2dt=∫f|X(f)|2df=0,----(8)]]>∫t|xm,n(t)|2dt=nτ0----(9)]]>∫f|Xm,n(f)|2df=mν0]]>
因而，如图1所示，基本函数的重心由向量(τ0，0)和(0，ν0)产生的时间-频率平面的点阵组成。这个点阵有1的密度，即ν0τ0＝1。关于这个问题上的详细讨论，可参考文献(9)的文献。
原型函数x(t)有特有的特性，其中函数{xm，n}是互相正交的，更确切地说构成L2(R)的Hilbertion基，给出：
在这个基础上设计一个信号简单地相当于将这个信号分解成带有τ0持续时间的时序，并用相应的Fourier级数展开来表示每个时序。这种类型的分解是朝向既在时间又在频率上定域的第一步。这种定域同标准Fourier分析相反，标准的Fourier分析规定了有时间信息总损失的完全频率定域。
不幸的是，虽然时间定域是极好的然而频率定域由于x(f)函数缓慢减少的慢效率很差。而且，Balian-Low-Coifman-Semmes定理(见9P.976)证明，如果X表示x的Fourier变换，到tx(t)和fx(f)不能同时是可求和的平方。
2.3.2带有保护区间的OFDM/QAM
一般地说，OFDM调制对于复合路径和多普勒扩展的容限可用一个参数表征。这个参数综合地量度作为时间或频移的函数的符号间干扰(II)水平的变化(11)。这个概念的合理性在附录2里给出。这个容限参数称作ξ，并按下列关系定义：
ξ＝1/4πΔtΔf (11)
在下列条件下：Δt2∫|x(t)|2dt=∫t2|x(t)|2dt----(12)]]>Δf2∫|X(f)|2df=∫f2|X(f)|2df----(13)]]>
由于Heisenberg’s(海森堡)不等式，ξ不能超过1。
根据上面缓引的Baliau-Low-Coifman-Semmes定理，对于OFDM/QAM参数ξ等于0。如上所说明的，这是OFDM/QAM调制的主要缺陷。实际上特征在于对时间误差以及因此对多路径的高度敏感性。
这个缺陷可通过使用例如在[5]中所介绍的保护间隔来防止。这是一个在于开拓原型函数的矩形窗口的方法。基符号的点阵密度则严格地小于1。
因为原始符号变换型式的无限性在被保护区间扩展的符号范围内发现，所以这个技术是可行的。，当然只因为原型函数是一个矩形窗口，这个方法才有效。有这个意义上，有保护区间的OFDM/QAM是一个唯一的奇点。
有保护区间的OFDM/QAM调制是DAB系统的基础。这个保护区间使得以损失性能为代价限制符号间的干扰有可能。这因为一部分发送的信息没真正被接收机利用，而只用来吸收复合路径。
于是，在保护区间代表有用符号的25％的DAB系统情况下，损失是1dB。此外，由于下述事实还有个额外的损失。这个事实是，为获得一定的综合频谱效率必须用较大的使用编码的效率来补偿由于保护区间引起的损失。
在DAB系统的情况下，由于频谱效率低所以这个损失是有限界的。相反地，如果寻求得到4bit/Hz的总频谱效率，必须用5bit/Hz的编码。根据Shannon(香农)定理，5bit/Hz的编码给出了dB级的损失。因此在这种情况下总损失约4dB。
2.3.3其他OFDM/QAM系统
有可能想到其他OFDM/QAM类型的系统。不幸的是，没有滤波的QAM调制即用常规的半Nyquit(或确切地说“Nyquist平方根”)型成形的调制说明正交性的必要约束是成立的。已知原型函数成立正交性所需的判据是：
-矩形窗口；
-基本正弦。
这2个例证是无足轻重的并按Fourier定理显得是相互二重的。矩形窗口的情况对应无保护间隔的OFDM/QAM。基本正弦的情况对应有0％滚降的标准频率多路传输(即在其中载波有不连续的频谱)情况。这种情况是一种实际很难实现的渐近线情况。
这些情况中的每个情况下，必须遵守原型函数在时间上或在频率上被完好地限定，但在2个域中有中度的衰减(在1/t上或在1/f上)。
Balian-Low-Coifman-Semmes定理几乎没留下会存在满意解的希望。如上所表明的，这个定理表明tx(t)和fx(f)不能同时有可求和的平方。因而，它们无希望求解函数x(t)使得x(t)和x(f)随小于-3/2的指数同时减少。
此外，这能排除在工程师看来是满意的函数存在可能性。但是，最近的一篇处理这个问题的论文[10]指出另一个有需要性质的典型的原型函数。在这篇论文里提出的原型函数形状远离用于在时间集中项目中可希望有的东西。因而，可能是没有满意的OFDM/QAM型的解。
最后，相当于利用一个有密度1和复数系数am，n的点阵的OFDM/QAM处理只在矩形时间窗口和使用保护区间的情况下可以利用。寻求其他调制的本技术专业人员将不得不转向在OFDM/QAM的标志下下文所述的技术。
2.4OFDM/OQAM
第二类调制使用OQAM(编置正交幅度调制)调制载波的多路传输。在下文，这个系统称作OFDM/OQAM。载波被全部同步，并且载波频率以符号时间倒数的一半分隔开。尽管这些载波的频谱重迭，但是系统的同步和载波相位的选择可用于保证由不同载波送出的符号间的正交性。参考文献〔11-18〕给出了有关个问题可得文献的清晰概念。
为书写更简便，信号以其解析形式表示。在这个条件下，OFDM/OQAM信号的一般方程可写作如下：s(t)=Σm,nam,nxm,n(t)----(14)]]>
系数am，n假定表示所传输的数据元的实数值。函数xm，n(t)被转移到同一原型函数x(t)的时间-频率空间里： 如果(m+n)是偶数 如果(m+n)是奇数有条件：ν0τ0＝1/2 (15)是任何相位，可任意设为0。
因而，如图2所示，基本函数的重心形成由向量(τ0，0)和(0，ν0)产生的时间-频率平面的点阵。
这个点阵有密度2。函数xm，n(t)相对于R中的标量积互相正交。在已知的处理中，原型函数以这样方式在频率上被限定，即每个载波频谱只重迭相邻载波的频谱。实际上，所考虑的原型函数是偶次函数(实数或可能是复数)，下列关系成立：
x(t)的一种可能选择是一个有100％滚离的半Nyquist滤波器的脉冲响应，即：
当观察x(t)和它的Fourier变换时，注意到x(f)有个受限的频带(support)，并且x(t)以t-2减小，即这是个本质上比从Balian-Low-Coifman-Semmes定理得出的理论限制更好的结果。基本波形比在OFDM/QAM情况下更好在时间-频率平面上定域，这就在出现多重路径和多普勒现象时赋于这个调制一种好的性能。如上所述，有可能定义参数ξ，度量对于延迟和对于多普勒现象的调制容限。这个参数等0.865。
3.先前技术的缺点
这些已知的系统有许多缺点和局限。特别是在很受干扰的信道里和当要求高频率时。
3.1OFDM/QAM
OFDM/QAM系统的主要问题是它强制性要求使用保护间隔。如上所述，这当追求高频谱效率值时产生一个重要的效率损失。
此外，发送的信号在频域里集中很差，这也限制了在高度非固定信道里的性能特性。特别是，这个分布使得使用均衡器很困难。
3.2OFDM/OQAM
