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1、(10)申请公布号 CN 102930091 A (43)申请公布日 2013.02.13 CN 102930091 A *CN102930091A* (21)申请号 201210409293.X (22)申请日 2012.10.24 G06F 17/50(2006.01) (71)申请人 浙江大学 地址 310027 浙江省杭州市西湖区浙大路 38 号 (72)发明人 邱妮娜 金小刚 (74)专利代理机构 杭州天勤知识产权代理有限 公司 33224 代理人 胡红娟 (54) 发明名称 一种面向牙齿牙龈的高效网格修补方法 (57) 摘要 本发明公开了一种面向牙齿牙龈的高效网格 修补方法， 包括。
2、 ： 首先， 构造牙齿和牙龈信息缺失 部分的孔洞边界， 将该孔洞边界投影到二维平面 上 ； 其次， 采用约束 Delaunay 三角化算法对投影 后的孔洞边界内部进行三角化 ； 再次， 采用均值 坐标原理将三角化后的网格反投影回原三维空 间 ； 最后， 采用二阶的拉普拉斯算子优化上述修 补后的网格曲面。本发明采用 PCA 算法计算牙齿 孔洞边界的投影平面， 采用弦长参数化方法将牙 龈孔洞边界投影到单位正方形上， 减少孔洞边界 的变形程度， 将三角化的工作降维， 大大缩短了三 角化的时间， 采用均值坐标原理反投影保证了三 角网格的质量， 最后采用二阶的拉普拉斯算子进 行光顺， 保证了孔洞边界的一。
3、阶连续性， 算法简 单， 高效。 (51)Int.Cl. 权利要求书 3 页 说明书 8 页 附图 4 页 (19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请 权利要求书 3 页 说明书 8 页 附图 4 页 1/3 页 2 1. 一种面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 其特征在于， 包括步骤 ： (1) 选取牙齿网格模型边界上两点作为牙齿邻面孔洞边界的起止顶点， 构造牙齿邻面 孔洞边界 ； (2) 采用主元分析算法计算出牙齿邻面孔洞边界的第三主元方向 ； (3) 将牙齿邻面孔洞边界投影到与第三主元方向相垂直的平面上， 然后将平面旋转至 XY 平面上 ； (4) 采用受约束的 Delau。
4、nay 三角化算法对 XY 平面上的投影孔洞边界及其内部进行三 角化 ； (5) 采用均值坐标原理将三角化后的孔洞反投影回原三维空间， 得到修补后的网格曲 面 ； (6) 采用二阶的拉普拉斯光顺算法优化上述修补后的网格曲面， 得到光顺后的牙齿网 格模型 ； (7) 采用迪杰斯特拉算法寻找相邻牙齿对应顶点之间的最短路径， 构造牙龈孔洞边 界 ； (8) 采用弦长参数化方法将牙龈孔洞边界投影到二维平面的单位正方形上 ； (9) 对投影到二维平面的单位正方形上的牙龈孔洞边界采用步骤 (4) (6) 得到修补 后的牙龈网格模型。 2. 如权利要求 1 所述的面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 其特征在于。
5、， 步骤 (1) 中， 所述选取牙齿网格模型边界上两点作为牙齿邻面孔洞边界的起止顶点， 构造牙齿邻面孔洞 边界， 包括步骤 ： (1.1) 用鼠标选择牙网格模型边界上的两点作为牙齿邻面孔洞边界的起止顶点 ； (1.2) 连接以上选取的起始顶点和截止顶点， 离散该连线， 离散长度为牙网格模型边界 的网格距离平均值， 离散后的连线与牙网格模型部分边界构成一个封闭的邻面孔洞边界。 3. 如权利要求 1 所述的面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 其特征在于， 步骤 (2) 中， 所述的采用主元分析算法计算出牙齿邻面孔洞边界的第三主元方向， 包括步骤 ： (2.1)将边界上的顶点坐标表示成一个3n的矩阵，。
