基于免疫粒子群齿行法的桁架结构分层优化方法.pdf

本发明公开了一种基于免疫粒子群-齿行法的桁架结构分层优化方法。该方法区别于一般的并列分层方法和全空间优化方法，而采取内外嵌套分层优化，内层采用齿行法进行尺寸优化，将每一种给定形状与其最轻质量和最优截面形成一一映射关系，外层则利用免疫粒子群方法，基于内层形成的映射关系对形状变量空间进行搜索，从而得到最终优化结果。本方法良好地处理了形状(节点坐标)和尺寸这两类变量的耦合关系，避免了全局最优解的丢失，同时有效地缩小了解空间的范围，提高了搜索的效率，具有一定的优越性。本发明可应用于各类桁架结构的形状和尺寸优化。

1.  一种基于免疫粒子群-齿行法的桁架结构分层优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
1）确定桁架结构优化目标、设计变量和约束条件：
所述优化目标为结构质量W最轻；
所述桁架结构优化设计变量包括需要优化设计的杆件截面尺寸A=[A₁, A₂,…, A_m]和节点坐标X=[X₁, X₂,…, X_n] ；
所述约束条件包括杆件应力约束σ_i≤σ_i^a ,i=1~m、节点位移约束u_i≤ u_i^lim,i=1~p、压杆失稳约束σ_i≤σ_i^cr，i=1~m，以及截面、坐标的上下限约束A_i^min≤ A_i ≤ A_i^max，i=1~m ，X_i^min≤ X_i≤ X_i^max，i=1~n，其中σ_i^a为第i根杆件材料的容许应力，u_i^lim为第i个节点坐标的限值，σ_i^cr为第i根杆件的失稳临界应力，A_i^min和A_i^max分别为截面尺寸的下界和上界，X_i^min和X_i^max分别为坐标的下界和上界，m为杆件数目，n为设计节点坐标数目，p为控制位移的节点坐标数目；
2）对于所优化的桁架结构进行参数化建模，得到结构模型，建模的设计参数包括待优化的截面尺寸A和节点坐标X；
3）针对所述步骤2）建立的结构模型，采用免疫粒子群算法，以节点坐标X为粒子，以给定形状下内层最优截面A_in对应的内层最轻质量W_in作为粒子的适应度，通过粒子群速度公式更新粒子并根据生存概率筛选粒子，最后输出搜索到的全局最轻质量W_best及对应的全局最优形状X_best、全局最优截面A_best。

2.  根据权利要求1所述的基于免疫粒子群-齿行法的桁架结构分层优化方法，其特征在于，所述步骤3）中的内层最轻质量W_in是通过齿行法子函数计算得到，具体是将给定的节点坐标X，设定初始截面A⁽⁰⁾作为输入，按照以下方式进行迭代计算：
每一轮迭代先对所述步骤2）的结构模型通过有限元法或矩阵位移法求解结构的内力和位移，提取并输出本轮所需的杆件应力σ=[σ₁,σ₂,…, σ_m]和节点位移u=[u₁,u₂,…,u_p]，再通过射线步缩放截面使得最严格约束达到限值，然后判断结构质量是否收敛，若收敛则结束迭代计算，输出内层最优截面A_in和内层最轻质量W_in；
不收敛时，若结构质量较上一轮减小，则被动杆件执行满应力步，主动杆件取最大位移比对应的满位移步和满应力步中的较大值，然后进入下一轮迭代，若结构质量较上一轮增大，则按照A^(j) = A^(j-2) 对截面变量A^(j) 进行更新，并将松弛系数η^(j)更新为(1/2~1/3)η^(j-1)后进入下一轮迭代。

