增/偏Q进制、进位行数字工程方法和增/偏Q算盘.pdf

本发明涉及数字工程方法和算盘领域，提出又一种新的数字工程方法，显著提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。本发明采用“增/偏Q进制”“进位行方法”：将参与运算的K个普通Q进制数转换成增/偏Q进制数。然后对K个数一起进行增/偏Q进制的求和。从最低位开始或各位同时“按位加”，和数记入下一运算层，同时所得“增/偏Q进位”，则存放到下一运算层的任一进位行中与该位相邻的高位处。经过如此反复运算，直至不产生“增/偏Q进位”为止。则最后一次“按位加”所得和数，即为所求增/偏Q进制加法结果。本发明同时提供了数字工程领域的增/偏Q进制算盘。

1.  一种增/偏Q进制、进位行数字工程方法，包括以下步骤：
第1步，设K个普通Q进制数参予运算，K为≥2的正整数，Q为自然数；将这些数转换成增/偏Q进制数；
第2步，对K个数同时进行增/偏Q进制的求和运算，从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取K个数中的二个数按位相加，得到“按位和”为该位这二个数相加的和数，将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“增/偏Q进位”，则存放到下一运算层的任一进位行中与该位相邻的高位处；
第3步，在该位上取K个数中的另二个数，进行第2步的运算，如此反复，直至K个数均取完为止；当K个数中仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层的同一位上作为“部份和”数；
第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算，直至K个运算数的每一位都已全部操作；当K个数的各位同时进行第2步及第3步运算时，则本步可跳越过去；
第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数与进位行中的“进位数”进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；
第6步，重复第2步至第5步的运算，直至不产生“增/偏Q进位”为止，则最后一次“按位加”所得和数，即为所求增/偏Q进制加法运算结果。

2.  如权利要求1的增/偏Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于在某一位上，对K个数中的二个数进行求和运算时，如果其中两个运算数的该位为相反数，则该位和为零，然后将该两个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算，这称为“对冲”；如果在某一位上，对K个数中的二个数进行求和运算时，其中两个运算数的按位加和为零，但产生进位，则将其进位放入任一进位行中的相邻高位，然后将该两个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算，这称为“划Q”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。

3.  如权利要求1或2的增/偏Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于可以不编码增/偏Q进制；可以普通8421码等来编码增/偏Q进制数；也可以全一码来编码增/偏Q进制数，即将各个增/偏Q进制数的每一位数S，都以S个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为(Q-1)位；同时，将增/偏Q进制数中该位的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符。

4.  如权利要求1-3任一个的增/偏Q进制、进位行数字工程方法，其特征在于当采用全一码来编码增/偏Q进制数时，二数加法仅为二数中1的不重复排列。

5.  权利要求1或2的增/偏Q进制、进位行数字工程方法，其中所述运算数是增/偏Q进制数，Q为自然数。

6、  一种增/偏Q进制、进位行算盘，即增/偏Q算盘，在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠(1)沿竖档上下移动进行数据连接计算，其特征是：具有竖档(7)，其上有可垂直移动的一些算珠(1)；具有一根横轴，其上有对应每根竖档可扭转的三角块“转换标示”(10)；或者没有横轴，而每根竖档加一个“上档珠”，以一根横梁隔开；或者每根竖档加一个“上档珠(211)”，和一个“下档珠(210)”，以“上横梁(212)”和“下横梁(213)”隔开；具有游标1(3)、游标2(4)，可在上框(5)的上框小槽(6)中左右滑动。

