弹性转动约束边界钢混组合梁高腹板纵向加劲肋设置的方法.pdf

本发明涉及一种弹性转动约束边界钢??混组合梁高腹板纵向加劲肋设置的方法。首先建立具有弹性转动约束边界的位移函数方程和边界条件，基于能量法推导刚性加劲和柔性加劲两种状态下加劲肋的屈曲应力计算表达式，获得弹性转动约束边界纵向加劲肋临界刚度的计算公式；然后，考虑外力功和最小势能原理，提出弹性转动约束边界下非均匀受压板的临界屈曲应力计算公式；最后，根据屈曲安全度相等原则，获得转动约束边界下纵向加劲肋设置的最优位置。该方法能够根据实际受力情况准确地进行钢??混组合梁高腹板纵向加劲肋的设置，解决目前钢??混组合桥梁加劲肋设计保守、钢材用量大的难题，显著提高高腹板加劲肋设置的合理性与经济性。

1.一种弹性转动约束边界钢-混组合梁高腹板纵向加劲肋设置的方法，其特征在于：首
先建立具有弹性转动约束边界的位移函数方程和边界条件，基于能量法推导刚性加劲和柔
性加劲两种状态下加劲肋的屈曲应力计算表达式，获得弹性转动约束边界纵向加劲肋临界
刚度的计算公式；然后，考虑外力功和最小势能原理，提出弹性转动约束边界下非均匀受压
板的临界屈曲应力计算公式；最后，根据屈曲安全度相等原则，获得转动约束边界下纵向加
劲肋设置的最优位置。
2.根据权利要求1所述的一种弹性转动约束边界钢-混组合梁高腹板纵向加劲肋设置
的方法，其特征在于：包括以下步骤：
(1)转动约束边界加劲板屈曲应力计算
经典板件稳定理论为四边简支的边界，采用双重级数作为板件挠曲函数；为计算钢-混
组合梁加劲腹板的屈曲应力，将腹板与翼缘分离，翼缘边界等效为两对边具有转动效应的
约束弹簧；为了构造具有弹性转动约束效应的边界，位移函数方程采用多项式与三角函数
的乘积形式：
$\mathrm{\ω}(x,y)=\left[\begin{array}{c}\frac{y}{b}+a_1{\left(\frac{y}{b}\right)}^2+\\ a_2{\left(\frac{y}{b}\right)}^3+a_3{\left(\frac{y}{b}\right)}^4\end{array}\right]\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{A}_{m}sin\left(\frac{m\mathrm{\π}x}{a}\right)$
式中：a、b为腹板的宽度和高度；m为x方向的屈曲半波数；a₁、a₂、a₃为位移函数待定系
数，由边界条件确定；边界条件如下所示：
$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ω}(x,0)=0\\ \mathrm{\ω}(x,b)=0\\ M(x,0)=-D{(\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂y^2}+\mathrm{\υ}\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂x^2})}_{y=0}=-k_0{\left(\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂y}\right)}_{y=0}\\ M(x,b)=-D{(\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂y^2}+\mathrm{\υ}\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂x^2})}_{y=b}=k_b{\left(\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂y}\right)}_{y=b}\end{array}\right.$
其中：k₀、k_b为腹板边界的约束刚度，D为腹板抗弯刚度；将边界条件带入位移函数方程
中，令无量纲边界转动约束系数：X₀、X_b分别表示y＝0和y＝b处的转动约束
系数。
联立位移函数与边界条件，求出各待定系数为：
$a_1=\frac{X_0}{2},a_2=-\frac{X_0{X}_b+5X_0+3X_b+12}{X_b+6},$
$a_3=\frac{1}{2}\frac{X_0{X}_b+4X_0+4X_b+12}{X_b+6}$
边界转动受到约束，等效的应变能为：
$U_s=\frac{1}{2}\∫\[k_0{\left(\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂y}{|}_{y=0}\right)}^2+k_b{\left(\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂y}{|}_{y=b}\right)}^2\]d_x$
加劲肋的设置方式；根据最小势能原理，并通过变分运算可知，当加劲肋为柔性加劲肋
时，加劲板的屈曲应力如公式(1)所示：
${\mathrm{\σ}}_1=\frac{{\mathrm{D\π}}^2}{b^{2}t}\frac{\left(\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{\π}}^2{B}_1}{{\mathrm{\α}}^{3}5040}{m}^4+\frac{{\mathrm{\αB}}_2}{10{\mathrm{\π}}^2}+\frac{B_3}{210\mathrm{\α}}{m}^2+\\ \frac{(B_4+B_5)\mathrm{\α}}{2{\mathrm{\π}}^2}+\mathrm{\γ}\frac{B_6{\mathrm{\π}}^2}{2048{\mathrm{\α}}^3}{m}^4\end{array}\right)}{(\frac{{\mathrm{\π}}^2{B}_1}{5040\mathrm{\α}}{m}^2+\frac{{\mathrm{\ηB}}_6{\mathrm{\π}}^2}{2048\mathrm{\α}}{m}^2)}---\left(1\right)$
