黄赤经纬仪是我设计并制作了模型样品的一种仪器和工具。它可以作为天文、大气物理、地球物理、气象、自然资源、地理、太阳能利用、农业技术等部门的科研、教学和生产工作的测量仪器和工具。用本仪器和说明书中所述计算方法和公式计算世界各地（纬度＜66.5度地区。以下同。）任何时刻的太阳高度角、方位角、昼夜长短以及日照能量、月照能量、年照能量等参数。亦可用已编好的（用FORTRAN77语言）计算机程序计算以上参数。 用本仪器计算以上太阳诸参数只用日历和地图即可。不象现在一般常用的计算方法和公式，还需天文年历才能计算这些参数。因此，只要掌握本仪器说明书中的计算方法和公式，再使用本仪器测得的参数一般人即可完成以上参数的计算。
用本仪器还可作为一般高雅家庭用具和陈设艺术品。若在其上再加绘世界行政图和地形图，即可增加本仪器作地球仪的用途。家庭若有本仪器作陈设，既可增加美观，又有知识性趣味性。可象地球仪一样查取有关地理资料和数据，还能计算世界任何地方一年中任一天的昼夜长短，如有兴趣和必要，还可查取γ0参数以计算以上太阳诸参数。
根据不同用途可制造不同规格品种的这种仪器供科研、教学和家庭使用。
本仪器的制造工艺和方法可以在制造地球仪的基础上加以改进即可。
本仪器显著的实质性的进步和特征就在其用途和计算方法、公式、设计构思上。
一、黄赤经纬仪的构造
见附图1：在一个球体上绘制一个地球仪的内容。即绘上地理经纬线和世界行政图或地形图。地理经纬线的密度可视球体直径大小和用途而定。一般应该越密越好，以清淅正确为好;行政图和地形图以不影响地理经纬线的清淅正确为准。再以太阳照到地球形成的昼夜交界圈（展昏线）在一年中相对地球轨道上在某一起始位置转动的轴线为本仪器的转动轴而装到支架上。支架为圆形或半圆形。在其上固结一圆环形或半圆环形薄片，其上该划上相应于本说明书中的黄道座标系的黄纬地度数。将球体用轴通过黄轴装到支架转轴座上。再把球体支架装到支座上。
使用时只要拨动球体，支架簿片贴到球面上，薄片内缘即为黄道座标系的某一经线，其经度值可从球体上绘制的黄道度数值读得。黄道度数以一年中的秋分时的位置为始读数O。
这里所说的黄道座标系是指地球绕太阳运行的轨道面与地球表面交线为黄道，以同黄道面平行的平面与地球表面的交线为黄纬圈，而黄经圈是以通过地球明暗交界圈转动轴的平面与地球表面的一系列交线。黄道经纬线在此球体上不绘出，只绘黄道圈一条线。这样就可使地理经纬线绘得更密而增加准确性。这里所说的黄道座标系不同干天文学中的黄道座标系。只是黄纬圈是与天文学中的黄道座标系的黄纬圈是平行的。
二、黄赤经纬仪的使用
利用黄赤经纬仪可直接查取和计算某地一年中任一天的昼夜长短。也可以查取和计算用作计算世界各地任一时刻的太阳高度角、方位角、昼夜长短、日照能量、月照能量和年照能量的中间参数γ0值。
（一）查取和计算某地一年中任一天的昼夜长短
要查取某地一年中任一天的昼夜长短，需先按后面β值的计算方法，根据某一天的月份和日数计算出β值，然后根据β值，把该仪器的球体拨转使黄经薄片对准黄道纬圈上对应的β值。再在某地所在的地理纬圈上找到与黄经薄片的交点，再读出经过该交点的地理经线的度数t1，然后把球体向β值增加的方向拨动180°，再找出此黄经薄片与该地地理纬圈的交点的地理纬度t2。
当t2＞t1时，白昼长：T1＝（t2-t1）×4/60（小时）;
黑夜长：T2＝24-T1（小时）。
当t2＜t1时，白昼长：T1＝（360°+t2-t1）×4/60
（小时），黑夜长：T2＝24-T1（小时）。
例如：某地所在地地理纬度35°，要求其在8月20日的昼夜长短，先按后面计算β0值的方法算出对应的β＝328°，用该仪器查出对应的该地地理经度为t1＝318°，使值增加180°后查得该地理经度t2＝166°，那么该地所对应的该日的白昼长为：
T1＝（360+166-318）×4/60＝13.6（小时）
黑夜长为：T2＝24-13.6＝10.4（小时）
这样算出的昼夜长短是某一地理纬度上任一地方的昼夜长短，虽属近似值，但相差很小，仍有应用价值。