3.   根据权利要求1或2所述的基于免疫粒子群-齿行法的桁架结构分层优化方法，其特征在于，所述步骤3）中免疫粒子群算法的具体流程为：
a）以节点坐标X为粒子，以给定形状下内层最优截面A_in对应的内层最轻质量W_in为粒子的适应度，设定各参数，包括惯性权重ω、加速度因子c₁、c₂、种群规模N、附加粒子数M、迭代次数T_max、加权系数a，在节点上下界约束范围内随机产生第一代N个粒子位置及速度，所述种群规模N即为节点坐标个数；
b）先通过粒子群速度公式更新上一代N个粒子，更新Gbest^k及其对应的粒子位置Xtemp^k和截面Atemp^k，其中，Gbest^k表示群体所有粒子在第k次迭代过程中所得到的群体最优的最轻质量，再随机产生新的M个粒子，计算每一个粒子的生存概率P(X)，根据生存概率P(X)对这M+N个粒子降序排列，取前N个粒子为新一代粒子群体，其中k为当前迭代次数；
c）若达到设定的迭代次数T_max，则迭代结束，输出全局最轻质量W_best=Gbest^Tmax，全局最优形状X_best=Xtemp^Tmax，全局最优截面A_best=Atemp^Tmax，否则返回步骤b）。

4.  根据权利要求3所述的基于免疫粒子群-齿行法的桁架结构分层优化方法，其特征在于，所述步骤3）中，根据下式计算每个粒子的生存概率P (X_i)：
                     (1)
                                (2)
                (3)
其中，P(X_i)为第i个粒子的生存概率，PF(X_i)为第i个粒子基于亲和度的选择概率，PD(X_i)为第i个粒子基于浓度的选择概率，a为加权系数，W(X_i)为第i个粒子对应的质量。

