在操纵者指令下的起重机抗摇摆控制 【技术领域】
本发明涉及一种用于控制绳索悬挂的、有效载荷传送系统的系统和方法，更具体的说，涉及一种针对经历水平滑车和垂直提升运动的有效载荷的抗摇摆控制系统和方法。
背景技术
龙门起重机在港口作业中广泛用于集装箱的传送。典型的是，起重机具有两个速度指令形式的输入。这两个速度指令独立地控制有效载荷的水平滑车和垂直提升运动。在完成传送运动中，在运送结束时有效载荷的不期望的摇摆是一个难点。当有效载荷摇摆时，不能实现装载或卸载操作。目前，只有有经验的操纵者可以有效地使集装箱成为无摇摆停止状态。其他操纵者必须等待摇摆停下来。通常，等待摇摆停下来所耗费地时间或者进行各种动作来精确定位载荷所耗费的时间会达到占有整个传送时间的三分之一。
各种现有技术专利教导了摇摆减弱系统。这些专利涉及以减弱的摇摆来传送有效载荷的各个方面。例如，多个专利描述了在自主模式下的操作，在该模式下，系统利用有效载荷的起始和终止位置来产生所需的控制信号，从而实现有效载荷的传送。其他非自主系统试图在遵循操纵者的用于水平滑车和垂直提升运动的指令的同时使有效载荷的摆动量最小。
自主系统适于有效载荷的位置得以良好识别的建筑环境。在典型的港口环境下，集装箱的位置取决于船只相对于起重机的相对位置。因此，集装箱的位置几乎不能精确地获知。在这种环境下，操作地非自主模式是优选的。本发明涉及这种非自主模式。
多个参考文献公开了操作的非自主模式。这些参考文献中的很多都利用固定长度的钟摆模型作为它们的摇摆减弱方法和/或系统的基础。于是，这些策略在水平运动过程中绳索长度变化时不能够消除摇摆。若干其他参考文献通过利用近似来处理绳索垂直长度的变化。本发明利用起重机系统的全动态方程，而未近似，以便避免误差并消除摇摆。尤其是，本发明将利用抵消加速度(cancellation acceleration)用于摇摆控制。抵消信号的计算由于它基于起重机模型的全动态方程而是精确的。在同时滑车和提升运动过程中，这尤其重要。为了讨论方便，载荷的摇摆角和载荷的摇摆速度分别表示为θ和并且滑车的加速度称作所有控制系统利用滑车的水平加速度作为用于摇摆的控制参数。由此，水平加速度也称为控制参数。
对于使摇摆最小化，存在两种通常的方法。在第一种方法中，滑车加速度以x..=r+k1θ+k2θ.]]>或其他类似的形式给出。在此，数值r是取决于理想滑车运动的时间的函数。使用这种方法可以将附加的阻尼引入系统中，从而控制摇摆。所形成的系统可以利用k1和k2的适当值而形成为具有任何所需的阻尼比和固有频率。
若干参考文献采用这个第一种方法。这些参考文献在运动相关的时间函数的分布图、r和由此确定阻尼比k1和k2的数值的特定程序上有所不同。在授予Rushmer的美国专利5443566中，利用起重机的固定长度绳索模型估算摇摆角和摇摆角速度。摇摆角θ和摇摆角速度的估算与来自操纵者指令的输入速度一同使用，以计算控制信号x..=k1(x.d-x.)+k2θ+k3θ..]]>在授予Heissat等人的美国专利5490601中，控制信号是x..=k1θ+k2θ.+k3(xd-x).]]>各组k1、k2和k3在不同绳索长度下凭经验确定。对于特定绳索长度的k1、k2和k3的精确值从这些经验组中利用增益安排、或模糊或神经网络控制的一些形式来内插值得到。在授予Eudier等人的美国专利5878896中，传送到滑车的速度指令为x.d=k1θ+k2θ.+k3(xd-x)]]>的形式，其中xd是滑车的理想位置。k1、k2和k3的值凭经验确定。