某地任一天昼夜长短除用该仪器简单查取计算外，还可用后面的计算方法和公式计算得到。
（二）查取和计算γ0值
要计算某地某日天亮时的γ0值，须根据该日的月份和日数以及后面β值的计算方法算出对应于该天的β值，再按该β值在该仪器上找出地理经度值即为γ0值。
例如：某地地理纬度为35°，时间为8月20日，按后面算β值的方法算得β值为328°则用该仪器的黄经薄片与35°地理纬线的交点所在的地理纬度为318°，亦即γ0＝318°（实际同求上例的t1值法相同）。
γ0值也可按后面的计算方法和公式计算，不过后面的计算方法是近似算法，所得结果有误差。最好用该仪器查取和计算所得的γ0值较准确。查取和计算得γ0值后就可按后面的方法和公式计算相应的太阳高度角、方位角、昼夜长短、日照、月照和年照能量。
三、地理在太阳系中的运行
地球在太阳系中作为太阳的一个行星遵从开普勒天体运行定律，绕太阳以椭园轨道运行。太阳处在地球运行轨道的一个焦点上。地球在轨道面（亦称黄道面），上以相同的时间扫过相同的面积。因而可知其速度是非均速的。它在轨道上有春分、夏至、秋分、冬至等24个节气和特殊位置。它在轨道上的位置可以这些特殊位置为基准，用角度β计量。本算法为公式推导的方便，以秋分为起算点计算β参数，β参数的角度数可用当年秋分-秋分（周年内）过去的秋分为起算点，根据日历上的公历的月、日、时计算出来的。地轴与轨道平面始终保持66°、33°角度的常数值。地球上被太阳照亮部分与未被照亮部分的暗部的明暗交界圈（展昏线）也以秋分为基准位置。以β值的规律变化着。可以认为太阳光线平行地照射到地球上，因而明暗交界圈也以绕同地理轴线23°27°角的轴而转动。若以地球中心为黄道座标系中心，把这条轴线叫作黄轴。它垂直于黄道面。
地球绕地轴以一昼夜24小时的周期作匀速自转动，绕太阳以365天5小时48分46秒的周期作周年运行，赤道座标系缩小到地球表面同地理座标相似，因而有以经度和纬度表示的经圈和纬圈。可忽略地球上高山及赤道与级半径的差值，把地球看成球体。附图2为地球绕太阳运行的示意图。
四、β参数角度值的计算
地球绕太阳运行的轨道是一个椭园。太阳处在一个焦点上，一个回归年T＝365.2422天。轨道近日点1.4710×108公里，远日点1.5210×108公里。日地平均距离（一个天文单位）1.4959×108公里：根据开普勒天体运行第二定律、地球向径在相等的时间内扫过相等的面积。因此，地球绕太阳运转是非匀速的。β值的计算有简单近似法和精确法。简单法准确性差，但计算简单省时。精确法准确，但较复杂麻烦。
（一）简单近似法（有两种方法）
1、一次平均法：若要求精度不高可用此法。
公式：β＝ (360°)/(T) t＝ (360°)/365.2422 t。
上式中t为计算时间至已过同年秋分的日数，可取小数值，小数位数可按需要确定。
2、四次平均法：此法较上法精确，但仍不精确。
（1）若计算时间在秋分至冬至之间：
β＝ (90°)/(T) t。
上式中t为计算时至已过秋分（当年或去年）的天数，T为当年秋分至冬至的天数。
（2）若计算时间在冬至至次年春分之间：
β＝90°+ (90°)/(T) t。
上式中t为计算时至去年冬至的天数，T为当年冬至至次年春分的天数。
（3）若计算时在当年春分至夏至之间：
β＝180°+ (90°)/(T) t。
上式中t为计算时至春分的天数;T为当年春分至夏至的天数。
（4）若计算时在同年夏至至秋分之间：
β＝270°+ (90°)/(T) t。
上式中t为计算时至夏至的天数，T为当年夏至至秋分的天数。
（二）精确法：
此法须按开普勒天体运行第二定律计算：
设地球轨道长径为a，短径为b，焦点距为2C，地球在时间t内（计算时距秋分的天数）向径r扫过的面积S。
S＝ (πab)/(T) t。
在附图3中，根据椭园定义“到两定点的距离之和等于定长2a的点的轨迹是椭园”有：
r2+4c2-4rccos(90°+β)=(2a-r)2
r2+4c2+4rcsinβ=4a+r2-4ar
