多目标二维交叉运动模拟系统误差测量补偿方法 技术领域 本发明涉及一种适用于多个目标大范围交叉二维运动系统的误差测量补偿技术， 具体涉及一种应用于多个目标坐标系统一的位置误差测量补偿方法。
背景技术 目标运动模拟系统作为目标运动仿真的关键设备， 不但可以通过复现目标的运动 轨迹、 模拟目标的运动特性来为研究对象提供综合测试和物理仿真， 还可作为各种测量仪 器或精密设备的高精度标定和校验仪器。 近年来国内所研究的目标运动系统多数只能提供 单一目标， 无法实现多目标的二维运动 ； 而少数多目标运动系统又存在目标运动范围小、 各 目标运动区域相互独立无法实现交叉运动等问题。
通常设计一个多目标交叉二维运动模拟系统的想法是将多个目标设计到一个运 动平面内， 每个目标通过固定在一个运动平台上实现二维运动 ； 采用该方法虽然可以保证 多个目标运动平面的统一， 使多个目标具有统一的运动坐标系， 然而该方式却不可避免的
存在着目标运动相互干扰等问题， 无法实现多个目标的大范围交叉运动。 为此， 设计了一套 由多个独立单目标二维运行系统组合构成多目标交叉二维运动模拟系统， 但是系统中存在 着由传动机构或是执行机构带来的非线性误差所引起的多个目标运动坐标系不统一和定 位精度达不到要求等问题。
因此， 如何设计一套可以实现多个目标交叉二维运动的模拟系统为本领域技术人 员的研究方向所在。 发明内容 本发明的主要目的是提供一种多目标二维交叉运动模拟系统误差测量补偿方法， 解决多个目标运动坐标系不统一和定位精度达不到要求等问题， 其是一种基于三角交汇视 觉测量原理和 RBF 神经网络的理论误差测量补偿方法。
为了得到上述目的， 本发明提供一种多目标二维交叉运动模拟系统误差测量补偿 方法， 其包括以下步骤 ：
步骤 a ： 搭建空间坐标点三维测量系统， 并实现空间点的三维位置坐标测量 ；
步骤 b ： 利用所得的三维位置坐标拟合目标运动平面， 并求得目标运动参考坐标 系；
步骤 c ： 对所测点进行坐标转化， 并求得像平面坐标 ；
步骤 d ： 依据像平面坐标求得每个目标运动平面采样点的位置误差 ；
步骤 e ： 利用 RBF 神经网络对位置误差进行补偿。
较佳的实施方式中， 在所述步骤 a 中， 是利用两台经纬仪根据三角交汇法搭建空 间坐标点三维测量系统， 依据下面的公式可以求出被测的空间点 ：
其中， A(x， y， z) 为被测空间内一点， A′ (x′， y′， z′ ) 为测量坐标空间内 A 点 在 XOY 平面上的投影点， L 为两台经纬仪的间距， α， β， γ， θ 为两台经纬仪所测空间方位 角， 其中 α， β 为经纬仪测量的水平角， γ， θ 为为经纬仪测量的垂直角。
较佳的实施方式中， 所述经纬仪测量的水平角 α 与 β 取 15°～ 120°。
较佳的实施方式中， 所述经纬仪测量的垂直角 |γ| ＜ 30° ；
较佳的实施方式中， 被测空间内特征点 A 在 XOY 面投影点 A′距测量坐标系 XOZ 平 面的距离为 b， 当水平角 α 确定时， 最佳测量距离 bbest 的取值范围为 ：
较佳的实施方式中， 在所述步骤 b 中， 所测得的每个目标运动平面特征点的三维 位置坐标是通过回归分析法求得目标运动平面方程并确定目标运动参考平面， 然后以该平 面的法向量和平面内的一条方向向量建立运动参考坐标系。
较佳的实施方式中， 在所述步骤 c 中， 是将不同目标所测得的采样点位置坐标同 一到该坐标下， 并求得像平面坐标， 测量坐标系下一空间特征点 Pw(xw， yw， zw) 与其像平面坐 T 标系下的坐标 Pu(xu， yu) 间的关系可以表示为 ：
