一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法.pdf

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摘要
申请专利号:

CN201610775991.X

申请日:

2016.08.29

公开号:

CN106372305A

公开日:

2017.02.01

当前法律状态:

实审

有效性:

审中

法律详情:

著录事项变更IPC(主分类):G06F 17/50变更事项:申请人变更前:河北省电力勘测设计研究院变更后:中国电建集团河北省电力勘测设计研究院有限公司变更事项:地址变更前:050031 河北省石家庄市长安区建华北大街6号变更后:050031 河北省石家庄市长安区建华北大街6号|||实质审查的生效IPC(主分类):G06F 17/50申请日:20160829|||公开

IPC分类号:

G06F17/50

主分类号:

G06F17/50

申请人:

河北省电力勘测设计研究院

发明人:

赵怀宇

地址:

050031 河北省石家庄市长安区建华北大街6号

优先权:

专利代理机构:

石家庄众志华清知识产权事务所(特殊普通合伙) 13123

代理人:

郝家宝

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内容摘要

本发明公开了一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法,包括A)单个弹性支承的轴向受压杆件屈服条件理论公式推导,即先推导出屈曲方程,再求出屈曲临界荷载;B)单个弹性支承的轴向受拉杆件屈服条件理论公式推导,即先推导出屈曲方程,再求出屈曲临界荷载;C)一拉一压工况下的屈服方程及简化计算公式推导,即根据欧拉临界力公式Pcr=π2EI/(μl)2反推得到计算长度系数μ。本发明由不等分交叉斜材的屈曲方程出发,并根据屈曲荷载求得了计算长度系数,最后给出了不等分交叉斜材的计算长度系数简化公式。这样就能简便地解决斜材相交点不在中点时的计算长度系数的计算问题。

权利要求书

1.一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法,其特征在于:所述交叉斜材
包括长度相同、截面相同、弹性模量相同的受压杆件和受拉杆件,所述受压杆件和受拉杆件
均为不间断的连续杆件且被交叉点分割后的长度比例相同,所述受压杆件和受拉杆件均为
两端铰接、其中一端能够沿着杆轴方向发生位移的连接结构,一拉一压工况下,不等分交叉
斜材计算长度系数的计算方法包括以下步骤,
A)单个弹性支承的轴向受压杆件屈服条件理论公式推导,即先推导出屈曲方程,再求
出屈曲临界荷载;
B)单个弹性支承的轴向受拉杆件屈服条件理论公式推导,即先推导出屈曲方程,再求
出屈曲临界荷载;
C)一拉一压工况下的屈服方程及简化计算公式推导,即根据欧拉临界力公式Pcr=π
2EI/(μl)2反推得到计算长度系数μ。
2.根据权利要求1所述的一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法,其特
征在于:所述步骤A)中单个弹性支承的轴向受压杆件具体为,在受压杆件上设置一弹簧常
数为c的支承构件,在支承构件处受压杆件可自由转动,此时受压杆件的抗弯刚度为EI、挠
曲线是连续的且y′(l1)≠0,由此受压杆件屈服条件理论公式推导的具体过程为,
令受压杆件在支承构件处的挠度为v,产生的弹簧力为cv,建立平衡方程,当x≤l1时,得
到公式(1),
<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
令则得到公式(2),
<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
受压杆件的挠曲线为公式(3)所示,
<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
式中,常数A1和B1可由受压杆件的边界条件y(0)=0和y(l1)=v得到,即,
<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
B1=0,
故,
<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
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当l1≤x<l时,
<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>
或,
<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>
得到公式(7),
<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
利用受压杆件的边界条件y(l)=0和y(l1)=v,可得公式(7)中的常数A2和B2,
<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> <mi> </mi> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
故,
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由公式(6)与公式(10)两式相等,可得受压杆件的屈服条件为,
<mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>)</mo> <mi>k</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mrow>
即,
<mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>P</mi> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
3.根据权利要求1所述的一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法,其特
征在于:所述步骤B)中单个弹性支承的轴向受拉杆件具体为,在受拉杆件上设置一弹簧常
数为c的下压构件,在下压构件处受拉杆件可自由转动,由此受拉杆件屈服条件理论公式推
导的具体过程为,
令受拉杆件在支承构件处的挠度为v,产生的弹簧力为cv,建立平衡方程,当x≤l1时,得
到公式(13),
<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
令则得到公式(14),
<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
受拉杆件的挠曲线为公式(15)所示,
<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
式中,常数A1和B1可由受拉杆件的边界条件y(0)=0和y(l1)=v得到,即,
<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
当l1≤x<l时,
<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>
或,
<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>
得到公式(19),
<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
利用受拉杆件的边界条件y(l)=0和y(l1)=v,可得公式(19)中的常数A2和B2,
<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
故,
<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
由公式(18)与公式(22)两式相等,可得受拉杆件的屈服条件为,
<mrow> <mfrac> <mi>P</mi> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
当P=P1时,
<mrow> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
4.根据权利要求1所述的一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法,其特
征在于:所述步骤C)中一拉一压工况下的屈服方程及简化计算公式推导的具体过程为,
由公式(18)与公式(22)得,
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>P</mi> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
其中,
<mrow> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>P</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
P的最大值为,
<mrow> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&pi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
采用数值迭代算法求解P值,得到P值后,根据欧拉临界力公式Pcr=π2EI/(μl)2反推得到
计算长度系数μ。
5.根据权利要求4所述的一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法,其特
征在于:对于不同的P1/P比值以及不同的不等分程度,对计算长度系数μ进行修正,修正值
为,
<mrow> <mi>&mu;</mi> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>/</mo> <mn>0.5</mn> <mi>l</mi> </mrow> </msup> <mo>&CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mo>&CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