相反地，OFDM/OQAM的频率性能是相当令人满意的，并且有关保护间隔的损失问题不出现。相对比地，原型函数的脉冲响应有比较慢的时间减小，即以1/x2减小。
这意味着2种类型的困难。首先，很难在短的时间间隔上截断波形。这意味着在接收机要进行复杂的处理。此外，这也意味着可能的均衡系统。
换言之，OFDM/OQAM技术比OFDM/QAM技术性能好，但这些技术证明特别是在接收机里，实现麻烦，成本高昂。
4.本发明的说明
4.1本发明的目的
特别地要克服先前技术的这些不同的缺点和限制是本发明的一个目标。
于是，本发明的一个目标是提供一种为发送或广播到接收机上而设计的数字信号。这种信号能被用来获得在非固定信道，特别是高度非固定信道中较佳的性能特性。
本发明还有一目的在于提供可用来获得高频谱效率的这种信号。
本发明的另一个目的是提供这种信号，即这种信号避免OFDM/QAM有关保护间隔处理的缺点，而又同时保存尽可能集中的原型函数的时间响应，尤其为的是接收机上的处理简化。
本发明的目的也在于提供这种信号，即它特别是关于解调和均衡方面使得用不大的麻烦和成本制造接收机有可能。
本发明的一个另外目的是提供发射机、接收机、发射或广播的方法、接收的方法和建立、即定义相应于这样一种信号的调制的方法。
4.2本发明的主要特点
这些目的以及在下文要出现的其他目的是根据本发明通过为发射到数字接收机上而设计的多载波信号来实现。特别是在非固定发送信道，相当于若干基本载波的频率多路传输，每个载波对应一系列符号，2个相邻的符号被信号时间τ0分离，在信号里，首先2个相邻载波间的间隔ν0等于符号时间τ0的倒数的一半，其次每个载波经受为其频谱整形的滤波作用，该滤波具有要严格大于2倍所说的载波间间隔ν0的带宽。并被选得使每个符号尽可能地既在时间域里也在频率域里集中。
尤其，这种信号可对应下列方程式：s(t)=Σm,nam,nxm,n(t)]]>
这里，am，n是代表在预定调制字母中所选的信号源的实系数；
m是代表频率因次的整数；
n是代表时间因次的整数；
t代表时间；
xm，n(t)是转换到取实数或复数值的同一偶次原型函数x(t)的时间频率空间里的基本函数，即：
其中，是一个任意的相位参数。函数x(t)的Fourier变换x(f)有一延伸到区间[-ν0，ν0]之外的频带。
所说的基本函数{xm，n}是互相正交的，2个不同基本函数标量积的实数部分是零。
符号“±”表示xm，n(t)可无差别地取负号为正号。当然不意味xm，n(t)取2个值。
于是，本发明是以利用在时间-频率平面内尽可能集中的原型函数的调制系统为基础的。这个处理的价值是有可能得到一种产生信号的调制，这种调制在保留尽可能集中的原型函数的时间响应同时又避免了同保护间隔有关的OFDM/QAM的缺点，这样简化了接收机的处理。
换句话说，本发明的目的涉及到在有密度2的正交点阵上建立如OFDM/OQAM调制这样的新颖系统，而无论如何没有频率受限的频带的原型函数。在所建议的那些调制类型中，或有使用时间受限的频带的原型函数的调制，或有使用这样原型函数的调制：即原型函数在时间或在频率上不受限制；但相反地，有在时间上和在频率上都快速减小并在时间-频率平面里几乎是最佳集中的性质。
由先前技术看来，这种信号对于本技术专业人员来说决不是显而易见的。如上面指出，基本上有2种OFDM型调制设计方式。
第一个已知的设计方式使用有密度1的点阵。这第一个处理利用分解信号的基，每个信号细分成一些间隔，每个间隔则按Fourier级数的形式分解。这是OFDM/QAM处理。文献几乎没给出建立在同样点阵上可能处理的例子，而所得到的结果几乎没有实际意义〔10〕。
此外，OFDM/QAM技术是唯一一个可从保护间隔方法中获益的技术。因而，OFDM/QAM有一个不允许延伸的奇异特性。
第二个已知的设计(OFDM/OQAM)方式使用有密度2的点阵。中心在同一个频率或在相邻频率上的符号间的正交性通过半-Nyquist信号整形和适当的信号相位选择保证。最后，在相邻频率以外的正交性被这个事实所保证，即频带是不连接的。
因而，建立不证实该性质的新调制显然是不容易的。
在下面说明的所有本发明的变形都具有这样的优点，即或利用限制在时域内的或有快速减小的原型函数，使得该函数能易于截止。
根据第一种变形，所说的原型函数x(t)是个偶次函数。它在[-τ0，τ0]区间是零，并有下面关系成立：有利地，所说原型函数x(t)按下式定义：
在第一种情况下(下面称作OFDM/MSK)，由于耐多普勒现象和多重路径的性能特征是同OFDM/OQAM调制相当，而接收机的制造却被简化。
根据本发明的第二种变形，所说的原型函数用下列方程式表征：x(t)=y(t)τ0Σk|y(t-kτ0)|2]]>函数y(t)由其Fourie变换Y(t)未定义：Y(f)=G(f)ν0Σk|G(f-kν0)|2]]>其中，G(f)是个下列类型的归一化Gaussian(高斯)函数。G(f)=(2α)1/4e-παf2]]>
α是个严格正的实参数，k由-∞到+∞变化。
有利地是，参数α等于1。相应的调制在下面称作OFDM/IOTA。在这种情况下，相应的原型函数ξ同Fourier变换恒等。
接收机的制造比在OFDM/OQAM的情况下要简单。虽然看起来比以前的情况下复杂，但性能特性却本质上较高。
本发明也涉及特别是在非固定传输信道里发送数字信号的方法。这个方法由下列各步骤组成：
-被传送数字信号的信道编码，传递由预定字母选出的实数字系数am，n；
-建立符合上面定义的方程式的信号s(t)；
-让所说的信号s(t)作为其复数包络向至少一个接收机发射信号。
可取的是，这种方法包含这一步，即加到组成所说数字信号发送的二进位单元上或数字系数am，n上的频率和/或时间交错。
这使得有可能提供在非固定信道里的最佳性能特性。
本发明也涉及这种信号的传送器。
本发明还涉及上述信号的接收方法。方法包括如下步骤：
-接收具有相应发送信号s(t)的信号r(t)的信号作为其复数包络；
-传输信道响应的估计，包含相位响应Qm，n和幅度响应Pm，n的估计；
-所说信号(t)的解调，它包括下列步骤；
-所说信号r(t)用原型函数倍乘；
-过滤波形模2τ0的交迭；
-应用Fourier变换(FFT)；
-修正由传输信道引起的相位Qm，n；
-修正同im+n项相应的相位；
-选取对应系数am，n所得的系数的实数部分，系数am，n是按传输信道的幅度响应Pm，n加权的传输系数。
-最好，这个接收方法包括这样一步，用于所说的实数字系数和可能的话用于信道幅度响应的相邻值Pm，n的频率和/或时间去交错。所说的去交错同在传送时进行的交错正相反。和/或还包括这一步，即Pf加权判定编码，它适应于在发送时实行的信道编码。
本发明还涉及相应的接收机。
最后，本发明还涉及为建立上述信号原型函数x(t)的更可取的方法。这种方法包括下列各步：
-选择如下形式的归一化Gqussian函数G(f)：G(f)=(2α)1/4e-παf2;]]>