其中：板的长宽比加劲肋的刚度比加劲肋的截面比式中I^L表示加
劲肋的刚度，A^L表示加劲肋的面积，B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆是与边界约束刚度系数有关的参数，t
表示腹板的厚度，σ₁表示加劲肋为柔性加劲肋时加劲板的屈曲应力；
$B_1=X_0^2{X}_b^2+17X_0^2{X}_b+17X_0{X}_b^2+76X_0^2+272X_0{X}_b+76X_b^2+1140X_0+1140X_b+4464$
$B_2=X_0^2{X}_b^2+8X_0^2{X}_b+8X_0{X}_b^2+36X_0^2+36X_0{X}_b+36X_b^2+216X_0+216X_b+864$
$B_3=X_0^2{X}_b^2+15X_0^2{X}_b+15X_0{X}_b^2+72X_0^2+210X_0{X}_b+72X_b^2+936X_0+936X_b+3672$
B₄＝X₀(X_b+6)²，B₅＝X_b(X₀+6)²，B₆＝(X₀X_b+8X₀+8X_b+60)²
式中：X₀、X_b分别表示y＝0和y＝b处的转动约束系数。
当加劲肋为刚性加劲肋时，加劲板的屈曲发生在刚性加劲肋之间的板元，此时加劲板
的屈曲应力如公式(2)所示：
${\mathrm{\σ}}_2=\frac{{\mathrm{D\π}}^2}{{b_L}^{2}t}\frac{24}{B_1{\mathrm{\π}}^2}(2B_3+\sqrt{14B_1{B}_7})---\left(2\right)$
式中：b_L为刚性加劲肋之间的板元的最大高度；B₇＝B₂+5B₄+5B₅，B₇表示与边界约束刚度
系数有关的参数，σ₂表示加劲肋为刚性加劲肋时加劲板的屈曲应力。
根据公式(1)和(2)可知：板件受到柔性加劲时，板件宽高比和肋板的面积比以及边界
刚度保持不变时，随着加劲肋刚度增加，腹板屈曲应力也逐渐增加；板件受到刚性加劲时，
腹板屈曲应力随边界约束系数增大而增大。
(2)转动约束边界纵向加劲肋临界刚度计算
经典板件稳定理论在确定加劲肋的临界刚度时采用使加劲肋同时满足刚性屈曲和柔
性屈曲两种屈曲情况对应的刚度，即σ₁＝σ₂；则转动约束边界下，加劲肋的临界刚度满足：
$\frac{{\mathrm{D\π}}^2}{b^{2}t}\frac{\frac{{\mathrm{\π}}^2{B}_1}{{\mathrm{\α}}^{3}5040}+\frac{{\mathrm{\αB}}_2}{10{\mathrm{\π}}^2}+\frac{B_3}{210\mathrm{\α}}+\frac{(B_4+B_5)\mathrm{\α}}{2{\mathrm{\π}}^2}+{\mathrm{\γ}}_0\frac{B_6{\mathrm{\π}}^2}{2048{\mathrm{\α}}^3}}{(\frac{{\mathrm{\π}}^2{B}_1}{5040\mathrm{\α}}+\frac{{\mathrm{\ηB}}_6{\mathrm{\π}}^2}{2048\mathrm{\α}})}=\frac{{\mathrm{D\π}}^2}{{b_L}^{2}t}\frac{24}{B_1{\mathrm{\π}}^2}(2B_3+\sqrt{14B_1{B}_7})$
则弹性转动边界约束下，加劲肋的临界刚度为：
${\mathrm{\γ}}_0=\frac{8M}{315b_L^2{B}_1{B}_6{\mathrm{\π}}^4}---\left(3\right)$
其中：
式中M为简化公式用，γ₀表示加劲肋的临界刚度；
(3)转动约束边界非均匀受压板临界屈曲应力
板受到外力荷载作用做的功：
$V=\frac{1}{2}{N}_0\∫\∫(1-\mathrm{\λ}\frac{y}{b}){\left(\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂x}\right)}^2{d}_x{d}_y$
式中：V表示板受到外力荷载作用做的功，N₀表示y＝0处的荷载大小；
根据最小势能原理，可得弹性转动约束边界下非均匀受压板的临界屈曲应力计算公式
为：
${\mathrm{\σ}}_{cr}=\frac{{\mathrm{D\π}}^2}{b^{2}t}\frac{12(\sqrt{14}{B}_1{B}_2+5\sqrt{14}{B}_1{B}_4+5\sqrt{14}{B}_1{B}_5+2B_3\sqrt{B_1{B}_7})}{B_8{\mathrm{\π}}^2\sqrt{B_1{B}_7}}---\left(4\right)$
$\begin{array}{c}{B}_8=\[(1-\mathrm{\λ}/2)X_b^2+(17-9\mathrm{\λ})X_b+(76-43\mathrm{\λ})\]X_0^2+\[(17-8\mathrm{\λ})X_b^2+(272-136\mathrm{\λ})X_b+(1140-612\mathrm{\λ})\]X_0+\\ \[(76-33\mathrm{\λ})X_b^2+(1140-528\mathrm{\λ})X_b+(4464-2232\mathrm{\λ})\]\end{array}$
其中：σ_cr表示弹性转动约束边界下非均匀受压板的临界屈曲应力，λ为应力梯度，λ＝
(σ_高-σ_低)/σ_高；σ_高表示非均匀应力中较大的应力,σ_低表示非均匀应力中较小的应力；(4)纵向
加劲肋最优位置的计算
a)腹板上布置两条加劲肋时：
各板元的边界条件：第一板元①为一边弹性转动约束边界，另一边为简支边；第二板元
②为四边简支边界；
令用来表征加劲肋相对于腹板高度位置，则刚性加劲处腹板的屈曲应力：