较佳的实施方式中， 在所述步骤 d 中， 设空间点 P 的给定位置坐标为 Pt(xt， yt)， 则 点 P 的位置误差 Et(etx， ety) 满足 ：
较佳的实施方式中， 在所述步骤 e 中， 利用 RBF 神经网络进行补偿的公式如下 ：式中 ： ci 是第 i 个隐层神经元的中心 ； σi 是第 i 个隐层节点的归一化参数， 即第 i 个感知的变量， 其决定了该基函数中心点的宽度 ； m 是感知单元的个数 ； ‖X-ci‖ 表示 X 和 ci 之间的距离。
本发明的有益效果在于 ： 本发明针对由多个独立且相互平行的单目标二维运行系 统组合构成多目标交叉二维运动模拟系统所提出的基于三角交汇视觉测量原理和 RBF 神 经网络理论的误差补偿方法。该方法通过建立双经纬仪三维坐标测量模型， 并依据对模型
的不确定度分析设计实验确定系统的测量误差精度 ； 利用回归分析法对所测数据进行处 理， 依据平面度的概念选择精度最高且最为合理的运动平面建立系统二维运动坐标系， 再 依据坐标系转换原理求得系统误差 ； 最后利用 RBF 神经网络在误差模型未知的情况下， 对 系统误差进行比较准确的预测和补偿， 保证系统多个目标具有统一的二维运动坐标系和较 高的定位精度， 整套方法的原理简单、 计算量小、 避免了复杂的数学关系推导， 容易实现， 具 有较高的实用性。 附图说明
图 1 为本发明运动模拟系统原理图 ； 图 2 为本发明双经纬仪三角交汇测量方法原理图 ； 图 3 为本发明测量精度最佳测量范围参考图 ； 图 3A 为发明坐标系中 XOY 平面的一示意图 ； 图 4 为本发明水平测量角度与不确定度关系图 ； 图 5 为本发明测量实验设计原理图 ； 图 6 为本发明坐标系转换原理图 ； 图 7A 及 7B 为本发明补偿前后系统误差对比图。具体实施方式
以下结合附图， 对本发明上述的和另外的技术特征和优点作更详细的说明。
本发明的多目标二维交叉运动模拟系统误差测量补偿方法由以下步骤实现 ：
步骤一、 通过两台经纬仪利用三角交汇法搭建空间坐标点三维测量系统， 并依据 最佳测量范围原理图设计实验， 实现空间点的三维位置坐标测量， 依据公式为 ：
步骤二、 利用所测得的目标运行平面采样点的三维位置坐标求得目标运动参考坐标系 ； 步骤三、 对所测点进行坐标转化， 将不同目标所测得的采样点位置坐标全部统一 到该坐标系下， 并求得像平面坐标， 依据公式 ：
步骤四、 依据像坐标求得每个目标运动平面采样点的位置误差， 依据公式为 ：
步骤五、 利用 RBF 神经网络对误差进行补偿， 依据公式为 ：下面结合图 1 至图 6 对本发明的上述步骤进行详细的说明 ：
参阅图 1， 其为本发明运动模拟系统原理图， 即利用机械结构实现的原理图， 由 XC、 YC、 ZC， 构成一系统运动坐标系， P1、 P2、 P3 分为三个相互平行的目标运动平面， 目标 1 在目 标 P1 运动平面上， 目标 2 在 P2 目标运动平面上， 目标 3 在 P3 目标运动平面上， 每个在目标 运动平面内运动的目标均可采用相同的机械传动方式， 采用该结构可以方便的增加或减少 运动目标个数， 使系统还具有较强的可扩展性， 在目标运动平面一侧设有一成像设备， 成像 设备的光轴垂直于目标运动平面。
参阅图 2， 其为本发明双经纬仪三角交汇测量方法原理图， 由 X、 Y、 Z 构成一系统运 动坐标系 OXYZ， 图中 O 点和 B 点分别放置光轴处于同一条直线上两台经纬仪， 假设 A(x， y， z) 为被测空间内一点， A′ (x′， y′， z′ ) 为测量坐标空间内 A 点在 XOY 平面上的投影点， 根据利用三角的正弦定理得出测量要素 ( 经纬仪间距 L， 两台经纬仪所测空间方位角 α， β， γ， θ) 与被测点空间坐标 A(x， y， z) 之间满足公式 ：