-确定所说的原型函数x(t)，使得x(t)=y(t)τ0Σk|y(t-kτ0)|2]]>
-用其Fourier变换r(f)定义函数Y(t)：Y(f)=G(f)ν0Σk|G(f-kν0)|2.]]>
这个方法特别是使得定义上述原型函数有了可能。
5.本发明的具体实施例说明
5.1图表
-图1表示密度为1的点阵。相当于在已知OFDM/QAM调制情况下实现的点阵。
-图2表示密度为2的点阵。与在已知OFDM/OQAM调制情况下和在本发明情况下实现的点阵相对应。
-图3A到3D，4C到4D、5A到5D、6A到6D和7A到7D按照以下方面分别表示已知OFDM/QAM调制(4)、OFDM/OQAM调制(5)和用在本发明中的那种类型调制即OFDM/MSK调制(6)和OFDM/IOTA调制(7)：
A：原型函数x(t)；
B：原型函数的线性Fourier变换；
C：线性模糊度函数模(如附录2中定义的)；
D：符号间函数(如附录2中定义的)；
-图7E用对数尺度表示信号OFDM/IOTA的减少；
-图8表示Gaussian函数的模糊度函数；
-图9是根据本发明可使用的发射和(和相应的发送方法)的方框图；
-图10是根据本发明可使用的接收机(和相应的接收方法)的方框图；
-图11给出图10接收机里所实现的调制方法的精确视图。
5.2依据本发明的信号的主要理论
所有在(15)中被定义的基本OFDM/OQAM信号可以如下形式重写：
因而，基本函数的重心组成一个由向量(τ0，0)和(0，ν0)(见图2)产生的时间-频率平面的点阵。这个点阵有2的密度，即ν0τ0＝1/2。如在(16)里所指出的，这些函数构成HR的Hilbertian基。为简化书写，在下文我们将省略符号改变。
一般说来，寻求在x(t)上有条件使得群{xm，n}构成HR的Hilbertian基。规定x(t)应是个偶次函数。
xm，n和xm′，n′的标量积可写作如下：(xm,n|xm′,n′)R=Re∫i(m-m′)e2iπ(m-m′)ν0tx(t-nτ0)x*(t-n′τ0)dt----(19)]]>
即，假定t′＝t-(n+n′)τ0/2和τ0′＝(n-n′)τ0，
<xm，n|xm′，n′>R
因而，如果积分系数是个纯虚数则得到正交性。这个系数的分析表明，m-m′或n-n′是奇数对此目的就足够。
如由图2可见，点阵可被分成4个子点阵({m偶数，n偶数}，{m偶数，n偶数}，{m奇数，n偶数}，{m奇数，n奇数})。它们是互相正交的(一个子点阵的任一函数同另一个点阵的任一函数都是正交的)。因此，为{xm，n}可构成Hilbertian基的充分条件是： <xm，n｜xm′，n′>R＝0m-m′even，n-n′even，(m，n)≠(m′，n′) (21)
因而，足以能找一个偶宇称性函数x(t)以使下列类型函数相对于R的标量积互相正交。x2m,2n(t)=e4iπmν0tx(t-2nτ0)----(22)]]>
此外，如果情况是这样，由于同上面引用的那些函数有同样的对称性，所以这些函数相对于在C中的标量积也是正交的。表达这个条件的另一方法是使用X的模糊度函数(19)：Ax(τ,ν)=∫x(t+τ/2)x*(t-τ/2)e-2iπνtdt----(23)]]>
则足以找到一个偶次函数x(t)使得
Ax(2nτ0，2mν0)＝0，(m，n)≠(0，0) (24)
如果这样产生的问题同找相对于C中的标量积的Hibiertian基相比较，正交性的约束条件在本质上是较低的，这因为有关点阵是一半那样密。的确，基本函数中心在点阵{2mν0，2nτ0}的点上，即点阵有1/2的密度。Balian-Coifman-Semmes定理不适用的理由可在这以直观的明显方式看到。
在OFDM/OQAM处理的情况下，函数x2m，2n(t)互相相对正交性通过不同性质的2个约束条件获得的。当然，如果m≠m′因为这些函数有分离的谱。<x2m，2n|x2m′，2n′>是零，此外，因为x(f)有半-Nyquist型整形，所以<x2m，2n|x2m′，2n′>是零。
如在已援引的丰富的文献中可看到的，本专业技术人员认为证明这2个约束成立是很必要的。特别地，他们持有原型函数必须是具有频率受限的频带的原型函数的这种看法。
5.3本发明的一般原理
本发明是建立在对OFDM/OQAM型的多载波信号整个的新颖处理的基础上。按照这个新颖处理，正交性不再通过考虑上面提到2个约束条件而是通过原型函数的一个特殊定义来获得。
换句话说，本发明的目的是基于这样建立的调制系统的新信号，即像在密度2的点阵上的OFDM/OQAM调制，没有意味原型函数无论如何是个具有频率受限的频带的函数。
所使用的原理是建立具有密度1/2的点阵，然后通过明智的选择信号的相位推演出具有密度2的点阵。
按着本发明的技术可以建立许多信号。下面给出这样信号的2个无限制的例子。它们分别称作OFDM/MSK和OFDM/IOTA。建立这样信号的具体方法也借助于附录3中的几个并非详尽的例子给出。当然，这个方法构成本发明的一部分，并为简便本说明的阅读将它放在附录里。
5.4OFDM/MSK调制
这里我们考虑根据如OFDM/OQAM调制同样的一般方程式(方程式14和15)，但使用不同的原型函数所建立的新调制。因为每个载波是MSK调制的(20)，所以它被称作OFDM/MSK。原型函数写作：
事实上，在后来的基础上可以观察到，这个调制可考虑为对于OFDM/OQAM是二元的，这因为它同时间和频率轴的交换相对应。这个调制相对于OFDM/OQAM的重要价值在于原型函数严格地限制在时间内。由于输入滤波器的系数数目相当大的被减少，这特别地简化了接收机的执行。此外，在多重路径出现时性能特性不变，参数x是恒等的。
5.5IOTA调制
相反地，OFDM/IOTA调制由完全新颖的和对信号处理领域的初始处理得出。我们已称为在附录了中说明的IOTA(各向同性正交变换算法)变换。
5.5.1信号方程
这里我们考虑根据同OFDM/OQAM调制相同的一般方程(方程式14和15)，但在不同原型函数的基础上建立的新调制。由于原型函数的选择，我们将称它为OFDM/IOTA。原型函数写作：标志在附录3中定义的函数IOTA。
会注意到，在附录3中给出的建立方法可用来获得解的无限性，函数IOTA构成一显解。因而OFDM/IOTA调制的基本函数写作：
因而传送的信号可写作有
5.5.2关于图和同迅速减少有关的优点的注释
为以直观的方式强调本发明的优点，对在上面讨论的每个调制给出如下说明。
A：原型函数x(t)；
B：原型函数的线性Fourier变换；
C：线性模糊度函数的模(如在附录2中的说明)；
D：符号间函数(如附录2中定义的)。
模糊度函数的视图(标有C的图)使对原型函数在时间-平面内的限制的判断有可能。符号间函数的视图(标有D的图)使对调制对延迟和对多普勒现象的敏感性的评价有可能。由于所有的调制在相位误差方面都是相当的，所以相位误差未加考虑。
图3A到3D涉及到常规OFDM/QAM调制的已知情况。这个调制的主要缺点，如由原型函数的频率响所联想到的，不是次波瓣电平减少的慢。
