识别柔性桥梁结构动力参数的惟输出小波基分析方法
技术领域
本发明属于结构振动测试领域，涉及到结构动力参数的识别，针对柔性桥梁结构动力测试中的关键问题，提出采用惟输出小波基分析来识别结构动力参数的方法。
背景技术
柔性桥梁结构在脉动风、地脉动、运行的车辆等动力荷载作用下振动效应明显，对其进行动力参数的识别对于结构的动力响应分析、振动控制、运营监测和性能评估都有着重要的意义。传统地，通常采用傅立叶变换来识别结构模态参数。通过将原始信号和不同频率的简谐波进行卷积，可以将采集到的时域信号转化到频域内，从而揭示信号中的频率成分。然而，傅立叶变换仅适用于稳态信号的分析。对于非稳态或瞬时信号，傅立叶变换无法捕捉信号的时频特性。这是由于傅立叶变换将测量的数据串投影到稳态的正弦波函数上，而正弦波函数无限振荡而不衰减，因而在信号转换期间信号的时域局部特性就被平均掉了。为了弥补这一缺陷，近来的研究者们将注意力集中在了具有时频分析功能的信号分析技术上。基于小波变换的信号处理技术能提供多尺度的时域和频域解析度，适用于对随机信号的分析。Staszewski[1]提出了运用小波变换方法从多自由度系统的自由衰减信号中估计系统阻尼比的方法。Ruzzene等人[2]运用小波变换方法估计多自由度系统的自振频率并通过对实测加速度响应信号的处理验证了方法的准确性。Roberston等人[3]提出了一套小波基解卷积技术并将其用于从结构强迫振动信号中估计出脉冲响应信号。Piomo等人[4]发展了运用小波变换方法估计模态振型的方法并用模态质量指标评价了估计的可靠性。Chang等人[5]则通过试验验证了小波基模态参数识别技术的准确性和有效性。虽然上述研究都取得了不同程度的成功，但上述研究中结构所受激励要么可测要么可控。然而对大型柔性桥梁结构而言，结构通常处于不可控制的随机环境激励场中，结构所受的环境激励不但是随机的而且不可测量，这为结构的系统识别提出了严峻的挑战。此外，柔性桥梁结构动力测试和动力参数识别时，还会遇到结构主要模态在低频段密集分布以及结构环境振动测试信号含噪量大等问题，也需要采用合适的方法进行解决。
1.Staszewski，W.J.“Identification of damping in MDOF systems using time-scale decomposition.”Journal ofSound and Vibration，1997；203(2)，283-305.
2.Ruzzene，M.，Fasana，A.，Garibaldi，L.and Piombo，B.“Natural frequencies and dampings identificationusing wavelet transform：application to real data.”Mechanical Systems and Signal Processing，1997；11(2)，207-218.
3.Piombo，B.A.D.，Fasana，A.，Marchesiello，S.and Ruzzene，M.“Modeling and identification of the dynamicresponse ofa supported bridge.”Mechanical Systems andSignal Processing，2000；14(1)，75-89.
4.Kijewski，T.and Kareem，A.“Wavelet transform for system identification in civil engineering.”Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering，2003；18，339-355.
5.Chang，C.C.，Sun，Z.and Li，N.“Identification of structural dynamic properties using wavelet transform.”The First International Conference on Structural Health Monitoring and Intelligent Infrastructure，November13-15，2003，Tokyo，Japan.
