本发明“数学训练棋”是一种学具。是开发少年儿童智力的文体用品。 目前美国有一种游戏卡片“数学二十四”，是用四个10以内的自然数，要求游戏者列出一个算式，对四个数经过三次四则运算，把答案算成24。其实，它源于中国的“24点”游戏，因为没有固定的解法，不能用计算器求解，能促使学生练习四则运算的基本功，也有利于开拓思维，好处较大。但是，“24点”游戏往往出现算不成24的问题，可算率不高。（共715道题中有149道题不可能算成24，可算率低于80%）“数学二十四”则把四个数固定在一张卡片上，变成了一卡一题，不仅失去了灵活性，而且卡片张数要很多，设计上过于简单，趣味性也不够，玩者难以持久，更不能系统提高学生的数学素质。
本发明的目的，是要提供一种趣味性强、知识性丰富、能推动学生学习数学、能系统提高数学素质、可以作为学具使用的一套游戏。
本发明的目的是这样实现的：用经过筛选的一些数，刻在棋子上，每只棋代表一个数。这些数取自不同的数群，随着学生程度提高，逐步扩大数集，采用多种游戏方法，适用于不同程度和不同要求，在潜移默化中，培养和提高学生的运算能力和逻辑思维能力。
数学训练棋由六十四只棋和一个九宫盘构成。棋子式样见附图1，九宫盘刚好放3×3只棋，见附图2。棋子和盘可用塑、木或纸制造，非常简单。
六十四只棋的数字分别是：0，0，0，0，1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，6，6，6，6，5，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，24，30，36，40，45，48，60，1/2，1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/6，5/6，-1，-2，-3，-4，，2,3,8,2/2,3/3]]>。
这些数的构造由以下几方面组成：
第一组：20以内的自然数及0。这是整数加法群中0至20的元素。其中0，1，2，3，4，6各四只，其余各一只，共三十九只棋。
第二组：20以内乘法群｛2m·3n·5pm，n，p∈非负整数｝中的元素及0。即在第一组棋中，去掉7、11、13、14、17、19、六只棋。
第三组：60以内乘法群｛2m·3n·5pm，n，p∈非负整数｝中的元素及0。这里取m＝0，1，2，3，4;n＝0，1，2;p＝0，1。即第二组棋添加20以上地七只自然数棋。
第四组：乘法群｛2m·3n·5pm，n，∈Z;p∈非负整数｝中的元素及0。即第三组棋添加八只分数棋。
第五组：乘法群｛（-1）k·2m·3n·5pk，m，n，∈Z;p∈非负整数｝中的元素及0。即第四组棋添加四只负数棋。
第六组：乘法群｛（-1）k·2m·3n·5pm，n，∈Q;p∈非负整数｝中的元素及0。即第五组棋添加六只负数棋。
本棋有三类游戏分八种玩法。大体上，第一类游戏侧重观察能力和记忆能力的培养，第二类游戏侧重想象能力和判断能力的丰富，第三类游戏侧重思考能力和创造能力的开拓。以下分类说明：
第一类 编组游戏
本类游戏中，一律采用每三棋一组的编组方法。一组棋是指放在一起的三只棋，一组等式是指一组棋上的三个数之间能用数学运算算成等式。中学生用加法、乘法、乘方三种运算，小学生二至六年级用加法乘法两种运算，小学一年级用加法一种运算。游戏时，他们可分别用第五、六组棋;第三、四组棋;第一组棋。
玩法一 编三组
由一个学生取出三组等式，将九只棋打乱后，让另一个学生去编好。如第一组棋中2至10九只棋，可编成2+6＝8;3+7＝10;4+5＝9三组等式。第四组棋中1/2，1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/6，5/6，1九只棋可编成1/2+1/2＝1;1/3×3/4＝1/4;2/3+1/6＝5/6三组等式。第五组棋中2，3，3，8，12，16，1/3，3/4，-1九只棋可编成23＝8;16×3/4＝12;3-1＝1/3三组等式。
也可以采取竞赛形式，由一个学生命题后，几个学生同时编组，比赛谁编得既快又准。谁胜利，下一轮由他命题。
游戏二 争上游
一般为两至三个人玩，具体步骤是：
1.每人取八只棋，多余的棋排在中间。
2.任推一发棋人，由他取一棋后首次发棋。
3.发棋发一只，也可发一组等式（三只），但不许发两只、四只等。
4.发一组等式后，保持发棋权，继续发棋。
5.发一只后，要轮到他人夺发棋权。如无人夺取，发棋人在中间余棋中补进一棋后，再次发棋。如有人跟着所发的一只棋，接发两只棋，与之合成一组等式，他就夺得发棋权。下一轮由他发棋。如发棋人发9，有人跟着接发4与5，合成4+5＝9一组等式，他就夺得发棋权。