6、 其中n为边界顶点的个数， 矩阵列 向量为顶点的 (x， y， z) 坐标 ； (2.2) 在每个矩阵行向量上减去该行向量的平均值得到矩阵 X， XT为 X 的转置 ； (2.3) 对 XXT进行特征分解， 求取特征向量以及所对应的特征值， 最小特征值对应的特 征向量即为第三主元方向。 4. 如权利要求 1 所述的面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 其特征在于， 步骤 (3) 中， 所述的将牙齿邻面孔洞边界投影到与第三主元方向相垂直的平面上， 然后将平面旋转至 XY 平面上， 包括步骤 ： (3.1) 将牙齿邻面孔洞边界投影到与第三主元方向相垂直的平面上 ； (3.2) 计算以上平面与 XY 平。
7、面之间的旋转矩阵， 将孔洞边界顶点的投影坐标乘以旋转 矩阵即得到顶点在 XY 平面上的坐标。 5. 如权利要求 1 所述的面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 其特征在于， 步骤 (4) 中， 所述的采用受约束的Delaunay三角化算法对XY平面上的投影孔洞边界及其内部进行三角 化， 包括步骤 ： 权 利 要 求 书 CN 102930091 A 2 2/3 页 3 (4.1)对XY平面上的投影孔洞边界顶点进行Delaunay三角化， 形成具有新的连接关系 的网格 ； (4.2) 孔洞边界上的边在新的网格中可能并不存在， 在该网格中插入， 同时去除相交的 边， 对该边邻域重新三角化 ； (4.3。
8、) 去除孔洞边界外的三角形 ； (4.4) 在三角形内插入新的顶点， 重新进行 Delaunay 三角化， 并使其满足最小角度和 最大面积约束。 6. 如权利要求 1 所述的面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 其特征在于， 步骤 (5) 中， 所述采用均值坐标原理将三角化后的孔洞反投影回原三维空间， 得到修补后的网格曲面， 包括步骤 ： (5.1) 若顶点属于边界顶点， 在将该顶点对应投影回原三维坐标顶点 ； (5.2) 若顶点属于边界内顶点， 则利用均值坐标计算出其三维坐标， 方法如下 ： 对于任意顶点 v0， 其坐标可以用其一环邻域顶点 vi坐标表示 ： 其中， k 为 v0一环邻域内点的个。
9、数， i为单位化后的顶点 vi的权重系数， wi为单位化 前的顶点 vi的权重系数， i为边 v0vi和 v0vi+1的夹角， i-1为边 v0vi-1和 v0vi的夹角， 顶点 vi-1， vi， vi+1呈逆时针顺序。 7. 如权利要求 1 所述的面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 其特征在于， 步骤 (6) 中， 所述采用二阶的拉普拉斯光顺算法优化上述修补后的网格曲面， 得到光顺后的牙齿网格模 型， 包括步骤 ： (6.1) 对于任意顶点 v0， 拉普拉斯算子可表示为 其中， vi为 v0的一环邻域顶点， (v0， vi) 为 vi相对于 v0的权重， 则高阶的拉普拉斯算子可以表示为这里二。
10、阶拉普拉斯算子中k 2 ； (6.2) 建立如下方程组进行求解， 得到经过光顺后的顶点坐标 ： 其中， P (v1， .， vp) 是孔洞内部的可自由移动的顶点， F (f1， .， fF) 包含边界 权 利 要 求 书 CN 102930091 A 3 3/3 页 4 顶点和边界外围一环邻域内的点， 这些点为固定点， IF为单位矩阵。 8. 如权利要求 1 所述的面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 其特征在于， 步骤 (7) 中， 所述采用迪杰斯特拉算法寻找相邻牙齿对应顶点之间的最短路径， 构造牙龈孔洞边界， 包 括步骤 ： (7.1) 采用迪杰斯特拉算法寻找相邻牙齿对应顶点 ( 牙齿邻面孔洞。