说明书

一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法

技术领域

本发明涉及钢结构设计技术领域,具体是一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系
数的计算方法。

背景技术

在GB 50017-2003《钢结构设计规范》中,交叉材计算长度系数的计算方法为:在桁
架平面外的计算长度,当两交叉杆长度相等时,对于压杆,当相交另一杆受拉,两杆截面相
同并在交叉点均不中断,则压杆的计算长度l0如公式(a)所示,压杆的计算长度系数μ如公
式(b)所示,

<mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>l</mi> <msqrt> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mo>&CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mn>0.5</mn> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <mi>&mu;</mi> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mo>&CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mn>0.5</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

式中,l为桁架节点中心间距离(交叉点不作为节点考虑);

N为所计算杆的内力,N0为相交另一杆的内力,均为绝对值,两杆均受压时,取N0≤
N,两杆截面应相同。

以上公式只考虑了交叉点在斜材中点时的情况,对于不等分交叉材的计算长度系
数没有给出合理的公式表达。

发明内容

本发明需要解决的技术问题是提供一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的
计算方法,实现对于不等分交叉斜材的计算长度系数的计算。

为解决上述技术问题,本发明所采用的技术方案是:

一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法,所述交叉斜材包括长度相
同、截面相同、弹性模量相同的受压杆件和受拉杆件,所述受压杆件和受拉杆件均为不间断
的连续杆件且被交叉点分割后的长度比例相同,所述受压杆件和受拉杆件均为两端铰接、
其中一端能够沿着杆轴方向发生位移的连接结构,一拉一压工况下,不等分交叉斜材计算
长度系数的计算方法包括以下步骤,

A)单个弹性支承的轴向受压杆件屈服条件理论公式推导,即先推导出屈曲方程,
再求出屈曲临界荷载;

B)单个弹性支承的轴向受拉杆件屈服条件理论公式推导,即先推导出屈曲方程,
再求出屈曲临界荷载;

C)一拉一压工况下的屈服方程及简化计算公式推导,即根据欧拉临界力公式Pcr=
π2EI/(μl)2反推得到计算长度系数μ。

本发明技术方案的进一步改进在于:所述步骤A)中单个弹性支承的轴向受压杆件
具体为,在受压杆件上设置一弹簧常数为c的支承构件,在支承构件处受压杆件可自由转
动,此时受压杆件的抗弯刚度为EI、挠曲线是连续的且y′(l1)≠0,由此受压杆件屈服条件
理论公式推导的具体过程为,

令受压杆件在支承构件处的挠度为v,产生的弹簧力为cv,建立平衡方程,当x≤l1
时,得到公式(1),

<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

令则得到公式(2),

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

受压杆件的挠曲线为公式(3)所示,

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

式中,常数A1和B1可由受压杆件的边界条件y(0)=0和y(l1)=v得到,即,

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

B1=0,

故,

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> <mi>sin</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> <mi>cos</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

当l1≤x<l时,

<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>

或,

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>

得到公式(7),

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

利用受压杆件的边界条件y(l)=0和y(l1)=v,可得公式(7)中的常数A2和B2,

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> <mi>cos</mi> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mover> <mi>m</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> <mi>sin</mi> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

故,

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> <mi>sin</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mi>k</mi> <mi>v</mi> <mi>cos</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

由公式(6)与公式(10)两式相等,可得受压杆件的屈服条件为,

<mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>)</mo> <mi>k</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mrow>