表示加劲肋相对于腹板高度位置，b₁表示第一条加劲肋距离受压区边缘的距离，b₀表
示受压区的高度；σ₂表示加劲肋为刚性加劲肋时加劲板的屈曲应力；
根据屈曲安全度相等的原则：
$\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_{cr1}}=\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_{cr2}}$
式中：σ_cr1表示第一板元①的临界屈曲应力，σ_cr2表示第二板元②的临界屈曲应力；
即：

根据上式，求解出从而确定b₁、b₀，即可获得弹性转动约束边界下钢-混组合梁腹板
两条加劲肋的具体位置；
b)对于n条纵向加劲肋的情况：
腹板被纵向加劲肋分割成n+1个板元，σ₁,σ₂,L,σ_n+1和加劲肋的位置存在比例关系，σ_cr1
按照转动约束计算临界应力，σ_cr2,L,σ_crn+1参考四边简支理论计算临界应力，各板元需满足
以下方程组，求解可得到多条加劲肋的合理位置；
$\left\{\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_{cr1}}=\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_{cr2}},\frac{{\mathrm{\σ}}_2}{{\mathrm{\σ}}_{cr2}}=\frac{{\mathrm{\σ}}_3}{{\mathrm{\σ}}_{cr3}},L,\frac{{\mathrm{\σ}}_n}{{\mathrm{\σ}}_{crn}}=\frac{{\mathrm{\σ}}_{n+1}}{{\mathrm{\σ}}_{crn+1}}\right\}---\left(6\right)$
式中：σ₃表示第2条加劲肋处的外荷载应力水平，σ_cr3表示第2块板元的临界屈曲应力σ_n
表示第n-1条加劲肋处的外荷载应力水平，σ_crn表示第n-1块板元的临界屈曲应力，σ_n+1表示
第n条加劲肋处的外荷载应力水平，σ_crn+1表示第n块板元的临界屈曲应力。