这个第一种方法可以有效地衰减摇摆。这个方法基于反馈的标准机制，并因具有鲁棒性而可以克服模型的不精确。这个方法的主要缺点是缺少操纵者的直觉控制。由于滑车加速度取决于θ、以及操纵者的所需速度，滑车的运动可能是不可预测的，并与操纵者的直觉相反。结果，需要进行若干动作来使系统正确停止。由此，这个第一种方法适用于在有效荷载位置得以良好识别的建筑环境下的无人操纵起重机。
第二种方法基于摇摆抵消原理。这是大多数人类操纵者为衰减摇摆所采取的机制。针对固定长度钟摆的这个方法的基本思想在O.J.Smith撰写的1958年纽约McGraw-Hill出版的“反馈控制系统中”加以描述。在固定长度钟摆中，摇摆运动几乎是频率为ω的正弦时间函数，其中ω由ω=g/l]]>来限定。假设水平加速度的短脉冲在时间t＝0时施加，这个脉冲将导致频率ω的摇摆振荡。有可能利用在时间t＝π/ω施加的相同振幅和持续时间的第二短脉冲抵消这个振荡。在施加第二脉冲之后，系统在此后的时间内将没有摇摆。这个方法，公知为双脉冲控制或抵消控制，给出了对于恒定长度绳索的最短可能稳定时间。虽然这个方法可以轻易应用到固定长度钟摆上，但是扩展到绳索长度变化的钟摆上就不容易。
多个参考文献教导了抵消控制的通常方法。在授予Kawashima等人的美国专利4756432中，描述了双脉冲控制应用于滑车运动的加速和减速阶段。对于特定的滑车最终位置，这些脉冲的定时和振幅基于固定长度钟摆来计算。一个双脉冲用于加速和减速每个阶段。在这两个脉冲之间，滑车以恒定速度运行，并且不摇摆。为了使这个方法起作用，操纵者必须提供滑车的最终位置，以便精确确定脉冲的定时和振幅。当绳索长度在水平运动过程中恒定时，这个系统工作得非常好。
在授予Kiiski等人的美国专利中，其描述了测量摇摆角，并且由摇摆运动来构成最佳拟合正弦时间函数。利用这个估算的正弦函数，产生抵消脉冲来消除摇摆。这个方法假设只存在一个正弦频率。由此，这个方法对于在滑车水平运动过程中绳索长度变化的系统来说是无效的。
在授予Habisohn的美国专利5960969中，数字滤波器用于阻尼振荡。其中输入信号接近起重机摇摆频率的分量被滤掉。尤其是，经滤波的输出是输入信号和延迟载荷钟摆运动半个周期的输入信号的简单平均。使用基于不同延迟的输入信号的线性结合得到的多个其他滤波器方案。这些输入信号利用起重机方程的恒定长度版本加以计算。
在上述参考文献中的方法依赖于恒定长度钟摆系统，以用来进行所述抵消。下面的参考文献回顾了将抵消控制扩展到变长度绳索系统中的其他尝试。
在授予Feddema等人的美国专利中，公开了脉冲响应滤波器和比例-积分控制器，用于在操纵者的输入下控制起重机。基于反动态思路(inversedynamics idea)的数字实现的脉冲滤波器通常用于控制系统的研究中。在这种情况下，前馈控制器用于抵消起重机系统的动力，并引用用户限定的动力。
在授予Virrkkumen的美国专利5127533中，公开了将针对固定长度绳索的起重机的控制构思改造成针对可变程度绳索的起重机的控制构思的一种尝试。公知的是，钟摆振荡的周期正比于钟摆长度的平方根。这个参考文献表明了可用于具有固定绳索长度(称为L1)的起重机的控制信号通过适当的延迟可以用于具有其他绳索长度(称为L2)的起重机。例如，假设控制信号基于用于固定长度L1的起重机结构，且控制信号在第一时间t1施加。Virrkkumen教导了当控制信号在如下时间施加时，在具有另一固定长度L2的起重机上可以实现相同的效果：
t2=t1*L2L1]]>
虽然Virrkkumen的方法对于两个固定长度的钟摆是合理的，但对于绳索长度经历变化的单个钟摆或单个起重机来说是不精确的。例如，绳索的提升速率影响摇摆角，而在Virrkkumen的方法中没有考虑这个因素。另外，由于在典型的水平运动中长度可能连续变化，因此在确定第二绳索长度L2中存在不确定性。
