弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法.pdf

本发明提供一种弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法，包括：将非平稳信号进行j层小波包分解，得到2j个不同频率的小波包分量；通过线性调幅，将各小波包分量分别拟合为简谐波，得到与各小波包分量对应的拟合简谐波；推导弹性体系分别在各拟合简谐波作用下的结构响应的解析解；对各拟合简谐波作用下的结构响应进行线性调幅的逆过程，并计算出各小波包分量的瞬态响应与稳态响应；对得到的各小波包分量的瞬态响应与稳态响应分别进行叠加，计算得到弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应、稳态响应以及响应全解。本发明能够有效计算弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应、稳态响应和响应全解，为进一步进行瞬态响应的研究奠定了基础。

权利要求书
1.  一种弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤10、将非平稳信号进行j层小波包分解，得到2j个不同频率的小波包分量；所述j值由计算精度和计算机的运行速度决定；
步骤20、通过线性调幅，将各所述小波包分量分别拟合为简谐波，得到与各所述小波包分量对应的拟合简谐波；
步骤30、推导弹性体系分别在各所述拟合简谐波作用下的结构响应的解析解；
步骤40、对各所述拟合简谐波作用下的结构响应进行线性调幅的逆过程，并计算出各所述小波包分量的瞬态响应与稳态响应；
步骤50、对得到的各所述小波包分量的瞬态响应与稳态响应分别进行叠加，计算得到所述弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应、稳态响应以及响应全解，从而提取出所述弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应或稳态响应进行进一步分析。

2.  根据权利要求1所述的一种弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法，其特征在于：所述步骤20进一步具体为，在每个小波包分量的半波长范围内，以任意波峰幅值n(m/s2)为调幅基准，分别对各所述小波包分量的每个时程点按与各时程点对应的调幅比例进行线性调幅，得到与各所述小波包分量对应的简谐波，且简谐波幅值为n(m/s2)，所述n为正数，所述调幅比例为所述调幅基准与所述小波包分量的半波长范围内的峰值的比值。

3.  根据权利要求1所述的一种弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法，其特征在于：所述步骤30进一步具体为：
若弹性体系是单自由度弹性体系，则在任一所述拟合简谐波的作用下，其动力方程式为：
y··(t)+2ξωy·(t)+ω2y(t)=-ag0cos(θt-φ)---(1)]]>
公式(1)中，ξ和ω分别表示所述单自由度弹性体系的阻尼比和未考虑阻尼的自振圆频率，和y(t)分别为加速度时程、速度时程和位移时程，ag0、θ和t分别表示任一所述拟合简谐波的幅值、频率和作用时间，φ为相位差；
求解公式(1)，得出单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的结构响应的解析解，包括自由响应、伴生自由响应和稳态响应的解析解，分别如下所示：
y1(t)=e-ξωt[y0cosωdt+v0+ξωy0ωdsinωdt]]]>


如公式(2)、(3)、(4)所示，y1(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应，y2(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的伴生自由响应，则y1(t)+y2(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应，y3(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的稳态响应，y0和ν0分别为初始位移和初始速度，ωd表示考虑阻尼的自振圆频率，A表示幅值，且表示反应比荷载滞后的角度，且
将公式(2)与公式(3)相加并代入所需参数，得到所述单自由度体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应的解析解；
若弹性体系是N自由度弹性体系，则在任一所述拟合简谐波的作用下， 其动力方程转化为N个等效所述单自由度弹性体系进行求解，所述N为大于1的正整数；
将等效所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应经过振型叠加，得到如下公式:
y1′(t)=Σk=1NγkXkiyk1(t)---(5)]]>
y2′(t)=Σk=1NγkXkiyk2(t)---(6)]]>
y3′(t)=Σk=1NγkXkiyk3(t)---(7)]]>