弹性转动约束边界钢-混组合梁高腹板纵向加劲肋设置的 方法

技术领域

本发明涉及交通运输业桥涵工程领域，具体是涉及一种弹性转动约束边界钢-混
组合梁高腹板纵向加劲肋设置的方法。

背景技术

钢-混组合桥梁具有很好的受力性能与经济性，近年来逐步得到工程应用。随着桥
梁跨径不断增大，其腹板的高厚比不断增大，高腹板稳定性已成为桥梁设计中的重要问题，
影响高腹板稳定性的纵向加劲肋刚度及其位置设置，也成为设计中的关键问题。

目前，钢-混组合梁高腹板稳定性分析常采用经典弹性稳定理论，其边界条件为四
边简支，但钢-混组合梁腹板边界是介于简支与固定边之间约束的特殊边界，即弹性转动约
束边界。近年来，Qiao、Chattopadhyay、Vescovini等分析了弹性转动约束下的板件临界屈
曲应力，获得了板件临界屈曲应力随弹性转动约束刚度的增大而增大的规律，但尚未考虑
弹性转动约束边界进行高腹板纵向加劲肋临界刚度的计算及其合理位置的设置。钢-混组
合梁的边界刚度对高腹板的加劲设计影响较大，忽略腹板边界刚度将导致高腹板受力与实
际存在较大误差，并产生不必要的纵横向加劲肋。因此，推导弹性转动约束边界高腹板纵向
加劲肋临界刚度的计算方法，根据高腹板实际受力情况提出钢-混组合梁纵向加劲肋的设
置方法，有效解决目前钢-混组合桥梁加劲肋设计保守、钢材用量大的难题，提高高腹板加
劲肋设置的合理性与经济性，是十分必要的。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：提供一种精确的弹性转动约束边界钢-混组合梁
高腹板纵向加劲肋设置的方法，根据该方法可获得转动约束边界下纵向加劲肋设置的最优
位置，可减少材料用量，采用本发明方法提高加劲板的屈曲荷载。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种弹性转动约束边界钢-混组合梁高腹板纵向加劲肋设置的方法，其特征在于：
首先建立具有弹性转动约束边界的位移函数方程和边界条件，基于能量法推导刚性加劲和
柔性加劲两种状态下加劲肋的屈曲应力计算表达式，获得弹性转动约束边界纵向加劲肋临
界刚度的计算公式；然后，考虑外力功和最小势能原理，提出弹性转动约束边界下非均匀受
压板的临界屈曲应力计算公式；最后，根据屈曲安全度相等原则，获得转动约束边界下纵向
加劲肋设置的最优位置(合理位置)。

本发明中所述的弹性转动约束边界钢-混组合梁高腹板纵向加劲肋设置的方法，
其特征在于包括以下步骤：

(1)转动约束边界加劲板屈曲应力计算

经典板件稳定理论为四边简支的边界，采用双重级数作为板件挠曲函数；为计算
钢-混组合梁加劲腹板的屈曲应力，将腹板与翼缘分离，翼缘边界等效为两对边具有转动效
应的约束弹簧；为了构造具有弹性转动约束效应的边界，位移函数方程采用多项式与三角
函数的乘积形式：

式中：a、b为腹板的宽度和高度；m为x方向的屈曲半波数；a₁、a₂、a₃为位移函数待定
系数，由边界条件确定；边界条件如下所示：

其中：k₀、k_b为腹板边界的约束刚度，D为腹板抗弯刚度；将边界条件带入位移函数
方程中，令无量纲边界转动约束系数：X₀、X_b分别表示y＝0和y＝b处的转动
约束系数。

联立位移函数与边界条件，求出各待定系数为：

边界转动受到约束，等效的应变能为：

加劲肋的设置方式；根据最小势能原理，并通过变分运算可知，当加劲肋为柔性加
劲肋时，加劲板的屈曲应力如公式(1)所示：

其中：板的长宽比加劲肋的刚度比加劲肋的截面比式中I^L表
示加劲肋的刚度，A^L表示加劲肋的面积，B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆是与边界约束刚度系数有关的参
数，无实际意义；t表示腹板的厚度，σ₁表示加劲肋为柔性加劲肋时加劲板的屈曲应力；