在授予Overton的美国专利5526946中，基本的摇摆控制教导为Kawashima和Virrkkumen方法的扩展。取代在加速和减速阶段的固定双脉冲，Overton教导了无论何时速度输入变化就使用双脉冲。对于一个序列连续变化的速度输入，产生两个序列的脉冲。第一序列与输入速度变化同步。第二序列产生并被存储。第二序列对应于双脉冲控制方法的第二脉冲。在第二序列中的每个信号在第一序列的信号之后大约半个钟摆周期时施加到滑车的水平加速度上。Overton在计算这些信号的定时中采用Virrkkumen方法。这个第二序列以正比于绳索目前长度的可变速率处理(或作为滑车加速度发送)。绳索长度越短，则序列项(entries of thesequence)越快地被送出。由于Overton是Virrkumen的变型，因此，它存在类似的缺陷。
本发明利用双脉冲控制来抵消摇摆。然而，本发明与上述参考文献在多个重要方面存在不同。本发明利用起重机系统的全动态方程计算第二脉冲的精确定时和振幅。即使在绳索长度变化过程中，这个第二脉冲的施加也可以消除摇摆。这种精确抵消脉冲计算对于正确消除摇摆是至关重要的。本发明还确保了决不会超过滑车加速度和速度极限形式的物理约束。本发明还包括消除由于外力造成的摇摆的反馈机制，该外力诸如是风力载荷或其他外界干扰。
【发明内容】
本发明的目的是提供一种计算机控制系统，用于控制起重机内的摇摆。本发明利用抵消脉冲来进行摇摆控制。在由先前使滑车加速的指令导致摇摆之后，该摇摆被递增地抵消。这些抵消脉冲的定时和振幅对于此抗摇摆方法的有效性来说是至关重要的。本发明还在计算这些抵消信号中考虑了变绳索长度的全动态效果。
本发明的另一目的是确定精确的抵消加速度脉冲。通过利用常微分方程组，可以确定精确的抵消加速度脉冲。
本发明的再一目的是抗摇摆系统和方法在滑车驱动系统的加速度和速度极限内的操作。在滑车驱动系统出现加速度饱和或速度饱和时，摇摆控制会收到不利的影响。本发明包括确保抗摇摆机构在这些极限内正确工作的系统和方法。
本发明的又一目的是提供一种结合到现存起重机系统中的抗摇摆控制器单元或装备。抗摇摆控制器单元连接在操纵者速度指令和现存的变速控制器之间。这个抗摇摆控制器遵从操纵者针对水平滑车运行和垂直有效载荷提升的输入指令。如果需要的话，控制器单元可以关闭，以便恢复到起重机手动的操纵者控制。
本发明的另一目的是残余摇摆消除。利用摇摆的传感器测量，本发明还通过反馈机构予以加强。这个反馈机构辅助抗摇摆控制器，并消除由于外界因素造成的残余摇摆。
本发明的其他目的将从下面详细描述中变得对本领域技术人员显而易见，其中，本发明优选实施例借助于被认为是实现本发明的最佳模式的例子加以示出并描述。如将要认识到的，本发明能够在各种显而易见的方面中加以修改，所有修改都没有脱离本发明。于是，附图和描述被认为本质上是示例性的，而不作为限制。
【附图说明】
参照结合附图的详细描述，本发明将变得更清楚明了：
图1是带有从滑车上悬挂的有效载荷的起重机的视图；
图2是作为分段恒定加速度信号的操纵者输入信号的曲线表示；
图3是示出抗摇摆系统的互联功能模块的方块图；
图4是示出抗摇摆系统的互联功能模块的方块图。
【具体实施方式】
参照图1，示出了起重机系统10的模型。起重机系统10包括一个滑车20，该滑车具有卷扬机(未示出)，以便由绳索40可调节地悬挂有效载荷30。摇摆角θ产生于绳索40静止时的位置与绳索40在摇摆振荡过程中的位置之间。描绘有效载荷30的摇摆角θ随时间发展的微分方程为：
l(t)θ..(t)+2l.(t)θ.(t)+gsinθ(t)=x..(t)cosθ(t)--(1)]]>