如公式(5)、(6)、(7)所示，y1'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应，y2'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的伴生自由响应，则y1'(t)+y2'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应，y3'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的稳态响应，γk为第k阶振型的振型参与系数，Xki为N自由度弹性体系第i个质点k阶振型的振型位移，yk1(t)、yk2(t)和yk3(t)分别表示第k阶振型对应的等效所述单自由度体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应；
将公式(5)和公式(6)相加并代入所需参数，得到所述N自由度体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应的解析解。

4.  根据权利要求1或3所述的一种弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法，其特征在于：所述步骤40进一步具体为，根据所述调幅基准，对各所述拟合简谐波作用下的结构响应进行线性调幅的逆过程，得 到调幅后的各所述小波包分量的自由响应、伴生自由响应和稳态响应的计算公式如下：
x1(t)＝y1(t)/s(t)或x1(t)＝y′1(t)/s(t)          (8)
x2(t)＝y2(t)/s(t)或x2(t)＝y′2(t)/s(t)           (9)
x3(t)＝y3(t)/s(t)或x3(t)＝y3'(t)/s(t)(10)
如公式(8)、(9)、(10)所示，s(t)表示所述小波包分量各时程点对应的调幅比例，y1(t)、y2(t)和y3(t)分别表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应，y1'(t)、y2'(t)和y3'(t)分别表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应，x1(t)表示任一所述小波包分量的自由响应，x2(t)表示任一所述小波包分量的伴生自由响应，则x1(t)+x2(t)表示任一所述小波包分量的瞬态响应，x3(t)表示任一所述小波包分量的稳态响应；
将公式(8)和公式(9)相加并代入所需参数，得到任一所述小波包分量的瞬态响应。

5.  根据权利要求4所述的一种弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法，其特征在于：所述步骤50进一步具体为，先将得到的各所述小波包分量的自由响应、伴生自由响应和瞬态响应进行叠加，计算公式如下所示：
X1(t)＝Σx1i(t)             (11)
X2(t)＝Σx2i(t)               (12)
X3(t)＝Σx3i(t)            (13)
如公式(11)、(12)、(13)所示，X1(t)表示所述弹性体系在非平稳 信号下的自由响应，X2(t)表示所述弹性体系在非平稳信号下的伴生自由响应，X3(t)表示所述弹性体系在非平稳信号下的稳态响应，其中，x1i(t)、x2i(t)和x3i(t)分别表示第i个小波包分量的自由响应、伴生自由响应和稳态响应；
再将公式(11)与公式(12)相加并代入所需参数，得到所述弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应，同时将公式(11)、公式(12)、公式(13)共同相加，则能得到所述弹性体系在非平稳信号作用下的响应全解。

说明书弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法
技术领域
本发明涉及信号处理领域，更具体地说，涉及一种弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法。
背景技术
在结构分析中，通常将质量比较集中的结构简化为单自由度体系进行分析，而质量比较分散的结构则简化为多自由度体系进行分析。弹性体系，是在外加荷载时受力产生形变，除去荷载后又能恢复原状的体系。一般结构受外力发生形变并可恢复时，可以将其简化为单自由度弹性体系或多自由度弹性体系分析。
结构在任意信号作用下的响应可分为瞬态响应和稳态响应两部分。传统的结构动力学理论认为，由于阻尼的影响，由自由振动和伴生自由振动构成的瞬态振动随时间很快就会消失，因此通常不被关注。但随着社会的发展，高层及超高层建筑、特长特大桥梁和高坝大坝等长周期结构不断涌现，许多专家、学者已开始关注瞬态响应对长周期结构的重要影响。