发明内容
本发明的目的在于针对现有技术的不足，提出一种识别柔性桥梁结构动力参数的惟输出小波基分析方法，在不可测的随机激励场下，通过只测试和分析结构响应信号识别出结构的频率、阻尼比和振型等模态参数，为柔性桥梁结构的动力参数识别提供一条可行的途径。
为达到以上目的，本发明所采用的解决方案是：
一种识别柔性桥梁结构动力参数的惟输出小波基分析方法，从结构随机环境振动含噪响应中基于惟输出量测及自相关响应估计并采用渐近小波分析方法识别出柔性桥梁结构的模态参数和物理参数。
进一步，其包括以下步骤：
1)从柔性桥梁结构上利用现有结构振动测试技术量测出结构的随机环境振动响应信号；
2)选取结构上振动响应比较显著的某信号测量点为参考点，将测量信号和参考点信号进行相关响应估计；
3)将相关响应信号逐点进行小波分析，模态解耦；
4)利用小波量图脊线处的小波系数进行模态参数的识别。
其在已知随机激励的功率谱强度为S0的情况下，对结构的物理参数进行计算。
所述相关响应估计包括结构自相关及互相关响应估计，采用多样本平均的方法；或者在结构随机振动响应信号满足遍历性的假设下，采用单样本沿时间轴平均的方法。
所述测量信号相关响应估计后，进行延拓处理，其根据小波变换的时域解析度及时频窗的宽度确定相关响应负延拓长度。
其还包括分析小波变换的频域解析度，并据此给出柔性桥梁结构低频段模态密集分布时为了实现模态的完全解耦，小波母函数中心频率设置的公式。
相关响应估计
假设一n自由度系统受到一零均值高斯白噪声激励f的作用，系统的运动方程可表示为
MZ··+CZ·+KZ=Df---(1)]]>
式中M，C，K分别为结构质量、阻尼及刚度矩阵；D为激振点位置向量；Z＝[z1 z2…zn]T为位移响应向量，![]()
则分别表示结构加速度及速度响应向量。假设系统为线性比例阻尼系统，其位移响应向量根据模态叠加原理可表示为
Z=Σj=1nΦjqj---(2)]]>
式中Φj和qj分别为第j阶模态的振型向量和广义模态坐标。解耦后第j阶模态的运动方程可表示为
q··j+2ζjωjq·j+ωj2qj=djmjf---(3)]]>
式中ωj，ζj和mj分别为为j阶自振频率、阻尼比和模态质量，![]()
qj分别表示第j阶广义模态坐标的加速度、速度响应及位移响应；j阶模态参与系数dj=ΦjTD.]]>如果激振力f的功率谱强度为S0，qj的稳态自相关函数响应Rj可表示为
Rj(t)=Bje-ζjωjtcos(ω‾jt-θj)---(4)]]>
Bj=πdj2S02mj2ζjωj31-ζj2,]]>ω‾j=ωj1-ζj2,]]>θj=tan-1ζj1-ζj2---(5a,b,c)]]>
式中ωj为j阶阻尼频率；θj为j阶相位角。得到了结构广义模态坐标处的稳态自相关函数响应，系统第g个与第h个自由度间的稳态互相关响应可近似表示如下
Rgh(t)≅Σj=1nφjgφjhRj(t)---(6)]]>
式中φjg及φjh为结构j阶振型向量的第g及第h个量值。此式忽略了不同模态间的交叉项。这种近似在结构两相邻模态满足如下不等式|ωi-ωj|＞＞max{ζiωi，ζjωj}(i≠j)时成立。
对于结构相关响应Rgh的估计，可采用多样本平均的方法，在结构随机振动响应信号满足遍历性的假设下也可采用单样本沿时间轴平均的方法。
渐近小波分析
小波变换就是将一时域可积信号x(t)转换到时间-尺度平面(a，b)上的一种线性变换方法。这一过程可表示如下
Wx(a,b)=1a∫-∞∞x(t)w*(b-ta)dt---(7)]]>
式中，*表示复共轭；a是控制分析窗伸展的尺度参数；b是定位小波函数的平移参数；而母小波函数w(t)是一快速衰减，均值为零的波动函数。