11、边界构造时选取的 顶点 ) 之间的最短路径 ； (7.2) 删除相邻牙齿之间， 两条最短路径之上的冗余网格， 两条最短路径与两邻牙的邻 面边界构成了一条封闭的牙龈孔洞边界。 9. 如权利要求 1 所述的面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 其特征在于， 步骤 (8) 中， 所述的采用弦长参数化方法将牙龈孔洞边界投影到二维平面的单位正方形上， 包括步骤 ： (8.1) 采用弦长参数化方法将牙龈孔洞边界直接投影到二维平面的单位正方形上。弦 长参数化公式如下 ： (ti+1-ti)/(ti-ti-1) |xi+1-xi|/|xi-xi-1| 其中， ti为曲线参数， xi为第 i 个顶点的坐标， 可表示。
12、为 (x(ti)， y(ti)， z(ti)。 权 利 要 求 书 CN 102930091 A 4 1/8 页 5 一种面向牙齿牙龈的高效网格修补方法 技术领域 0001 本发明涉及几何修补领域， 特别涉及一种面向牙齿牙龈的高效网格修补方法。 背景技术 0002 牙齿隐形正畸是一个涉及多学科的交叉应用， 首先通过计算机辅助设计完成对数 字化数字牙网格模型的编辑， 然后通过材料学的相关技术生成医学牙套， 用于口腔正畸。 数 字牙网格模型由几何信息和连接关系两部分构成， 几何信息给出了各个顶点在三维空间的 位置坐标， 连接关系将这些位置信息连接成特殊的多边形曲面。 0003 三维扫描重建后的牙颌。
13、模型是一个整体， 无法满足对各个牙齿进行重排以及矫治 方案设计的需求， 因此网格编辑的第一步是将每颗牙齿从整体牙颌网格模型中分割出来。 由于牙齿和牙龈存在遮挡， 三维扫描仪不能获得相邻的两牙齿之间的邻面数据， 当使用网 格分割算法分割出牙齿模型以后， 牙齿的邻面数据和牙齿之间的牙龈数据是不完整的， 因 此数字牙网格模型的编辑设计的一个核心问题是如何对分割后的牙齿邻面数据和牙齿之 间的牙龈数据进行自动修补。 0004 几何修补的目标是重建孔洞区域的曲面。一种好的孔洞修补方法应该是自动的， 运行速度较快(最好满足交互速度)， 与周围的网格差异(网格密度、 形状等)很小， 适用于 任意网格的任意孔洞。
14、。本发明的方法主要是针对于牙齿牙龈网格， 该网格的特点是边界不 完整或部分边界无邻域。 0005 早期的孔洞修补算法首先检测孔洞的边界， 然后对这些边界顶点进行三角化， 但 这种算法对于较大的孔洞就比较粗糙， 不适用。 对于大孔洞， 现有的算法主要是在三角形内 插入顶点， 进行细分。PS96( 参见 PFEIFLE R.， SEIDEL H.-P. ： Triangular b-splines for blending and filling of polygonal holes.In GI 96 ： Proceedings of the conference on Graphics inte。
15、rface 96(Toronto， Ontario， Canada， 1996)， Canadian Information Processing Society， pp.186-193.)通过最小化曲率函数使插入的顶点尽量满足Delaunay 原则， Lie03( 参见 LIEPA P. ： Filling holes in meshes.In Proc.Euro-graphics Symposium on Geometry Processing(2003)， pp.200-205.) 使新生成的网格满足采样密 度以及法向连续性， WWP10( 参见 WEI M.， WU J.， PANG 。
16、M. ： An integrated approach to filling holes in meshes.In Pro ceedings of the 2010 International Conference on Artificial Intelligence and Computational Intelligence(Washington， DC， USA， 2010)， IEEE Computer Society， pp.306-310.) 考虑网格内部三角形的角度、 二面角和密 度。 发明内容 0006 本发明提供了一种面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 能够高效的生成高质量的 。