的确，OFDM对频率误差的敏感性只是比所考虑的其他类型稍大。按对比，II有不同的一组统计数值，该值用与具有零滚离调制相当的视域水平闭合来表示。因而存在公认地未必有的但可能当无编码时或许会产生的系统误差。这个细节不完美，但在有编码时不会有实际后果。按对比，这个慢的减少意味着II的能量分布在大多数相邻符号上，这给任何进行均衡的企图造成困难。
反常地，实际问题出自时间响应的突然限制。这个时间响应同沿这个轴是三角形的模糊度函数相对应。这就给出了对时间误差具有很高敏感性的符号间函数：倾斜是垂直的，而参数ξ是零。这就是使用保护间隔的根据。
图4C和4D涉及有保护间隔的OFDM/QAM调制(原型函数和Fourie变换同图3A和3C上表示的OFDM/QAM的原型函数和Fourier变换等同)。保护间隔的使用在模糊度函数水平面上形成一平坦区。事实上，在这种情况下应使用的术语宁可是“交叉模糊度”。显然，这个平坦部分可在符号间函数上找到，给出对时间误差的不敏感性。图表示保护间隔0.25％的情况。
就频率误差来说，这些性质同标准OFDM的相同。
当感兴趣的领域涉及到低频谱效率的调制时，保护间隔的花费是可以接受的。相反地，如果寻求有高频谱效率，则花费是过高的：例如，让我们取等于四分之一的有同符号的保护间隔。在这些条件下，为有4位/s/Hz的净效率，必须有这样的一个调制和编码系统，即它有大约5位/s/Hz的效率，给出相对Shannon极限容量3dB的损失。此外，在这个损失上还要加上由于未必在保护间隔内发射的功率而引起的一个额外损失1dB。因而总计上相对最佳值是4dB的损失。
图5A到5D代表OFDM/OQAM的情况。
OFDM/OQAM的时间响应有个比OFDM/QAM好的形状。然而，时间减少只是按1/t2进行。模糊度函数在1/2密度的点阵上被取消。对频率误差的敏感性大于对时间误差的敏感性。参数x等于0.8765。
图6A到6D涉及到对应于OFDM/MSK调制的本发明的第一个实施例。业已查明，在颠倒时间和频率坐标时它有同OQAM严格等同的性质。参数x是不变的。
最后，图7A到7D代表OFDM/IOTA调制。这个调制有在时间上和在频率上快速减少(用数字意义的术语说)，于是能够进行有最大可能效率的均衡。
此外，它相对于这个轴有完好的对称性。它的符号间函数几乎是理想的。一般来说，它的性状接近Gauss函数。参数x等于0.9769。
函数A的模糊度函数(图7C)可同如图8所示的Gauss函数的模糊度函数比较。这2个函数的一般形状在峰处很类似。相反地，在基上它是不同的。
图7E给出以对数标度随IOTA信号时间减小的视图。可以看到，信号幅度在对数标度中线性减小(由于两方面是等同的，当然也是随时间和频率减小)，即用线性标度时是指数减小。因此这个性质在实施例中使得有可能截断波形从而限制了接收机的复杂性。
5.6发射机原理
图9表示根据本发明的信号发射机的简化方框图。发送方法直接从那里推论出来。
有高比特率(典型地，几十兆位/秒)的二进制源被考虑。术语二进制源被理解为意指对应于所有类型(声音、图象、数据)的一个或多个抽样的、数字的或模拟的源信号91的一系列数据元。这些二进数据元受适于衰落信道的二进制-二进制信道编码92支配。例如，有可能使用同Reed-Solomon码可能联结的格结构编码调制。更明确地说，如果要求有4位/Hz的频谱效率，则有可能使用同取8个幅度电平的8AM调制相联系的效率为2/3的码。
然后，根据在专利FR-8815216中解释的原理，这些编码数据元被分配(93)在时间-频率空间以提供必要的分隔，并解除影响传送符号瑞利(Rayligh)衰落。
更一般地说，进行最初的二进制-进制编码、时间和频率交错以及绘制操作。清楚的是，根据需要和所采用的码交错可在绘制之前或绘制之后无区别的进行。
在编码操作的最后，存在实数的被发送符号am，n。制造OFDM/MSK或OFDM/IOTA调制器94的原理由OFDM/OQAM发射机的相似。只是原型波形不同。关于调制系统的详细说明，可参考〔15〕。为建立要发送的信号，相同次数n的符号组合在一起，然后计算下式：s(t)=Σm,nam,nxm,n(t)=ΣnΣmam,nim+ne2iπmν0tx(t-nτ0)----(30)]]>这个数字运算可方便地用同所有相同次数n的符号有关的快速Fourier变换(FFT)来进行，然后用原型函数IOTA乘结果波形，最后不同等级的符号相加(按n标志求和)。
这样产生的得当信号转换成模拟形式98，然后通过两-信道正交调制器99(I和Q调制器)移置到最后频率上，最后在发送前911被放大910。
5.7接收机原理
原理图10给出根据本发明的信号接收机(及相应的接收方法)的图解。
OFDM/MSK或OFDM/IOTA接收机在本质上同适用于OFDM/OQAM调制的接收机相似。输入级是常规的。信号被101预放大，然后转换成中频102以得到信道滤波103。中频信号在105转换成有90度相移的2个信道上的基本频带。另外，实行自动增益校正(AGC)功能104。这些AGC功能控制予放大101。
另一个解决办法是，将中频信号转移到低的载波频率使得在单一信道上采样信号，复数的再现通过数字滤波器得到。另一方面，RF信号可以直接转移到基本频带(直接转换)，然后在2个信道I和Q的每一个上滤波。在每个情况下，都有可能返回到同被接受信号相应的复数包络的信号的不连续再现。
为提供在基本频带里的数字处理的详细说明，我们将考虑由发送信号的复数包络方程所表示的多载波型调制：s(t)=Σm,nam,nxm,n(t)----(31)]]>
让我们取用其变量传递函数T(f，t)表示的发送信道(见附录2)。接收信号r(t)的复数包络写作如下：r(t)=∫S(f)T(f,t)e2iπftdf----(32)]]>
用常规方法，譬如说，根据专利FR-9001491可用一个显载波的参考点阵，解调器估计(106)传递函数T(f，t)。为解调适当的信号(107)，信道比作一个倍增器信道。其特征是相应于譬如说T(f，t)值和所考虑频率的幅度和相位。为估计am，n(t)，所接收的信号看作同下列信号等同：r~(t)=∫S(f)T(mν0,nτ0)e2iπftdf=T(mν0,nτ0)s(t)----(33)]]>应假定：T(mν0,nτ0)=ρm,neiθm,n----(34)]]>解调器实行如下处理作用：a~m,n=Re∫r(t)e-iθm,nxm,n*(t)dt----(35)]]>在带有传递函数PeiQ的固定信道的情况下明显地发现：a~m,n=ρam,n----(36)]]>
实际上，处理107按照图11所示的方法以数字形式进行。接收机类似于OFDM/OQAM接收机那样工作(13-16)。它实行如下处理工作：
-所说的接收信号r(t)被它的原型函数x(t)112乘111；
-滤波波形模2t0的“交叠”113；
-Fourier变换(FFT)应用114；
-作为信道116估计函数的相位qm，n的修正115。包括譬如说发送信道的幅度响应估计rm，n和相位响应估计qm，n；