在方程(1)中，l(t)和分别表示绳索40与时间相关的长度及其导数，而表示滑车加速度。在起重机工作首先起动的时刻，该系统处于静止，即，θ(0)=θ.(0)=0,x(0)=x0,]]>x.(0)=0,l(0)=l0,]]>l.(0)=0.]]>为了表示容易，选择这些初始条件。也可以对于更通常的一组初始条件来扩展这个推导。
由于摇摆角θ(t)的振幅在整个随后的运动中非常小，可以进行近似。遵循标准的工程实践，假设sinθ(t)≅θ(t)]]>且cosθ(t)≅1,]]>进行近似。从而，运动方程近似为下面的方程：
l(t)θ..(t)+2l.(t)θ.(t)+gθ(t)=x..(t)--(2)]]>
且θ(0)=θ.(0)=0]]>
现在参照图2，补偿方案取决于在给定时刻将滑车20的加速度表示为如下形式的窄脉冲之和：
x..(t)=Σix..(iT)p(t-iT)--(3)]]>
其中，函数p(·)如下限定：
p(t)＝0，t＜0 (4a)
p(t)＝1，t≤0＜T (4b)
p(t)＝0，t≥T (4c)
在本发明一个优选实施例中，只存在第一脉冲当加速度脉冲T的持续时间较小时，摇摆角响应脉冲，以符号表示为δθ0(t)，并由以下微分方程的解来确定：
l(t)δθ..0(t)+2l.(t)δθ.0(t)+gδθ0(t)=0]]>
δθ0(0)＝0 (5)
如果存在所有加速度脉冲，在方程(3)中，在给定时刻，对滑车20的任意加速度的响应为：
θ(t)=Σiδθ(t)·1(t-iT)--(6)]]>
在此，当t＞iT时，函数1(t-iT)＝1，否则，函数1(t-iT)＝0。每个摇摆角响应δθi(t)限定为：
l(t)δθ..i(t)+2l.(t)δθ.i(t)+gδθi(t)=0]]>
δθi(iT)＝0 (7)
δθ.i(t)=T·x..(iT)l(iT)]]>
应指出的是：如在方程(6)中计算的，摇摆角θ(t)取决于微分方程(2)的线性。由sinθ(t)和cosθ(t)分别近似为sinθ(t)≅θ(t)]]>以及cosθ(t)≅1]]>而引入的建模误差可以利用如下所示的变换予以校正。
现在，考虑一个用于产生抵消信号以克服第一脉冲的影响的表达式。在求解线性时变微分方程(7)的过程中，对于i＝0，让为摇摆角响应δθ0(t)为零(即)时的t＝0之后的第一时刻，在时刻存在一个相应的速度假设一个校正脉冲xc(t)c在时刻施加T持续时间：
x0c=-δθ.0(t0~)·l0(t0~)T·p(t)--(8)]]>
可以看出，在施加这个校正脉冲x0c(t)之后，摇摆角以及摇摆角速度接近为零。可以通过将T选择为足够小，而将近似的误差减小到基本为零。从而，当出现校正脉冲时，对于δθ0(t)基本为零。和的确定是通过用于方程(7)的常微分方程(ODE)求解器来完成的。由于方程(7)是时变系统，这个求解器分别利用绳索40的与时间相关的长度及其导数，l(t)和的传感器信息实时作用。根据所用求解器的选择，可能需要在比T更小的时间间隔下，例如在t＝iT和在iT+T/2时，分别测量绳索40的与时间相关的长度及其导数，l(t)和
上述讨论是针对在时刻t＝0时刻的第一脉冲。
现在参见图3，抗摇摆系统50的总响应是如方程(6)所示在整个时间间隔i上的摇摆角响应δθi(t)的总和。在每个离散的时间周期t＝iT开始时产生一个新的ODE求解器。这个ODE求解器在抗摇摆系统50中存在所需要的那么长时间，即，直到摇摆角响应为零为止，即在时δθi(t)＝0为止。当确定了和时，在下一个可用的采样时间，即在t＝iT时施加校正脉冲，其中j是使得的最小j。在t＝jT之后，第i个ODE求解器的使用终结。整个ODE求解器组随着实时进展而保持工作。微分方程的多重实时解允许系统50以高精度方式控制由操纵者发出的用于随时间改变的水平滑车位置和垂直绳索程度的指令而产生的摆动的影响。