17、网格， 并且与原始网格自然拼接。 0007 一种面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 包括步骤 ： 说 明 书 CN 102930091 A 5 2/8 页 6 0008 (1) 选取牙齿网格模型边界上两点作为牙齿邻面孔洞边界的起止顶点， 构造牙齿 邻面孔洞边界 ； 0009 (2) 采用主元分析算法计算出牙齿邻面孔洞边界的第三主元方向 ； 0010 (3) 将牙齿邻面孔洞边界投影到与第三主元方向相垂直的平面上， 然后将平面旋 转至 XY 平面上 ； 0011 (4) 采用受约束的 Delaunay 三角化算法对 XY 平面上的投影孔洞边界及其内部进 行三角化 ； 0012 (5) 采用均值坐标原。
18、理将三角化后的孔洞反投影回原三维空间， 得到修补后的网 格曲面 ； 0013 (6) 采用二阶的拉普拉斯光顺算法优化上述修补后的网格曲面， 得到光顺后的牙 齿网格模型 ； 0014 (7) 采用迪杰斯特拉算法寻找相邻牙齿对应顶点之间的最短路径， 构造牙龈孔洞 边界 ； 0015 (8) 采用弦长参数化方法将牙龈孔洞边界投影到二维平面的单位正方形上 ； 0016 (9) 对投影到二维平面的单位正方形上的牙龈孔洞边界采用步骤 (4) (6) 得到 修补后的牙龈网格模型。 0017 本发明的面向牙齿牙龈的高效网格修补方法的步骤(3)采用了主元分析算法(该 算法具体可参见 J.Shlens.A Tut。
19、orial on Principal Component Analysis.Institute for Nonlinear Science， UCSD， 2005.) 计算出牙齿邻面孔洞边界的第三主元方向， 进而确 定孔洞边界投影平面。 0018 投影到二维平面后， 在步骤 (4) 中还采用了约束 Delaunay 三角化算法 ( 该算 法具体可参见 SHEWCHUK， J.R. ： Triangle ： engineering a 2D quality mesh generator and Delaunay triangulator， In Proc.Of First Workshop on。
20、 Applied Computational Geometry， (1996)， 124-133.) 对投影后的孔洞边界进行三角化， 大大降低三角化的时间， 在 该算法的实现上使用了 Triangle 库 ( 该库具体参见 http:/www.cs.cmu.edu/ quake/ tripaper/triangle0.html， 由 Jonathan Richard Shewchuk 建立， 来自 Computer Science Division University of California at Berkeley， 邮箱为 jrscs.berkeley.edu)。 0019 得到二维的。
21、三角化的结果后， 步骤 (5) 中采用了均值坐标原理 ( 该原理具体可参 见 FLOATER， M.S. ： Mean-value coordinates.Com-puter Aided Geometric Design， 20， (2003)， 19-27.) 将三角化后的孔洞反投影回原三维空间， 该算法具有保形性， 因此能保持 二维空间三角形的 Delaunay 特性。 0020 由于经过上述算法生成的网格模型在边界处会比较生硬， 在步骤 (6) 中本 发明还采用了二阶拉普拉斯光顺算法 ( 该算法具体可参见 Sorkine O.， Cohen-Or D.Least-squares mesh。
