悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计方法.pdf

本发明涉及悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计方法，属于车辆悬架技术领域，先前国内、外一直未能给出可靠的解析设计方法。本发明其特征在于：以内圆套筒厚度为待设计参量，根据稳定杆系统的侧倾角刚度设计要求值，车辆的轮距，稳定杆和橡胶衬套的结构及材料特性参数，建立了橡胶衬套的内圆套筒厚度的优化设计数学模型，利用Matlab程序便可得到内圆套筒厚度进行优化设计值。利用该方法可得到准确、可靠的内圆套筒厚度的优化设计值，提高稳定杆的设计水平，即仅通过对内圆套筒厚度厚度的优化设计，便可使稳定杆系统达到侧倾角刚度的设计要求；同时，利用该方法可降低设计及试验费用，提高车辆行驶平顺性和操纵安全性。

1.  悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计方法，其具体步骤如下：
(1)计算稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w：
根据横向稳定杆的总长度l_c，臂长l₁，两个橡胶衬套之间的安装距离l₀过渡圆弧半径R，过渡圆弧的圆心角θ，材料弹性模型E和泊松比μ，对稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w进行计算，即：
Gw=G1+G2+G3+G4+G5+G6πE;]]>
式中，G1=64l133,G2=-64[(l1cosθ+Rsinθ)3+18(l0-lc)3]3,]]>
G3=64R[12l12(θ+sin2θ2)+12R2(θ-sin2θ2)+l1Rsin2θ],G4=8l0(l0-lc)23,]]>
G5=64R(μ+1)[R2(3θ2+sin2θ4-2sinθ)+12l12(θ-sin2θ2)+4l1Rsin4θ2],]]>
G₆＝-32(μ+1)[R(cosθ-1)-l₁sinθ]²[2l₁cosθ-l_cf+2R_fsinθ_f]；
(2)建立橡胶衬套径向线刚度K_x的表达式：
根据稳定杆直径d，橡胶衬套的轴向长度L，弹性模量E_x，泊松比μ_x，外圆半径r_b，内圆半径r_a＝d/2+δ，其中，δ即为橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计参变量，以δ作为待设计参变量，建立橡胶衬套径向线刚度K_x的计算表达式，即
Kx(δ)=1u(δ)+y(δ);]]>
其中，K_x(δ)是关于内圆套筒厚度δ的表达式；
u(δ)=(1+μx)2πExL[lnrbd/2+δ-rb2-(d/2+δ)2(d/2+δ)2+rb2],]]>
y(δ)=a1(δ)I(0,αhb)+a2(δ)K(0,αhb)+a3(δ)+(1+μx)5πExL[lnrb+rb2rb2+(d/2+δ)2],]]>
α_hb＝αr_b,α_a＝α(d/2+δ)，
a1(δ)=(1+μx)[K(1,αa)(d/2+δ)((d/2+δ)2+3rb2)-K(1,αhb)rb(3(d/2+δ)2+rb2)]5πExLαhb(d/2+δ)[rb2+(d/2+δ)2][I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
a2(δ)=(μx+1)[I(1,αa)(d/2+δ)((d/2+δ)2+3rb2)-I(1,αhb)rb(3(d/2+δ)2+rb2)]5πExL(d/2+δ)αhb(rb2+(d/2+δ)2)[I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
a3(δ)=-(1+μx)[b1(δ)+b2(δ)+b3(δ)]5πExL(d/2+δ)αhb(rb2+(d/2+δ)2)[I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
b₁(δ)＝(d/2+δ)((d/2+δ)²+3r_b²)[I(1,α_a)K(0,α_a)+K(1,α_a)I(0,α_a)]，
b₂(δ)＝-r_b(r_b²+3(d/2+δ)²)[I(1,α_hb)K(0,α_a)+K(1,α_hb)I(0,α_a)]，