仍参照图3，图3示出了抗摇摆系统50方块图的优选实施例。抗摇摆控制器60利用如上所述的系统实现多个ODE系统。抗摇摆控制器60具有两个输入和三个输出。主要输入是经调节的操纵者指令加速度aadj。分别提供绳索40的长度的测量信号和绳索40的长度的时间导数，l(t)和的另一输入从传感器70按ODE求解器的需要来接收。主要输出是抵消加速度信号ac，方程(8)中校正脉冲的等价量来自抗摇摆控制器60的两个其他输出分别连接到预测模块80和反馈模块90。预测模块80和反馈模块90的功能将在下面描述。
一对饱和和滤波部件100、105各自分别过滤操纵者指令水平滑车和垂直提升速度输入信号Vox(见图3)和VoL(见图4)中的高频分量。输入信号由一对操纵杆(未示出)获得。饱和和滤波部件100、105也分别设定水平滑车和垂直提升运动的最大可允许速度。
现在参照图4，饱和和滤波器105也将垂直速度输入VoL转化为绳索速度指令信号然后，绳索速度指令信号被传送到现有起重机系统的速度控制器107中，用于绳索的提升驱动系统。
再次参见图3，图3示出滤波部件110。滤波部件110将速度指令信号(表示为vref)减半，以考虑抵消信号ac的延迟效果。滤波器110还将速度指令vref通过微分转变为相应的加速度指令信号aref。速度指令信号vref具有两个分量，一个是经滤波的操纵者指令速度，表示为vx，而一个是补偿信号，表示为vcomp。需要补偿信号分量vcomp来补偿操纵者指令速度的理想速度vx与表示为vo的速度输出信号之间的差异。这个差异是由抗摇摆控制器60的作用而产生的。
总的抗摇摆系统50的输出是速度输出信号vo，并传送到现有的用于滑车20驱动系统的速度控制器112。输出信号vo是三个信号的积分和，示为115，其中三个信号为：经调节的操纵者指令加速度aadj、抵消加速度信号ac、以及外界因素减弱加速度ae。加速度信号aadj来自于操纵者的指令。抵消加速度信号ac抵消由先前的经调节的操纵者指令加速度aadj导致的摇摆。外界因素减弱加速度信号ae减小由于诸如风力载荷的外界因素带来的摇摆。
如果对系统的输入指令vref超过滑车20的速度或加速度极限，则抗摇摆系统50不能正常工作。饱和控制器120功能为速度和加速度极限，以处理这种情况。控制器120分别实施滑车20的速度和加速度极限vmax和amax，这些极限是公知的，或者他们可以轻易确定。由此，需要确保在所有时候｜ν0(t)|≤νmax以及|v.0(t)|≤amax.]]>由于用于经调节的操纵者指令加速度、抵消加速度和外界因素减弱加速度的信号aadj、ac和ae分别是分段常数，并且仅在采样时刻kT变化，因此，它遵循速度输出vo(t)分段线性且连续。这对于设计饱和控制器120是有益的。
继续参照图3，饱和控制器120接收以下输入信号：
加速度指令基准信号aref、抵消加速度信号ac、以及外界因素减弱加速度反馈信号ae。饱和控制器120产生经调节的指令加速度aadj，作为输出信号。基本思想为使
aadj＝λaref (9)
并且将表示为λ的约束因数的数值在隶属于加速度和速度约束极限下尽可能接近1。加速度和速度约束可以表示为：
|ac+ae+λaref|≤amax。|v0-+T(ac+ae+λaref)|≤vmax--(10)]]>
输出速度变量ν0-表示为先前时刻的输出速度ν0，诸如ν0(kT-T)，而剩余的变量都是在当前时刻kT的信号。这两个约束可以等价地表示为：
