垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法.pdf

本发明涉及的是垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法，这种垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法包括：步骤一、悬挂管柱参数初始化；步骤二、建立悬挂管柱屈曲平衡方程；步骤三、建立悬挂管柱螺旋屈曲分析方法；步骤四、悬挂管柱螺旋屈曲求解；步骤五、悬挂管柱螺旋屈曲计算结果后处理；步骤六、悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷确定。本发明考虑了悬挂管柱受拉段长度和约束边界条件的影响，将管柱长度和临界载荷无量纲化，提供了确定垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的通用方法，解决了目前管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法没有考虑实际悬挂管柱上下两端的约束边界条件以及悬挂受拉段管柱长度对螺旋屈曲的影响的问题。

1.一种垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法，其特征在于：这种垂直井悬挂
管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法：
步骤一、悬挂管柱参数初始化：
利用悬挂管柱参数，根据管柱密度和管柱内外液体的密度，求得管柱单位长度的载荷q
为：
$q=\frac{\mathrm{\π}}{4}(D_o^2-D_i^2){\mathrm{\ρ}}_{s}g+\frac{\mathrm{\π}}{4}{D}_i^2{\mathrm{\ρ}}_{i}g-\frac{\mathrm{\π}}{4}(D_I^2-D_o^2){\mathrm{\ρ}}_{o}g;---\left(1\right)$
将管柱长度无量纲化，可得管柱无量纲总长度ξ_L为：
${\mathrm{\ξ}}_L=\frac{L}{\sqrt[3]{EI/q}};---\left(2\right)$
所述悬挂管柱参数包括管柱几何尺寸参数、管柱材料参数、流体物性参数和井筒内径
D_I，几何参数包括内径Di、外径D_o和长度L；、管柱材料参数包括柱弹性模量E和密度ρ_s；流体
物性参数包括管柱内液体密度ρ_i、管柱外环空液体密度ρ_o；
步骤二、建立悬挂管柱屈曲平衡方程：
利用所述悬挂管柱初始化参数，将管柱离散成空间梁单元，对所有梁单元组装，得悬挂
管柱几何非线性分析的整体平衡方程为：
(K₀+K_σ(u))u＝F， (3)
式中：K₀为管柱的线弹性刚度矩阵；K_σ为管柱的几何刚度矩阵，是节点位移的函数；u管
柱的节点位移向量，包含上下两端施加的约束边界条件；F为节点力向量，包含管柱上端悬
挂拉力、管柱的单位长度载荷和管柱下端轴向压力；
上下两端施加的约束边界条件是以下几类边界条件的其中之一：(1)上端铰支，下端自
由；(2)上端固支，下端自由；(3)上端自由，下端铰支；(4)上端铰支，下端铰支；(5)上端固
支，下端铰支；(6)上端自由，下端固支；(7)上端铰支，下端固支；(8)上端固支，下端固支，实
现上下两端不同约束边界条件对垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的计算；
上端施加悬挂拉力，其值是任意正值，还包括悬挂拉力等于0；若管柱上端自由，悬挂拉
力为0；管柱下端无论选取何种边界条件，均约束轴向位移，管柱下端轴向压力为约束反力；
管柱屈曲会与井筒接触，综合考虑几何非线性和接触非线性，悬挂管柱几何非线性和
接触非线性静力屈曲分析的总体平衡方程为：
(K₀+K_σ(u)+K_n(u))u＝F+F_n(u)； (4)
式中：K_n(u)为管柱的接触刚度矩阵；F_n为管柱的接触力向量，是节点位移的函数；
步骤三、建立悬挂管柱螺旋屈曲分析方法：
利用动力学方法，解决垂直井悬挂管柱螺旋屈曲分析问题，悬挂管柱螺旋屈曲的动力
学基本运动方程为：
Mu″+Cu′+Ku＝F(t)； (5)
式中：M为管柱的质量矩阵；C为管柱的阻尼矩阵；K为管柱的刚度矩阵，K＝K₀+K_σ(u)+
K_n(u)；u′为节点速度向量；u″为节点加速度向量；F(t)为节点载荷向量，包含管柱上端悬挂
拉力、管柱的单位长度载荷、管柱下端轴向压力和管柱的接触力；t是计算时间；
步骤四、悬挂管柱螺旋屈曲求解：
对方程(5)进行隐式求解计算；
步骤五、悬挂管柱螺旋屈曲计算结果后处理：
提取管柱各个节点两个方向的横向位移，进而求出管柱各节点的横向变形位移和圆周
角度；若管柱与井筒上下接触点之间的螺旋角度不等于360°，则改变上端悬挂拉力，并改变
阻尼比和时间增量，重复步骤四反复计算，直到螺旋角度为360°；
根据计算结果，悬挂管柱管柱无量纲总长度ξ_L分成4段，分别为受压下段ξ_C1、受压螺旋
段ξ_C2、受压上段ξ_C3和受拉段ξ_T，其中受压段无量纲长度为：
ξ_C＝ξ_C1+ξ_C2+ξ_C3， (10)
管柱无量纲总长为：
ξ_L＝ξ_C+ξ_T； (11)
步骤六、悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷确定：
考虑实际悬挂管柱上下两端的约束边界条件以及悬挂受拉段管柱长度对螺旋屈曲的
影响，螺旋屈曲临界载荷应是受压下段ξ_C1、受压螺旋段ξ_C2和受压上段ξ_C3的重量对下端轴向
压力的总和，而不是受压螺旋段ξ_C2自身的重量对应的下端轴向压力因
此，悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷为：
$F_{hel}={\mathrm{\ξ}}_C\sqrt[3]{{\mathrm{EIq}}^2};---\left(12\right)$
式中：ξ_C是悬挂管柱螺旋屈曲无量纲临界载荷。
2.根据权利要求1所述的垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法，其特征在于：
步骤四中对方程(5)进行隐式求解计算包括：
采用大型通用有限元分析软件ANSYS，空间梁单元选用BEAM188单元，管柱与井筒的接
触分别选用CONTA176接触单元与TARGE170目标单元，对方程(5)进行隐式求解计算：
a、阻尼比的选取：
方程(5)阻尼矩阵C中选取α阻尼，考虑管柱第1阶固有频率，α阻尼公式为：