即,

<mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>P</mi> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

本发明技术方案的进一步改进在于:所述步骤B)中单个弹性支承的轴向受拉杆件
具体为,在受拉杆件上设置一弹簧常数为c的下压构件,在下压构件处受拉杆件可自由转
动,由此受拉杆件屈服条件理论公式推导的具体过程为,

令受拉杆件在支承构件处的挠度为v,产生的弹簧力为cv,建立平衡方程,当x≤l1
时,得到公式(13),

<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

令则得到公式(14),

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

受拉杆件的挠曲线为公式(15)所示,

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

式中,常数A1和B1可由受拉杆件的边界条件y(0)=0和y(l1)=v得到,即,

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>


<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

当l1≤x<l时,

<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>

或,

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>

得到公式(19),

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

利用受拉杆件的边界条件y(l)=0和y(l1)=v,可得公式(19)中的常数A2和B2,

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

故,

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

由公式(18)与公式(22)两式相等,可得受拉杆件的屈服条件为,

<mrow> <mfrac> <mi>P</mi> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

当P=P1时,

<mrow> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

本发明技术方案的进一步改进在于:所述步骤C)中一拉一压工况下的屈服方程及
简化计算公式推导的具体过程为,

由公式(18)与公式(22)得,

<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>P</mi> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

其中,

<mrow> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>P</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

P的最大值为,

<mrow> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&pi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

采用数值迭代算法求解P值,得到P值后,根据欧拉临界力公式Pcr=π2EI/(μl)2反
推得到计算长度系数μ。

本发明技术方案的进一步改进在于:对于不同的P1/P比值以及不同的不等分程
度,对计算长度系数μ进行修正,修正值为,

<mrow> <mi>&mu;</mi> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>/</mo> <mn>0.5</mn> <mi>l</mi> </mrow> </msup> <mo>&CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mo>&CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>P</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

由于采用了上述技术方案,本发明取得的技术进步是:

本发明由不等分交叉斜材的屈曲方程出发,并根据屈曲荷载求得了计算长度系
数,最后给出了不等分交叉斜材的计算长度系数简化公式。这样就能简便地解决斜材相交
点不在中点时的计算长度系数的计算问题。

附图说明

图1为本发明的交叉斜材计算模型示意图;

图2为本发明的带有单个弹性支承的轴向受压杆件计算模型示意图;

图3为本发明的带有单个弹性支承的轴向受压杆件力学模型示意图;

图4为本发明的带有单个弹性支承的轴向受拉杆件力学模型示意图;

图5为本发明一拉一压工况下,理论值与修正值对比图。

具体实施方式

下面对本发明做进一步详细说明:

本发明公开了一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法,本发明的计
算方法适用于钢结构不等分交叉斜材,交叉斜材包括受压杆件和受拉杆件。交叉斜材计算
模型示意图如图1所示。

本发明的计算方法中,引入了以下几个假定条件:

(1)交叉斜材中的受压杆件和受拉杆件的长度相同;

(2)交叉斜材中的受压杆件和受拉杆件的截面相同,弹性模量相同;

(3)交叉斜材中交叉点分割后的受压杆件和受拉杆件的长度比例相同;

(4)交叉斜材中的受压杆件和受拉杆件均是不间断的连续杆件,即为压弯或拉弯
构件;

(5)交叉斜材中的受压杆件和受拉杆件均为两端铰接,其中一端能够沿着杆轴方
向发生位移。

在一拉一压工况下,不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法包括以下步骤,

A)单个弹性支承的轴向受压杆件屈服条件理论公式推导,即先推导出屈曲方程,
再求出屈曲临界荷载;

B)单个弹性支承的轴向受拉杆件屈服条件理论公式推导,即先推导出屈曲方程,
再求出屈曲临界荷载;

C)一拉一压工况下的屈服方程及简化计算公式推导,即根据欧拉临界力公式Pcr=
π2EI/(μl)2反推得到计算长度系数μ。

具体地,步骤A)中单个弹性支承的轴向受压杆件具体为,在受压杆件上设置一弹
簧常数为c的支承构件,在支承构件处受压杆件可自由转动,计算模型示意图如图2所示,力
学模型示意图如图3所示。

此时受压杆件的抗弯刚度为EI、挠曲线是连续的且y′(l1)≠0,由此受压杆件屈服
条件理论公式推导的具体过程为,

令受压杆件在支承构件处的挠度为v,产生的弹簧力为cv,建立平衡方程,当x≤l1
时,得到公式(1),

<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

令则得到公式(2),

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

受压杆件的挠曲线为公式(3)所示,

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

式中,常数A1和B1可由受压杆件的边界条件y(0)=0和y(l1)=v得到,即,

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

B1=0,

故,

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> <mi>sin</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> <mi>cos</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