max{-amax,(-v0--vmax)/T}≤ac+ae+λaref≤min{amax,(-v0-+vmax)/T}--(11)]]>
目的是找到最佳的约束因数，表示为λm，它是针对以下优化问题的最佳λ：
Min|λ-1|
隶属于方程(11)的约束。由于优化问题是针对隶属于两个约束的单个变量，因此，可以容易算出最佳约束因数λm。对于经调节的操纵者指令加速度aadj的精确表示可以如下：
其中：am=min{amax,-v0+vmaxT}]]>且al=max{-amax,-v0-vmaxT}.]]>
再次参照图3，预测模型80和预测模型速度变化分量信号vpm，速度输出信号的估算速度vp以及速度补偿信号vcomp的连接被设置成产生一个输出速度信号vo的稳态值，该稳态值等于过滤的操纵者速度指令vx的稳态值。即系统速度输出vo响应于经过滤的操纵者速度指令vx。预测模块80的输入在当前时刻是驻留于抗摇摆控制器60中的ODE的整个集合。从抗摇摆控制器60到预测模块80的粗箭头示出这个关系。预测模块80的输出是预测模型速度变化分量信号vpm。当已经发出抗摇摆控制器60的ODE中的所有补偿信号时，预测模型速度变化分量vpm的值是在速度输出信号vo中预测的变化。下面描述预测模型速度变化分量vpm的计算。假设在当前时刻t＝kT抗摇摆控制器60内存在M个ODE，并且它们表示为状态向量[δθi(kT)]，i＝1，...，M的集合。预测模块80假设绳索40的长度在当前时刻t＝kT之后保持不变。然后，计算预测模型校正加速度信号例如，让我们考虑i＝1的情况。可以利用ODE求解器，以初始条件[δθ1(kT)]求从当前时刻t＝kT直到响应时刻为止的积分。然后可以利用方程(8)计算出对应的预测模型校正加速度信号预测模块80计算M个ODE中的每一个，并然后计算补偿加速度的和。预测模型速度变化分量vpm的输出为：
vpm(t)=T·Σ1Mx..ipm(ti~)--(13)]]>
代表由抗摇摆控制器60导致的附加的将来速度指令。
另外，当操纵者的提升速度指令为零时，绳索长度在此后保持不变。从而，在传送运动的最终阶段，满足在预测模块80中采用的恒定绳索长度假设。这就是消除最终摇摆所需要的。
在上面的计算中，预测模块校正加速度信号利用ODE求解器算出。假设绳索40的长度恒定，能量法对于计算预测模块校正加速度信号在计算上更有效。当绳索40的长度保持不变时，起重机10是在守恒系中的具有恒定总能量的钟摆。再次，假设初始条件在时刻t＝kT时为[δθ1(kT)]，总能量为：
12mlδθ.1(kT)2+mgl(1-cos(δθ1(kT))).]]>由此，摇摆角响应速度可以表示为：
δθ.1(t1~)=(δθ.1(kT)2+2g(1-cosδθ1(kT)))0.5--(14)]]>
利用方程(14)，相应的预测模块校正加速度信号可以从方程(8)用l(t~)=l(kT)]]>算出。
在抗摇摆控制器60中的所有项被发出时，估算的速度信号vp为估算的速度输出vo。速度输出估算速度信号vp与操纵者的指令滑车速度信号vx相比较，以确定补偿速度vcomp。补偿速度vcomp代表理想速度信号vx和速度输出信号vo的终值之间的差异。补偿速度vcomp添加到经过滤的操纵者指令速度指令vx中，以计算速度指令vref，以便vref＝vx+vcomp。
使用上述各个部件的抗摇摆系统50的结构足以抵消分别由操纵者在水平和垂直速度输入信号vox和voL中的指令所导致的摇摆。摇摆也可能由外界因素导致，如风力载荷、或在装载和卸载过程中对有效载荷的横向冲击力导致。然而，利用抵消方法和上述系统的抗摇摆控制器60不会消除由外界因素造成的摇摆。提供了反馈模块90，来消除由外界因素造成的摇摆以及源于模型参数和实际物理系统之间的不一致的摇摆。