式中：为管柱模态阻尼比，采用过阻尼，取阻尼比ω为管柱第1阶固有频率；
b、时间增量的选取：
直接积分法中计算时间增量的选取原则为：常规时间增量取1/40倍固有周期，最小时
间增量取1/200倍固有周期，最大时间增量取1/10倍固有周期；
c、初始缺陷的选取和施加：
初始缺陷选取初始扰动力，扰动力的不同施加方式影响螺旋屈曲最终螺旋段的旋向，
旋向有左螺旋或右螺旋；施加方式是以下几种的其中之一：(1)只在管柱受压段中点施加一
个横向扰动力，简称为一个扰动力；(2)在管柱受压段中点施加一个横向扰动力，在上端施
加一个扰动扭矩，简称为两个扰动力；(3)在管柱受压段的1/4、2/4和3/4处，分别施加互成
90°的横向扰动力，简称为三个扰动力；
施加扰动力的大小均为单位载荷，扰动力施加的时间历程为：计算时间在管柱1/2倍固
有周期之前，施加180°正弦波的扰动力；计算时间在管柱1/2倍固有周期之后，施加扰动力
为0；
d、外载荷施加：
上端悬挂拉力施加的时间历程为：(1)计算时间在管柱1/4倍固有周期之前，施加90°正
弦波的悬挂拉力；(2)计算时间在管柱1/4倍固有周期之后，施加恒定的悬挂拉力；
管柱的单位长度载荷通过重力加速度施加，其时间历程为：(1)计算时间在管柱1/4倍
固有周期之前，施加90°正弦波的重力加速度；(2)计算时间在管柱1/4倍固有周期之后，施
加恒定的重力加速度；
e、计算总时间：
采用Newmark直接积分法，对(5)式的管柱动力学方程进行隐式有限元计算。计算总时
间取10个管柱固有周期以上，使管柱各节点的位移趋于稳定、管柱各节点速度和加速度趋
于0，方程(5)退化成式(4)，实现用慢动力分析法对管柱静力屈曲的求解。
3.根据权利要求2所述的垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法，其特征在于：
步骤一中的管柱为石油钻采工程中的钻柱、套管柱、测试管柱、抽油杆管柱、连续管之一，管
柱规格尺寸及总长度为任意值。

垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法

技术领域

本发明涉及石油钻采工程技术领域中的垂直井悬挂管柱，具体涉及垂直井悬挂管
柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法。

背景技术

井筒内管柱(例如钻柱、套管柱、测试管柱、抽油杆管柱、连续管等)的屈曲对石油
工程中的诸多方面(如钻井、完井、测井、试井、压裂、封堵、采油等)都有严重的影响。钻柱的
屈曲会引起钻头的偏斜，形成“狗腿”；油管的屈曲增加了套管和油管的磨损，增加了能耗。
管柱经常处于屈曲状态工作，严重的屈曲会引起管柱的破坏和管柱的锁死，特别是随着深
井、超深井等钻井技术的不断深入，管柱屈曲已成为石油钻采工程中的关键技术问题。