这样便可通过读出两台经纬仪的测得的空间方位角便可实现空间一特征点的三 维位置求取。
图 3 及图 4 所示， 为本发明测量精度最佳测量范围参考图及水平测量角度与不确 定度关系图， 由于该测量方法所测得的空间特征点的位置精度与所测量系统的测量要素 ( 空间方位角 α， β， γ， θ、 测量距离 b 等 ) 有关， 因此， 在设计实验前需要得出一个可以 满足测量精度的最佳测量区域。
定义两台经纬仪的水平、 垂直测角不确定度分别为 Uα， Uβ， Uγ， Uθ， 基线 L 的测量 不确定度为 UL， 空间特征点 A(x， y， z) 的不确定度为 UA， 坐标分量测量不确定度为 Ux， Uy， Uz。 由于 Uα， Uγ， Uβ， Uθ， UL 互不相关， Ux， Uy， Uz 互不相关， 并且在通常情况下满足 Uα ＝ Uβ ＝ Uγ， 对式 (1) 三个方程分别求偏导并依据不确定度合成原则可得 ：
其中 ：
由公式 (2) 可以看出， 在设计实验进行精准测量时垂直角 γ 取值时应当尽可能的 小， 一般取垂直角 |γ| ＜ 30° ； 水平角 α 和 β 的影响规律相同， 假定被测点 A 在水平面 上的投影点 A′始终处于以一个经纬仪轴心 O 点为中心， 以 R 为半径的半圆形轨迹上 ( 即被 测点水平距离不变 )， 参阅图 3A 所示 ：
利用三角关系即可求得 ：
将 (3) 带入式 (2)， 则可分别得到 Ux， Uy， U z， UA 随水平角 α 的变化规律， 其带入过 程可将代入后公式中除 α 以外的其他参数定为常数， 利用 MATLAB 分别绘制 X、 Y、 Z 轴不确 定度 Ux， Uy， Uz 和总不确定度 UA 随水平角 α 变化而改变的曲线， 求得 α 的最佳取值范围，仿真后的结果如图 4 所示。从图 4 中可以看出， Ux， U y， Uz， UA 在 α 取 15°～ 120°时， X、 Y、 Z 轴不确定度 Ux， Uy， Uz 相对较小， 满足测量的准确度要求， 当 α 接近 0°和 180°时， Ux， Uy， Uz 会出现极值点， 即此处的测量误差将趋近于无穷大， 无法满足测量的准确度要求， 因此， 在实际测量时， 经纬仪测量的水平角 α 与 β 应尽量取 15°～ 120°， 以保证所测目标点的 准确性。
被测空间内特征点 A 在 XOY 面投影点 A′距测量坐标系 XOZ 平面的距离 b( 即 A 距 XOZ 平面的距离 ) 也是影响被测目标点的准确性的主要因素之一， 但是， 其影响无法利用式 (2) 直接体现， 为此， 需要将距离 b 转化， 借助水平角 α 与 β 对其进行分析， 求得最佳测量 距离 b。从图 3 中可以看出， 被测点 A 距 XOZ 平面的距离 b 的改变将直接影响到交汇角 η 的改变， 为此， 通过分析交汇角 η 求得最佳测量距离 b， 由式 (2) 可知， 当 α+β ＝ 90°时， 即当 η ＝ 90°时， 系统测量的误差最小。此时有 ：
因此当进行精密测量时， 通常把交汇角 η 限制在 60°～ 120°之间。利用三角形 的余弦定理， 可以得出当水平角 α 确定时， 最佳测量距离 bbest 的取值范围为 ：这样通过对上面测量因素 α， β， γ， b 分析即可得出该测量方法的最佳测量区 域， 即图 3 中的阴影区域， 通过并使被测系统完全包含在该区域内， 设两经纬仪间的距离为 L， 用户可通过改变距离 L 扩大或缩小最佳测量区域， 为保证测量精度， 要求在被测系统完 全包含在最佳测量区域的前提下 L 取值应尽量的小， 从图 3 中可以看出， 当 L 确定时， 该方