-相应于im+n项的相位修正117，数字元轮流地同相和成90度；
-相应于被发送信道的幅度响应rm，n加权的发送系数am，n获得系数的实数部分选取118。
因而，这个算法使得有可能综合计算所有给定下标n的系数。复杂程度大约是对OFDM/QAM使用的算法的2倍。
这样得到的系数同在发送时实行的交错相对称地去交错108。然后，根据实行例如Vitebi算法型的算法的软判定解码技术进行解码109。如果信道解码考虑了信道的幅度响应rm，n的估计，则相应数值也要被去交错110。此外，当然要在绘制之前或之后根据在发送上已完成交错时的片刻实行去交错。
附录1
〔1〕M.L.doeltz，E.T.Heald和D.L.Martin，“用于线性系统的二进制数据传输技术”Proceedings of the IRE，
pp.656-661，May 1957。
〔2〕R.R.Mosier，“利用脉冲相位调制的数据传输系统”
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〔3〕G.A.Franco和G.Laches，“用于通讯的正交编码技术”
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〔4〕H.F.Harmuth，“借助正交时间函数的信息传输”AIEETrans.(Communications and Electronics)
Vol.79，pp.248-255，July 1960。
〔5〕S.B.Weinstein和Paul M.Ebert，“利用分离富氏变换按频率分割多路传输的数据传输”IEEE Trans.Commun.，Vol.COM-19 pp.628-634.Oct.1971。
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Vol.COM-33，pp.665-675，July 1985。
〔7〕E.F.cases和C.Leung，“为在移动无线电FM信道上数据通讯的OF DM-部分I：分析和实验结果”
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Vol.39，pp.783-793，May 1991。
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〔11〕R.W.Chang，“多信道数据传输的带宽有限正交信号的综合”
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〔12〕B.R.Saltzbery，“一个有效平行数据传输系统的性能”
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〔14〕B.Hirosaki，“正交多路QAM系统自动均衡器的分析”
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Vol.COM-28 pp.73-83，Jan.1980。
〔15〕B.mrosaki，“利用分离富氏变换的正交多路QAM系统”
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〔18〕John A.C.Bingham，“数据传输的多载波调制：已来临的理想”
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〔19〕P.M.Woodward，“适用雷达的概率和信息理论”
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London 1953.
〔20〕F.Anoroso和J.A.Kivett，“简化的MSK信号处理技术”
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〔22〕P.M.Woodward，“适用雷达的概率和信息理论”PregamonPress，
London 1953。
〔23〕M.Alard和R.Lassalle，“对活动目标的数字无线广播中的信道编码和调制原理”
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No.24，August 1987，pp.168-190
附录2
1.信道的模型化
1.1.一般模型
一个分散的信道可被考虑为有在时间上可变的脉冲响应的一个线性系统。有2种方法定义这个脉冲响应。这个处理将广泛地建立在〔21〕中所提出的规则的基础上：
*在输入或输入延迟扩展函数g(t，τ)上的脉冲响应按下式定义：r(t)=s∫(t-τ)g(t,τ)dτ]]>
其中s(t)和r(t)分别代表被发送和被接收的信号。
*在输出或输出延迟扩展函数h(t，τ)上的脉冲响按下式定义：r(t)=∫s(t-τ)h(t-τ,τ)dτ]]>
显然，我们有h(t，τ)＝g(t+τ，τ)。h(t，τ)代表在时刻t的信道脉冲响应。由于建立了这些规则，就有可能定义下列特征函数：
*延迟多普勒扩展函数U(τ，ν)由下式表示：g(t,τ)=∫U(τ,ν)ei2πvtdν]]>
条件r(t)=∫∫U(τ,ν)s(t-τ)ei2πvtdνdτ]]>
*多普勒延迟扩展函数ν(t，τ)用下式表示：h(t,τ)=∫V(ν,τ)e-i2πvtdν]]>
条件：r(t)=∫∫V(ν,τ)s(t-τ)ei2πν(t-τ)dνdτ]]>
或简单的：
V(ν，τ)＝ei2πντU(τ，ν)
*时间变式传递函数T(f，t)用下式表示。T(f,t)=∫g(t,τ)e-i2πfτdτ]]>
条件：r(t)=∫S(f)T(f,t)ei2πftdf]]>
因而，和在固定信道的情况下相同的方程又被得到。简单的差别只是传递函数成为在时间上是可变的。这个传递函数T(f，t)是U(τ，ν)的2DFourier变换，即：T(f,t)=∫∫U(τ,ν)e-i2πtfei2πνtdτdν]]>
在任何情况下，假定U(τ，ν)有一个受限频带。这意味着借助采样定理的优点传递函数T(f，t)能用分离值的点阵表示。
1.2.表态延迟多普勒模型
由下列方程定义延迟多普勒模型：T(t)=∫∫U(τ,ν)s(t-τ)ei2πνtdτdν]]>
这个方程按照用幅度、相位、时间偏移和频带偏移来表征的基本信道的和表示信道。因而，兴趣放在各种现存的这种类型信道的调制的状态上是合理的，我们将称这种类型的信道为静态延迟多普勒模型。
信道方程用如下简化形式写：
r(t)＝Aeiθs(t-τ)ei2πντ
2.OFDM在非固定信道中的性能特性
2.1.一般情况
让我们考虑一个任何类型(OFDM/QAM，OFDM/OQAM或OFDM/IOTA)的一个OFDM多载波调制。它用下列一般方程表示：s(t)=Σk∈Eakxk(t)]]>