一般而言，任意实数域里的信号x(t)能唯一地被表示为如下规范型，
![]()
式中，幅值和相位函数对(A(t)，![]()
)被称为x(t)的规范对。渐近信号指的就是幅值的相对变化速度远小于相位变化速度的那一类信号。它们满足
![]()
对渐近信号来说，式(7)中的小波变换系数Wx(a，b)能根据稳态相位法由标量积近似求得。这就是渐近小波分析。在小阻尼情况下，由于ωj＞＞ζjωj，故Rj满足渐近信号的条件。
虽然母小波函数有很多种，但并非都能用于渐近小波分析。在本方法的研究工作中，使用的是如下所示的Morlet母小波函数
w(t)=eiω0te-t2/2---(10)]]>
式中，ω0是母小波函数的中心频率。尺度参数和小波所处的圆频率有如下的一一对应关系a＝ωo/ω。对于Morlet小波来说，由渐近小波分析理论，信号x(t)的小波变换系数可近似为
![]()
其中，小波系数的模数、相位值为
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小波基系统识别
对式(6)两侧进行小波变换可得
WRgh(a,t)=Σj=1nφjgφjhWRj(a,t)---(13)]]>
式中第j阶自相关响应的小波变换系数![]()
可通过比较式(4)和式(8)并代入式(11)得到
WRj(a,t)=aBje-ζjωjte-(aω‾j-ωo)2ei(ω‾jt-θj)---(14)]]>
将式(14)代入式(13)并两边取幅值可得
|WRgh(a,t)|=Σj=1n|φjg||φjh|aBje-ζjωjte-(aω‾j-ωo)2---(15)]]>
由上式可知，对于一具有n阶模态的结构系统来说，其相关响应的小波系数幅值在任意时刻沿尺度轴都会有n个局部峰值。这些局部峰值尺度或称为脊线尺度对于时不变系统来说为常数。由式(15)可知，系统第j阶阻尼频率和第j阶脊线尺度存在如下关系
ω‾j=ωoaj,]]>j＝1，2，...，n (16)
这样，当系统阻尼频率稀疏分布时，式(14)在j阶脊线尺度处的小波系数可近似表示为
WRgh(aj,t)≅φjgφjhajBje-ζjωjtei(ω‾jt-θj)---(17)]]>
基于此式，可得到如下两式
-ζjωj≅ddtln|WRgh(aj,t)|---(18)]]>
ω‾j=ωj1-ζj2≅ddt(∠WRgh(aj,t))---(19)]]>
利用这两个等式即可得到结构第j阶自振频率ωj和阻尼比ζj。原则上，仅需估计一个测点处的结构自相关响应就可同时估计结构的n阶自振频率及阻尼比。对于振型向量的估计，则需要先同时估计参考测点处的自相关响应及其他测点与参考测点间的互相关响应。由式(17)不难看出，测点h和测点g处的结构第j阶模态振型比可由下式得到：
φjhφjg≅WRgh(aj,t)WRgg(aj,t)---(20)]]>
如果随机激励的功率谱强度S0也是已知的话，还可以按照下面的方法估计结构的质量、刚度和阻尼矩阵。首先将式(5a)代入式(17)并令t＝0，结构的第j阶模态质量可由下式确定：
mj=aj|φjg||φjh|πdj2S02ζjωj3|WRgh(aj,0)|1-ζj2---(21)]]>
则第j阶广义模态刚度系数kj和模态阻尼cj可由下式确定：
kj=mjωj2;]]>cj＝2ζjmjωj (22a，b)
得到了结构广义模态物理参数及模态振型向量后，可容易地得到结构的刚度、质量及阻尼矩阵。由于结构稳态速度和加速度相关响应分别为结构稳态位移相关响应的二阶和四阶导数，对于速度和加速度量测值来说，进行类似分析也可获得结构模态参数和物理参数。