法的最大水平测量长度为 d ＝ 1.155L， 测量距离 b 取值范围为 0.289L ～ 0.866L ；
参阅图 5， 为本发明测量实验设计原理图， 即根据被测系统的特点， 依据图 3 所求 的最佳测量区域， 设计的实际测量实验原理图， 从图中可以看出， 取两台经纬仪间的距离为 L ＝ 4m， 距中间目标运动平面距离为 b ＝ 2m， 每个目标运动范围 2×2m， 目标运动平面间距 为 0.36m。 测量参考坐标系 XOY 平面垂直于目标运动平面， 与目标运动平面交线处于运动平 面的中间位置， 通过对被测系统目标运动平面所选取的特征点测量， 并利用测得的空间方 位角转换成位置坐标即可实现步骤一。
图 6 为坐标系转换原理图， 坐标系转换主要分为两个部分， 一部分是测量坐标系 到二维运动参考坐标系的转换， 另一部分是运动参考坐标系到像平面坐标系的转换。首先 利用步骤一所测得的每个目标运动平面特征点的三维位置坐标通过回归分析法求得目标 运动平面方程并确定目标运动参考平面 ； 然后以该平面的法向量和平面内的一条方向向量 建立运动参考坐标系， 实现步骤二 ； 其次， 根据坐标系转换原理利用旋转矩阵 R 和平移向量 T 将测量坐标系所测得的特征点的三维位置坐标转换到二维运动参考坐标系下 ； 最后， 根 据空间点到面的投影原理， 利用矩阵 W 和 U 实现特征点从运动参考坐标系到像平面坐标系 的转换， 完成步骤三。利用步骤四的公式即可求的位置误差具体执行方法如下 ：
假设目标二维运动平面方程式为 ：
Ax+By+Cz+D ＝ 0 (6)
根据 n 个所测三维空间坐标值 (xi， yi， zi)， 定义 X ＝ (x1， x2… xn)T， Y ＝ (y1， y2… T T yn) 为可观测的非随机变量， Z ＝ (z1， z2… zn) 为可观测的非随机变量， ε ＝ (ε1， ε2… 2 εn) 为不可观测的随机变量， 满足 ε ～ N(0， σ In)， 则平面方程线性回归的数学模型为 ：
Z ＝ β1X+β2Y+β3+ε (7)
其中 为方便讨论， 将模型用矩阵形式表示为 ：其中β ＝ (β1， β2， β3)， I 为 n×1 维单位列向量。令 ：则各 βi 的最小二乘估计 应满足 ：令：求解方程组便可得出回归系数用矩阵可以表示为 ：
利用式 (11) 便可求出目标运动平面方程。然后选择其中一个目标额运动平面作 为二维目标运动参考平面， 选择一些距平面距离较小的点拟合一条直线 l， 定义成像设备的 光轴与拟合平面的交点作为坐标系原点 Oc， l 的方向向量指向方向作为 X 轴， 平面法向量指
向方向作为 Z 轴， 根据右手定则建立系统二维运动参考坐标系 OcXcYcZc， 其中 XOY 平面为系 统二维目标运动参考平面。
(1) 测量坐标系到二维运动参考坐标系转换
设空间点 P 在测量坐标系下的坐标为 Pw(xw， yw， zw)， 在二维运动参考坐标系下的坐 标为 Pc(xc， yc， zc)， 则有如下转换关系 ：
Pw ＝ R·Pc+T (12)
其中 R 为旋转矩阵， T 为平移向量。
通过上步求得的在测量坐标系 OwXwYwZw 下拟合的二维运动参考平面的单位法向量 为 nz， 拟合直线 l 的单位方向向量为 nx， 通过叉乘求得 Y 轴单位向量为 ：