B₄＝X₀(X_b+6)²，B₅＝X_b(X₀+6)²，B₆＝(X₀X_b+8X₀+8X_b+60)²

式中：X₀、X_b分别表示y＝0和y＝b处的转动约束系数。

当加劲肋为刚性加劲肋时，加劲板的屈曲发生在刚性加劲肋之间的板元(板元是
板件被加劲肋分割后的区格)，此时加劲板的屈曲应力如公式(2)所示：

式中：b_L为刚性加劲肋之间的板元的最大高度；B₇＝B₂+5B₄+5B₅，B₇表示与边界约束
刚度系数有关的参数，无实际意义，为简化公式用，σ₂表示加劲肋为刚性加劲肋时加劲板的
屈曲应力。

根据公式(1)和(2)可知：板件受到柔性加劲时，板件宽高比和肋板的面积比以及
边界刚度保持不变时，随着加劲肋刚度增加，腹板屈曲应力也逐渐增加；板件受到刚性加劲
时，腹板屈曲应力随边界约束系数增大而增大。

(2)转动约束边界纵向加劲肋临界刚度计算

经典板件稳定理论在确定加劲肋的临界刚度时采用使加劲肋同时满足刚性屈曲
和柔性屈曲两种屈曲情况对应的刚度，即σ₁＝σ₂；则转动约束边界下，加劲肋的临界刚度满
足：

则弹性转动边界约束下，加劲肋的临界刚度为：

其中：

式中M无实际意义，为简化公式用；γ₀表示加劲肋的临界刚度。

(3)转动约束边界非均匀受压板临界屈曲应力

板受到外力荷载作用做的功：

式中：V表示板受到外力荷载作用做的功，N₀表示y＝0处的荷载大小。

根据最小势能原理，可得弹性转动约束边界下非均匀受压板的临界屈曲应力计算
公式为：

其中：σ_cr表示弹性转动约束边界下非均匀受压板的临界屈曲应力，λ为应力梯度，λ
＝(σ_高-σ_低)/σ_高；σ_高表示非均匀应力中较大的应力,σ_低表示非均匀应力中较小的应力。

(4)纵向加劲肋最优位置(合理位置)的计算

a)腹板上布置两条加劲肋时：

各板元的边界条件：第一板元①为一边弹性转动约束边界，另一边为简支边；第二
板元②为四边简支边界。

令用来表征加劲肋相对于腹板高度位置，则刚性加劲处腹板的屈曲应
力：

表示加劲肋相对于腹板高度位置，b₁表示第一条加劲肋距离受压区边缘的距离，
b₀表示受压区的高度；σ₂表示加劲肋为刚性加劲肋时加劲板的屈曲应力。

根据屈曲安全度相等的原则：

式中：σ_cr1表示第一板元①的临界屈曲应力，σ_cr2表示第二板元②的临界屈曲应力；

即：

根据上式，求解出从而确定b₁、b₀，即可获得弹性转动约束边界下钢-混组合梁
腹板两条加劲肋的具体位置，见表1。

表1不同边界约束纵向加劲肋最优位置

b)对于n条纵向加劲肋的情况：

腹板被纵向加劲肋分割成n+1个板元，σ₁,σ₂,L,σ_n+1和加劲肋的位置存在比例关系，
σ_cr1按照转动约束计算临界应力，σ_cr2,L,σ_crn+1参考四边简支理论计算临界应力，各板元需满
足以下方程组，求解可得到多条加劲肋的合理位置：

式中：σ₃表示第2条加劲肋处的外荷载应力水平，σ_cr3表示第2块板元的临界屈曲应
力σ_n表示第n-1条加劲肋处的外荷载应力水平，σ_crn表示第n-1块板元的临界屈曲应力，σ_n+1
表示第n条加劲肋处的外荷载应力水平，σ_crn+1表示第n块板元的临界屈曲应力。