b3(δ)=αrb(d/2+δ)[(d/2+δ)2+(rb2+(d/2+δ)2)ln(d/2+δ)][I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)];]]>
Bessel修正函数：I(0,α_hb)，K(0,α_hb)；I(1,α_hb)，K(1,α_hb)；
                I(1,α_a)，K(1,α_a)；I(0,α_a)，K(0,α_a)；
(3)橡胶衬套的内圆套筒厚度设计数学模型的建立及设计计算：
根据稳定杆所在悬架的轮距B，稳定杆的直径d，总长度l_c，稳定杆系统侧倾角刚度的设计要求值，步骤(1)中计算所得到的稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w，及步骤(2)中所所建立的橡胶衬套径向线刚度表达式K_x(δ)，建立橡胶衬套的内圆套筒厚度δ的设计数学模型，即：

利用Matlab计算程序，求解上述数学模型，便可得到在稳定杆结构及橡胶衬套安装位置不变条件下，满足稳定杆系统侧倾角刚度设计要求的橡胶衬套的内圆厚度δ的设计值。

悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计方法
技术领域
本发明涉及车辆悬架稳定杆，特别是悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计方法。
背景技术
悬架系统的侧倾角刚度不仅受稳定杆的结构、直径大小的影响，同时还受橡胶衬套的长度、内圆半径、外圆半径、材料特性及安装位移等因素的影响，其中，橡胶衬套的内圆半径，是由稳定杆直径及橡胶衬套的内圆套筒厚度所决定的。然而，由于受橡胶衬套径向变形和稳定杆端部垂向位移变形解析计算理论及相互耦合影响等关键问题的制约，在给定稳定杆结构和材料特性参数与橡胶衬套外的半径、轴向长度及安装位置情况，对稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计，目前国内、外一直未能给出可靠的解析设计方法。目前国内、外学者大都是利用仿真分析软件，在给定结构和载荷情况下的横向稳定杆系统变形及刚度进行数值仿真分析，但是，该方法只能对给定结构和载荷情况下的稳定杆系统变形及刚度进行仿真验证，无解析计算式，不能满足稳定杆系统解析设计及现代化CAD设计的要求。
随着车辆行业的快速发展及行驶速度的提高，对悬架稳定杆系统的设计提出了更高的设计要求。如何在给定稳定杆的结构、直径和材料特性，及橡胶衬套的材料特性、外圆半径、和两橡胶衬套安装位置不变的情况下，即在不增加设计及生产成本的前提下，仅通过对橡胶衬套的内圆套筒厚度的优化设计，便可使稳定杆系统达到侧倾角刚度的设计要求，是目前企业迫切需要解决的技术问题。因此，必须建立一种精确、可靠的悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计方法，提高车辆悬架设计水平，在不增加生产成本的前提下，仅通过稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的优化设计，使得稳定杆系统达到侧倾角刚度的设计要求，提高车辆行驶平顺性和操纵安全性。
发明内容
针对上述现有技术中存在的缺陷，本发明所要解决的技术问题是提供一种简便、可靠的车辆悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计方法，其设计流程图如图1所示，稳定杆结构示意图如图2所示。
为解决上述技术问题，本发明所提供的悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计方法，其特征在于采用以下步骤:
(1)计算稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w：
根据横向稳定杆的总长度l_c，臂长l₁，两个橡胶衬套之间的安装距离l₀过渡圆弧半径R，过渡圆弧的圆心角θ，材料弹性模型E和泊松比μ，对稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w进 行计算，即：
Gw=G1+G2+G3+G4+G5+G6πE;]]>