7、  根据权利要求6中所述的一种增/偏Q算盘，其特征是：竖档(7)可以为15档，或15档以上，或15档以下。

8、  根据权利要求6或7的增/偏Q算盘，其特征是：每根竖档(7)上有5只算珠(1)，或者有4只算珠(1)。

9、  根据权利要求6所述的一种增/偏Q算盘，其中所述运算数用正负码编码来表示。

10、  根据权利要求6所述的一种增/偏Q算盘，其中所述运算数是增/偏Q进制数，Q为自然数。

增/偏Q进制、进位行数字工程方法和增/偏Q算盘
技术领域
本发明涉及数字工程方法和算盘领域。
背景技术
数字工程包括数控机床、大中型数字化设备和数字系统工程等等。本发明中“数字工程”是专指“数字计算系统工程”。它不是解决一个个具体的算题、或定理证明、或几何问题、或某种数学思想，而是解决四则运算法则等计算系统本身的数字工程实现技术方案。它与具体的计算工具密切相关。众所周知，“计算”有好多种，除“近似计算”、“模拟计算”及“无工具计算”(心算、指算、口算，包括口诀、速算、估算)外，则为“采用工具的数字计算”。“采用工具的数字计算”历史上包括笔算、珠算、机械算、电算，以及筹算等。现代仅剩下三种，这就是数字电算、珠算、笔算。与此相应的数字计算系统工程也就仅有三种：数字计算机；算盘；采用笔和纸进行笔算的数字计算系统工程，简称为“笔算工程”。
四则运算是数的最基本运算。正如恩格斯所说：“四则(一切数学的要素)。”加法又是四则运算的最基本的运算。因此，我们理所当然应当对四则运算，尤其是对加法运算给予特别的关注。当前数字工程方法中的四则运算，首先是加法，有许多不尽如人意之处。主要表现为运算速度慢；在减法中，未能充分利用负数的作用，而且，不能“连减”。尤其在加减联合运算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺点更加扩大严重；在除法中，上述缺点依旧。总之，在最小的数体——有理数体中，四则运算情况并不满意。
在笔算数字工程中，对运算的解剖，表明存在一些隐含的操作程序，以至产生“隐患”。以加法为例，例一“两数相加”，算式如式
一。[文中凡未标明数制的数，均指普通十进制数。下同。]其中，十位上的和数3，解剖一下，其微程序操作是：个位上来的进位(见