本发明具有以下的主要优点：

其一、考虑腹板弹性转动约束的影响，可以精确的计算板件临界屈曲应力并获得
加劲肋设置的最优位置。

其二、相比规范大幅提高临界屈曲应力，从而提高高腹板加劲肋设置的合理性与
经济性，可减少材料用量，采用本发明方法提高加劲板的屈曲荷载。

其三、本发明能适用于任意条腹板纵向加劲肋的最优位置的计算。

其四、本发明加劲肋设置计算过程简单、易行，具有较大的实际工程应用价值。

附图说明

图1为简化模型及加劲板屈曲计算示意图。

图2为纵向加劲肋边界约束转动系数示意图。

图3为纵横向加劲肋的设置示意图。

图4为两条纵向加劲肋布置图。

图5为工字型组合梁尺寸布置图。

图中：1.钢腹板；2.y＝0处的转动约束系数；3.y＝b处的转动约束系数；4.横向加
劲肋；5.纵向加劲肋；6.第一条加劲肋；7.第二条加劲肋。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步说明，但不限定本发明。

一种弹性转动约束边界钢-混组合梁高腹板纵向加劲肋设置的方法，首先建立具
有弹性转动约束边界的位移函数方程和边界条件，基于能量法推导刚性加劲和柔性加劲两
种状态下加劲肋的屈曲应力计算表达式，获得弹性转动约束边界纵向加劲肋临界刚度的计
算公式；然后，考虑外力功和最小势能原理，提出弹性转动约束边界下非均匀受压板的临界
屈曲应力计算公式；最后，根据屈曲安全度相等原则，获得转动约束边界下纵向加劲肋设置
的最优位置(合理位置)。

该方法包括以下几个步骤：

确定弹性转动边界约束系数X₀、X_b：

参见图2中的2、3，对于钢-混组合梁主要考虑混凝土板尺寸、剪力钉及其布置、翼
缘板尺寸等影响，对于纯钢梁，只需要考虑翼缘板和腹板的尺寸的影响，具体的计算公式已
有相关专利支撑，中国专利号为201310686380.4公开了一种确定钢-混组合梁桥腹板边界
弹性转动约束系数的计算方法。

(1)转动约束边界加劲板屈曲应力计算

经典板件稳定理论为四边简支的边界，采用双重级数作为板件挠曲函数；为计算
钢-混组合梁加劲腹板的屈曲应力，将腹板与翼缘分离，翼缘边界等效为两对边具有转动效
应的约束弹簧；为了构造具有弹性转动约束效应的边界，位移函数方程采用多项式与三角
函数的乘积形式：

式中：a、b为腹板的宽度和高度；m为x方向的屈曲半波数；a₁、a₂、a₃为位移函数待定
系数，由边界条件确定；边界条件如下所示：

其中：k₀、k_b为腹板边界的约束刚度，D为腹板抗弯刚度；将边界条件带入位移函数
方程中，令无量纲边界转动约束系数：X₀、X_b分别表示y＝0和y＝b处的转动
约束系数；

联立位移函数与边界条件，求出各待定系数为：

边界转动受到约束，等效的应变能为：

加劲肋的设置方式；根据最小势能原理，并通过变分运算可知，当加劲肋为柔性加
劲肋时，加劲板的屈曲应力如公式(1)所示：

其中：板的长宽比加劲肋的刚度比加劲肋的截面比式中I^L表
示加劲肋的刚度，A^L表示加劲肋的面积，B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆是与边界约束刚度系数有关的参
数，无实际意义。t表示腹板的厚度，σ₁表示加劲肋为柔性加劲肋时加劲板的屈曲应力；

B₄＝X₀(X_b+6)²，B₅＝X_b(X₀+6)²，B₆＝(X₀X_b+8X₀+8X_b+60)²

式中X₀、X_b分别表示y＝0和y＝b处的转动约束系数。

当加劲肋为刚性加劲肋时，加劲板的屈曲发生在刚性加劲肋之间的板元(板元是
板件被加劲肋分割后的区格)，此时加劲板的屈曲应力如公式(2)所示：

式中：b_L为刚性加劲肋之间的板元的最大高度；B₇＝B₂+5B₄+5B₅，B₇表示与边界约束
刚度系数有关的参数，无实际意义，为简化公式用，σ₂表示加劲肋为刚性加劲肋时加劲板的
屈曲应力。