aK是实变量；E是在时间-频率空间里的密度2的2D点阵；函数xK(t)是同一个原型函数x(t)在时间和在频率上的转移函数，它构成L2(R)的Hilbertian基。
会注意到，关于点阵E的结构未做任何假设。在OFDM/QAM的情况下，这个点阵可分成2个有成90度相位差的相位的局部子点阵。
解调作用可写作如下：a^n=Re[e-iφ∫r(t)xn*(t)dt]]]>
是由解调器估计的相位，r(t)是接收信号的复数包络。因此有可能写出a^n=Re[e-iφ∫[∫∫U(τ,ν)s(t-τ)ei2πνtdτdν]xn*(t)dt]]]>=Re[e-iφ∫∫U(τ,ν)[∫s(t-τ)ei2πντxn*(t)dt]dτdν]]]>现在：∫s(t-τ)ei2πνtxn*(t)dt=Σkak∫xk(t-τ)ei2πνtxn*(t)dt]]>由此推出定理：n＝是最佳值是使系数n达到最大的值，给出：φ=Arg∫∫e2iπντU(τ,ν)Ax(-τ,-ν)dτdν]]>
虽然上述方程是一般性的，但它们几乎不能被利用。然而，它们表明有用的信号和中间符号作为用延迟多普勒散布函数加权的模糊度函数的积分出现。
2.2静止信道的情况
如果我们看用相位Q，延迟τ和偏移ν幅度A将规定在1表征的静止延迟多普勒型信道，则解调将类似于通过引进一个相位参数φ到估计器里进行。这个运算的结果写作如下形式：a^n=Re[∫r(t)xn*(t)e-iφdt]=Re[eiθ-φ∫s(t-τ)e2iπντxn*(t)dt]]]>=Σk∈EakRe[∫ei(θ-φ)xk(t-τ)e2iπντxn*(t)dt]=Σk∈EakRe[∫ei(φ-θ)e-2iπν(t+τ)xn(t+τ)xk*(t)dt]]]>=Σk∈Eakck,avecck=Re[ei(φ-θ)e-2iπν(t+τ)xn(t+τ)xk*(t)dt]]]>解调信号最后写作：a^n=cnan+Σk∈E,k≠nckak]]>
第二项代表符号间干扰(II)。如果将数据元aK看作具有σ2方差的独立随机变量，则II的方差I写作如下：I=Σk∈E,k≠nck2σ2]]>
现在，系数CK是函数ei(-Q)e-i2πν(t+τ)xn(t+τ)的分解系数，在Hilbertian基上，具有等于1的范数。因而我们有：Σk∈Eck2=1]]>和I=(1-cn2)σ2]]>
换句话说，接收信号的方差是常数，并分在“有用”信号cnant II之间，有方差I=(1-c2n)σ2。系数cn的计算给出：cn=Re[∫ei(φ-θ)e-2iπν(t+τ)xn(t+τ)xn*(t)dt]=]]>Re[ei(φ-θ-πντ)∫e-2iπντxn(t+τ/2)xn*(t-τ/2)dt]=Re[ei(φ-θ-πντ)Axn(τ,ν)]]]>现在，xn模糊度函数写作：Axn(τ,ν)=e2iπ(νnτ-τnν)Ax(τ,ν)]]>最后，有可能写出：cn=Re[ei(φ-θ-πντ)e2iπ(νnτ-τnν)Ax(τ,ν)]]]>
将假定，用φopt+Δφ的形式写解调相位φ。其中φopt是使II最小，亦即使cn最大的解调相位，给出：
φopt＝θ+πντ+2π(τnν-νnτ)然后，II的方差可简写如下：
I＝(1-(Re[Ax(τ，ν)eiΔΦ])2)σ2
当原型函数是一个偶次函数时(这相当于在本文件的主要部分里所说明的Hilbertioan基的建立方法的情况)，模糊度函数是实的，并因而有：
I＝(1-Ax2(τ，ν)cos2Δφ))σ2
这个结果是相当明显的。它表明任何多载波调制对于延迟和对于多普勒现象的敏感性只依赖于原型函数的模糊度函数。在下文，术语“符号间函数”(不严谨地用来标志符号间干扰函数)将一般地用于标志函数Is(τ,ν)=1-Ax(τ,ν)]]>。在最佳相位估计时，它代表按数据元均方值归一化的中间符号的均方值。
3.不同类型的OFDM的比较分析
3.1理论限制
在下面的说明将讨论中间符号函数的性质。观察到，一个多载波调制的灵敏度是直接同相应原型函数的模糊度函数在(0，0)点的附近的性状有关的。所出现的问题同在雷达领域里所碰到的不确定度问题相当类似，可参考有关这个问题的大量文献(例如，见〔22〕)。不失一般性，有可能通过适当的时间和频率转换选择一个函数x(t)，这个函数按着使得它的一阶矩是零这种方式来选，即：∫t|x(t)|2dt=∫f|X(f)|2df=0]]>
在这些条件下，容易证明一阶偏微分互相抵消：∂Ax∂ν(τ,ν)=-2iπ∫e-2iπντtx(t+τ/2)x*(t-τ/2)dt⇒]]>∂Ax∂ν(0,0)=-2iπ∫t|x(t)|2dt=0]]>∂Ax∂τ(τ,ν)=-2iπ∫e-2iπfτfX(f+ν/2)X*(f-ν/2)df⇒]]>∂Ax∂τ(0,0)=-2iπ∫f|X(f)|2df=0]]>
在二阶偏微分的基础上，有可能表示围绕(0，0)的模糊度函数的性状：∂2Ax∂τ∂ν(τ,ν)=-iπ∫te-2ivτ(x′(t+τ/2)x*(t-τ/2)-x(t+τ/2)x′*(t-τ/2))dt⇒]]>
将假定∂2Ax∂τ∂ν(0,0)=μx]]>∂2Ax∂ν2(τ,ν)=-4π2∫e-2iπντt2x(t+τ/2)x*(t-τ/2)dt⇒]]>∂2Ax∂ν2(0,0)=-4π2∫t2|x(t)|2dt=-4π2Δt2]]>∂2Ax∂τ2(τ,ν)=-4π2∫e-2iπfτf2X(f+ν/2)X*(f+ν/2)df⇒]]>∂2Ax∂τ2(0,0)=-4π2∫f2|X(f)|2df=-4π2Δf2]]>
让我们来考虑模糊度函数在(0，0)的Taylo-Yong展开：
Ax(dτ，dν)＝1-2π2(Δt2dν2+Δf2dτ2)+μdνdτ+o(dν2+dτ2)
作中间符号方差的Taylor-Yong展开的推导：
I＝(1-(Re[Ax(τ，ν)])2cos2Δφ)σ2
即，
I(dτ，dν，dφ)＝σ2[4π2(Δt2dν2+Δf2dτ2)-2μdνdτ+dφ2+o(dν2+dτ2+dφ2)]
由此推论，中间符号函数Is在一开始就按如下方程许可相切的锥面。z=4π2(Δt2ν2+Δf2τ2)-2μντ]]>
这个圆锥同Z＝1平面(最大的中间符号)交线划出一有椭圆周线的面。这个面的面积ξ可被看作为是对延迟和对多普勒现象的敏感性的量度。当μx是零时，这个椭圆有时间和频率轴作为它的对称轴，并沿时间轴从±1/2πΔf和沿频率轴从±1/2πΔt延伸。因此，我们有：
ξ＝1/4πΔtΔf
鉴于Heisenberg不等式，ξ不能超过1。当μx不同于0时，这个结果可被推广。让我们考虑通过用一频率摆动乘函数x(t)而获得的函数y(t)：y(t)=eiπβt2x(t)⇒y′(t)=eiπβt2(x′(t)+2iπβtx(t))]]>
因而，有可能写出：
因此，通过适当地选择β总有可能消去μy。现在，用一频率摆动乘的运算在保持面积的条件下实现了相联的模糊度函数轴的简单改变。由此推论，参数ξ总是在0和1之间。