垂直井管柱屈曲的临界载荷分析是其中的一个重要问题。1950年，Lubinsk首先研
究了钻柱在垂直井筒中的稳定性，导出了钻柱在垂直平面内的弯曲方程，并给出了该方程
的级数解。在两端铰支约束边界条件下，采用梁柱模型，无量纲长度取8，给出了钻柱在垂直
平面内发生失稳弯曲的临界载荷计算方法。Lubinski(1957)等人提出了管柱发生空间螺旋
弯曲的概念。1962年，Lubinski最早提出了垂直井中管柱空间屈曲等螺距的计算方法，假定
屈曲成空间螺旋线，利用能量法推导了螺距和轴向压力的关系式。他在提出这个方法时，就
已经指明，实际管柱受压段空间螺旋屈曲构型是一个不等距螺旋线。

Mitchell(1988)研究了螺旋屈曲，证明了Lubinski的螺旋屈曲模型只是一个近似
结果。Mitchell的结果表明，接近中和点位置处，因为管柱可能不与井筒接触，Lubinski螺
距和轴向压力的关系式是无效的。Kwon(1988)采用非等螺距假设，对受自重作用下垂直管
柱的螺旋屈曲进行了分析。利用虚功原理，通过解广义四阶非线性梁方程，得到螺距计算的
解析式。章扬烈(1985)对有重钻柱的空间螺旋屈曲问题进行了分析，用能量法计算了不等
螺距的计算式。吴疆(1992)，高国华(1996)，高德利(2006)等研究者，采用理论计算，也得到
垂直井有重管柱螺旋屈曲螺距的不同公式。Hajianmaleki(2014)利用ABAQUS有限元软件，
对垂直井有重管柱的螺旋屈曲进行了计算。

以上研究者确定的管柱螺旋屈曲公式普遍是基于形成等螺距或不等螺距假设推
导而出的，没有考虑约束边界条件的影响。然而，垂直井管柱在井筒内除了受到井筒的约束
外，上下两端还存在约束边界条件；而且目前普遍研究的是中和点以下的屈曲问题，没有考
虑中和点以上受拉段对屈曲的影响。特别是真实且普遍存在的井筒内悬挂管柱，上端悬挂
受拉，下端受压的螺旋屈曲问题，自从1950年Lubinsk首先研究钻柱在垂直井筒中的稳定性
以来，60多年过去了，至今还未被解决，制约着石油钻采管柱的工程技术应用水平。高德利
院士(2015)展望了悬挂管柱螺旋屈曲问题的研究方法，提出了上端悬挂段采用梁柱模型，
下端连续接触段采用微分方程的研究设想。然而，悬挂段与接触段的分界点在哪里，存在较
大的技术难度，也没有付诸实施的相关报道。

目前，管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法的存在如下问题：(1)虽然人们认识到管
柱发生螺旋屈曲至少要形成一个完整的螺旋，但是不同研究者们确定管柱螺旋屈曲螺旋段
的无量纲长度存在明显差异，例如章扬烈(1985)为4.46、吴疆(1992)为5.55、高国华(1996)
为5.816、高德利(2006)为5.62和Hajianmaleki(2014)为5.25。(2)研究者们根据接触螺旋
段自身长度的自重，定义为管柱螺旋屈曲的临界载荷。这种方法没有考虑实际悬挂管柱上
下两端的约束边界条件以及悬挂受拉段管柱长度对螺旋屈曲的影响，因此，确定的管柱螺
旋屈曲临界载荷是不合理的。

发明内容

本发明的一个目的是提供垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法，这种垂
直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法用于解决目前管柱螺旋屈曲临界载荷的确定
方法没有考虑实际悬挂管柱上下两端的约束边界条件以及悬挂受拉段管柱长度对螺旋屈
曲的影响的问题。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：这种垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界
载荷的确定方法：

步骤一、悬挂管柱参数初始化：

利用悬挂管柱参数，根据管柱密度和管柱内外液体的密度，求得管柱单位长度的
载荷q为：

将管柱长度无量纲化，可得管柱无量纲总长度ξ_L为：

所述悬挂管柱参数包括管柱几何尺寸参数、管柱材料参数、流体物性参数和井筒
内径D_I，其中几何参数包括内径Di、外径D_o和长度L；管柱材料参数包括柱弹性模量E和密度
ρ_s；流体物性参数包括管柱内液体密度ρ_i、管柱外环空液体密度ρ_o。