式一                             式二
标志)十位上5、7两数字与低位进位相加，即(5+7+1)。取其和的个位。上列(5+7+1)和的进位送到高位(见标志)。其余各位情况类似。又如例二，设三数求和，算式如式二78+297+259＝634。如图可见，上述情况更为加重。
显然，存在下列缺点：
a.进位标示困难。若用小数字表明，则易混淆且字面积受限。特别是表456789时就更烦人；若以“.”字写在数字间，则易与小数点混淆且表示456789也不便；若以手指数数，则速度慢且不方便；若心算，则费脑力且易错。总之，比较讨厌，易出错。
b.一般两数相加时，每一位上要有三个数相加求和。于是，需三重运算。三及三以上个数相加求和时，则更不方便。
c.验算困难。一般采用重做一遍，费时费力。
减法比加法麻烦。而且不能在同一竖式中“连减”，必须断开。特别在加减联合运算时，不能一步到位。乘除法中，这类情况更为严重。而且，加减乘除运算格式不统一，除法时另起炉灶。
另一方面，在电子计算机的数字工程中，同样有大量的数值运算。这些数一般均采用普通二进制数制来表示。其负数常以原码、反码、补码、移码之类来表示。在现有计算机中运算均以二个数运算，而无法实现“多重运算”。所谓“多重运算”，是指多于二个数同时进行加减。
在采用其他普通Q进制等普通数制的电子计算机中，存在相应的许多复杂性。[Q为自然数。]
发明内容
本发明提出又一种新的数字工程方法，显著提高运算速度；同时加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低笔算的出错率。
本发明的另一个目的是提供又一种新型算盘，它运算的数是增Q进制数或者偏Q进制数，Q为自然数。因此，该新型算盘称为“增Q算盘”或者“偏Q算盘”，统称为“增/偏Q算盘”。“增Q算盘”与“偏Q算盘”略有区别，文中均另加说明。
根据本发明的一个方面，提供一种增/偏Q进制、进位行数字工程方法，采用“增/偏Q进制”“进位行方法”。包括以下步骤：
第1步，设K个普通Q进制数参予运算，K为≥2的正整数，Q为自然数；将这些数转换成增/偏Q进制数；
第2步，对K个数同时进行增/偏Q进制的求和运算，从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取K个数中的二个数按位相加，得到“按位和”为该位这二个数相加的和数，将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“增/偏Q进位”，则存放到下一运算层的任一进位行中与该位相邻的高位处；
第3步，在该位上取K个数中的另二个数，进行第2步的运算，如此反复，直至K个数均取完为止；当K个数中仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层的同一位上作为“部份和”数；
第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算，直至K个运算数的每一位都已全部操作；当K个数的各位同时进行第2步及第3步运算时，则本步可跳越过去；
第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数与进位行中的“进位数”进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；
第6步，重复第2步至第5步的运算，直至不产生“增/偏Q进位”为止，则最后一次“按位加”所得和数，即为所求增/偏Q进制加法运算结果。
上述增/偏Q进制数可以不编码；或以普通二进制数编码；或以正负码等来编码；或以全一码来编码，即将各个增/偏Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q/2位；同时，将增/偏Q进制数中该位的数符，即表示该位为正为负，作为相应全一码中每一位上的数符。全一码编码增/偏Q进制数时，二数加法仅为二数中1的不重复排列，称为“排1”。
上述运算数是增/偏Q进制数，Q为自然数；或者是普通对称Q进制数，Q为＞1的整数；或者是混数数制数。
根据本发明的另一个方面，提供一种增/偏十进制算盘。在盘状长方形机械框架结构中，如图1机械结构示意图所示，在上下框之间采用15档竖档，或多于15档，或少于15档。竖档呈直线型；或者呈型，分为长度相等的上中下三段。中段凹下的长度约为全档算珠的厚度，其起伏均有圆滑过渡，以便于算珠推动。每根竖档上贯穿有5只或4只算珠。另外具有一根横轴，其上有对应每根竖档的三角块“转换标示”(10)；或者没有横轴，而每根竖档加一个“上档珠”，以一根横梁隔开；三角块的三面涂以三种不同的颜色。竖档在横梁以上部分为直线型；或者同样为型，其起伏圆滑过渡，以利于算珠推动。每根竖档加一个可扭转的三角块“转换标示”(10)；或者没有横轴，而每根竖档加一个“上档珠”，以一根横梁隔开；或者每根竖档加一个“上档珠(211)”，和一个“下档珠(210)”，以“上横梁(212)”和“下横梁(213)”隔开；上框的水平中线位置上有上框小槽。小槽中有圆型游标一只，或者一只以上，或者没有。游标可以在槽中左右滑动，作为参与运算及结果数的小数点或其他特定的定位标记。
附图说明：
图1为本发明混Q算盘的机械结构示意图。图中标有：1.算珠，2.左框，3.游标1，4.游标2，5.上框，6.上框小槽，7.竖档，8.右框，9.下框，10.可扭转的三角块“转换标示”。竖档共15根，每根上有5只或4只算珠。算珠的初始位置，均在竖档的中央部分，而竖档的上下两端均为空位。图2为三角块“转换标示”(10)。图3为本发明的另一种形式机械结构示意图。图中标有：1.算珠，2.左框，3.游标1，4.游标2，5.上框，6.上框小槽，7.竖档，8.右框，9.下框，210下档珠，211上档珠，212上横梁，213下横梁。它与图1的区别在于每根竖档加一个“上档珠(211)”，和一个“下档珠(210)”，以“上横梁(212)”和“下横梁(213)”隔开；平常初始位置时，上面上档珠(211)紧靠上框(5)，下面下档珠(210)紧靠下框(9)。无论上下档珠均仅有二态位置。
具体实施方式
第一部分  增/偏Q进制、进位行数字工程方法
1.《进位行方法》
1.1进位与《进位行方法》
在电子计算机中，运算速度提高地关键之一，就在于“进位”。进位的获得，进位的存贮以及进位的参予运算都是至关重要的。“进位”就是争“速度”。在笔算工程中，还直接影响到“出错率”。
所谓《进位行方法》就是，在运算过程中，将产生的进位存放在参予运算与“按位和”数同等的位置上，然后与“按位和”一起进行运算。通常将同运算层中两数相加时，各位上的进位排列成一行，称为“进位行”。(运算层的概念，见下节)
举例如下，设两普通十进制数求和，算式以竖式求和。如式三：
为简化起见，这里将横竖式合写。个位运算(6+8)＝14，其进位1
123456+345678＝469134

式三
写于下一行的高一位上。依此类推。式中二数相加时，各位上不计进位的求和，称为“按位加”。其和称为“按位和”。按位和的运算行，称为“行”。
各进位排成的行，称为“进位行”。由行与进位行组成“运算层”。
式中一些“+”号已省去。以后可以知道，在增/偏Q进制、进位行数字工程方法《增/偏进方法ZJF/PJF》中，各个“运算层”只存在一种运算，这就是“+”。故可以不必在运算层中写出“+”号。
1.2《进位行方法》分析
1.2.1二数求和的分析
采用《进位行方法》的加法运算由上节可知：
①两数相加时，每一位上只有二个数相加；在进位行中直接标示进位，不存在任何困难；
②验算十分方便。
[引理一]两数相加时，任意位上要么有进位记为1，要么无进位记为0；