简谐荷载解析解的分析为瞬态响应的分析提供了理论基础，当结构受到简谐荷载作用时，可以准确推导出结构响应的解析解，并准确区分全解中的瞬态成份与稳态成份。但是，在实际工程中，结构受简谐荷载的情况几乎是不存在的，通常结构受到的都是非平稳信号的作用，而当结构受到非平稳信号作用时，无法推导解析解并区分其中的瞬态成分与稳态成分。例如，研究结构在实际地震动作用下的响应，当结构受到地震作用时，由于地震作用是典型的宽频带非平稳信号，因此无法推导其结构响应的解析解，而通常采用数值计算的方法(如Duhamel积分，wilson-θ，Newmark-β等)进行结构响应计算。但由于数值方法只能计算出结构的总体响应，所得的计算结果为全解，无法区分瞬态反应与稳态反应，所以简谐荷载作用下瞬态与稳态反应的计算 方法只能是为震动分析提供理论依据，但却缺少实际意义，要单独提取瞬态响应或稳态响应以便对其进行进一步分析时在方法实现上具有一定的难度。
小波包分析是小波分析的延伸，其基本思想是让信息能量集中，在细节中寻找有序性，把其中的规律筛选出来，为信号提供一种更加精细的分析方法。它的原理是将信号的宽频带进行多层次划分，对高频部分和低频部分同时进一步分解，使得频带精细、均匀，具有很高的频率分辨率。当分解的层次足够多时，可近似将各频带信号视为具有单一频率的窄带信号。
发明内容
本发明要解决的技术问题，在于提供一种弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法，利用小波包变换将任意宽频带非平稳信号分解成若干个窄带小波包分量，再拟合成简谐振动，在小波空间内计算拟合简谐波作用下的瞬态与稳态响应并叠加，可区分弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态与稳态响应。不仅可以有效计算弹性体系在地震动等非平稳信号作用下的响应全解，而且能够区分其中的瞬态与稳态响应成分，在弹性体系的范围内具有良好的计算精度。
本发明是这样实现的：一种弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法，包括：
步骤10、将非平稳信号进行j层小波包分解，得到2j个不同频率的小波包分量(当分解的层数j足够多时，每个小波包分量的带宽就足够窄，可近似将各分量信号视为具有单一频率的窄带信号)；所述j值由计算精度和计算机的运行速度决定；
步骤20、通过线性调幅，将各所述小波包分量分别拟合为简谐波，得到与各所述小波包分量对应的拟合简谐波；
步骤30、推导弹性体系分别在各所述拟合简谐波作用下的结构响应的解析解；
步骤40、对各所述拟合简谐波作用下的结构响应进行线性调幅的逆过程，并计算出各所述小波包分量的瞬态响应与稳态响应；
步骤50、对得到的各所述小波包分量的瞬态响应与稳态响应分别进行叠 加，计算得到所述弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应、稳态响应以及响应全解，从而提取出所述弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应或稳态响应进行进一步分析。
较佳的，所述步骤20进一步具体为，在每个小波包分量的半波长范围内，以任意波峰幅值n(m/s2)为调幅基准，分别对各所述小波包分量的每个时程点按与各时程点对应的调幅比例进行线性调幅，得到与各所述小波包分量对应的简谐波，且简谐波幅值为n(m/s2)，所述n为正数，所述调幅比例为所述调幅基准与所述小波包分量的半波长范围内的峰值的比值。
较佳的，所述步骤30进一步具体为：
若弹性体系是单自由度弹性体系，则在任一所述拟合简谐波的作用下，其动力方程式为：
y··(t)+2ξωy·(t)+ω2y(t)=-ag0cos(θt-φ)---(1)]]>
公式(1)中，ξ和ω分别表示所述单自由度弹性体系的阻尼比和未考虑阻尼的自振圆频率，和y(t)分别为加速度时程、速度时程和位移时程，ag0、θ和t分别表示任一所述拟合简谐波的幅值、频率和作用时间，φ为相位差；
求解公式(1)，得出单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的结构响应的解析解，包括自由响应、伴生自由响应和稳态响应的解析解，分别如下所示：
y1(t)=e-ξωt[y0cosωdt+v0+ξωy0ωdsinωdt]---(2)]]>


如公式(2)、(3)、(4)所示，y1(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应，y2(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的伴生自由响应，则y1(t)+y2(t)表示所述单自由度弹 性体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应，y3(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的稳态响应，y0和ν0分别为初始位移和初始速度，ωd表示考虑阻尼的自振圆频率，A表示幅值，且表示反应比荷载滞后的角度，且
将公式(2)与公式(3)相加并代入所需参数(包括公式(2)中的ξ、ω、ωd、y0、ν0、t和公式(3)中的A、ξ、ω、ωd、φ、θ、t)，得到所述单自由度体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应的解析解；