r2= ((a2-c2)2)/((a+csinβ)2) = (b4)/((a+csinβ)2)
((a2-c2)2=b4)
向径r看作以太阳为中心为极点，β值为极点的极座标的极半径，那么R从秋分点开始扫过的面积：
s=12∫0βr2dβ=b42∫0β1(a+csinβ)2dβ]]>
用泰勒级数公式展开函数部分得：
f(β)=∫1(a+csinβ)2dβ]]>=f(β0)+f′(β0)(β-β0)+12f′′(β0)(β-β0)2]]>+Rn=β0(a+Csinβ0)2+(β·β0)(a+csinβ0)2]]>
- (ccosβo)/((a+csinβo)3) (β-β0)2+Rn
其中余项：
ε为β0与β间的一个值，RM为高阶小量。
RN还应为：
Rn= (πab)/(T) t- (b4)/2 f (β)
=Mt- (b)/2 ［ (β0)/((a+csinβo)2) + ((β-βo))/((a+c sinβo)2)
- (ccosβo)/((a+csinβo)3) (β-βo)2］.(M= (πab)/(T) =0.00506
取｜Rn｜≤ε，ε为预先按需要设定的任意小正数，根据牛顿迭代公式：
βi=βi-1- (Rn(βi-1))/(R′n(βi-1))
可以求得满足｜Rn｜≤ε的β值，f（β）中的β0＝2π (t)/(T) ;
迭代次数：i＝0，1，2，3，……
余项RN的导数是：
上式泰勒级数中取了前三项，其余项是：
上式中，当ε＝ (π)/2 时有最大绝对值：
当ε取其它值时，｜Rn｜的绝对值更小。因此，以上算法可满足精度要求。以上各式中a＝1.496，b＝1.493，C＝0.025分别是地球椭园轨道的长半轴，短半轴和二分之一焦距的值。单位为亿公里。角值的单位在用计算机计算时须化为弧度。
以上求解地球距当年或去年秋分时的时间t时的β值的计算可用计算机计算。程序见后。计算出的β值可用于计算相应的太阳高度角φ，方位角Ψ和昼、夜长短。
五、γ0参数角度的计算：
是计算太阳高度角φ、方位角Ψ、昼夜长短的中间参数。γ0的物理数学意义是指明暗交界圈绕黄轴旋转扫过地球表面时相对秋分位置某一地理纬度对应的经度数。其值出反映了地球在轨道上与秋分的位置关系。其值可用计算法算得或从本仪器查得。下面是计算γ0值的方法：
如以地球中心为黄道座标系的中心，那么，以相应的赤经赤纬、黄经黄纬构成相应的球面三角形。可用经过地心的大园的球面三角形来近似，它们有以下关系：
当β<180°时β0＝β 当β>180°时，β0＝︱360°－β︳
在上面的βd和γ0″式中：
当β0<arccos(tgαtg (δ)/2 )时βd式中的指数“±1”取“+”号;γ0″式中的“±γ0′″项取“+”号。
用以上各式计算γ0仅是一种近似算法，但准确性可满足一定要求。必要时可用黄赤径纬仪验证或查取。以上各式中的α为地理纬度值。
当β≤180°时，γ0＝γ0″;
当β＞180°时，γ0＝360°-γ0″;否则计算结果会出错。
六、太阳高度角φ计算公式的推导
附图4为从黄赤径纬仪上分离出的地球在轨道上任意位置的情况。NS为地球自转轴（地轴）。N′S′为黄轴，亦即昼夜交界圈of的旋转轴。大园oa通过地轴和黄轴而垂直于黄道面，任何时候方向不变。大园of为在地球轨道X位置的β位置。大园OC为通过某地任意时间相对of的γ角位置的地理子午圈。大园Oμ为射入光线（在地某地某时刻的γ时角）所在铅垂面的大园。oe为某地所在纬圈;oh为某地入射点的黄纬圈。附图5为oh（截面）的A向图。图6为oe（截面）的B向图。
附图中大园Oa、OC、Og构成球面三角形NN′P′;有：
其中：P＝90°-α，＝23°27′;
解得：
η=arctg[cosp-δ2cosp-δ2ctgϵ2]+]]>arotg[sinp-δ2sinp-δ2ctgϵ2]]]>
按球面三角形正弦定理有：
(sing)/(sinε) = (sinP)/(sinη)
g=arcsin［ (sinP sinε)/(sinη) ］