步骤二、建立悬挂管柱屈曲平衡方程：

利用所述悬挂管柱初始化参数，将管柱离散成空间梁单元，对所有梁单元组装，得
悬挂管柱几何非线性分析的整体平衡方程为：

(K₀+K_σ(u))u＝F， (3)

式中：K₀为管柱的线弹性刚度矩阵；K_σ为管柱的几何刚度矩阵，是节点位移的函数；
u管柱的节点位移向量，包含上下两端施加的约束边界条件；F为节点力向量，包含管柱上端
悬挂拉力、管柱的单位长度载荷和管柱下端轴向压力；

上下两端施加的约束边界条件是以下几类边界条件的其中之一：(1)上端铰支，下
端自由；(2)上端固支，下端自由；(3)上端自由，下端铰支；(4)上端铰支，下端铰支；(5)上端
固支，下端铰支；(6)上端自由，下端固支；(7)上端铰支，下端固支；(8)上端固支，下端固支，
实现上下两端不同约束边界条件对垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的计算；

上端施加悬挂拉力，其值可以是任意正值，还包括悬挂拉力等于0；若管柱上端自
由，悬挂拉力为0；管柱下端无论选取何种边界条件，均约束轴向位移，管柱下端轴向压力为
约束反力；

管柱屈曲会与井筒接触，综合考虑几何非线性和接触非线性，悬挂管柱几何非线
性和接触非线性静力屈曲分析的总体平衡方程为：

(K₀+K_σ(u)+K_n(u))u＝F+F_n(u)； (4)

式中：K_n(u)为管柱的接触刚度矩阵；F_n为管柱的接触力向量，是节点位移的函数。

步骤三、建立悬挂管柱螺旋屈曲分析方法：

利用动力学方法，解决垂直井悬挂管柱螺旋屈曲分析问题，悬挂管柱螺旋屈曲的
动力学基本运动方程为：

Mu″+Cu′+Ku＝F(t)； (5)

式中：M为管柱的质量矩阵；C为管柱的阻尼矩阵；K为管柱的刚度矩阵，K＝K₀+K_σ(u)+
K_n(u)；u′为节点速度向量；u″为节点加速度向量；F(t)为节点载荷向量，包含管柱上端悬挂
拉力、管柱的单位长度载荷、管柱下端轴向压力和管柱的接触力；t是计算时间；

步骤四、悬挂管柱螺旋屈曲求解：

对方程(5)进行隐式求解计算。

步骤五、悬挂管柱螺旋屈曲计算结果后处理：

提取管柱各个节点两个方向的横向位移，进而求出管柱各节点的横向变形位移和
圆周角度；若管柱与井筒上下接触点之间的螺旋角度不等于360°，则改变上端悬挂拉力，并
改变阻尼比和时间增量，重复步骤四反复计算，直到螺旋角度为360°；

根据计算结果，悬挂管柱管柱无量纲总长度ξ_L分成4段，分别为受压下段ξ_C1、受压
螺旋段ξ_C2、受压上段ξ_C3和受拉段ξ_T，其中受压段无量纲长度为：

ξ_C＝ξ_C1+ξ_C2+ξ_C3， (10)

管柱无量纲总长为：

ξ_L＝ξ_C+ξ_T； (11)

步骤六、悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷确定：

考虑实际悬挂管柱上下两端的约束边界条件以及悬挂受拉段管柱长度对螺旋屈
曲的影响，螺旋屈曲临界载荷应是受压下段ξ_C1、受压螺旋段ξ_C2和受压上段ξ_C3的重量对下端
轴向压力的总和，而不是受压螺旋段ξ_C2自身重量对应的下端轴向压力
因此，悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷为：

式中：ξ_C是悬挂管柱螺旋屈曲无量纲临界载荷。

上述方案中步骤四中对方程(5)进行隐式求解计算包括：

采用大型通用有限元分析软件ANSYS，空间梁单元选用BEAM188单元，管柱与井筒
的接触分别选用CONTA176接触单元与TARGE170目标单元，对方程(5)进行隐式求解计算：

a、阻尼比的选取：

方程(5)阻尼矩阵C中选取α阻尼，考虑管柱第1阶固有频率，α阻尼公式为

式中：为管柱模态阻尼比，采用过阻尼，取阻尼比ω为管柱第1阶固有频
率；

b、时间增量的选取：

直接积分法中计算时间增量的选取原则为：常规时间增量取1/40倍固有周期，最
小时间增量取1/200倍固有周期，最大时间增量取1/10倍固有周期；

c、初始缺陷的选取和施加：

初始缺陷选取初始扰动力，扰动力的不同施加方式影响螺旋屈曲最终螺旋段的旋
向，旋向有左螺旋或右螺旋；施加方式是以下几种的其中之一：(1)只在管柱受压段中点施
加一个横向扰动力，简称为一个扰动力；(2)在管柱受压段中点施加一个横向扰动力，在上
端施加一个扰动扭矩，简称为两个扰动力；(3)在管柱受压段的1/4、2/4和3/4处，分别施加
互成90°的横向扰动力，简称为三个扰动力；