当l1≤x<l时,

<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>

或,

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>

得到公式(7),

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

利用受压杆件的边界条件y(l)=0和y(l1)=v,可得公式(7)中的常数A2和B2,

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> <mi>cos</mi> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> <mi>sin</mi> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

故,

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mi>v</mi> <mi>sin</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mi>k</mi> <mi>v</mi> <mi>cos</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

由公式(6)与公式(10)两式相等,可得受压杆件的屈服条件为,

<mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> <mi>k</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

即,

<mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>P</mi> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

具体地,步骤B)中单个弹性支承的轴向受拉杆件具体为,在受拉杆件上设置一弹
簧常数为c的下压构件,在下压构件处受拉杆件可自由转动,力学模型示意图如图3所示。

由此受拉杆件屈服条件理论公式推导的具体过程为,

令受拉杆件在支承构件处的挠度为v,产生的弹簧力为cv,建立平衡方程,当x≤l1
时,得到公式(13),

<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

令则得到公式(14),

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

受拉杆件的挠曲线为公式(15)所示,

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

式中,常数A1和B1可由受拉杆件的边界条件y(0)=0和y(l1)=v得到,即,

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>p</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>


<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

当l1≤x<l时,

<mrow> <msup> <mi>EIy</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>P</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>

或,

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mo>&prime;</mo> <mo>&prime;</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow>

得到公式(19),

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

利用受拉杆件的边界条件y(l)=0和y(l1)=v,可得公式(19)中的常数A2和B2,

<mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

故,

<mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>P</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mi>P</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

由公式(18)与公式(22)两式相等,可得受拉杆件的屈服条件为,

<mrow> <mfrac> <mi>P</mi> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

当P=P1时,

<mrow> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>c</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

具体地,步骤C)中一拉一压工况下的屈服方程及简化计算公式推导的具体过程
为,

由公式(18)与公式(22)得,

<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>P</mi> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>kl</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>l</mi> </mfrac> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

其中,

<mrow> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>P</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

P的最大值为,

<mrow> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&pi;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>E</mi> <mi>I</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

以上公式P是未知数,其他参数已知,采用数值迭代算法求解P值,得到P值后,根据
欧拉临界力公式Pcr=π2EI/(μl)2反推得到计算长度系数μ。

当l1=0.5l,l2=0.5l时,压杆计算长度系数的近似解就是《钢结构设计规范》中的
公式(26):

<mrow> <mi>&mu;</mi> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mo>&CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>P</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mn>0.5</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

对于不同的P1/P比值以及不同的不等分程度,计算结果如下表1所示。

由表1可知,在一拉一压工况下,随着不等分程度加大,压杆的计算长度系数结果
与等分时候的差异越来越大,故需要在《钢结构设计规范》中的等分交叉斜材基础上考虑计
算长度系数的修正。

对计算长度系数μ进行修正,修正值为,

<mrow> <mi>&mu;</mi> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>/</mo> <mn>0.5</mn> <mi>l</mi> </mrow> </msup> <mo>&CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mo>&CenterDot;</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>P</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>l</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

图5中的“修正值0.5”是指l1:l2=0.5:0.5时的按照修正公式(27)计算值,图5中的
“修正值0.6”是指l1:l2=0.4:0.6时的按照修正公式(27)计算值,图5中的“修正值0.7”是指
l1:l2=0.3:0.7时的按照修正公式(27)计算值,“理论值”是指按照(25)计算值。

由表2、图5可知,一拉一压工况下,修正值稍显保守,与理论相差最大不超过5%,
所以采用本发明的来计算一拉一压工况下不等分交叉材的计
算长度系数,满足规范要求,也简化实际操作。

表1一拉一压工况下,不等分程度对压杆计算长度系数的影响



表2一拉一压工况下,理论值与修正值对比表





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本发明公开了一种钢结构不等分交叉斜材计算长度系数的计算方法,包括A)单个弹性支承的轴向受压杆件屈服条件理论公式推导,即先推导出屈曲方程,再求出屈曲临界荷载;B)单个弹性支承的轴向受拉杆件屈服条件理论公式推导,即先推导出屈曲方程,再求出屈曲临界荷载;C)一拉一压工况下的屈服方程及简化计算公式推导,即根据欧拉临界力公式Pcr2EI/(l)2反推得到计算长度系数。本发明由不等分交叉斜材的屈曲方程出发,并。

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