根据公式(1)和(2)可知：板件受到柔性加劲时，板件宽高比和肋板的面积比以及
边界刚度保持不变时，随着加劲肋刚度增加，腹板屈曲应力也逐渐增加；板件受到刚性加劲
时，腹板屈曲应力随边界约束系数增大而增大；

(2)转动约束边界纵向加劲肋临界刚度计算

经典板件稳定理论在确定加劲肋的临界刚度时采用使加劲肋同时满足刚性屈曲
和柔性屈曲两种屈曲情况对应的刚度，即σ₁＝σ₂；则转动约束边界下，加劲肋的临界刚度满
足：

则弹性转动边界约束下，加劲肋的临界刚度为：

其中：

式中M无实际意义，为简化公式用，γ₀表示加劲肋的临界刚度。

(3)转动约束边界非均匀受压板临界屈曲应力

板受到外力荷载作用做的功：

式中：V表示板受到外力荷载作用做的功，N₀表示y＝0处的荷载大小。

根据最小势能原理，可得弹性转动约束边界下非均匀受压板的临界屈曲应力计算
公式为：

其中：σ_cr表示弹性转动约束边界下非均匀受压板的临界屈曲应力，λ为应力梯度，λ
＝(σ_高-σ_低)/σ_高；σ_高表示非均匀应力中较大的应力,σ_低表示非均匀应力中较小的应力。

(4)纵向加劲肋最优位置(合理位置)的计算

a)腹板上布置两条加劲肋时：

各板元的边界条件：第一板元①为一边弹性转动约束边界，另一边为简支边；第二
板元②为四边简支边界。

令用来表征加劲肋相对于腹板高度位置，则刚性加劲处腹板的屈曲应
力：

表示加劲肋相对于腹板高度位置，b₁表示第一条加劲肋距离受压区边缘的距离，
b₀表示受压区的高度；σ₂表示加劲肋为刚性加劲肋时加劲板的屈曲应力。

根据屈曲安全度相等的原则：

式中：σ_cr1表示第一板元①的临界屈曲应力，σ_cr2表示第二板元②的临界屈曲应力；

即：

根据上式，求解出从而确定b₁、b₀，即可获得弹性转动约束边界下钢-混组合梁
腹板两条加劲肋的具体位置，见表1。

表1不同边界约束纵向加劲肋最优位置

b)对于n条纵向加劲肋的情况：

腹板被纵向加劲肋分割成n+1个板元，σ₁,σ₂,L,σ_n+1和加劲肋的位置存在比例关系，
σ_cr1按照转动约束计算临界应力，σ_cr2,L,σ_crn+1参考四边简支理论计算临界应力，各板元需满
足以下方程组，求解可得到多条加劲肋的合理位置：

式中：σ₃表示第2条加劲肋处的外荷载应力水平，σ_cr3表示第2块板元的临界屈曲应
力σ_n表示第n-1条加劲肋处的外荷载应力水平，σ_crn表示第n-1块板元的临界屈曲应力，σ_n+1
表示第n条加劲肋处的外荷载应力水平，σ_crn+1表示第n块板元的临界屈曲应力。

下面结合附图和具体应用实施例对本发明的应用做进一步详细说明。

具体应用实施例：

已知某工字型组合梁，钢梁采用Q345qd，混凝土板为C50，具体尺寸如图5所示(尺
寸的单位为mm)。假定剪力栓钉均匀分布且连接良好(不发生水平和竖向滑移)，确定该组合
梁腹板的纵向加劲肋刚度及位置。

钢腹板下翼缘的约束系数为2.81，翼缘剪力钉连接可靠，混凝土板刚度大，上翼缘
边界考虑为近似固定边界。

纵向加劲肋刚度值、纵向加劲肋位置按照本发明和规范方法分别布置，布置结果
见表2。

表2实施例组合梁临界刚度及加劲位置结果

本实施例中，在加劲肋临界刚度取值上，本发明相比规范方法可减少材料用量约
36％。利用Ansys有限元软件对实施例的两种方法进行屈曲分析可知，采用本发明方法计算
的加劲板屈曲荷载系数为44.344，采用规范方法为27.065，采用本发明方法提高加劲板的
屈曲荷载约63.8％。