式中，G1=64l133,G2=-64[(l1cosθ+Rsinθ)3+18(l0-lc)3]3,]]>
G3=64R[12l12(θ+sin2θ2)+12R2(θ-sin2θ2)+l1Rsin2θ],G4=8l0(l0-lc)23,]]>
G5=64R(μ+1)[R2(3θ2+sin2θ4-2sinθ)+12l12(θ-sin2θ2)+4l1Rsin4θ2],]]>
G₆＝-32(μ+1)[R(cosθ-1)-l₁sinθ]²[2l₁cosθ-l_cf+2R_fsinθ_f]；
(2)建立橡胶衬套径向线刚度K_x的表达式：
根据稳定杆的直径d，橡胶衬套的轴向长度L，弹性模量E_x，泊松比μ_x，外圆半径r_b，内圆半径r_a＝d/2+δ，其中，δ即为橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计参变量，以δ作为待设计参变量，建立橡胶衬套径向线刚度K_x的表达式，即
Kx(δ)=1u(δ)+y(δ);]]>
其中，K_x(δ)是关于内圆套筒厚度δ的表达式；
u(δ)=(1+μx)2πExL[lnrbd/2+δ-rb2-(d/2+δ)2(d/2+δ)2+rb2],]]>
y(δ)=a1(δ)I(0,αhb)+a2(δ)K(0,αhb)+a3(δ)+(1+μx)5πExL[lnrb+rb2rb2+(d/2+δ)2],]]>
α_hb＝αr_b,α_a＝α(d/2+δ)，
a1(δ)=(1+μx)[K(1,αa)(d/2+δ)((d/2+δ)2+3rb2)-K(1,αhb)rb(3(d/2+δ)2+rb2)]5πExLαhb(d/2+δ)[rb2+(d/2+δ)2][I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
a2(δ)=(μx+1)[I(1,αa)(d/2+δ)((d/2+δ)2+3rb2)-I(1,αhb)rb(3(d/2+δ)2+rb2)]5πExL(d/2+δ)αhb(rb2+(d/2+δ)2)[I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
a3(δ)=-(1+μx)[b1(δ)+b2(δ)+b3(δ)]5πExL(d/2+δ)αhb(rb2+(d/2+δ)2)[I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
b₁(δ)＝(d/2+δ)((d/2+δ)²+3r_b²)[I(1,α_a)K(0,α_a)+K(1,α_a)I(0,α_a)]，
b₂(δ)＝-r_b(r_b²+3(d/2+δ)²)[I(1,α_hb)K(0,α_a)+K(1,α_hb)I(0,α_a)]，
b3(δ)=αrb(d/2+δ)[(d/2+δ)2+(rb2+(d/2+δ)2)ln(d/2+δ)][I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)];]]>
Bessel修正函数：I(0,α_hb)，K(0,α_hb)；I(1,α_hb)，K(1,α_hb)；
                I(1,α_a)，K(1,α_a)；I(0,α_a)，K(0,α_a)；
(3)橡胶衬套的内圆套筒厚度设计数学模型的建立及设计计算：
根据车辆前桥或后桥的轮距B，稳定杆的直径d，总长度l_c，稳定杆系统侧倾角刚度的设计要求值，步骤(1)中计算所得到的稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w，及步骤(2)中所建立的橡胶衬套径向线刚度表达式K_x(δ)，建立橡胶衬套内圆套筒厚度δ的优化设计数学模型，即：

利用Matlab计算程序，求解上述数学模型，便可得到在稳定杆结构及橡胶衬套安装位置不变条件下，满足稳定杆系统侧倾角刚度设计要求的橡胶衬套的内圆厚度δ的设计值。
本发明比现有技术具有的优点：
由于受橡胶衬套径向变形和稳定杆端部垂向位移变形解析计算理论及相互耦合影响等关键问题的制约，目前国内、外对于稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度，一直未能给出可靠的解析设计方法，大都是利用有限元仿真分析软件，对稳定杆系统变形及刚度进行数值仿真分析，但是，该方法只能对给定结构和载荷情况下的稳定杆系统的变形及刚度进行仿真验证，无解析计算式，不能满足稳定杆系统解析设计及现代化CAD设计的要求。