式四                                式五
[引理二]两数相加时，任意位上的和可为0～9之一。但是，当该位上有向高位进位时，该位上的和只能为0～8之一，而不能为9。
由[引理一]和[引理二]可得：
[定理一]两数相加时，当且仅当某位上没有向高位进位时，该位上的和才可能出现9。
1.2.2层次概念及运算层
设两数求和。算式为式四、式五
由式四可见，运算是分层次进行的。运算层将一个运算解剖成微运算、子运算。每一运算层，仅完成一项简单运算。这就是运算的“层次”概念。“层次”概念是数学中的基本概念，《进位行方法》正是建立在此基础上。以往的加法运算方法，本质上也隐含“层次”概念。因此，《进位行方法》中的“层次”从总体上看，并未增加运算的复杂性。反之，以往的方法由于隐含了“层次”，反而进一步增加了运算的复杂性。这一点，也进一步造成运算速度被降低。两者对比，就会一清二楚。
在《进位行方法》中，两数相加的各个运算层，可以合并为一个运算层。如式五。请见进一步分析。
1.2.3唯一的运算层
两数相加时，特别情况下会出现多次运算层。各层有如下关系成立。[引理三]二数相加，当某位前一运算层上有进位时，其后各运算层上均不可能出现进位。(由引理一、二得)
[引理四]二数相加，当某位后一运算层上有进位时，其前各运算层上必无进位。(由引理一、二得)