基于免疫粒子群-齿行法的桁架结构分层优化方法
技术领域
本发明属于结构优化领域，涉及一种应用于桁架结构形状和尺寸优化的方法。
 背景技术
桁架结构是指由杆件通过铰接形成的结构，各杆件受力以轴向拉、压为主，可以充分利用材料性能，结构布置灵活，应用范围非常广。桁架结构常用于大跨度的厂房、展览馆、体育馆和桥梁等公共建筑中。
桁架结构的形状和尺寸优化是一个经典问题，通过优化设计可以提高结构的安全性和经济性等。其设计变量为各杆件截面尺寸和各节点坐标，而这两类变量的性质不同并且相互耦合，使得优化问题的维度及复杂性都大大增加，并且可能出现收敛困难乃至病态现象。
目前国内外学者的解决方法通常可分为两类。
第一类方法是将两类变量的优化分为两层处理，截面尺寸和节点坐标两种优化方法并列，交替进行直至收敛。分层优化的优点是可以缩小问题的规模，明显减小计算量，但由于问题非线性及两类变量的耦合，分层优化会导致解空间可行域缩小而丢失全局最优解，且优化结果将很大程度上依赖初始形状的选取。
第二类方法则是将两类变量同时考虑，在整个解空间中进行优化。近年来智能算法得到了广泛的应用，如遗传算法(GA) 、模拟退火算法(SA)、粒子群算法(PSO)、蚁群算法(ACO)、微分演化算法(DE)等以及相应的改进智能算法，这些算法将截面、坐标这两类变量联合为变量序列直接在解空间中进行搜索，虽然可以方便地处理两类变量的耦合关系，避免最优解的丢失，并且不依赖于初始形状的选取，但是由于搜索空间随着变量数目的增加而迅速扩大，迭代次数和计算量通常十分庞大，容易陷入局部最优解。
齿行法是一种较成熟的结构尺寸优化方法。其将力学准则与数学规划相结合，每按照力学准则（满应力或满位移准则）优化一步，便通过射线步将解拉到约束边界上去，交替进行直至收敛。朱伯芳提出并证明，对于结构优化问题，最优解一定落在最严格约束曲面上，因此，齿行法所求出的解为全局最优解。
免疫粒子群算法是一种改进的群智能算法。其在基本粒子群算法的基础上，加入基于生存概率调节的免疫机制，减小了陷入局部最优的概率，提高了算法的全局搜索能力。
发明内容
技术问题：本发明提供了一种嵌套分层、搜索高效、高概率获得全局最优解的基于免疫粒子群-齿行法的桁架结构分层优化方法。
技术方案：本发明的基于免疫粒子群-齿行法的桁架结构分层优化方法，包括以下步骤：
1）确定桁架结构优化目标、设计变量和约束条件：
所述优化目标为结构质量W最轻；
所述桁架结构优化设计变量包括需要优化设计的杆件截面尺寸A=[A₁, A₂,…, A_m]和节点坐标X=[X₁, X₂,…, X_n] ；
所述约束条件包括杆件应力约束σ_i ≤σ_i^a ,i=1~m、节点位移约束u_i ≤ u_i^lim,i=1~p、压杆失稳约束σ_i ≤σ_i^cr，i=1~m，以及截面、坐标的上下限约束A_i^min≤ A_i≤ A_i^max，i=1~m ，X_i^min≤ X_i≤ X_i^max，i=1~n，其中σ_i^a为第i根杆件材料的容许应力，u_i^lim为第i个节点坐标的限值，σ_i^cr为第i根杆件的失稳临界应力，A_i^min和A_i^max分别为截面尺寸的下界和上界，X_i^min和X_i^max分别为坐标的下界和上界，m为杆件数目，n为设计节点坐标数目，p为控制位移的节点坐标数目；
2）对于所优化的桁架结构进行参数化建模，得到结构模型，建模的设计参数包括待优化的截面尺寸A和节点坐标X；
3）针对所述步骤2）建立的结构模型，采用免疫粒子群算法，以节点坐标X为粒子，以给定形状下内层最优截面A_in对应的内层最轻质量W_in作为粒子的适应度，通过粒子群速度公式更新粒子并根据生存概率筛选粒子，最后输出搜索到的全局最轻质量W_best及对应的全局最优形状X_best、全局最优截面A_best。
进一步的，所述步骤3）中的内层最轻质量W_in是通过齿行法子函数计算得到，具体是将给定的节点坐标X，设定初始截面A⁽⁰⁾作为输入，按照以下方式进行迭代计算：
每一轮迭代先对所述步骤2）的结构模型通过有限元法或矩阵位移法求解结构的内力和位移，提取并输出本轮所需的杆件应力σ=[σ₁,σ₂,…, σ_m]和节点位移u=[u₁,u₂,…,u_p]，再通过射线步缩放截面使得最严格约束达到限值，然后判断结构质量是否收敛，若收敛则结束迭代计算，输出内层最优截面A_in和内层最轻质量W_in；
不收敛时，若结构质量较上一轮减小，则被动杆件执行满应力步，主动杆件取最大位移比对应的满位移步和满应力步中的较大值，然后进入下一轮迭代，若结构质量较上一轮增大，则按照A^(j) = A^(j-2) 对截面变量A^(j) 进行更新，并将松弛系数η^(j)更新为(1/2~1/3)η^(j-1)后进入下一轮迭代。
进一步的，所述步骤3）中免疫粒子群算法的具体流程为：
a）以节点坐标X为粒子，以给定形状下内层最优截面A_in对应的内层最轻质量W_in为粒子的适应度，设定各参数，包括惯性权重ω、加速度因子c₁、c₂、种群规模N、附加粒子数M、迭代次数T_max、加权系数a，在节点上下界约束范围内随机产生第一代N个粒子位置及速度，所述种群规模N即为节点坐标个数；