本发明可根据车辆的轮距，稳定杆的结构及材料特性参数，橡胶衬套的外圆半径，轴向长度，及稳定杆系统的侧倾角刚度设计要求值，通过稳定杆端部的变形系数和橡胶衬套的径向刚度表达式，建立了稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的优化设计数学模型，利用Matlab程序便可得到橡胶衬套的内圆套筒厚度的优化设计值。利用该方法可得到准确、可靠的橡胶衬套的内圆套筒厚度的优化设计值，在不增加设计及生产成本的前提下，仅通过对橡胶衬套的内圆套筒厚度的优化设计，便可使稳定杆系统达到侧倾角刚度的设计要求，提高车辆悬架设计水平，提高车辆行驶平顺性和操纵安全性；同时，利用该方法还可降低设计及试验费用，提高企业的经济效益。
为了更好地理解发明下面结合附图做进一步的说明:
图1是悬架稳定杆橡胶衬套安装间距的设计流程图；
图2是横向稳定杆系统的结构示意图；
图3是橡胶衬套的结构示意图；
图4是实施例一的稳定杆系统侧倾角刚度随橡胶衬套安装间距的变化曲线；
图5是实施例三的稳定杆系统侧倾角刚度随橡胶衬套安装间距的变化曲线。
具体实施方案
下面通过实施例对本发明作进一步详细说明。
实施例一：某车辆前轴的轮距B＝1600mm，所采用稳定杆的结构，如图2所示，其中，l_c为稳定杆的总长度，l_c＝800mm；l₁为臂长，l₁＝150mm；l₀为橡胶衬套之间的安装距离，l₀＝400mm；R为过渡圆弧半径，R＝50mm；θ为过渡圆弧圆心角，θ＝60°；稳定杆材料的弹性模量E＝210GPa，泊松比μ＝0.3。橡胶衬套的结构如图3所示，其中，稳定杆1，内钢筒2，橡胶衬套3，外钢筒4，稳定杆1的直径d＝20mm，橡胶衬套3的弹性模量E_x＝7.84MPa，泊松比μ_x＝0.47，轴向长度L＝25mm，外圆半径r_b＝30mm，内圆半径r_a＝(10+δ)mm，其中，δ即为待设计的橡胶衬套内圆套筒壁厚δ的参变量。该车辆前悬架稳定杆系统的侧倾角刚度的设计要求值，在给定稳定杆及橡胶衬套安装位置的情况下，对橡胶衬套内圆套筒壁厚δ进行设计。
本发明实例所提供的悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计方法，其设计流程如图1所示，具体步骤如下：
(1)计算稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w：
根据横向稳定杆的总长度l_c＝800mm，臂长l₁＝150mm，过渡圆弧半径R＝50mm，过渡圆弧的圆心角θ＝60°，弹性模量E＝210GPa，泊松比μ＝0.3，及两个橡胶衬套之间的安装距离l₀＝400mm，对稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w进行计算，即：
Gw=G1+G2+G3+G4+G5+G6πE=1.5935×10-12m5/N;]]>
式中，G1=64l133=0.0720;G2=-64[(l1cosθ+Rsinθ)3+18(l0-lc)3]3=-0.1353,]]>
G3=64R[12l12(θ+sin2θ2)+12R2(θ-sin2θ2)+l1Rsin2θ]=0.0737,]]>
G4=8l0(l0-lc)23=0.1707,]]>
G5=64R(μ+1)[R2(3θ2+sin2θ4-2sinθ)+12l12(θ-sin2θ2)+4l1Rsin4θ2]=0.0371,]]>
G₆＝-32(μ+1)[R(cosθ-1)-l₁sinθ]²[2l₁cosθ-l_cf+2R_fsinθ_f]＝－0.5624；
(2)建立橡胶衬套径向线刚度K_x的表达式：
根据稳定杆直径d＝20mm，橡胶衬套的轴向长度L＝25mm，弹性模量E_x＝7.84Mpa，泊松比μ_x＝0.47，外圆半径r_b，内圆半径r_a＝d/2+δ，其中，δ即为橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计参变量，以δ作为待设计参变量，建立橡胶衬套径向线刚度K_x的计算表达式，即
Kx(δ)=1u(δ)+y(δ);]]>
其中，K_x(δ)是关于内圆套筒厚度δ的表达式；
u(δ)=(1+μx)2πExL[lnrbd/2+δ-rb2-(d/2+δ)2(d/2+δ)2+rb2],]]>