式六                    式七
[定理二]二数相加时，同一位各运算层上，要么都无进位，要么只能有一个进位。(由引理三、四得)
[推论]可以将全部各层进位行合并为一个进位行，各运算层合并为一个运算层。
1.2.4三数及三数以上求和分析
设三数求和，算式为231+786+989＝2006(见式六)
操作要点：①“划Q”的运用；
所谓“划Q”，即Q进位的两数在某位上相加时，其按位加和为零，但该位上产生进位(与两数符号一致)。进位放入进位行；同时，在某位上，该两数均不再参加运算。在十进制时即为“划十”。
a、同一位上两数和为“十”时，可在算式中将两数字以斜线划去，然后在高位上补1。
b、同一位上几数和为20、30、40……等时，可将几数字均划去，然后在高位上补2、3、4……等。
又，设六数求和。算式为786+666+575+321+699+999＝2046(见式七)。
②多个数相加，会出现二个及二个以上的运算层。为了减少运算层数，同一位上的同一运算层空位中，进位及和数可以任意占位。
③尽量减少运算层。a、较小的数，直接合并算；b、尽量在“配对”中进位；c、尽量减少在第一运算层上相加数的个数，尽量使第二及二以上运算层不出现。
④同一位上，“相同数”、“连续数”等可直接获得“部分和”。
2.混数及混数数制
21《数制理论》
2.1.1按同一种规则记录数，便于用来在一个数系统中进行运算的数的制度，称为“记数系统的制度”。简称为“数制”。一个数的质，首先就是由其所属的数制来决定的。恩格思指出：“单个的数在记数法中已经得到了某种质，而且质是依照这种记数法来决定的。”“一切数的定律都取决于所采用的记数法，而且被这个记数法所决定。”
《数制理论》就是研究数制的生成、分类、分析、比较、变换等以及数制在各邻近学科与实践中应用的科学。它是数学的基础理论之一。数学科学，即“数”的科学。“数”的基本为“数制”。因此，“数制理论”是“数论”的基础，是“核心数学”的“核心”之一。
数制是数的属性。不存在没有所属数制的数，也不存在没有所属数的数制。
2.1.2位值制数制
设，构造一个数系，其中的数以各不相同位置上的“数符”来表示。“数符”又称“数字”。数字通常从右向左水平排列，对于每个数位上的全部数字均给定一个单位值(又称“位值”)，其值由低(小)到高(大)。以此表示整个数系中每一个数的数制，称为“位值制数制”。我们以下讨论的数制，都是“位值制数制”。简称为“数制”。所讨论的数除特别注明的外，均约定为整数。
2.1.3数制的三大要素：数位I，数元集Zi和权Li。
a、数位I，表示数制中数的各位数字的位置。以I(序数)从右自左来表示。即，i＝1，2，3，……表示该数的第1，2，3，……位。
b、数元集Zi，表示第I位上的“数元”组成的集合。同一数制系统中，各个数同一位上不同符号的全体，组成一个该位上的数符集。该数符集中的元素，称为“数的元素”。简称为“数元”。因此，该数符集称为“数元集”。数元集Zi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的Zi均为相同的Z时，相应的数制称为“单一数制”；当各位上的Zi不全相同时，相应的数制称为“联合数制”。单一数制为Q进制时，称为“单一进制”；联合数制均属Q进制时，称为“联合进制”。(Q进制定义见本节后述。)
数元集Zi中的数元可为复数或其他多种多样符号。在《数制理论》中，以a_j来表示数元(a₁，a₂，a₃，……)，j为自然数。以ia_j表示第i位上数元a_j。约定，a_j＝-A(A为实数)时，可表示为a_j＝A。数元集Zi以集合{a₁，…，a_j，…}来表示，即Z_i＝{a₁，…，a_j，…}。或者Zi以文字表明其特征。
数元集Zi的基数Pi(Pi为自然数)表示了集的元素总数。恩格思指出：它“不但决定它自己的质，而且也决定其他一切数的质。”Pi的取值不同，标示了数元集Zi的变化。各位上的Pi为相同的P，则称为“单一基数”；否则，称为“联合基数”。
在《数制理论》的“位值制数制”中，定义数中的空位表示0，具有隐含的“空位0”；在数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。“空元”是每一个“位值制数制”数元集均有的数元，其在数元集中的表示即为“空位”。另一方面，“空元”是数元集中唯一通常不计入数元a_j，也不计个数，即个数为0的数元；在特别情况下，则对“空元”加以注明将其计入数元，其个数计为1。
c、权Li，表示第i位上的位值大小。特称此位值为“权Li”。
Li为实数(由于复数集非有序体，故不采用)。不同的Li，就决定了不同的位值。在“编码理论”中，“编码”的主要特征就在于权Li。
实际中常见的权Li采用所谓“幂权”。即，令Li＝Q_i^(i-1)，Q_i为实数。为便于计算，通常取Q_i为自然数。常见各位Li均为幂权，而且成等比Q的数制。Q称为数制幂权的“底数”或数制的“底数”。底数Q的不同，决定了不同的Li，从而决定了不同的位值。这种数制称为“Q进制”。简称为“进制”。Q_i可以阿拉伯数字来表示，也可以中文小写数字来表示。当Q＝2，3，10等时，相应的进制就被称为“二进制”、“三进制”、“十进制”等。
另一种常用的权Li采用“等权”，即各位上的权L相同。
在任一个Q进制数制中，当P＝Q时，自然数在该数制中可以连续唯一的形态表达，称为“连续数制”，又称“普通数制”；
当P＞Q时，自然数在该数制中可以连续，但有时以多种形态表达，称为“重复数制”；
当P＜Q时，自然数在该数制中只能断续的形态表达，称为“断续数制”。
根据上述数制的三大要素，数制可以有无穷无尽的种类。
2.2混数及混数数制
当数元集Zi中，含数元0时，该相应数制被称为“含0数制”；当数元集Zi中，不含数元0时，该相应数制被称为“不含0数制”。
当数元集Zi中，既有正数元，又有负数元时，相应数制被称为“混数数制”；混数数制中的数，称为“混数”。“混数”中既有正数元又有负数元的数，称“纯混数”。在{Q^△}数中，既有正数元又有负数元的数，称为“纯{Q^△}数”。({Q^△}定义见下一节。)
当数元集Zi中，全部数元为连续整数成为“整数段”时，该相应数制被称为“整数段数制”；恩格斯指出：“零比其他一切数都有更丰富的内容。”鉴于“0”的这种特殊重要性，在《数制理论》中，含0整数段去掉0时，仍作为一种特殊的整数段。
当数元集Zi中，正负数元是相反数时，相应数制称为“对称数制”；显然，“对称数制”是“混数数制”的一种。
2.3增Q进制{Q^△}
在《数制理论》中，建立了“代数数制”。一个数制的名称采用“Zi Li”。对Q进制，则为ZiQi；单一进制时，则为ZQ。其中，Q_i以中文小写数来表示。例如{0，1，2}三进制。
对于含0的普通Q进制，Z＝{0，1，…，(Q-1)}。故ZQ＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q为＞1的整数，称为“含0普通Q进制”。符号表示为{含0，Q}；对于不含0的{1，2，…，Q}Q，Q为自然数，称为“不含0普通Q进制”。符号表示为{不含0，Q}。
含0和不含0的普通Q进制，合起来统称为“普通Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q}。当不致误解时，“含0普通Q进制”亦可称为“普通Q进制”，亦以符号{Q}来表示。故可以符号{二}及{十}来表示普通二进制及普通十进制。
本文中的混数数制主要为以下几类。
对于含0的{0，±1，…，±Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0增Q进制”。符号表示为{含0，Q^△}；对于不含0的{±1，±2，…，±(Q+1)/2}Q进制，Q为正奇数，称为“不含0增Q进制”。符号表示为{不含0，Q^△}。
含0和不含0的增Q进制，合起来统称为“增Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q^△}。当不致误解时，“含0增Q进制”亦可称为“增Q进制”，亦以符号{Q^△}来表示。故可以符号{十^△}及{二^△}来表示“增十进制”及“增二进制”。在《数制理论》中，{十^△}的名称是：“单一基数P＝11，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十一，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，…，±5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十^△}，称为《增十进制》；{二^△}的名称是：“单一基数P＝3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，±1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二^△}，称为《增二进制》。
在混数数制中，另一类为普通对称含0的{0，±1，…，±(Q-1)/2}Q进制，Q为＞1的奇数，称为“含0普通对称Q进制”。符号表示为{含0，称Q}；对不含0的{±1，…，±Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“不含0普通对称Q进制”。符号表示为{不含0，称Q}。
含0和不含0的普通对称Q进制，合起来统称为“普通对称Q进制”。Q为＞1的整数。符号表示为{称Q}。当不致误解时，“含0普通对称Q进制”，亦可称为“普通对称Q进制”，亦以符号{称Q}来表示。
3.《增进方法ZJF》及其增十进制{十^△}四则运算。
采用增Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《增Q进制、进位行方法》，简称为《增进方法ZJF》。当用于算盘或笔算数字工程，采用的是{十^△}增十进制等的《增进方法ZJF》。当用于电子计算机等之中时，采用的是{二^△}增二进制以及{十^△}增十进制等的《增进方法ZJF》。
3.1{十^△}的加法
例：123+344＝433          (见式八)