22、esC.Shape Modeling Applications， 2004 ： 191-199)对原始边界 附近以及新生成的网格区域进行优化， 得到光滑的经邻面修补的牙齿网格模型。 0021 修补后相邻牙齿邻面数据后， 需要对两邻牙之间的牙龈数据进行修补， 在步骤 (7) 中， 采用迪杰斯特拉算法计算相邻牙齿对应顶点之间的最短路径， 删除两邻牙间最短路径 以外的冗余网格， 构造牙龈孔洞边界。 0022 由于将牙龈孔洞边界直接投影到最近似平面上可能会产生自交， 因此采用弦长参 说 明 书 CN 102930091 A 6 3/8 页 7 数化方法 ( 该算法具体可参见 FLOATER， M.S.。
23、， HORMANN， K. ： Surface parameterization ： a tutorial and survey.In Advances on Multi-resolution in Geometric Modeling， Springer-Verlag， Heidelberg， M.S.F.N.Dodgson and M.Sabin， Eds.， (2004).) 将牙龈孔 洞边界直接投影到二维平面的单位正方形上。 0023 最后， 对牙龈孔洞执行 (4) (6) 的步骤得到光滑的经修补的牙龈网格模型。 0024 具体的， 步骤 (1) 中， 所述选取牙齿网格模型边界上两点作。
24、为牙齿邻面孔洞边界 的起止顶点， 构造牙齿邻面孔洞边界， 包括步骤 ： 0025 (1.1) 用鼠标选择牙网格模型边界上的两点作为牙齿邻面孔洞边界的起止顶点 ； 0026 (1.2) 连接以上选取的起始顶点和截止顶点， 离散该连线， 离散长度为牙网格模型 边界的网格距离平均值， 离散后的连线与牙网格模型部分边界构成一个封闭的邻面孔洞边 界。 0027 具体地， 步骤 (2) 中， 所述的采用主元分析算法计算出牙齿邻面孔洞边界的第三 主元方向， 包括步骤 ： 0028 (2.1)将边界上的顶点坐标表示成一个3n的矩阵， 其中n为边界顶点的个数， 矩 阵列向量为顶点的 (x， y， z) 坐标 ；。
25、 0029 (2.2) 在每个矩阵行向量上减去该行向量的平均值得到矩阵 X， XT为 X 的转置 ； 0030 (2.3) 对 XXT进行特征分解， 求取特征向量以及所对应的特征值， 最小特征值对应 的特征向量即为第三主元方向。 0031 具体的， 步骤 (3) 中， 所述的将牙齿邻面孔洞边界投影到与第三主元方向相垂直 的平面上， 然后将平面旋转至 XY 平面上， 包括步骤 ： 0032 (3.1) 将牙齿邻面孔洞边界投影到与第三主元方向相垂直的平面上， 该平面最近 似于孔洞边界的拟合平面 ； 0033 (3.2) 计算以上平面与 XY 平面之间的旋转矩阵， 将孔洞边界顶点的投影坐标乘以 旋转。
26、矩阵即得到顶点在 XY 平面上的坐标。 0034 具体的， 步骤 (4) 中， 所述的采用约束 Delaunay 三角化算法对 XY 平面上的投影孔 洞边界及其内部进行三角化， 包括步骤 ： 0035 (4.1)对XY平面上的投影孔洞边界顶点进行Delaunay三角化， 形成具有新的连接 关系的网格 ； 0036 (4.2) 孔洞边界上的边在新的网格中可能并不存在， 在该网格中插入， 同时去除相 交的边， 对该边邻域重新三角化， 使其满足 Delaunay 规则 ； 0037 (4.3) 去除孔洞边界外的三角形 ； 0038 (4.4) 在三角形内插入新的顶点， 重新进行 Delaunay 三。
27、角化， 并使其满足最小角 度和最大面积约束。 0039 具体的， 步骤 (5) 中， 所述采用均值坐标原理将三角化后的孔洞反投影回原三维 空间， 得到修补后的网格曲面， 包括步骤 ： 0040 (5.1) 若顶点属于边界顶点， 在将该顶点对应投影回原三维坐标顶点 ； 0041 (5.2) 若顶点属于边界内顶点， 即新添加的顶点， 则利用均值坐标计算出其三维坐 标， 方法如下 ： 0042 对于任意顶点 v0， 其坐标可以用其一环邻域顶点 vi坐标表示 ： 说 明 书 CN 102930091 A 7 4/8 页 8 0043 0044 0045 0046 0047 其中， k 为 v0一环邻域。