若弹性体系是N自由度弹性体系，则在任一所述拟合简谐波的作用下，其动力方程可转化为N个等效所述单自由度弹性体系进行求解(现有技术中，利用各振型相互正交的特性，可以使N自由度弹性体系的动力计算变为多个相当于各自振周期的单自由度弹性体系的问题求解)所述N为大于1的正整数；
将等效所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应经过振型叠加，得到如下公式:
y1′(t)=Σk=1NγkXkiyk1(t)---(5)]]>
y2′(t)=Σk=1NγkXkiyk2(t)---(6)]]>
y3′(t)=Σk=1NγkXkiyk3(t)---(7)]]>
如公式(5)、(6)、(7)所示，y1'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应，y2'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的伴生自由响应，则y1'(t)+y2'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应，y3'(t)表示N自由度弹性体系在任一所 述拟合简谐波作用下的稳态响应，γk为第k阶振型的振型参与系数，Xki为N自由度弹性体系第i个质点k阶振型的振型位移，yk1(t)、yk2(t)和yk3(t)分别表示第k阶振型对应的等效所述单自由度体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应；
将公式(5)和公式(6)相加并代入所需参数(包括公式(5)中的N、γk、Xki、yk1(t)和公式(6)中的N、γk、Xki、yk2(t))，得到所述N自由度体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应的解析解。
较佳的，所述步骤40进一步具体为，根据所述调幅基准，对各所述拟合简谐波作用下的结构响应进行线性调幅的逆过程，得到调幅后的各所述小波包分量的自由响应、伴生自由响应和稳态响应的计算公式如下：
x1(t)＝y1(t)/s(t)或x1(t)＝y1′(t)/s(t)   (8)
x2(t)＝y2(t)/s(t)或x2(t)＝y′2(t)/s(t)   (9)
x3(t)＝y3(t)/s(t)或x3(t)＝y3'(t)/s(t)   (10)
如公式(8)、(9)、(10)所示，s(t)表示所述小波包分量各时程点对应的调幅比例，y1(t)、y2(t)和y3(t)分别表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应，y1'(t)、y2'(t)和y3'(t)分别表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应，x1(t)表示任一所述小波包分量的自由响应，x2(t)表示任一所述小波包分量的伴生自由响应，则x1(t)+x2(t)表示任一所述小波包分量的瞬态响应，x3(t)表示任一所述小波包分量的稳态响应；
将公式(8)和公式(9)相加并代入所需参数(若是单自由度弹性体系，则包括公式(8)中的s(t)、y1(t)和公式9中的s(t)、y2(t)，若是N自由度弹性 体系，则包括公式(8)中的s(t)、y1'(t)和公式9中的s(t)、y2'(t))，得到任一所述小波包分量的瞬态响应。
较佳的，所述步骤50进一步具体为，先将得到的各所述小波包分量的自由响应、伴生自由响应和瞬态响应进行叠加，计算公式如下所示：
X1(t)＝Σx1i(t)   (11)
X2(t)＝Σx2i(t)   (12)
X3(t)＝Σx3i(t)   (13)
如公式(11)、(12)、(13)所示，X1(t)表示所述弹性体系在非平稳信号下的自由响应，X2(t)表示所述弹性体系在非平稳信号下的伴生自由响应，X3(t)表示所述弹性体系在非平稳信号下的稳态响应，其中，x1i(t)、x2i(t)和x3i(t)分别表示第i个小波包分量的自由响应、伴生自由响应和稳态响应；
再将公式(11)与公式(12)相加并代入所需参数(包括公式(11)中的x1i(t)和公式(12)中的x2i(t))，得到所述弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应，同时将公式(11)、公式(12)、公式(13)共同相加，则能得到所述弹性体系在非平稳信号作用下的响应全解。
采用上述方案后，本发明的优点在于：
1、利用小波包分析，可以将任意宽频带信号分解成若干个窄带小波包分量，从而实现在多种频带上对信号进行观察和处理；
2、通过将各小波包分量经过线性调幅拟合成简谐振动，从而以简谐振动作用下系统瞬态与稳态响应的解析解为理论基础，可区分弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态与稳态响应，且在弹性体系的范围内具有良好的计算精度。
附图说明
下面参照附图结合实施例对本发明作进一步的说明。
图1为本发明方法执行流程图。
图2为本发明一实施例的Elcentro地震动南北向信号曲线图。