式八
式中求得和为433。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和433不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。
3.2{十^△}的减法
3.2.1例123-344＝123+344＝341
例112+144-32-125+133-54＝132(见式九)
首先减法化为加法来运算，这是由于混数的特性所决定。这一来，实际计算中，加减就合并为加法了。这就消除了通常连加减的困难。
3.2.2约混。这是指二数求和时，同一位上的相反数可以消去，也可称为“对消”或“对冲”。在算式中，可以斜线划去。也就是说，所谓“对冲”，即两相反数，其和为零。该位上的两数不再参加以后的运算。在实际运算中，采用先“对冲”后“划Q”来获得增Q数的结果。

式九                     式十
3.3{十^△}的乘法
例242×131＝11502  (见式十)
3.4{十^△}的除法

式十一                          式十二                   式十三
例14332+23＝251……1
要点：①式十一采用原普通除法，现采用四则统一算式如式十二。
②式十二中由于采用混数可使除法中的“减”过程变为“加”的过程。其余同此。
我们为了去掉“减”过程的思路，可以令被除数变号，然后，整个“减”过程完全变成“加”过程。这可使整个运算的复杂性进一步降低。以后，我们的除法就以此来进行。应该注意，此时若出现余数，则要将该余数变号后，才是最终运算结果的余数。
4.《增十进制》{十^△}与《普通十进制》{十}的关系。
4.1{十^△}与{十}数的转换法
这里指整数的情况，例如{十^△}222324＝{十}221716(式十三)。
4.1.1{十}数需经表一转换成为{十^△}数。
4.1.2{十^△}数转换成{十}。方法有几种：一种是将{十^△}数变为一正一负的两个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十^△}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例{十^△}222324＝{十}222020-304＝221716
再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加1)。