y(δ)=a1(δ)I(0,αhb)+a2(δ)K(0,αhb)+a3(δ)+(1+μx)5πExL[lnrb+rb2rb2+(d/2+δ)2],]]>
α_hb＝αr_b＝9.2952,α_a＝α(d/2+δ)，
a1(δ)=(1+μx)[K(1,αa)(d/2+δ)((d/2+δ)2+3rb2)-K(1,αhb)rb(3(d/2+δ)2+rb2)]5πExLαhb(d/2+δ)[rb2+(d/2+δ)2][I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
a2(δ)=(μx+1)[I(1,αa)(d/2+δ)((d/2+δ)2+3rb2)-I(1,αhb)rb(3(d/2+δ)2+rb2)]5πExL(d/2+δ)αhb(rb2+(d/2+δ)2)[I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
a3(δ)=-(1+μx)[b1(δ)+b2(δ)+b3(δ)]5πExL(d/2+δ)αhb(rb2+(d/2+δ)2)[I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
b₁(δ)＝(d/2+δ)((d/2+δ)²+3r_b²)[I(1,α_a)K(0,α_a)+K(1,α_a)I(0,α_a)]，
b₂(δ)＝-r_b(r_b²+3(d/2+δ)²)[I(1,α_hb)K(0,α_a)+K(1,α_hb)I(0,α_a)]，
b3(δ)=αrb(d/2+δ)[(d/2+δ)2+(rb2+(d/2+δ)2)ln(d/2+δ)][I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)];]]>
Bessel修正函数：I(1,α_a)，K(1,α_a)；I(0,α_a)，K(0,α_a)；
I(0,α_hb)＝1444.8，K(0,α_hb)＝3.7285×10^-5；I(1,α_hb)＝1364.7，K(1,α_hb)＝3.9242×10^-5；
(3)橡胶衬套的内圆套筒厚度设计数学模型的建立及设计计算：
根据稳定杆所在悬架的轮距B＝1600mm，稳定杆的直径d＝20mm，总长度l_c＝800mm，稳定杆系统侧倾角刚度的设计要求值步骤(1)中计算所得到的稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w＝1.5935×10^-12m⁵/N，及步骤(2)中所建立的橡胶衬套径向线刚度表达式K_x(δ)，建立橡胶衬套的内圆套筒厚度δ的设计数学模型，即：

利用Matlab计算程序，求解上述数学模型，便可得到在稳定杆结构及橡胶衬套安装位置不变条件下，满足稳定杆系统侧倾角刚度设计要求的橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计值，δ＝4mm。
其中，在其它结构和参数不变的情况下，该稳定杆系统侧倾角刚度设计要求值，随橡胶衬套的内圆套筒厚度δ的变化曲线，如图4所示。
实施例二：某车辆前悬架的结构参数、稳定杆的结构参数及悬架衬套内圆半径和材料特性参数，都与实施例一的完全相同，只是前悬架稳定杆系统所要求的侧倾角刚度设计要求值 不同，即对在此侧倾角刚度设计要求下，对橡胶衬套的内圆套筒厚度δ进行设计。
采用实施例一的设计步骤，对该车前悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度δ进行设计。由于该车辆前悬架的结构参数、稳定杆的结构参数及橡胶衬套外圆半径和材料特性参数，都与实施例一的完全相同，只是侧倾角刚度设计要求值不同。因此，设计所得到的该车辆前悬架橡胶衬套的内圆套筒厚度δ＝8mm。
与实施例一比较可知，由于侧倾角刚度设计要求值增加了10kN.m/rad，则只要将橡胶衬套的内圆套筒厚度δ增加4mm，即由先前的4mm增加到8mm，就可以在不改变其他结构参数的情况下，得到满足侧倾角刚度设计要求的稳定杆系统。
实施例三：某车辆前轴的轮距B＝1600mm，所采用稳定杆的结构和材料与实施例一的完全相同，稳定杆的直径d＝21mm；两橡胶衬套之间的安装间距l₀＝400mm，橡胶衬套的外圆半径r_b＝30.5mm，轴向长度L＝25mm；橡胶衬套的弹性模量E_x＝7.84MPa，泊松比μ_x＝0.47。该车辆前悬架稳定杆系统的侧倾角刚度的设计要求值在给定稳定杆及橡胶衬套安装位置情况下，对橡胶衬套的内圆套筒厚度δ进行设计。