图3为本发明实施例得到的部分小波包分量曲线图。
图4为本发明实施例得到的与图3中小波包分量对应的拟合简谐波。
图5为本发明实施例得到的拟合简谐地震动作用下弹性体系的响应曲线图。
图6为本发明实施例得到的小波包分量作用下弹性体系的响应曲线图。
图7为本发明实施例得到的Elcentro地震动作用下弹性体系的响应曲线图。
图8为Duhamel积分数值法得到的Elcentro地震动作用下弹性体系的全解响应曲线图。
具体实施方式
如图1所示，本发明：一种弹性体系在非平稳信号作用下瞬态与稳态响应的计算方法，包括：
步骤10、将非平稳信号进行j层小波包分解，得到2j个不同频率的小波包分量；所述j值由计算精度和计算机的运行速度决定；
步骤20、通过线性调幅，将各所述小波包分量分别拟合为简谐波，得到与各所述小波包分量对应的拟合简谐波；
步骤30、推导弹性体系分别在各所述拟合简谐波作用下的结构响应的解析解；
步骤40、对各所述拟合简谐波作用下的结构响应进行线性调幅的逆过程，并计算出各所述小波包分量的瞬态响应与稳态响应；
步骤50、对得到的各所述小波包分量的瞬态响应与稳态响应分别进行叠加，计算得到所述弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应、稳态响应以及响应全解，从而提取出所述弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应或稳态响应进行进一步分析。
所述步骤20进一步具体为，在每个小波包分量的半波长范围内，以任意波峰幅值n(m/s2)为调幅基准，分别对各所述小波包分量的每个时程点按与各时程点对应的调幅比例进行线性调幅，得到与各所述小波包分量对应的简谐波，且简谐波幅值为n(m/s2)，所述n为正数，所述调幅比例为所述调幅基准与所述小波包分量的半波长范围内的峰值的比值。
所述步骤30进一步具体为：
若弹性体系是单自由度弹性体系，则在任一所述拟合简谐波的作用下，其动力方程式为：
y··(t)+2ξωy·(t)+ω2y(t)=-ag0cos(θt-φ)---(1)]]>
公式(1)中，ξ和ω分别表示所述单自由度弹性体系的阻尼比和未考虑阻尼的自振圆频率，和y(t)分别为加速度时程、速度时程和位移时程，ag0、θ和t分别表示任一所述拟合简谐波的幅值、频率和作用时间，φ为相位差；
求解公式(1)，得出单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的结构响应的解析解，包括自由响应、伴生自由响应和稳态响应的解析解，分别如下所示：
y1(t)=e-ξωt[y0cosωdt+v0+ξωy0ωdsinωdt]---(2)]]>


如公式(2)、(3)、(4)所示，y1(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应，y2(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的伴生自由响应，则y1(t)+y2(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应，y3(t)表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的稳态响应，y0和ν0分别为初始位移和初始速度，ωd表示考虑阻尼的自振圆频率，A表示幅值，且表示反应比荷载滞后的角度，且
将公式(2)与公式(3)相加并代入所需参数(包括公式(2)中的ξ、ω、 ωd、y0、ν0、t和公式(3)中的A、ξ、ω、ωd、φ、θ、t)，得到所述单自由度体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应的解析解；
若弹性体系是N自由度弹性体系，则在任一所述拟合简谐波的作用下，其动力方程可转化为N个等效所述单自由度弹性体系进行求解(现有技术中，利用各振型相互正交的特性，可以使N自由度弹性体系的动力计算变为多个相当于各自振周期的单自由度弹性体系的问题求解)所述N为大于1的正整数；
将等效所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应经过振型叠加，得到如下公式:
y1′(t)=Σk=1NγkXkiyk1(t)---(5)]]>
y2′(t)=Σk=1NγkXkiyk2(t)---(6)]]>
y3′(t)=Σk=1NγkXkiyk3(t)---(7)]]>
如公式(5)、(6)、(7)所示，y1'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应，y2'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的伴生自由响应，则y1'(t)+y2'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应，y3'(t)表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的稳态响应，γk为第k阶振型的振型参与系数，Xki为N自由度弹性体系第i个质点k阶振型的振型位移，yk1(t)、yk2(t)和yk3(t)分别表示第k阶振型对应的等效所述单自由度体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应；