ny ＝ nx×nz (13)
这样便可构建旋转矩阵 ：
R ＝ [nx， ny， nz] (14)
设二维运动参考坐标系 Ow 的位置向量为 ：
O ＝ (ox， oy， oz)T (15)
则平移向量 T 满足 T ＝ O， 由此可以得到空间点 P 从测量坐标系到二维运动参考坐 标系的坐标转换关系为 ：
(2) 二维运动参考坐标系到像平面坐标系转换
设二维目标运动参考平面的平面方程为 ：
Ax+By+Cz+D ＝ 0 (17)
在二维运动参考坐标系下空间点 Pc(xc， yc， zc) 在该平面的投影点坐标为 Ps(xs， ys， zs)， 依据空间点到平面的投影原理可得 ：
利用式 (18) 可以求得在二维运动参考坐标系中空间点的位置 Pc(xc， yc， zc) 与其 在像平面坐标系的成像位置 (xu， yu) 间满足 ：
其中 ：
通过式 (16) 和式 (19) 可以得到测量坐标系下一空间特征点 Pw(xw ， yw， zw) 与其像平面坐标系下的坐标 Pu(xu， yu)T 间的关系可以表示为 ：
设空间点 P 的给定位置坐标为 Pt(xt， yt)， 则点 P 的位置误差 Et(etx， ety) 满足 ：
利用式 (21) 便可分别求出每个目标的采样点在运动参考平面的位置误差。
参阅图 7A、 7B， 为补偿前后系统误差对比图， 利用步骤四的所求得的误差结合 RBF 神经网络利用控制系统软件即可对系统进行补偿。
RBF 神经网络是一种三层前馈网络， 含有输入层、 隐含层和输出层。
输入层由信号源节点组成， 定义系统的输入信号为 ：
X ＝ (X1， X2，…， Xn) (22)
其中 Xi ＝ (xi， yi)， xi， yi 分别为编号为 i 的目标点的给定位置坐标， 信号源节点 便传递这些输入信号到隐层。
隐层节点采用最为常用且易于计算的高斯函数作为基函数， 如式 (23) 所示 ：
式中 ： ci 是第 i 个隐层神经元的中心 ； σi 是第 i 个隐层节点的归一化参数， 即第 i 个感知的变量， 它决定了该基函数中心点的宽度 ； m 是感知单元的个数 ； ‖X-ci‖ 表示 X 和 ci 之间的距离。
定义系统的输出信号为 ：
Y ＝ (Y1， Y2，… Yn) (24)
其中 Yi ＝ (eix， eiy)， eix， eiy 分别为编号为 i 的目标点位置误差量， 则由隐层到输 出层满足线性关系， 即：
其中 wi 为第 i 个基函数与输出节点的连接权值 (i ＝ 1， 2， … m)， 它的目的是为了 解决以往的神经网络训练样本中， 网络无法识别样本的时序性这个问题， 权因子根据近大 远小规律， 要求网络在训练过程中对不同时序的样本给出不同的训练精度。
RBF 神经网络各参数的学习过程如下 ：
定义神经网络总误差为 ：
上式中， 1 为训练样本个数， 为通过实验实际求得的误差值， 即期望输出， Yp 为神经网络的输出误差值。RBF 神经学习过程分为两个阶段， 一个是依据输入样本决定 σi 和 ci 的非监督学习阶段， 另一个是在确定好隐层参数后， 利用最小二乘法求得 wi 的有监督学习阶段。
(1) 非监督学习阶段 采用 k- 均值聚类算法， 即通过分族求取最优径向基函数中心向量 ci， 算法步骤如下：
1) 设定各隐节点的初始中心向量 ci(0)， 学习速率 β(0)(0 ＜ β(0) ＜ 1) 和判定 阈值 ε ；
2) 求取距离最小的节点 ：
式中， k 为样本序号 ； r 为中心向量 ci(k-1) 与输入样本距离 Xk 距离最近的隐节点 3) 调整中心序号。