小波频域解析度：模态分离
设母小波函数ψ(t)及其傅立叶变换对ψ(ω)满足窗口函数的要求，记其时频窗中心为(t*，ω*)，宽度分别为Δtψ和Δωψ。对任意参数对(a，b)，小波核函数ψa,b(t)=1|a|ψ(t-ba)]]>对应的时频窗分别是
[b+at*-|a|Δtψ，b+at*+|a|Δtψ]，[ω*/a-Δωψ/|a|，ω*/a+Δωψ/|a|] (23，24)
也就是说，连续小波变换的时频窗是时频面上一个可变矩形，其时频窗宽度分别为2|a|Δtψ、2Δωψ/|a|，时频窗口的形状随着尺度参数a而变化。这种时频窗的时频解析度任意可调的特性是小波变换区别于短时傅立叶变换等其它时频分析工具的独特特性。对模态识别来说，对应于不同尺度值的小波变换系数包含了不同频率的模态信息，通过小波变换，结构振动信号中的各阶模态信息被分离了。这种分离将原本的一个多阶模态识别问题转化为多个单阶模态识别问题，大大降低了识别问题的难度。虽然小波变换具有很强的模态分离功能，但它的分离能力很大程度上取决于它的频域解析度。频率解析度越高，分离能力就越强。对具有密集模态的系统来说，如何设置合理的频率解析度来分离这些密集模态，尤其是当这些模态中的一个或几个能量很低时，如何进行分离十分关键。
以如下Morlet母小波函数为例，
g(t)=eiω0te-t2/2---(25)]]>
本质上，它是一个高斯窗三角函数，其三角函数的中心频率为ω0，时频窗宽度分别为Δtψ=12,]]>Δωψ=12,]]>相应的傅立叶变换为：
G(aω)=12πe-12(aω-ω0)2---(26)]]>
由上述频域表达式可知，对任意选定的尺度参数a，当上式取最大值时，有下式成立：a＝ω0/ω，对应的小波卷积核函数的时频解析度为Δωa＝Δωψ/a；Δta＝aΔtψ。因此，中心频率为ω处的小波频率可分辨值Δωa为
Δωa=ω2ω0---(27)]]>
从上式可以看出，母小波函数的中心频率ω0越大，其频率可分辨值越小，频率解析度越高。要保证两个频率为ω1和ω2的模态的分离，中心频率ω0的最小值要满足下式：
ω0=(2α)ω1,22Δω1,2---(28)]]>
式中Δω1，2＝|ω1-ω2|，ω1，2＝(ω1+ω2)/2，参数α表示由Morlet小波容许的相邻两个Gaussian分析窗的重叠程度。对大多数线性系统而言，可取α＝2。
小波时域解析度：边界效应的处理
小波分析的时域解析度与小波变换的边界效应问题直接相关。根据上文的推导可知，中心频率为ω处的小波变换时频窗，其时域窗半宽度为
Δta=ω2ω---(29)]]>
当此时频窗中心被放置在时程信号的时间零点上并沿时间轴正向在[0，Δta]范围内移动时，时频窗左半窗覆盖区域将部分无可供卷积的数据，从而造成边界处小波变换的扭曲。小波变换的边界效应对信号处理非常不利，为了解决这一问题，产生了一种名为延拓的技术。该技术将所研究信号的开始和末端部分用其他数据复制延长，使研究所关心的信号位于延长后的信号中间，那么在小波变换过程中，只有被延长的那部分信号受到边界效应的影响，从而达到保存原始信号所有信息的目的。进行延拓处理时，所延长的信号须满足连续性和对称性的要求。
本发明在相关响应估计时，采用了如下公式处理小波变换中存在的边界效应问题，
Rgh(iΔτ)=limN→∞1NΣk=1Nzg(kΔτ)zh[(k+i+1)Δτ-βΔta]]]>(i＝0，1，2，...，(T+2βΔta)/Δτ)(30)