b）先通过粒子群速度公式更新上一代N个粒子，更新Gbest^k及其对应的粒子位置Xtemp^k和截面Atemp^k，其中，Gbest^k表示群体所有粒子在第k次迭代过程中所得到的群体最优的最轻质量，再随机产生新的M个粒子，计算每一个粒子的生存概率P(X)，根据生存概率P(X)对这M+N个粒子降序排列，取前N个粒子为新一代粒子群体，其中k为当前迭代次数；
c）若达到设定的迭代次数T_max，则迭代结束，输出全局最轻质量W_best=Gbest^Tmax，全局最优形状X_best=Xtemp^Tmax，全局最优截面A_best=Atemp^Tmax，否则返回步骤b）。
进一步的，所述步骤3）中，根据下式计算每个粒子的生存概率P (X_i)：
                     (1)
                                (2)
                (3)
其中，P(X_i)为第i个粒子的生存概率，PF(X_i)为第i个粒子基于亲和度的选择概率，PD(X_i)为第i个粒子基于浓度的选择概率，a为加权系数，W(X_i)为第i个粒子对应的质量。
本发明采取内外嵌套分层优化，内层采用齿行法进行尺寸优化，将每一种给定形状与其最轻质量和最优截面形成一一映射关系，外层则利用免疫粒子群方法，基于内层形成的映射关系对形状变量空间进行搜索，得到最终优化结果，嵌套分层良好地处理两类变量的耦合关系，避免了全局最优解的丢失，同时相较于直接在整个解空间中搜索，有效地缩小了解空间的范围，提高了搜索的效率，减小了迭代次数和计算量。
有益效果：本发明与现有技术相比，具有以下优点：
相较于一般并列分层的方法，本发明方法中采用的嵌套分层优化方法在内层齿行法将每种形状与最优截面形成了一一映射关系，而外层免疫粒子群算法基于内层映射关系直接对于形状变量空间进行全局搜索，因此不依赖于初始解的选择，并且更好地处理了两类变量的耦合关系，避免了割裂解空间而丢失全局最优解的可能性；
相较于利用统一变量法或直接用智能算法，如遗传算法、蚁群算法等在整个解空间中搜索的方法，本方法通过分层优化，有效地降低了搜索空间的维度，减少了迭代次数和计算量，提高了搜索的效率。
对外层基本粒子群方法加入免疫调节机制形成免疫粒子群方法，在保留群智能方法优点的同时，避免了粒子的早熟收敛和过分集中，减小了方法陷入局部最优的概率，提高了方法的全局搜索能力。
 附图说明
图1为本发明的方法主函数的流程图。
图2为本发明的齿行法子函数的流程图。
图3为齿行法收敛路径示意图。
图4a为25杆空间桁架初始形状图。
图4b为25杆空间桁架最优形状图。
图5为25杆空间桁架质量收敛曲线图。
 具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明做进一步详细说明。
1）确定桁架结构优化目标、设计变量和约束条件：
所述优化目标为结构质量W最轻；
所述桁架结构优化设计变量包括需要优化设计的杆件截面尺寸A=[A₁, A₂,…, A_m]和节点坐标X=[X₁, X₂,…, X_n] ；
所述约束条件包括杆件应力约束σ_i ≤σ_i^a ,i=1~m、节点位移约束u_i ≤ u_i^lim,i=1~p、压杆失稳约束σ_i ≤σ_i^cr,i=1~m，以及截面、坐标的上下限约束A_i^min≤ A_i≤ A_i^max,i=1~m ，X_i^min≤ X_i≤ X_i^max,i=1~n，其中σ_i^a为第i根杆件材料的容许应力，u_i^lim为第i个节点坐标的限值，σ_i^cr为第i根杆件的失稳临界应力，A_i^min和A_i^max分别为截面尺寸的下界和上界，X_i^min和X_i^max分别为坐标的下界和上界；
2）对于所优化的桁架结构进行参数化建模，设计参数包括待优化的截面尺寸A和节点坐标X，将其余如荷载工况、杆件拓扑关系、已确定的节点坐标等设定好；
3）针对所述步骤2）建立的结构模型，采用免疫粒子群算法，以节点坐标X为粒子，以给定形状下内层最优截面A_in对应的内层最轻质量W_in作为粒子的适应度，通过粒子群速度公式更新粒子并根据生存概率筛选粒子，最后输出搜索到的全局最轻质量W_best及对应的全局最优形状X_best、全局最优截面A_best。
其中，所述步骤3）中的内层最轻质量W_in是通过齿行法子函数计算得到，具体是将给定的节点坐标X，设定初始截面A⁽⁰⁾作为输入，考虑杆件应力约束、节点位移约束、压杆失稳约束和截面上下限约束，对于杆件截面进行优化，得到并输出对应的内层最优截面A_in和内层最轻质量W_in。
齿行法是一种将力学准则与数学规划相结合的优化方法，其基本思想为按照力学准则（满应力或满位移准则）每优化一步，便通过射线步将解缩放到约束边界上去，交替进行直至收敛。其收敛过程如图3所示，不断地在最严格边界和不可行域间行进，搜索路径呈锯齿形，当超过最优点后退回两步在以更小的步长前进，直至搜索到最优点。齿行法流程图如图2，具体步骤阐释如下：