28、内点的个数， i为单位化后的顶点 vi的权重系数， wi为单 位化前的顶点 vi的权重系数， i为边 v0vi和 v0vi+1的夹角， i-1为边 v0vi-1和 v0vi的夹角， 顶点 vi-1， vi， vi+1呈逆时针顺序。 0048 具体的， 步骤 (6) 中， 所述采用二阶的拉普拉斯光顺算法优化上述修补后的网格 曲面， 得到光顺后的数字牙网格模型， 包括步骤 ： 0049 (6.1) 对于任意顶点 v0， 拉普拉斯算子可表示为 0050 0051 其 中， vi为 v0的 一 环 邻 域 顶 点， (v0， vi) 为 vi相 对 于 v0的 权 重， 0052 则高阶的拉普拉斯算子。
29、可以表示为这里二阶拉普拉斯算子 中 k 2 ； 0053 (6.2) 建立如下方程组进行求解， 得到经过光顺后的顶点坐标 ： 0054 0055 其中， P (v1， ， vp) 是孔洞内部的可自由移动的顶点， F (f1， .， fF) 包含 边界顶点和边界外围一环邻域内的点， 这些点为固定点， IF为单位矩阵。 0056 具体的， 步骤 (7) 中， 所述采用迪杰斯特拉算法寻找相邻牙齿对应顶点之间的最 短路径， 构造牙龈孔洞边界， 包括步骤 ： 0057 (7.1) 采用迪杰斯特拉算法寻找相邻牙齿对应顶点 ( 牙齿邻面孔洞边界构造时选 取的顶点 ) 之间的最短路径 ； 0058 (7.2)。
30、 删除相邻牙齿之间， 两条最短路径之上的冗余网格， 两条最短路径与两邻牙 的邻面边界构成了一条封闭的牙龈孔洞边界 ； 0059 具体的， 步骤 (8) 中， 所述的采用弦长参数化方法将牙龈孔洞边界投影到二维平 面的单位正方形上， 包括步骤 ： 0060 (8.1) 采用弦长参数化方法将牙龈孔洞边界直接投影到二维平面的单位正方形 上。弦长参数化公式如下 ： 0061 (ti+1-ti)/(ti-ti-1) |xi+1-xi|/|xi-xi-1| 0062 其中， ti为曲线参数， xi为第 i 个顶点的坐标， 可表示为 (x(ti)， y(ti)， z(ti)。 说 明 书 CN 1029300。
31、91 A 8 5/8 页 9 0063 本发明提出了一种面向牙齿牙龈的高效网格修补算法。 该算法大致可分为四个步 骤 ： 首先， 构造牙齿和牙龈信息缺失部分的孔洞边界， 将该孔洞边界投影到二维平面上 ； 其 次， 采用约束 Delaunay 三角化算法对投影后的孔洞边界内部进行三角化 ； 再次， 采用均值 坐标原理将三角化后的网格反投影回原三维空间 ； 最后， 采用二阶的拉普拉斯算子优化上 述修补后的网格曲面。本发明采用 PCA 算法计算牙齿孔洞边界的投影平面， 采用弦长参数 化方法将牙龈孔洞边界投影到单位正方形上， 尽可能减少孔洞边界的变形程度， 将三角化 的工作降维， 大大缩短了三角化的时。
32、间， 采用均值坐标原理反投影保证了三角网格的质量， 最后采用二阶的拉普拉斯算子进行光顺保证了孔洞边界的一阶连续性， 算法简单， 高效。 附图说明 0064 图 1 为本发明面向牙齿牙龈的高效网格修补方法的流程示意图 ； 0065 图 2 为本发明面向牙齿牙龈的高效网格修补方法中牙齿网格模型的邻面示意图 ； 0066 图 3 为本发明面向牙齿牙龈的高效网格修补方法中构造的牙齿邻面孔洞边界 ； 0067 图4为本发明面向牙齿牙龈的高效网格修补方法中CDT算法中一个吉他的边界轮 廓示意图 ； 0068 图 5 为本发明面向牙齿牙龈的高效网格修补方法中 CDT 算法中对吉他顶点 Delaunay 三角。
33、化后的结果示意图 ； 0069 图6为本发明面向牙齿牙龈的高效网格修补方法中CDT算法中插入吉他边界轮廓 原本存在的边后的结果示意图 ； 0070 图7为本发明面向牙齿牙龈的高效网格修补方法中CDT算法中去除吉他边界轮廓 外的三角形后的结果示意图 ； 0071 图8为本发明面向牙齿牙龈的高效网格修补方法中CDT算法中对内部三角形进行 Refine 后的结果示意图 ； 0072 图 9 为本发明面向牙齿牙龈的高效网格修补方法中均值坐标中顶点的一环邻域 示意图 ； 0073 图 10 为本发明面向牙齿牙龈的高效网格修补方法中相邻牙齿对应顶点之间最短 路径示意图 ； 0074 图 11 为本发明面向。