式中βΔta为边界延拓长度；Δta为当所分析信号达到最低频率时，将产生的最大时域半宽度，它表示边界效应影响的最大范围；β根据研究所要达到的精确程度选择，一般情况下β取4即可。对相关响应进行负延拓时，可证明所延长的信号满足连续性和对称性的要求，证实了负延拓后的结构相关响应不会在边界处引入奇异点也不会引入新的频率成分，是处理小波变换边界效应问题的可行方法。
由于采用了上述方案，本发明具有以下特点：基于小波分析系统性地解决了柔性桥梁结构动力测试和模态识别中的结构所处随机环境激励场不可测、结构主要模态在低频段密集分布、结构环境振动测试信号含噪量大等关键问题。其提供了自适应的时频模态解耦能力识别结构的密集模态，同时避免了传统模态识别技术对激励量测的限制。
附图说明
图1为本发明识别柔性桥梁结构动力参数的流程图。
具体实施方式
以下结合附图所示实施例对本发明作进一步的说明。
假设一柔性桥梁结构在零均值高斯白噪声随机激励下振动，测得结构任意两点g、h处的响应为zg、zh，则结构两测点处的互相关响应Rgh可采用多样本平均的方法进行估计，在结构随机振动响应信号满足遍历性的假设下也可采用如下单样本沿时间轴平均的方法进行估计
Rgh(iΔτ)=limN→∞1NΣk=1Nzg(kΔτ)zh[(k+i+1)Δτ-βΔta]]]>(i＝0，1，2，...，(T+2βΔta)/Δτ)(31)
式中Δτ为采样时间增量，βΔta为边界延拓长度；Δta为当所分析信号达到最低频率时，将产生的最大时域半宽度，它表示边界效应影响的最大范围；β根据研究所要达到的精确程度选择，一般情况下β取4即可。估计过程中，需采用足够长的测试信号以保证结构相关响应估计的收敛。对估计到的结构相关响应信号进行如下小波变换，得到相应的小波量图
WRgh(a,b)=1a∫-∞∞Rgh(t)ψ*a,b(t)dt---(32)]]>
式中，*表示复共轭；a是控制分析窗伸展的尺度参数；b是定位小波函数的平移参数；而母小波函数ψ(t)是一快速衰减，均值为零的波动函数。对于一具有n阶模态的结构系统来说，其相关响应的小波量图在任意时刻沿尺度轴都会有n个局部峰值，这些局部峰值尺度或称为脊线尺度对于时不变系统来说为常数而且系统第j阶阻尼频率和第j阶脊线尺度存在如下关系
ω‾j=ωoaj,]]>(j＝1，2，...，n) (33)
通过提取脊线尺度对应的小波系数的幅值![]()
和相位![]()
信息，可以按照下式估计出结构的第j阶自振频率ωj和阻尼比ζj：
ωj={ddt[∠WRgh(aj,b)]}2+{ddt[ln|WRgh(aj,b)|]}2,]]>ξj=-ddt[ln|WRgh(aj,b)|]ωj---(34,35)]]>
理论上，仅需估计一个测点处的结构自相关响应就可同时估计结构的n阶自振频率及阻尼比。对于振型向量的估计，则需要先同时估计参考测点g处的自相关响应及其他任一测点h与参考测点间的互相关响应，结构第j阶模态振型比φjh/φjg可由下式得到：
φjhφjg≅WRgh(aj,t)WRgg(aj,t)---(36)]]>
如果随机激励的功率谱强度S0也是已知的话，还可以按照式(21)、(22)估计结构的模态质量、刚度和阻尼矩阵。得到了结构广义模态物理参数及模态振型向量后，可容易地得到结构的刚度、质量及阻尼矩阵。
上述的对实施例的描述是为便于该技术领域的普通技术人员能理解和应用本发明。熟悉本领域技术的人员显然可以容易地对这些实施例做出各种修改，并把在此说明的一般原理应用到其他实施例中而不必经过创造性的劳动。因此，本发明不限于这里的实施例，本领域技术人员根据本发明的揭示，对于本发明做出的改进和修改都应该在本发明的保护范围之内。