采用实施例一的设计步骤，对该车前悬架稳定杆橡胶衬套的内圆套筒厚度δ进行设计:
(1)计算稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w：
由于稳定杆结构参数、材料特性参数及两个橡胶衬套之间的安装距离l₀，都与施实例一的完全相同，因此，稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w也与施实例一的完全相同，即：
Gw=G1+G2+G3+G4+G5+G6πE=1.5935×10-12m5/N;]]>
(2)建立橡胶衬套径向线刚度K_x的表达式：
根据稳定杆的直径d＝21mm，橡胶衬套的轴向长度L＝25mm，弹性模量E_x＝7.84Mpa，泊松比μ_x＝0.47，外圆半径r_b＝30.5mm，内圆半径r_a＝d/2+δ＝(10.5+δ)mm，其中，δ即为橡胶衬套的内圆套筒厚度，以δ作为待设计参变量，建立橡胶衬套径向线刚度K_x的计算表达式，即
Kx(δ)=1u(δ)+y(δ);]]>
其中，K_x(δ)是关于内圆套筒厚度δ的表达式；
u(δ)=(1+μx)2πExL[lnrbd/2+δ-rb2-(d/2+δ)2(d/2+δ)2+rb2],]]>
y(δ)=a1(δ)I(0,αhb)+a2(δ)K(0,αhb)+a3(δ)+(1+μx)5πExL[lnrb+rb2rb2+(d/2+δ)2],]]>
α_hb＝αr_b＝9.4501,α_a＝α(d/2+δ)，
a1(δ)=(1+μx)[K(1,αa)(d/2+δ)((d/2+δ)2+3rb2)-K(1,αhb)rb(3(d/2+δ)2+rb2)]5πExLαhb(d/2+δ)[rb2+(d/2+δ)2][I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
a2(δ)=(μx+1)[I(1,αa)(d/2+δ)((d/2+δ)2+3rb2)-I(1,αhb)rb(3(d/2+δ)2+rb2)]5πExL(d/2+δ)αhb(rb2+(d/2+δ)2)[I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
a3(δ)=-(1+μx)[b1(δ)+b2(δ)+b3(δ)]5πExL(d/2+δ)αhb(rb2+(d/2+δ)2)[I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)],]]>
b₁(δ)＝(d/2+δ)((d/2+δ)²+3r_b²)[I(1,α_a)K(0,α_a)+K(1,α_a)I(0,α_a)]，
b₂(δ)＝-r_b(r_b²+3(d/2+δ)²)[I(1,α_hb)K(0,α_a)+K(1,α_hb)I(0,α_a)]，
b3(δ)=αrb(d/2+δ)[(d/2+δ)2+(rb2+(d/2+δ)2)ln(d/2+δ)][I(1,αa)K(1,αhb)-K(1,αa)I(1,αhb)];]]>
Bessel修正函数：I(1,α_a)，K(1,α_a)；I(0,α_a)，K(0,α_a)；
I(0,α_hb)＝1444.8，K(0,α_hb)＝3.7285×10^-5；I(1,α_hb)＝1364.7，K(1,α_hb)＝3.9242×10^-5；
(3)橡胶衬套的内圆套筒厚度设计数学模型的建立及设计计算：
根据稳定杆所在悬架的轮距B＝1600mm，稳定杆的直径d＝21mm，总长度l_c＝800mm，稳定杆系统侧倾角刚度的设计要求值步骤(1)中计算所得到的稳定杆端部的垂向位移变形系数G_w＝1.5935×10^-12m⁵/N，及步骤(2)中所建立的橡胶衬套径向线刚度表达式K_x(δ)，建立橡胶衬套的内圆套筒厚度δ的设计数学模型，即：

利用Matlab计算程序，求解上述数学模型，便可得到在稳定杆结构及橡胶衬套安装位置不变条件下，满足稳定杆系统侧倾角刚度设计要求的橡胶衬套的内圆套筒厚度的设计值，δ＝3mm。
其中，在其它结构和参数不变的情况下，该车辆稳定杆系统的侧倾角刚度设计要求值，随橡胶衬套的内圆套筒厚度δ的变化曲线，如图5所示。