施加扰动力的大小均为单位载荷，扰动力施加的时间历程为：计算时间在管柱1/2
倍固有周期之前，施加180°正弦波的扰动力；计算时间在管柱1/2倍固有周期之后，施加扰
动力为0；

d、外载荷施加

上端悬挂拉力施加的时间历程为：(1)计算时间在管柱1/4倍固有周期之前，施加
90°正弦波的悬挂拉力；(2)计算时间在管柱1/4倍固有周期之后，施加恒定的悬挂拉力；

管柱的单位长度载荷通过重力加速度施加，其时间历程为：(1)计算时间在管柱1/
4倍固有周期之前，施加90°正弦波的重力加速度；(2)计算时间在管柱1/4倍固有周期之后，
施加恒定的重力加速度；

e、计算总时间

采用Newmark直接积分法，对(5)式的管柱动力学方程进行隐式有限元计算。计算
总时间取10个管柱固有周期以上，使管柱各节点的位移趋于稳定、管柱各节点速度和加速
度趋于0，方程(5)退化成式(4)，实现用慢动力分析法对管柱静力屈曲的求解。

本发明具有以下有益效果：

1、本发明考虑了悬挂管柱受拉段长度和约束边界条件的影响，将管柱长度和临界
载荷无量纲化，提供了确定垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的通用方法。管柱为石油钻
采工程中的钻柱、套管柱、测试管柱、抽油杆管柱、连续管之一，管柱规格尺寸及总长度为任
意值。

2、本发明提供的垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法，具有算法稳定、
计算效率快、结果精度高等特点，使其更能符合工程实际，用于指导扶正器的安放位置，减
小或避免螺旋屈曲对石油钻采管柱的危害，提高石油钻采管柱的工程技术应用水平。

附图说明

图1是悬挂管柱螺旋屈曲构型特征。约束边界条件为上下两端铰支，上端悬挂施加
拉力，下端轴向约束，下端约束反力为受压段自重引起轴向压力。计算得出的悬挂管柱管柱
无量纲长度ξ_L分成4段，分别为受压下段ξ_C1、受压螺旋段ξ_C2、受压上段ξ_C3和受拉段ξ_T。其中受
压段无量纲长度为ξ_C＝ξ_C1+ξ_C2+ξ_C3，管柱无量纲总长为ξ_L＝ξ_C+ξ_T。

图2是悬挂管柱不同长度和约束边界条件的螺旋屈曲曲线部分计算结果。x和y坐
标表示管柱的横向挠度，z坐标表示管柱的无量纲长度。由图可见，悬挂管柱上下两端的约
束边界条件以及管柱长度对螺旋屈曲有着重要影响。

图3是悬挂管柱不同长度和约束边界条件下计算得出的螺旋屈曲无量纲临界载
荷。由图可见，随着管柱长度的增加，螺旋屈曲临界载荷逐渐减小，并趋于稳定；上端分别为
固支和铰支约束，下端为同种约束时，临界载荷趋于相等，表明上端这两种约束对螺旋屈曲
的影响趋于相同；而下端约束对螺旋屈曲临界载荷有着重要影响，临界载荷固支约束大于
铰支约束。可见，已知悬挂管柱上下两端的约束边界条件、管柱总长度、横截面惯性矩(与管
柱内外径有关)、单位长度载荷以及管柱材质的弹性模量，便可确定悬挂管柱螺旋屈曲的临
界载荷。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步的说明：

这种垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的确定方法如下：

1、悬挂管柱参数初始化

输入管柱的内径D_i、外径D_o和长度L等几何尺寸参数，输入管柱弹性模量E和密度ρ_s
等材料参数，输入管柱内液体密度ρ_i、管柱外环空液体密度ρ_o等流体物性参数，输入井筒内
径D_I。