发棋发一只和发一组等式，实际上是一回事。后者可看作先发一只，再接发两只，合成一组等式，自我夺取发棋权，继续发棋。
夺发棋权不是发棋而是接发棋。接发棋只能接发两只，不能接发一只或三只。
6.这样进行下去，直到有人把手中棋发完为止。发完棋者为上游，取胜。
第二类 九宫游戏
古代的九宫图，不但有趣，而且很有科学价值。
玩法三 摆陈图
用1至9九只棋，摆在九宫盘内，成附图3。图中，三个行、三个列、两条对角线上都有三个数，每三个数的和都相等。把附图3四个角上的棋，两对角互换，成附图4。附图4中，每三个数出现八个差都相等。（指6+8-9＝3+7-5＝……）。用1，2，3，4，6，9，12，18，36九只棋可摆成附图5。图中，每三个数的八个积都相等。经过两对角互换后，成附图6。附图6中，每三个数出现八个商都相等。
把以上九宫阵的居中一只棋取出，剩下的八只棋，构成一个四边阵。显然，它们四条边上每三个数的相应的和、差、积、商仍保持相等。
有趣的是，以上九宫阵中，随便取出一只棋后，都能使剩下的八只棋，摆成相应的四边阵。如把附图3的第二行和第三行对换，1就移到居中位置，取出1后，使剩下的八只棋摆成四边和阵（附图8）。如果要取出2，那么先把附图3的第一行和第二行对换，再把第二列与第三列对换，使2移到居中位置，就可以取出2后，使剩下的八只棋摆成四边和阵。余类推。
玩法四 移九宫
九宫内放八只棋，留一个空格，可利用空格把棋作上、下、左、右平移，从而改变图形的排列。附图3取出一只棋后，摆成四边和阵，也可以利用空格移动来实现。如取出1，成附图7，从附图7出发，经移动：835768753786587385675成为四边和阵（附图8）。这种移九宫问题，往往找到了一种移法可以推出另外的移法。如利用左右对称关系，从以上移法可推出另一种移法：675386357368563765835。又因为以上移动变换仅是两个对换（3与8对换，7与6对换），所以循着相反的移动路线，还可以得到以上两种移法的逆变换移法。
一般来说，移九宫要受到排列奇偶性的限制，但只要八只棋中，有某两只相同，就不再受到限制。如附图9可以移成附图10。移法是：51360504105005632140。或者04213650050240506325。
这种游戏，移动步数越少越好。但没有固定的解法，甚至找到了最佳移法，也无法证明。正因为如此，孩子与成人在游戏中处于平等地位，他们在实践中，会不断改进移法，从中得益。
第三类 黑箱游戏
给出n个数，要求经过n-1次四则运算，把答案算成某一个指定的数。这类问题象猜谜，通常叫做“黑箱问题”。前面讲的“数学二十四”也属于“黑箱问题”。
玩法五 算十二
取出第一组棋中2至9共二十只棋，在这二十只棋中，随便取四只，要求对取到的四个数，经过三次四则运算，把答案算成12。如取四只棋为4，5，6，7;可由4×6÷（7-5）;6×（4+5-7）;或6-5+7+4等途径算成12。
本玩法可算率为100%，全部可只用整数运算解决。
玩法六 算六十（初级）
在第二组棋中，取出1至20每个不同的数各一只，共十四只棋。在这十四只棋中，随便取五只，要求对取到的五个数，经过四次四则运算，把答案算成60。如取五只棋为3，5，7，9，12;可由3×5×（7+9-12）;5×12×（3+7-9）;（9-3）×（12+5-7）;5×9+3×（12-7）;7×9-（3×5-12）;7×12-（3×5+9）;12×（9-3）-（5+7）;（3×5-7）×9-12;12×（9- (5+7)/3 ）;9×（5+ (12-7)/3 ）;7×（9- 3/(12-5) ）;或12÷（ (7+9)/5 -3）等途径算成60。
本玩法可算率也为100%。其中，99%以上可只用整数运算解决。
玩法七 算六十（高级）
在第三组棋中，取出1至48每个不同的数各一只，共二十只棋。在这二十只棋中，随便取五只，用同样方法算成60。如取五只棋为20，24，30，36，40;可由30× (24+36+20)/40 ;（40+20）× 36/24 -30;24× 40/(30-20) -36;40× (24+36)/30 -20;（24+36-30）× 40/20 ;40× (36-30)/(24-20) ;等途径经算成60。
本玩法可算率在99.9%以上。解题时，经常要用到小数和分数运算。
玩法八 算其他