那么过P点的黄纬圈有黄纬角90-g、oh的半径R＝Rsing，图5中：
t=η-βi
从图7知，太阳高度角为：
φ=arcsin (pc)/(R) =arcsin［singsinc］
以上和以下各式中的符号的意义是：
α-某地点所在地地理纬度角。
β-昼夜交界圈面of对于oa面的旋转角，一年中β＝360°;亦是地球在某时位置其向径相对秋分转过的角;
R-地球半径;
R1-纬度的地理纬圈半径;
R1-过某地（P点）某时刻黄纬圈的半径;
γ0-大园oa和of截oe所得园弧对应于oe上的园心角;
γ-某地（P点）某时刻对于of的oe的园心角，也是某时刻距天亮时的时角;
β′-对应oe面的角值;
g-黄纬圈oh黄纬角的余角（过P点）;
P-地理纬度α的余角（过P点）。
七、太阳方位角Ψ计算公式的推导
附图8为图4的简化图，从球面三角形MNP求方位角Ψ
在图4、图5、图7、图8中有：
u=n+φ y=u+δ α=ro+r
o,c=R,cosc=Rsingcosc;
CD=o,ctgβ=Rsingcosctgβ
oc=Rcosφ;
n=arctg (CD)/(OC) =arctg［ (Rsinqcosctgβ)/(Rcosφ) ］
=arctg[ (sinqcosctgβ)/(cosφ) ]
o,D= (o,c)/(cosβ) = (Rsinqcosc)/(cosβ) ,
y=arctg (OD)/(OO1) =arctg［ (Rsinqcosc)/(Rcosqcosβ) ]
=arotg[ (cosc)/(cosβ) tgq]
另外u=y-δ;
根据球面三角形正弦定理有：
(sinu)/(sinv) = (sinv)/(sinψ)
太阳方位角：
ψ＝arcsin［ (sinusinv)/(sinu) ］
八、各地白昼和黑夜长短的计算：
计算各地某日白昼和黑夜长短有利用以上太阳高度角φ的公式的计算法，直接用公式计算法和用黄赤经纬仪读取法。
（一）利用太阳高度角φ公式的计算法：
从以上对太阳高度角φ的公式的推导看出，只要使太阳高度角φ的值为O的值即天亮到天黑的白昼长和从天黑至天亮的黑夜长。显然γ＝O时应该φ＝0，天亮到天黑时的γ值应从φ＝0的方程求出，但因解这样的方程不易解出，但可用列表法求出近似值。
（二）用黄赤径纬仪查出昼夜长短
此法已在前面一、二部分中述及，请翻阅。
（三）直接计算法
用此法可不用黄赤径纬仪，用计算法的有关公式和参数算出需要的昼夜长短值。
图9是图4的简化图，图10为图9N′S′向地理纬圈oe的截面图。
图9、图10中有：
oo′=Rsinα
o′o〃=oo′tgδ=Rsinαtgδ
R〃=Rcosα
AO〃=［ o′o〃+R2-2R′ o′o〃cos(180°-yo)］ 1/2
=R[sin2αtg2δ+cos2α-2sinαtgδcosαcosyo］ 1/2
β=arosin［ (sin(180°-Yo))/(AON) R]
=arcsin[sinYocosα/(sin2αtg2δ+cos2α+
2sinαtgδcosαcosYo) 1/2 ]
o′c= o′o″sinβ′=Rsinαtgδsinβ′
按图10白昼时角为：
r=2arccos ( cc)/(R′) =2arccos[ (Rsinαtgδsinβ′)/(Rcosα) ］
＝2arccos［tgαtgδsinβ′］
δ=23°27′
黑夜时角为：
μ=360°-r
=360°-2arccos［tgαtgδsinβ′］
知道白昼角γ和黑夜角μ后，计算白昼和黑夜的小时数T2和TY应是：
TZ= 24/360 r= 1/15 r（小时);
Ty= 24/360 μ= 1/15 μ（小时）
上面的r2和TY即是该地太阳露出和落入地平线的时间间隔，即昼夜长短。用以上三法得到白昼和黑夜不须查阅天文年历，尤其查取黄赤径纬仪法更为方便简单。实际上因为大气对光线的折射作用以及太阳比地球直径大109倍，算出的γ角对应的白昼比实际为短，黑夜角μ要比实际为长。日落日出时太阳光受折射影响最大，为35′，全天白昼长γ应增加1°10‘，约合4.667分钟时间。太阳比地球半径大的影响约使全天白昼长32′，约合2.133分钟时间，因此，应在按上式算出的白昼时间T2多加6.8分钟，黑夜时间TY减少6.8分钟时间。