将公式(5)和公式(6)相加并代入所需参数(包括公式(5)中的N、 γk、Xki、yk1(t)和公式(6)中的N、γk、Xki、yk2(t))，得到所述N自由度体系在任一所述拟合简谐波作用下的瞬态响应的解析解。
所述步骤40进一步具体为，根据所述调幅基准，对各所述拟合简谐波作用下的结构响应进行线性调幅的逆过程，得到调幅后的各所述小波包分量的自由响应、伴生自由响应和稳态响应的计算公式如下：
x1(t)＝y1(t)/s(t)或x1(t)＝y1′(t)/s(t)   (8)
x2(t)＝y2(t)/s(t)或x2(t)＝y′2(t)/s(t)   (9)
x3(t)＝y3(t)/s(t)或x3(t)＝y3'(t)/s(t)   (10)
如公式(8)、(9)、(10)所示，s(t)表示所述小波包分量各时程点对应的调幅比例，y1(t)、y2(t)和y3(t)分别表示所述单自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应，y1'(t)、y2'(t)和y3'(t)分别表示N自由度弹性体系在任一所述拟合简谐波作用下的自由响应、伴生自由响应和稳态响应，x1(t)表示任一所述小波包分量的自由响应，x2(t)表示任一所述小波包分量的伴生自由响应，则x1(t)+x2(t)表示任一所述小波包分量的瞬态响应，x3(t)表示任一所述小波包分量的稳态响应；
将公式(8)和公式(9)相加并代入所需参数(若是单自由度弹性体系，则包括公式(8)中的s(t)、y1(t)和公式9中的s(t)、y2(t)，若是N自由度弹性体系，则包括公式(8)中的s(t)、y1'(t)和公式9中的s(t)、y2'(t))，得到任一所述小波包分量的瞬态响应。
所述步骤50进一步具体为，先将得到的各所述小波包分量的自由响应、伴生自由响应和瞬态响应进行叠加，计算公式如下所示：
X1(t)＝Σx1i(t)   (11)
X2(t)＝Σx2i(t)   (12)
X3(t)＝Σx3i(t)   (13)
如公式(11)、(12)、(13)所示，X1(t)表示所述弹性体系在非平稳信号下的自由响应，X2(t)表示所述弹性体系在非平稳信号下的伴生自由响应，X3(t)表示所述弹性体系在非平稳信号下的稳态响应，其中，x1i(t)、x2i(t)和x3i(t)分别表示第i个小波包分量的自由响应、伴生自由响应和稳态响应；
再将公式(11)与公式(12)相加并代入所需参数(包括公式(11)中的x1i(t)和公式(12)中的x2i(t))，得到所述弹性体系在非平稳信号作用下的瞬态响应，同时将公式(11)、公式(12)、公式(13)共同相加，则能得到所述弹性体系在非平稳信号作用下的响应全解。
本发明的一实施例为：
如图2所示，以一Elcentro地震动南北向信号作用于自振周期为1.56s的单自由度弹性体系为例，
步骤一、以“db5”为小波基进行12层小波包分解，共产生2j＝212＝4096个小波包分量；由于分解层数足够多，每个分量的带宽很窄，因此可近似认为每个小波包分量都具有单一频率，取其中三个小波包分量，如图3a、图3b、图3c中所示的小波包分量的频率分别为0.78HZ,1.4HZ和2.97HZ；
步骤二、以1m/s2作为调幅基准，对每个时程点进行线性调幅，得到幅值相等的拟合简谐地震动；图3中所列的三个小波包分量经线性调幅后分别如图4a(f＝0.78HZ)、图4b(f＝1.4HZ)和图4c(f＝2.97HZ)所示；
步骤三、推导拟合简谐波的瞬态与稳态响应解析解：将图4a(f＝0.78HZ)的拟合简谐地震动作用于自振周期为1.56s的单自由度弹性体系，得到自由响应、伴生自由响应、稳态响应以及响应全解的曲线图分别如图5a、图5b、图5c和图5d所示；
步骤四、通过线性调幅的逆过程，计算小波包分量的瞬态与稳态响应：对图4a(f＝0.78HZ)的拟合简谐地震动进行线性调幅的逆过程，得到自由响应、伴生自由响应、稳态响应以及响应全解的曲线图分别如图6a、图6b、图6c和图6d所示；
步骤五、线性叠加小波包分量瞬态与稳态响应，得到Elcentro地震动作用 下弹性体系的自由振动、伴生自由振动、稳态振动及位移全解如图7a、图7b、图7c和图7d所示；
将本发明方法计算所得响应全解(如图7d所示)与传统Duhamel积分数值法得到的响应全解(如图8所示)进行比较，由此可知本发明提出的方法具有较高的计算精度。
本发明不仅可以有效计算弹性体系在地震动等非平稳信号作用下的响应全解，而且能够区分其中的瞬态与稳态响应成分。本发明还能适用于土木工程、自动控制、机械工程、桥梁工程、水利工程等领域的信号处理和系统响应分析，在弹性体系的范围内具有较好的计算精度，为进一步进行瞬态响应的研究奠定了基础。
虽然以上描述了本发明的具体实施方式，但是熟悉本技术领域的技术人员应当理解，我们所描述的具体的实施例只是说明性的，而不是用于对本发明的范围的限定，熟悉本领域的技术人员在依照本发明的精神所作的等效的修饰以及变化，都应当涵盖在本发明的权利要求所保护的范围内。