根据管柱密度和管柱内外液体的密度，求得管柱单位长度的载荷q为

将管柱长度无量纲化，管柱无量纲长度ξ_L为

2、建立悬挂管柱屈曲平衡方程

以上述管柱相关初始化输入参数，管柱若离散成空间实体单元，模型太大，计算效
率低。由于管柱的轴向尺寸远大于其横截面尺寸，管柱离散成空间梁单元，可显著提高计算
效率。

管柱属于大柔度杆或细长杆，在管柱上端悬挂受拉，管柱下端受压，管柱受压段刚
度降低，当受压段达到一定长度后，管柱屈曲发生横向弯曲变形，将产生较大的横向位移和
转动，力与变形的关系不再是线性，非线性效应突出，属于几何非线性问题。

空间梁单元矩阵包括弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵经过对所有单元组
装，可得悬挂管柱几何非线性分析的整体平衡方程为

(K₀+K_σ(u))u＝F， (3)

式中：K₀为管柱的线弹性刚度矩阵；K_σ为管柱的几何刚度矩阵，是节点位移的函数；
u管柱的节点位移向量，包含上下两端施加的约束边界条件；F为节点力向量，包含管柱上端
悬挂拉力、管柱的单位长度载荷和管柱下端轴向压力。

上下两端施加的约束边界条件是以下几类边界条件的其中之一：(1)上端铰支，下
端自由；(2)上端固支，下端自由；(3)上端自由，下端铰支；(4)上端铰支，下端铰支；(5)上端
固支，下端铰支；(6)上端自由，下端固支；(7)上端铰支，下端固支；(8)上端固支，下端固支。
实现上下两端不同约束边界条件对垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷的计算。

上端施加悬挂拉力，其值可以是任意正值，还包括悬挂拉力等于0。若管柱上端自
由，悬挂拉力为0。管柱下端无论选取何种边界条件，均约束轴向位移，管柱下端轴向压力为
约束反力。

管柱在横向弯曲变形过程中，将受到井筒约束限制，与井筒内壁面在任一轴向距
离、任一圆周方向上产生接触力学行为，属于接触非线性问题。需综合考虑几何非线性和接
触非线性，悬挂管柱几何非线性和接触非线性静力屈曲分析的总体平衡方程式

(K₀+K_σ(u)+K_n(u))u＝F+F_n(u) (4)

式中：K_n(u)为管柱的接触刚度矩阵；F_n为管柱的接触力向量，是节点位移的函数。

3、建立悬挂管柱螺旋屈曲分析方法

对方程(4)可用软件编程计算，也可用大型通用有限元软件计算(比如ANSYS软件、
ABAQUS软件等)，但无论采用何种方法计算，由于方程(4)包含几何和接触双重非线性，均存
在收敛困难和算法不稳定问题。管柱的屈曲构型存在跳跃性变化、管柱与井筒接触和脱离
等强非线性力学行为，导致计算过程中接触状态突变，计算异常终止，存在收敛困难。算法
不稳定表现在收敛解不唯一，螺旋后屈曲构型存在随意性。例如，形成正弦屈曲构型后，随
着管柱下端轴向压力载荷的增加，正弦屈曲构型在井筒内旋转，却不能形成螺旋屈曲构型；
由于对轴向载荷增量和载荷步长的敏感性，有时候能，而有时候又不能形成螺旋屈曲构型；
即使形成了螺旋屈曲构型，但又重新回到正弦屈曲构型；在同一个屈曲构型中的不同轴向
距离处，可能同时存在左螺旋和右螺旋屈曲构型现象。

为此，提出悬挂管柱非线性静力屈曲分析的慢动力分析法，该方法针对管柱屈曲
收敛困难和算法不稳定问题，利用动力学方法，按照一定方式施加所有恒载，考虑时间积分
效应，设置较大的阻尼，计算一定的时间，求解管柱动力响应直至稳定。也就是利用动力学
方法，解决垂直井悬挂管柱螺旋屈曲分析问题。

悬挂管柱螺旋屈曲的动力学基本运动方程为

Mu″+Cu′+Ku＝F(t) (5)

式中：M为管柱的质量矩阵；C为管柱的阻尼矩阵；K为管柱的刚度矩阵，K＝K₀+K_σ(u)+
K_n(u)；u′为节点速度向量；u″为节点加速度向量；F(t)为节点载荷向量，包含管柱上端悬挂
拉力、管柱的单位长度载荷、管柱下端轴向压力和管柱的接触力；t是计算时间。