算十二是对五只棋用三次运算建成等式，其中有一只棋为12。算六十是对六只棋用四次运算建成等式，其中有一只棋为60。反过来，利用逆运算关系，用含有12在内的四只棋或含有60在内的五只棋，往往能算出很多数。（特别是较小的自然数）如用12，2，3，4四只棋，可以算出等于1，2，3，……直到32。又如用60，2，3，4，24五只棋，可以算出等于1，2，3，……直到120。
下面举几个实施例进一步说明本棋的用法：
实施例1：两个小学一年级学生，用第一组棋玩争上游，一个手中八只棋为3，4，5，6，7，8，9，10;另一个发棋发发一只2。问应如何夺取发棋权？如何争取上游？
因为2+6＝8;3+7＝10;4+5＝9。所以用6和8夺取棋权，然后连续发两组等式，可争得上游。
实施例2：两个小学生用第四组棋玩争上游，玩到中间，一个手中剩3，4，4，8，12五只棋。问对方发什么棋时，他可以争得上游？
五只棋可作以下三种编组的设想：
3，4，12;4，8。（可与1/2、2、4、12或32合成两组等式）
4，4，8;3，12。（可与1/4、4、9、15或36合成两组等式）
4，8，12;3，4。（可与3/4、1、7、或12合成两组等式）
对方发棋发1/4、3/4、1/2、1、2、4、7、9、12、15、32或36时，可争得上游。
实施例3：中学生用第六组棋玩编组游戏时，两只棋，添上一只什么棋后，可成为一组等式？
因为8-2=2;8×2=4;8÷2=2;2÷8=1/2;(2)3]]>4、2、1/2、3、1/3中任一棋后，都可以成为一组等式。
实施例4：用八只20以内的自然数棋摆成一个四边商阵。
从附图5出发，把第二行与第三行对换，使36移到居中位置，取出36后成四边积阵（附图11）。再两对角互换得所求的四边商阵。（附图12）
实施例5：用移九宫的方法，把附图13移成附图14。
先把汉字编号，本、商、场、保、护、消、费、者分别编为1，2，3，4，5，6，7，8。使目标图形成为按序顺排，便于识别。于是问题归结为把附图15移成附图16。
数字的移法是：635135241256。对应的汉字移法是：消场护本场护商保本商护消。
实施例6：用同样方法，把附图17移成附图18。
先把汉字编号，使问题归结为把附图19移成附图20，得移法：。再对应为汉字移法;好向天好上学习好向上学天好学好向上天学。
实施例7：用60，4，4，6，6五只棋;算出这副棋中的每一个数。算出有理数棋时，限用四则运算。算出无理数棋时，允许用包括乘方、开方、对数在内的七种运算。
在计算不同的数时，有时可直接算出，有时利用逆运算关系较为方便。如要算出1时，可由60＝6×（6-4）×（4+1），得60÷6÷（6-4）-4＝1。其余算式如下：
（60-6×6）÷4-4＝2; 60÷4÷（4+6÷6）＝3;
60÷6-6+4-4＝4; 60÷4÷（4-6÷6）＝5;
60÷（6+6）+4÷4＝6; 60÷4-6-6+4＝7;
60÷（4+6÷6）-4＝8; （60-6）÷6+4-4＝9;
（60+6）÷6-4÷4＝10; 60÷4-4+6-6＝11;
（60+6）÷6+4÷4＝12; （60-4）÷4-6÷6＝13;
（60-4）÷4+6-6＝14; （60-4）÷4+6÷6＝15;
（60+4）÷4+6-6＝16; （60+4）÷4+6÷6＝17;
60÷（6-4÷4）+6＝18; （60+6+6+4）÷4＝19;
60÷6×（4+4-6）＝20; 60÷（4+4-6）-6＝24;
60÷[4×（6-4）-6]＝30; 60÷（4+4-6）+6＝36;
60-6-6-4-4＝40; 60-4×4+6÷6＝45;
60-6-6+4-4＝48; 60+6-6+4-4＝60;
60÷6+6-4×4＝0; （6-4÷4）÷（60÷6）＝1/2;
（6+4）×（6-4）÷60＝1/3; 60÷（4×4×6-6）＝2/3;
（4×4-6÷6）÷60＝1/4; （60÷4-6-6）÷4＝3/4;
（4+4）÷（60-6-6）＝1/6; 60÷4÷（4×6-6）＝5/6;
60÷4-（6+6+4）＝-1; 4×（6-4）-60÷6＝-2;
60÷4+6-4÷6＝-3; 60÷6-6-4-4＝-4;
(60÷6+6)÷44=2;60÷(6+6)+44=3;]]>
4÷(60÷6+6)4=2/2;]]>
训练棋作为学具使用，不同于做练习。在游戏中，学生是游戏的主人，也就成为数学运算的主人。能确立“我要算”而不是“要他算”的观念。每成功一次，都是从“未得到得”、从“不能到能”的实践过程和收获过程。如“算六十”往往要几经周折，才能找到有效途径;“移九宫”必须综观全局，在反复比较得失中，觅得更短、更捷之路;“争上游”也要在不断选择中，随时权衡轻重，做到取舍合理。这些训练过程，都极有得利于提高游戏者的数学素质。