①给定初始设计尺寸变量A⁽⁰⁾，松弛系数η⁽⁰⁾=0.6-1.8，结构初始质量W⁽⁰⁾（任一大数，如10¹⁰）；
②对所述步骤2）的结构模型通过有限元法或矩阵位移法求解结构的内力和位移，提取并输出本轮所需的杆件应力σ=[σ₁,σ₂,…, σ_m]和节点位移u=[u₁,u₂,…,u_p]；
③求出在各工况下的最大应力比r_max和最大位移比μ_max，再执行射线步，利用最大响应比ξ将解缩放到可行域的边界：
                   (1)
               (2)
计算结构质量W^k)；
④判断是否收敛，若则结束迭代，输出A^(k)和W^(k)，否则继续；
⑤若W^(k) < W^(k-1)，按照杆件面积增大对位移的影响正负将杆件分为被动杆件和主动杆件；
被动杆件执行满应力步：
           (3)
              (4)
主动杆件取最大位移比对应的满位移步和满应力步的较大值，其中，满位移步如下：
            (5)
   (6)
                  (7)
得到A^(k+1) 转2）继续迭代计算；
⑥若W^(k)> W^(k-1)，将松弛系数减小为原来的1/3-1/2，截面变量退回两步，转2）重新迭代计算。
                 (8)
                       (9)
步骤3）所采用的免疫粒子群方法是在基本粒子群方法的基础上增加免疫选择机制而形成的改进智能方法，其在保留群智能方法优点的同时，避免了粒子的过于集中和早熟收敛的缺陷，因此具有更好的全局搜索能力。
在本问题中，以节点坐标X为粒子，由N个粒子组成种群，以给定形状下内层最优截面A_in对应的内层最轻质量W_in作为粒子的适应度，每一轮迭代通过粒子群速度公式更新粒子，并根据生存概率P(X)进行筛选，生存概率综合考虑粒子浓度（粒子集中程度）和粒子与抗原的亲和度（对应质量），得到下一代粒子，直至达到设定的迭代次数T_max，输出搜索到的全局最轻质量W_best及对应的全局最优形状X_best、全局最优截面A_best。
免疫粒子群主函数流程图如图1，具体步骤阐释如下：
①设定算法各参数，包括惯性权重ω、加速度因子c₁、c₂、种群规模N、附加粒子数M、迭代次数T_max、加权系数a。
②初始化粒子群。随机产生N个粒子及其速度，注意约束在可行范围内。
              (10)
                 (11)
③根据以下的标准粒子群速度公式更新产生下一代群体。
                                 (12)
 (13)
其中，Pbest^k(i)表示第i个粒子在迭代过程中所得到的最轻质量（个体最优），Gbest^k表示群体在迭代过程中所得到的最轻质量（群体最优）。记录Gbest^k对应的粒子位置Xtemp^k和截面Atemp^k。
④随机生成M个粒子，方法同②。
⑤对M+N个粒子按照生存概率P（X_i）降序排列，取前N个作为下一代群体。
                     (14)
                                (15)
                (16)
其中，a为加权系数，用于调节亲和度选择概率PF(X_i)和浓度选择概率PD(X_i)的影响因子。
⑥判断是否到达最大迭代次数T_max，满足则结束计算输出全局最轻质量W_best=Gbest^Tmax，全局最优形状X_best=Xtemp^Tmax，全局最优截面A_best=Atemp^Tmax，否则转③。
 接下来以25杆空间桁架经典算例验证本方法的有效性。
25杆空间桁架的初始形状如图4a，节点坐标和尺寸变量见表1a。初始坐标序列为[X4,Y4,Z4,X8, Y8]=[0.9525,0.9525,2.54,2.54,2.54]。两种工况的节点荷载见表1b。位移约束为节点1、2在x、y、z方向的位移都不超过±0.889cm，尺寸下限为0.0645cm²。材料弹性模量E=68.95GPa,密度ρ=2678kg/m³，杆件容许应力为±275.8MPa，局部稳定临界应力取-39.27EA_i/L_i²。
表1a

表1b

表2

对于此问题，设定种群规模N=20，附加粒子数M=5，最大迭代次数T_max=120。对结构利用本方法进行10次随机优化。结构最优形状如图4b，与初始形状有明显差别。最终优化结果及比较见表2，图5为其中5次优化过程中结构质量收敛曲线，可以看出，本方法具有良好的收敛趋势，所得优化结果也较其他方法所得结果为优。对比直接在形状与尺寸的联合空间中搜索，本文位移约束更严格，而所得最优质量更轻，可见本文的内外分层搜索算法效率更高，寻优的效果也更好。
 上述实施例仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和等同替换，这些对本发明权利要求进行改进和等同替换后的技术方案，均落入本发明的保护范围。