九、太阳日照能量、月照能量和年照能量的计算
知道太阳高度角φ的值，计算太阳光射到某地单位面积上的理论幅射功率的公式是：
P＝Sosinφ
上式中太阳常数是：
sθ=1.94卡／平方厘米·分＝1.35瓩／平方米
1、每平方米日照能量的计算：
其中γ为一天中距天亮时的时角值，是太阳高度角φ的函数;γ1为天亮至天黑的白昼时角值。
2、每平方米的月照能量计算：
其中y-为某月从月头第一天起到该月某日的天数，取整数。
ya-为某月整月的天数，取整数。取30、31、28天。
3、每平方米年照能量的计算：
其中t-为一年中从秋分起到当年或次年某日连续的天数，取整数。
T-为全年总天数，取365天。
以上方法计算的日、月、年照能量为理论值。因天阴、雨雪、多云等特殊天气情况例外，所算结果仅作参考。
十、几点说明：
以上太阳高度角、方位角、昼夜长短单位面积的日、月、年照能量的计算公式的推导是以天文理论知识及立体几何、球面三角、微机分等数学知识为基础和根据，在理论上是可靠的，逻辑上是严密的。只是γ0值的计算是用近似球面大园所构成的球面三角形计算的。结果存在误差，但如以前面介绍的我设计的黄赤经纬仪查取γ0值是可满足需要精度的。
本文中所介绍的黄赤经纬仪除可查取不同纬度不同时间的昼夜长短外，主要作为本文所介绍算法中的β值和γ0值关系的查取工具。
以上算法和公式用FORTRAN77语言编写和计算机程序（见后）可以较容易地计算世界各地（纬度小于66.5度地方）任何时间的以上诸参数。除用FORTRAN77语言编写程序外，还可用其它语言编写。如需同其它参数一道计算，可将以上参数计算用子程序嵌入其它程序或程序包。
以上方法计算出的诸参数均假定太阳光在真空中传播、散射和折光以及地球与太阳半径差所造成的误差为6.8分钟，可在白昼长上加6.8分，在黑夜长上减6.8分钟。
β值的计算均以公历时间为准，不必使用农历。
南半球的计算法同上，只是南北两半球的春分与秋分、冬至与夏至在地球轨道上互换。以北半球的春分位置为南半球的秋分作起算点。
地球绕太阳公转的周期是365，2422天，因而每年秋分时经过地球自转轴垂直于黄道面的平面上的地球上各纬度的地区不是固定不变的。计算时可按以上周期和四年一闰，一百年少一闰，四百年多一闰的规律推算β值。如精度不需太高，同一纬度上各地某时的β值可取同一数值。如需精确计算，最好以格林威治的本初子午线为基准。
本文所述算法、公式及程序仅适合于地理纬度小于66.5度地区。文中所说的世界各地是指纬度小于66.6度的地方。在接近南北级纬度大于66.5度的地方，白昼和黑夜均大于24小时，甚至各等于半年时间，太阳高度角接近0度。
以上算法计算的太阳诸参数可作为有关太阳的一部分，虽可能已有数据资料，但是利用本文的算法可随时按地图上某地的纬度值和日历计算出任何时间的以上参数，而不需查阅天文年历，对于了解地球上各地不同时候以上参数反映的太阳能资源的分布规律以及其它地球物理特性是一种简单有效的方法和工具。可用本算法用计算机一次算出地球上各地不同时候的参数值，编制检索表出版工具书供方便使用。
根据以上算法和公式，我对清水地区以上的太阳参数对不同时间作了随机抽样试算，结果是准确的。证明以上算法和公式是可行可靠的。
用FORTRAN77语言编写的计算以上太阳参数的计算机程序见后页请参考文献。
本说明书参考书目：
1、《数学手册》高等教育出版社，1979年北京;
2、《气象学》陈世训、陈创实编著，农业出版社1981年2月;
3、《天文学》人民教育出版社，1957年11月北京;
4、《程序设计语言FORTRAN77》高等教育出版社，邓自立编著，1985年6月北京;
5、《用地图日历计算太阳高度角等参数的FORTRAN77语言程序》待出版。杨玉栋编。