这个结果是极其重要的。因为它使得基于单个的参数在分散信道中的所有MCMs的性能特性的比较有了可能。因而，可以看到，这个性能特性只依赖于相关的原型函数的集中。实际上，用Gaussian函数实现最佳。但是，由于Gaussian函数不可能建立Hilbertian基，这个最佳难得达到。
附录3
1.引言
这个附录给出建立检验正交性的必要判据的原型函数的方法。这个方法可用来获得大量函数，其中一个特解(称作IOTA函数)具有同它的Fourier变换等同的特点。
2.模糊度函数
这一章回顾模糊度函数的主要性质并介绍作用在这个函数上的各种算符。
2.1关于模糊度函数的提示
2.1.1定义
让我们取函数x(t)和它的Fourier变换x(f)。用这个函数有可能联系它的时间和频率积，分别按下列各式定义：{Γx(f,ν)=X(f+ν/2)X*(f-ν/2)γx(t,τ)=x(t+τ/2)x*(t-τ/2)]]>
x的Wigner-Vill变换和模糊函数由下式给出：{Ax(τ,ν)=∫γx(t,τ)e-2iπνtdt=∫Γx(f,ν)e2iπfτdfWx(t,f)=∫γx(t,τ)e-2iπfτdτ=∫Γx(f,ν)e2iπνtdν]]>
2.1.2模糊度函数的对称性质
让我们取函数x(t)。符号 x和将分别应用到如下定义的函数：{x~(t)=x*(-t)x-(t)=x(-t)]]>
则我们有关系：Ax(τ,ν)=∫e-2iπνtx(t+τ/2)x*(t-τ/2)dt=∫e-2iπνtx(-t-τ/2)x*(-t+τ/2)dt]]>即，假定u＝-t：Ax(τ,ν)=∫e2iπνux(-u+τ/2)x*(-u-τ/2)du=]]>∫e2iπνux(u-τ/2)x*(u+τ/2)du=Ax*(τ,ν)]]>
由此得出结论，尤其如果函数x是偶次值，即x＝x-，则它的模糊度函数是实数的。此外，将要注意到下列关系：Ax*(τ,ν)=∫e-2iπνtx*(u+τ/2)x(u-τ/2)du=Ax(-τ,ν)]]>
通过将这2个关系合并，我们得到
Ax(τ，ν)＝Ax(τ，-ν)
2.1.3模糊度函数和Fourier变换
有可能如下重写模糊度函数的定义：Ax(τ,ν)=∫Γx(f,ν)e2iπfτdf=∫γx(f,ν)e2iπfτdf=Ax(ν,-τ)]]>
或再写作：
Ax(τ，ν)＝Ax(-ν，τ)
2.1.4模糊度函数和时间-频率转移
让我们考虑任何原型函数x(t)的转移函数，即：
相关的模糊度函数写作如下：∫e-2iπνte2iπνkτx(t-τk+τ/2)x*(t-τk-τ/2)dt]]>
即，假定u＝t-τKAxk(τ,ν)=e2iπ(νkτ-ντk)∫e-2iπνux(u+τ/2)x*(u-τ/2)du=e2iπ(νkτ-ντk)Ax(τ,ν)]]>
2.2正交性和模糊度函数
2.2.1一般情况
我们考虑同一个函数x(t)的转移函数，即：
这2个函数的标量积可写作：
即，假定 u＝t-(τk+τk′)/2：
3.在正交点阵点的Hilbertian基
3.1一般建立原理
我们考虑按如下定义的函数集合{xm，n}xm,n(t)=ei(m+n)π/2e2iπmν0tx(t-nτ0)]]>有ν0τ0＝1/2
寻找关于x(t)的条件以便使集合{xm，n}是HR的Hiblertian基。规定x(t)是偶函数，它的模糊度函数Ax因而是实数的。
xm，n和xm′，n′在R中的标量积可被写作：(xm,n|xm′,n′)R=Re[ei(m+n-m′-n′)π/2eiπ(m-m′)(n+n′)ν0τ0Ax((n′-n)τ0,(m′-m)ν0)]]]>
＝Re[ei((m-m′)+(n-n′)+(m-m′)(n+n′))π/2)Ax((n′-n)τ0，(m′-m)ν0)]
会注意到同等模数2的如下关系：
(m-m′)+(n-n′)+(m-m′)(n+n′)≡1-(m-m′+1)(n-n′+1)
因此，如果(m，n)≠(m′，n′)模糊2，则标量积是零。因此，点阵{xm，n}能被分解成4个子点阵其特征：{m偶数，n偶数}，{m偶数，n奇数}，{m奇数，n偶数}，{m奇数，n奇数}。由于这个函数是偶数值，所以属于不同子点阵的函数间的正交性是自动的，并且不依赖原型函数的性质。
剩下要做的是保证同一子点阵的函数是互相正交的。为此，模糊度函数Ax应证明：
Ax(2nτ0，2mν0)＝0(m，n)≠(0，0)
可看出，在密度2的正交点阵上建立HR的Hilbert基的问题相当于建立其模糊度函数在密度1/2的点阵上被消去的偶原型函数问题。
3.2正交化的方法
3.2.1时间正变化
定义
让我们取有Fourier变换x(f)的函数x(t)。标志符Ot赋予时间正交化算符，这个算符将函数Y(t)同x(t)联系起来。函数Y(t)按其Fourier变换Y(f)来定义：Y(f)=X(f)ν0Σk|X(f-kν0)|2]]>
通过建立函数，我们有：ν0Σm|Y(f-mν0)|2=ν0ΣmΓy(f-mν0,0)=1]]>
即，按反Fourier变换：[Σnδ(τ-2nτ0)]Ay(τ,0)=δ(τ)]]>
或还有：
Ay(2nτ0，0)＝0n≠0和Ay(0，0)＝1
于是，实际上在时间轴上做正交化。此外，注意到这个算符将Y归一化。
令X是Gauss函数且y＝Otx。让我们来考虑表达式：Γy(f,2mν0)=Y(f+mν0)Y*(f-mν0)=X(f+mν0)X*(f-mν0)ν0Σk|X(f-kν0)|2]]>
因为x是个Gauss函数，所以有可能写出：
X(f+mν0)X*(f-mν0)＝cm|X(f)|2
其中，cm是常数。从这里推导出：
Γy(f，2mν0)＝cmΓy(f，0)通过反Fourier变换，我们得到
Ay(τ，2mν0)＝cmAy(τ，0)因而，
m，n≠0 Ay(2nτ0，2mν0)＝0所以，时间正交化算符Ot除了频率轴将整个点阵正交化。定理1
令X是Gauss函数，且Y＝Otx，则
m，n≠0 Ay(2nτ0，2mν0)＝0
3.2.2频率正交化
定义
让我们取函数x(t)。Of是赋予频率正交化算符的标志符，这个算符将函数Y(t)同x(t)联系起来。函数y(t)按如下定义：y(t)=x(t)τ0Σk|x(t-kτ0)|2]]>
通过函数的建立，我们有τ0Σn|y(t-nτ0)|2=τ0Σnγy(t-nτ0,0)=1]]>
通过Fourier变换，给出：[Σmδ(ν-2mν0)]Ay(0,ν)=δ(ν)]]>有ν0τ0＝1/2
或还有：
Ay(0，2mν0)＝0 m≠0和Ay(0，0)＝1
于是，实际上在频率轴上做正交化。此外，注意到这个算符将Y归一化。
令X是个Gauss函数，且如果Y＝Ott，τ＝OfY。让我们考虑表达式：γz(t,2nτ0)=z(t+nτ0)z*(t-nτ0)=y(t+nτ0)y*(t-nτ0)τ0Σk|y(t-kτ0)|2]]>
因而有可能写出：
γz(t，2nτ0)＝γy(t，2nτ0)P(t)
其中P(t)是周期为τ0的周期函数，它允许按型式的Fourier级数展开。