式中， 学习速率 β(k) ＝ β(k-1)/(1+int(k/q))1/2 ； int(·) 表示对 (·) 进行取 整运算。
4) 判定聚类质量
对全部样本 k 反复进行 2、 3 步， 直到满足下式结束。
(2) 有监督学习阶段 当 ci 确定后， 求取 wi 便成为线性优化问题。学习算法为 ： 式中 W ＝ [W1(X)， W2(X)，… Wm(X)]T， η 为学习速率， 通常取 0 ＜ η ＜ 1。 这样便可求得下式中的各个参数值， 实现输入到输出的映射。这样通过步骤五的公式以位置坐标值作为训练神经网络的输入， 误差值作为神经 网络的输出训练神经网络， 通过学习， 准确的设定网络结构和神经元之间的权值及阈值矩 阵， 由此获得一个反应误差系统特性的非线性模型， 并与控制系统软件相结合， 对系统进行 补偿。 补偿后的结果如图 7A 为补偿前目标点 X、 Y 方向误差， 图 7B 为补偿后目标点 X、 Y 方向 误差， 从图中可以看出， 补偿效果非常明显， 系统误差小于当系统单轴运动范围大于 2m 时， 利用上述方法测量补偿后目标的运动精度可达到 1mm， 可以满足系统精度要求。
性能实验结果如下 ：
图 7A、 7B 为系统补偿前后误差对比， 图 7A 为某个目标运动平面内 149 个采样点补 偿前误差分析图， 系统最大误差为 5.8398mm， 平均误差为 1.3551mm， 图 7B 为经过补偿后采 样点误差分析图， 系统最大误差为 0.0608mm， 平均误差为 0.0092mm，
从上述实验结果可以得到如下结论 ：
采用该方法实现了由多个独立且相互平行的单目标二维运行系统组合构成多目 标交叉二维运动模拟系统。该测量方法不会受结构尺寸限制， 具有灵活、 便携、 非接触测量 等特点， 可用于测量很大、 很笨重的工件乃至整个机组或工程 ； 通过建立运动参考坐标系， 利用空间坐标系转换， 将所有目标的采样点转换到像平面坐标系下求得误差， 保证了多个 目标的运动坐标系的统一 ； 利用神经网络所具有的精细、 灵活的非线性映射能力和具有强 大的学习功能， 在模型未知的情况下， 通过学习准确地预测系统的输出， 不但得出了使系统 得到了较好的补偿而且避免了复杂的数学推导。 整套方法的原理简单、 计算量小、 避免了复 杂的数学关系推导， 容易实现， 具有较高的实用性。
从实验结果来看， 在系统单轴运动范围大于 2m 时， 系统测量精度可达到 0.8mm， 补 偿精度可达到 0.1mm， 测量补偿后系统的精度可达到 1mm， 满足技术指标要求。
综上所述， 本实施方式的基本思想 ： 研究设计了一套由多个独立且相互平行的单 目标二维运行系统组合构成多目标交叉二维运动模拟系统。 通过利用三角交汇视觉测量原 理和 RBF 神经网络理论与系统的特点像结合， 设计了一套可以满足系统精度的误差测量补 偿方法 ： 通过搭建双经纬仪三维坐标测量系统， 利用最佳测量范围设计实验确定系统的测 量误差精度 ； 通过建立二维运动参考坐标系， 再依据坐标系转换原理求得系统误差 ； 最后 利用 RBF 神经网络在误差模型未知的情况下， 对系统误差进行比较准确的预测和补偿， 保 证系统多个目标具有统一的二维运动坐标系和较高的定位精度。整套方法的原理简单、 计 算量小、 避免了复杂的数学关系推导， 容易实现， 具有较高的实用性。
以上说明对本发明而言只是说明性的， 而非限制性的， 本领域普通技术人员理解， 在不脱离以下所附权利要求所限定的精神和范围的情况下， 可做出许多修改， 变化， 或等 效， 但都将落入本发明的保护范围内。