4、悬挂管柱螺旋屈曲求解

采用大型通用有限元分析软件ANSYS，将管柱梁单元用BEAM188离散，井筒用
BEAM188离散，在管柱与井筒之间创建三维梁梁接触。在管柱梁单元外表面依附CONTA176接
触单元，在井筒内表面依附TARGE170目标单元。CONTA176接触单元与TARGE170目标单元之
间是一种线-线接触关系，但具有3D接触特征，可用于模拟管柱与井筒这类环向接触的非线
性问题。

对方程(5)进行隐式求解计算。悬挂管柱螺旋屈曲慢动力分析法的求解技术包括：

(1)阻尼比的选取

方程(5)中的阻尼矩阵C为

C＝αM+βK， (6)

式中：α为质量矩阵系数，简称α阻尼；β为刚度矩阵系数，简称β阻尼。

通常管柱的α和β并非已知，可通过模态阻尼比计算获得。根据正交性原理，管柱
模态阻尼比和固有频率ω满足下式

上式中固有频率通常取第1阶，例如两端铰支管柱的第1阶固有频率为

式中：ρ是管柱的密度；A为管柱的横截面面积。

忽略β阻尼的影响，选取第1阶固有频率，α阻尼公式为

式中：为管柱模态阻
尼比；ω为管柱固有频率。

采用慢动力分析法计算时，α阻尼应选取较大的值。若直接取实际的α阻尼计算，动
力响应时间长，计算效率低。因此，通过选取较大的阻尼比放大α阻尼，使动力响应到稳定
状态的时间减短，提高计算效率。采用过阻尼，取阻尼比实现放大α阻尼。

(2)计算时间增量的选取

时间增量的选取会影响计算效率和精度，为提高计算精度。直接积分法中计算时
间增量的选取原则为：常规时间增量取1/40倍固有周期，最小时间增量取1/200倍固有周
期，最大时间增量取1/10倍固有周期。

(3)初始缺陷的选取

由于非线性屈曲分析要求管柱是不“完善”的，如果管柱没有初始缺陷，非线性屈
曲分析是没有办法完成的。初始缺陷可以是管柱初始几何缺陷，可先进行特征值屈曲分析，
根据提取的特征值屈曲模态，更新节点坐标，实现初始几何缺陷的施加。初始缺陷也可以是
施加微小扰动力，使其发生轻微的横向挠动变形，扰动力撤消后看管柱是否产生屈曲。

初始几何缺陷会影响管柱的屈曲临界载荷，而微小扰动力是在初始施加，在后续
分析中撤销，不会影响管柱屈曲临界载荷。采用初始扰动力方式，既保持了管柱的完整性，
又实现了初始缺陷的施加。

扰动力的不同施加方式影响螺旋屈曲最终螺旋段的旋向(左螺旋或右螺旋)。初始
扰动力施加方式是以下几种的其中之一：(1)只在管柱受压段中点施加一个横向扰动力，简
称为一个扰动力；(2)在管柱受压段中点施加一个横向扰动力，在上端施加一个扰动扭矩，
简称为两个扰动力；(3)在管柱受压段的1/4、2/4和3/4处，分别施加互成90°的横向扰动力，
简称为三个扰动力。

施加扰动力的大小均为单位载荷，扰动力施加的时间历程为：计算时间在管柱1/2
倍固有周期之前，施加180°正弦波的扰动力；计算时间在管柱1/2倍固有周期之后，施加扰
动力为0。

(4)外载荷施加

上端悬挂拉力施加的时间历程为：(1)计算时间在管柱1/4倍固有周期之前，施加
90°正弦波的悬挂拉力；(2)计算时间在管柱1/4倍固有周期之后，施加恒定的悬挂拉力。

管柱的单位长度载荷通过重力加速度施加，其时间历程为：(1)计算时间在管柱1/
4倍固有周期之前，施加90°正弦波的重力加速度；(2)计算时间在管柱1/4倍固有周期之后，
施加恒定的重力加速度。

(5)计算总时间

采用Newmark直接积分法，对(5)式的管柱动力学方程进行隐式有限元计算。若t时
刻管柱的位移、速度和加速度已知，则可计算出t+Δt时刻管柱的动力响应(位移、速度和加
速度等)。

计算总时间取10个管柱固有周期以上，使管柱各节点的位移趋于稳定、管柱各节
点速度和加速度趋于0，方程(5)退化成式(4)，实现用慢动力分析法对管柱静力屈曲的求
解。

5、悬挂管柱螺旋屈曲计算结果后处理

提取管柱各个节点两个方向的横向位移，进而求出管柱各节点的横向变形位移和
圆周角度。若管柱与井筒上下接触点之间的螺旋角度不等于360°，则改变上端悬挂拉力，并
改变阻尼比和时间增量，重复步骤4反复计算，直到螺旋角度为360°。