34、牙齿牙龈的高效网格修补方法中构造的牙龈孔洞边界示意 图。 具体实施方式 0075 下面结合附图对本发明邻面修补方法进行详细说明。 0076 一种如图 1 所示的面向牙齿牙龈的高效网格修补方法， 包括步骤 ： 0077 (1) 选取牙齿网格模型边界上两点作为牙齿邻面孔洞边界的起止顶点， 构造牙齿 邻面孔洞边界。 0078 牙齿邻面孔洞边界的构造进一步包括步骤 ： 0079 (1.1) 图 2 是牙齿网格模型的邻面示意图， 虚线构成了邻面的部分边界， 用鼠标 选择牙网格模型边界上的两点作为牙齿邻面孔洞边界的起止顶点， 在图 2 中分别为 A 点、 B 点 ； 说 明 书 CN 102930091 。
35、A 9 6/8 页 10 0080 (1.2) 如图 3 所示， 连接以上选取的起始顶点 A 和截止顶点 B， 离散该连线， 离散长 度为牙网格模型边界的网格距离平均值， 离散后的连线与牙网格模型部分边界构成一个封 闭的邻面孔洞边界。 0081 (2) 采用主元分析算法计算出牙齿邻面孔洞边界的第三主元方向， 进一步包括步 骤 ： 0082 (2.1)将边界上的顶点坐标表示成一个3n的矩阵， 其中n为边界顶点的个数， 矩 阵列向量为顶点的 (x， y， z) 坐标， 矩阵表示为 ： 0083 0084 (2.2) 在每个矩阵行向量上减去该行向量的平均值得到矩阵 X， XT为 X 的转置 ： 00。
36、85 0086 (2.3) 对 XXT进行特征分解， 求取特征向量以及所对应的特征值， 最小特征值对应 的特征向量即为第三主元方向。 0087 (3) 将牙齿邻面孔洞边界投影到与第三主元方向相垂直的平面上， 然后将平面旋 转至 XY 平面上， 进一步包括步骤 ： 0088 (3.1) 将牙齿邻面孔洞边界投影到与第三主元方向相垂直的平面上， 该平面最近 似于孔洞边界的拟合平面 ； 0089 空 间 点 P0(x， y， z) 在 空 间 平 面 (normal， offset) 上 的 投 影 坐 标 为 P P0-normal*(P0-offset)*normal)。 0090 (3.2) 计。
37、算以上平面与 XY 平面之间的旋转矩阵， 将孔洞边界顶点的投影坐标乘以 旋转矩阵即得到顶点在 XY 平面上的坐标。 0091 以上平面与XY平面之间的夹角等于两平面的法向量夹角， 然后运用Rodrigues 旋转公式， XY 平面上的点坐标为其中 为两平面 的法向量的叉乘。 0092 (4) 采用受约束的 Delaunay 三角化算法对 XY 平面上的投影孔洞边界及其内部进 行三角化， 进一步包括如下步骤 ： 0093 (4.1)对XY平面上的投影孔洞边界顶点进行Delaunay三角化， 形成具有新的连接 关系的网格 ； 0094 以图 4、 图 5 为例， 对该步进行描述， 图 4 是一个吉。
38、他的边界轮廓， 图 5 是对边界顶 点进行 Delaunay 三角化后的结果。在本发明中， 输入是孔洞边界， 然后对孔洞边界顶点进 行 Delaunay 三角化。 0095 (4.2) 孔洞边界上的边在新的网格中可能并不存在， 在该网格中插入， 同时去除相 交的边， 对该边邻域重新三角化， 使其满足 Delaunay 规则 ； 0096 以图 6 为例， 对该步进行描述， 图 6 是插入吉他边界轮廓上原本存在的边， 去除与 说 明 书 CN 102930091 A 10 7/8 页 11 这些边相交的边， 并对该边邻域重新三角化后的结果。 在本发明中， 对邻面孔洞边界顶点进 行三角化后， 也需。