通过Fourier变换，我们得到：Az(2nτ0,ν)=ΣkakAy(2nτ0,ν-2kν0)]]>
其中，
m，n≠0，Ay(2nτ0，2mν0)＝0
m，n≠0，Az(2nτ0，2mν0)＝0
此外，通过建立，
m≠0，Az(0，2mν0)＝0
最后，我们有：
(m，n)≠(0，0)，Az(2nτ0，2mν0)＝0
于是，给定密度1/2的点阵时，Z的模糊度函数在(0，0)外对于所有2τ0和2ν0的相乘被消去。
定理2
令X是一个Gauss函数，且Z＝OfOtx，则有
(m，n)≠(0，0)，Az(2nτ0，2mν0)＝0
3.3正交化算符O
鉴于以上，可清楚地看到，有一个使方程式的书写对称的时间-频率标度：为此选取，τ0=ν0=1/2]]>是充分的。不损论证的一般特性，这个标度将适当重归一化。
3.3.1定义
标志符0应用到将按下式定义的函数Y同函数X联系起来的正交化算符上：y(u)=21/4x(u)Σk|x(u-k)/2|2]]>
而且，Fourier变换算符将接着用F标志。
3.3.2算符0的同幂性
令Z＝0，且Y＝Ox。有可能写出：z(u)=21/4y(u)Σk|y(u-k/2)|2=21/4y(u)Σk|21/4x(u-k/2)Σk|x(u-(k+k′)/2)|2|2=y(u)]]>
因此，我们有OOX＝OX，表示算符O的同幂。同样，二重算符F-1OF也是同幂的，因为
F-1OFF-1OF＝F-1OOF＝F-1OF。
3.3.3辅助定理1
令P是周期为的周期函数，D是个具有下列形式的分布：D(u)=Σkakδ(u-k2)]]>令X是任一函数：[D*(Px)](u)=ΣkakP(u-k2)x(u-k2)=]]>P(u)Σkakx(u-k2)=[P(D*x)](u)]]>
辅助定理1
令P是周期的周期函数，D是个具有D(u)=Σkakδ(u-k2)]]>形式的分布。令X是任一函数，我们有：
D*(Px)＝P(D*X)
辅助定理2
让我们取按ya＝D*Xd定义的函数yα。其中，xα=(2α)1/4e-παt2]]>，D是有D(u)=Σkakδ(u-k2)]]>形式的分布。
因而，有可能写出yα(u)=Σkakxα(u-k2)]]>
让我们来考虑和：Σk|yα(u-k/2)|2=ΣkΣk′,k′′ak′ak′′xα(u-k/2-k′2)xα(u-k/2-k′′2)]]>
或通过应用在附录(ξ4)中给出的结果：Σk|yα(u-k/2)|2=ΣkΣk′,k′′ak′ak′′e-πα(k′-k′′)2|xα(u-(k+k′+k′′)/2)|2]]>
然后，通过重新组织脚标和重定义K为k+k′+k″：Σk|yα(u-k/2)|2=ΣkΣk′,k′′ak′ak′′e-πα(k′-k′′)2|xα(u-k/2)|2]]>
因此，有可能写出：Σk|yα(u-k/2)|2=cΣk|xα(u-k/2)|2]]>
有，c=Σk′,k′′ak′ak′′e-πα(k′-k′′)2]]>
通过按下面形式重写上面的关系，系数c可很容易地被估计：Σkγyα(u-k/2,0)=cΣkγxα(u-k/2,0)]]>
通过Fourier变换，给出：2[Σkδ(ν-k2)]Ayα(0,ν)=c2[Σkδ(ν-k2)]Axα(0,ν)]]>
特别地，从这里可推导出：||yα||2=Ayα(0,0)=cAxα(0,0)=c||xα||2]]>
最后，我们有：Σk|yα(u-k/2)|2||yα||2=Σk|xα(u-k/2)|2||xα||2]]>
辅助定理2
让我们取按ya＝D*Xd定义的函数yα。其中，xα=(2α)1/4eπαu2]]>，D是有D(u)=Σkakδ(u-k2)]]>形式的分布。Σk|yα(u-k/2)|2||yα||2=Σk|xα(u-k/2)|2||xα||2]]>
3.3.5标符O和F-1OF的变换性
现在我们将说明当算符O和F-1OF用于Gauss函数上时它们转换的情况。令xα=(2α)1/4e-παu2]]>，则Fxα＝x1/α和Oxα＝Pαxα
则FXα＝X1/α
和OXα＝PαXα
Pα按下面关系定义Pα(u)=21/4Σk|xα(u-k/2)|2]]>
它的Fourier变换Dα用：Dα(u)=Σkaα.kδ(u-k2)]]>令yα＝F-1OFxα和zα＝Oyα。有可能写出：
yα＝F-1OFxα＝F-1Ox1/α＝F-1(P1/αx1/α)＝D1/α*xα
andzα(u)=21/4yα(u)Σk|yα(u-k/2)|2]]>由于xα和yα有等于1的范值，所以应用辅助定理2可写出：zα(u)=21/4yα(u)Σk|xα(u-k/2)|2=Pαyα=Pα(D1/α*xα)]]>
同样地，定义：
w1/α＝FOxα＝F(Pαxα)＝Dα*x1/α
可写出：Ow1/α(u)=21/4w1/α(u)Σk|w1/α(u-k/2)|2]]>由于x1/α和w1/α有等于1的范值，应用辅助定理2时我们有：Ow1/α(u)=21/4w1/α(u)Σk|x1/α(u-k/2)|2=P1/αw1/α=P1/α(Dα*x1/α)]]>通过反Fourier变换，给出
F-1OFOxα＝F-1Ow1/α＝D1/α*(Pαxα)现在，通过应用辅助定理1：
D1/α*(Pαxα)＝Pα(D1/α*xα)从这里推论出：
OF-1OFxα＝F-1OFOxα定理3对于任一Gauss函数x，算符O和F-1OF完全转换，给出：
OF-1OFx＝F-1OFOx推论1令zα＝OF-1OFxα，并有，xα＝(2α)1/4e-παt2，则
Fzα＝z1/α证：
Fzα＝FF-1OFOxα＝OF-1Oxα＝OF-1OFx1/α＝z1/α
值得注意的特殊情况
Fz1＝z1
这个特殊函数对于时间和频率轴的完好对称性，因而构成IOTA变换(各向同性正交变换算法)的原型函数。这个特殊函数将被注意到。
推论2
令x为Ganss函数，且z＝OF-1OFX，则Oz＝z。
证：
Oz＝OOF-1OFx＝OF-1OFx＝z
推论3
令X为Gauss函数，且z＝OF-1OFx，则有F-1OFz＝z。
证：
F-1OFz＝F-1OFF-1OFOx＝F-1OOFOx＝F-1OFOx＝z
3.3.6函数zα的模糊度函数
让我们考虑归一化τ0=ν0=1/2]]>条件下的定理2。于是：
Of＝O，Ot＝F-1OF
因此，定理2可重写为：
定理4
令X为Gauss函数，且Z＝F-1OFOx，则有∀(m,n)≠(0,0),Az(n2,m2)=0]]>
4.附录
让我们取按如下定义的归一化Gauss函数xα：xα(u)=(2α)1/4e-παu2]]>
因此，积xα(u-a)xα(u-b)可写出：x(u-a)x(u-b)=2αe-πα((u-a)2+(u-b)2]]>
现在，我们有恒等式：(u-a)2+(u-b)2=2[(u-a+b2)2+(a-b2)2]]]>
最后，有可能写出：x(u-a)x(u-b)=e-πα(a-b)2/2[x(u-(a+b2))]2]]>