反馈模块90利用分别表示为θe和的摇摆角误差信号和摇摆角误差速度作为输入。摇摆角和摇摆角速度误差信号θe和从表达式θe(t)=θm(t)-θ^(t)]]>以及θ.e(t)=θ.m(t)-θ^.(t)]]>中算出，其中θm和分别表示由适当的传感器测量到的实际起重机的摇摆角和摇摆速度。测量摇摆角和摇摆角速度的传感器的示例是由法国Toulouse的GIAT公司提供的红外信标系统SIRRAH。和分别表示基于抗摇摆控制器60中的起重机10的模型的起重机10的摇摆角和摇摆速度。模型摇摆角由抗摇摆控制器60中的ODE组算出。更精确的说，假设在当前时刻t＝kT，在抗摇摆控制器60中存在M个ODE，且每个ODE具有[δθi(kT)]的状态向量。基于模型的摇摆角和摇摆速度分别由下式给出：
θ^(kT)=Σ1Mδθi(kT)--(15a)]]>
θ^.(kT)=Σ1Mδθ.i(kT)--(15b)]]>
由此，由操纵者指令之外的因素造成的有效载荷30的摇摆角和摇摆速度(由θe和表示)通过反馈模块90得以消除。
反馈模块90产生反馈外界因素减弱加速度信号ae。反馈控制法则分别将外界因素摇摆角和外界因素摇摆角速度θe和转换为扩展因素减弱加速度，表示为ae。这个转换可以以多种方式实现。在优选实施例中，使用简单的控制法则。控制领域或相关学科内的技术人员可以利用各种技术轻易修改或替换这个控制法则。这种法则中的一种选择为：
ae=keθ.e--(16)]]>
合适地选择ke，这个控制法则将阻尼掉由外界因素造成的摇摆。如果外界因素的影响较大，加速度信号ae会导致滑车振荡。因此，限制加速度信号ae的振幅是可取的。
在优选实施例的另一改进中，可以考虑从方程(1)代表的原始系统到方程(2)代表的近似中已经采用的三角近似法。如果如下的变换代入方程(1)中，这些近似可以消除。
x..(t)=u~(t)+g(sinθ(t)-θ(t))cosθ(t)--(17)]]>
那么
l(t)θ..(t)+2l.(t)θ.(t)+gθ(t)=u~(t)--(18)]]>
并且，不存在三角近似。明显地是，方程(18)具有与方程(2)相同的结构，且作为输入。从而，校正脉冲的上述展开直接通过将方程(2)中的由新的输入取代来施加。对新的输入的限制具有|u(t)|≤a~max]]>的形式，其中转换加速度极限由方程(17)通过对所有摇摆角θ的预测值要求抵消加速度不超过加速度极限，即|x..(t)|≤amax]]>来加以确定。对于摇摆角θ的合理变化，转换加速度极限仅稍小于加速度极限amax。
也可以实现对其他建模误差的校正。假设方程(1)的左侧包括cθ.(t)+f(θ.(t))]]>形式的附加非线性阻尼项。这个阻尼项可以通过被动阻尼装置或作为控制法则的一部分引入。然后该项添加到方程(2)的右侧，并且加入到方程(17)的分子中。然后，这个实施例类似于上述的优选实施例，例外之处在于非线性阻尼项cδθi(t)加入到方程(7)的右侧。
如上所述的实施例被轻易修改成控制具有多根固定到有效载荷上的提升绳索的起重机。它可以通过多种方式实现。一种方式为改变微分方程的形式，以符合多根绳索系统的动力学。另一种方式是利用适当的绳索长度以等价的单根绳索系统的动力学来表示多根绳索系统的动力学。要用于多根绳索系统的等价长度取决于绳索的布置方式。它可以通过分析或是通过对实际起重机的标定过程来获得。
上述优选实施例包括反馈模块90来处理由外界扰动导致的摇摆。如果起重机的工作环境为外界扰动可以忽略不计或高度可预测，则本发明可以在没有反馈模块90以及相关的摇摆传感器125的情况下实现。