根据计算结果，悬挂管柱管柱无量纲总长度ξ_L分成4段(见图1)，分别为受压下段
ξ_C1、受压螺旋段ξ_C2、受压上段ξ_C3和受拉段ξ_T，其中受压段无量纲长度为

ξ_C＝ξ_C1+ξ_C2+ξ_C3， (10)

管柱无量纲总长为

ξ_L＝ξ_C+ξ_T。 (11)

6、悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷确定

首先，它与管柱长度有关；其次，与上下两端的约束约束边界条件有关。图2给出了
悬挂管柱不同长度和约束边界条件的螺旋屈曲曲线计算结果，x和y坐标表示管柱的横向挠
度，z坐标表示管柱的无量纲长度。约束边界条件取4种：(1)上端铰支-下端铰支；(2)上端固
支-下端铰支；(3)上端铰支-下端固支；(4)上端固支-下端固支。

由图2可见，悬挂管柱上下两端的约束边界条件以及管柱长度对螺旋屈曲有着重
要影响。

考虑实际悬挂管柱上下两端的约束边界条件以及管柱长度对螺旋屈曲的影响，根
据计算结果，螺旋屈曲临界载荷应是受压下段ξ_C1、受压螺旋段ξ_C2和受压上段ξ_C3的重量对下
端轴向压力的总和，而不是受压螺旋段ξ_C2自身的重量对应的下端轴向压力
因此，悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷为

式中：ξ_C是悬挂管柱螺旋屈曲无量纲临界载荷。

根据以上步骤，已知悬挂管柱上下两端的约束边界条件、管柱总长度、横截面惯性
矩、单位长度载荷q以及管柱材质的弹性模量，便可确定悬挂管柱螺旋屈曲的临界载荷。

根据本发明，悬挂管柱不同长度和边界约束条件下螺旋屈曲的部分计算结果见表
1。

表1悬挂管柱不同长度和边界约束条件下螺旋屈曲的部分计算结果

由表1可见，悬挂管柱边界约束条件取上端铰支-下端铰支时，管柱无量纲总长度
取ξ_L＝8，求得的无量纲受压下段ξ_C1＝0.929、无量纲受压螺旋段ξ_C2＝4.617、无量纲受压上
段ξ_C3＝1.876、无量纲受拉段ξ_T＝0.578，无量纲受压段总长ξ_C＝7.422，临界载荷为

表1可用于计算悬挂管柱不同规格尺寸的螺旋屈曲临界载荷大小。例如悬挂管柱
取钻铤，外径158.75mm，钻铤内径57.15mm，弹性模量E＝2.1E11Pa，q＝1149.0N/m，无量纲单
位长度由表1可得：

(1)边界约束条件取上端铰支-下端铰支，管柱无量纲总长度取ξ_L＝8，管
柱总长受压下段受压螺旋段
受压上段受拉段悬
挂拉力受压段总长螺旋屈曲临界载荷

(2)边界约束条件取上端铰支-下端铰支，管柱无量纲总长度取ξ_L＝30，管
柱总长受拉段悬挂拉力
受压段总长螺旋屈曲临界载荷

图3给出了悬挂管柱不同长度和约束边界条件的螺旋屈曲无量纲临界载荷。由图3
可见，随着管柱无量纲长度的增加，螺旋屈曲无量纲临界载荷逐渐减小，并趋于稳定；上端
分别为固支和铰支约束，下端为同种约束时，无量纲临界载荷趋于相等，表明上端这两种约
束对螺旋屈曲的影响趋于相同；而下端约束对螺旋屈曲无量纲临界载荷有着重要影响，临
界载荷固支约束大于铰支约束。

为了验证悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷确定方法的计算精度，改变约束边界条件，
即下端铰支上端自由，重新计算。由于文献中计算的临界载荷普遍没有考虑边界约束条件
的影响，将螺旋段自身重量对应的受压载荷作为临界载荷，这与上端自由计算出的受压螺
旋段ξ_C2在该段的约束边界条件一致。在下端铰支-上端自由的约束边界条件下，本发明受压
螺旋段ξ_C2无量纲长度为5.597，高德利院士(2006)采用能量法的无量纲长度为5.62，相对误
差为0.4％。通过对比可以推论，本发明考虑悬挂管柱长度和约束边界条件的影响，确定的
垂直井悬挂管柱螺旋屈曲临界载荷更能符合工程实际，具有算法稳定、计算效率快、结果精
度高等特点。