39、要插入孔洞边界上原本存在的边。 0097 (4.3) 去除孔洞边界外的三角形 ； 0098 以图 7 为例， 对该步进行描述， 图 7 是去除吉他轮廓以外的三角形后的结果。在本 发明中， 也需要去除孔洞边界外的三角形。 0099 (4.4) 在三角形内插入新的顶点， 重新进行 Delaunay 三角化， 并使其满足最小角 度和最大面积约束。 0100 以图 8 为例， 对该步进行描述， 图 8 是在三角形内部插入新的顶点并重新进行 Delaunay三角化后的结果。 在本发明中， 给定三角形最大面积参数， 使内部三角形面积都不 大于以边界平均长度为边的等边三角形的面积。 0101 在该步骤的具体。
40、实施中， 使用 Triangle 库实现， 输入孔洞边界和给定参数， 输出 三角化后的结果。 0102 (5) 采用均值坐标原理将三角化后的孔洞反投影回原三维空间， 得到修补后的网 格曲面， 进一步包括如下步骤 ： 0103 (5.1) 若顶点属于边界顶点， 在将该顶点对应投影回原三维坐标顶点 ； 0104 (5.2) 若顶点属于边界内顶点， 即新添加的顶点， 则利用均值坐标计算出其三维坐 标， 方法如下 ： 0105 结合图 9， 对于任意顶点 v0， 其坐标可以用其一环邻域顶点 vi坐标表示 ： 0106 0107 0108 0109 0110 其中， k 为 v0一环邻域内点的个数， i。
41、为单位化后的顶点 vi的权重系数， wi为单 位化前的顶点 vi的权重系数， i为边 v0vi和 v0vi+1的夹角， i-1为边 v0vi-1和 v0vi的夹角， 顶点 vi-1， vi， vi+1呈逆时针顺序。 0111 (6) 对于任意顶点 v0， 拉普拉斯算子可表示为 0112 0113 其 中， vi为 v0的 一 环 邻 域 顶 点， (v0， vi) 为 vi相 对 于 v0的 权 重， 这里取 (v0， vi) 1。 0114 则高阶的拉普拉斯算子可以表示为这里二阶拉普拉斯算子 中 k 2 ； 0115 (6.2) 建立如下方程组进行求解， 得到经过光顺后的顶点坐标 ： 说 明。
42、 书 CN 102930091 A 11 8/8 页 12 0116 0117 其中， k 2， P (v1， ， vp)T是孔洞内部的可自由移动的顶点， p 为可自由移 动的顶点个数， F (f1， .， fn)T包含边界顶点和边界外围一环邻域内的点， 这些点为固定 点， n 为固定点的个数， 矩阵大小为 p*(p+n)， IF为 n*n 的单位矩阵。 0118 (7) 采用迪杰斯特拉算法寻找相邻牙齿对应顶点之间的最短路径， 构造牙龈孔洞 边界， 包括步骤 ： 0119 (7.1) 采用迪杰斯特拉算法寻找相邻牙齿对应顶点 ( 牙齿邻面孔洞边界构造时选 取的顶点 ) 之间的最短路径， 在图 1。
43、0 中， A， B 和 C， D 分别为对应顶点。曲线 AB， CD 分别为 对应顶点之间的最短路径。 0120 (7.2) 删除相邻牙齿之间， 两条最短路径之上的冗余网格， 两条最短路径与两邻牙 的邻面边界构成了一条封闭的牙龈孔洞边界， 在图 11 中， ABCD 为牙龈孔洞边界。 0121 (8) 采用弦长参数化方法将牙龈孔洞边界投影到二维平面的单位正方形上， 包括 步骤 ： 0122 (8.1) 采用弦长参数化方法将牙龈孔洞边界直接投影到二维平面的单位正方形 上。弦长参数化公式如下 ： 0123 (ti+1-ti)/(ti-ti-1) |xi+1-xi|/|xi-xi-1| 0124 其中， ti为曲线参数， xi为第 i 个顶点的坐标， 可表示为 (x(ti)， y(ti)， z(ti)。 说 明 书 CN 102930091 A 12 1/4 页 13 图 1 图 2 说 明 书 附 图 CN 102930091 A 13 2/4 页 14 图 3 图 4 图 5 图 6 说 明 书 附 图 CN 102930091 A 14 3/4 页 15 图 7 图 8 图 9 图 10 说 明 书 附 图 CN 102930091 A 15 4/4 页 16 图 11 说 明 书 附 图 CN 102930091 A 16 。