传感器的自校准方法 本发明涉及诸如位移传感器、角度传感器之类传感器的自校准方法。
在研制纳米和纳弧度量级位移传感器和角度传感器的过程中，除了提高精度以外，困难在于获得保证精度所需的校准判别条件。一般为了校准干涉位移计的波长内插误差，已经提出了利用X射线干涉仪的方法(D．K．Bowen等人的“Subnanometer transducer characterization by X-ray interferometry”，PrecisionEngineering，12，3(1990)165)和利用PZT线性驱动范围的非线性误差补偿方法(W．How和G．Wilkening，“Investigation and compensation of non-linearity ofheterodyne intergerometers”，Precision Engineering，14，2(1992)91)。
但是对于前一方法，用户难以利用。另一方面，在后一方法中，难以确定校准工作是否已经正确完成。此外，大多数这样的精密传感器都要求进行精确的调整。因此需要把它们安装在装置里作原位校准。但是普通方法无法满足这种要求。
为了解决这个问题，本发明的发明人提出了一种位移传感器和角度传感器线性误差的自校准方法。通常情况下，为了获取普通传感器的校准数据，需要利用精度比待校准传感器更高的传感器系统。在自校准方法中，可以省去这种精密的传感器系统。本发明发明人提出的自校准方法在下列文献中有所述及：(1)Kiyono，Morishima和Sugibuchi，“Self-calibrationmethod against linearity errorsfor displacement meters”，Journal of the Japan Society for PrecisionEngineering，59，12(1993)2043，(2)Kiyono，Ge和Nishino，“High accuracy ofinterferometer bv self-calibration of interpolation errors”，Journal of the JapanSociety for Precision Engineering，62，2(1996)279，(3)Kiyono和Zhang，“Study ofhigh accuracy self-calibration method for angukar sensor”，Journal of the JapanSociety for Precision Engineering，60，11(1994)1591。
在位移传感器的自校准方法中，制备一种与待校准传感器(以下称为目标传感器)类型相同的基准传感器。此外，采用了能够使基准传感器检测目标传感器n倍位移地杠杆系统。这样，当利用基准传感器校准目标传感器时，校准结果的线性误差被杠杆系统降低到1／n。通过不断的互校准，线性误差可以几乎收敛至零。
在本发明发明人提出的自校准方法中，需要放大校准输入值的杠杆系统和目标传感器。因此难以在传感器安装在单元里对它作原位校准。为作原位校准，需要一种不用额外传感器和杠杆系统的方法。
本发明的目标是提供一种传感器自校准方法，它通过数据采样、逼近计算和收敛计算精确测量传感器线性误差而无需借助额外的空间和附加装置或附加传感器。
本发明的第一方面是一种传感器自校准方法，其校准曲线表示为f(x)=v=Sm．x+g(x)，这里x代表输入值；v代表输出值；Sm代表平均灵敏度；而g(x)代表线性误差，所述方法包括以下步骤：(a)在预先确定的传感器校准范围内在多个第一采样点采样传感器输出值vi(这里i=1，2，…，n)；(b)在预先确定的传感器校准范围内在多个第二采样点采样传感器输出值vi+，每对第一和第二采样点之间的输入间隔为Δx；(c)在每个第一采样点上利用输出值vi计算输入近似值x0i≈vi／Sm；(d)利用差值Δvi=vi+-vi计算线性误差g(x)的微分近似值g’0(xi0)≈Δvi／Δx-Sm；(e)数值积分微分近似值g’0(x0i)以获得线性误差g(x)的线性误差近似值g0(x)=∑g’0(x0i)；以及(f)不断改进线性误差近似值g0(x)直到满足预先确定的收敛条件，从而利用线性误差近似值g0(x)改进输入近似值x0i，随后利用最终的输入近似值改进微分近似值g’0(x0i)，并利用最终的微分近似值改进线性误差近似值g0(x)。
输入间隔Δx例如可以通过计算平均值Sm．Δx=∑Δvi／n得到。当步骤(a)和(b)中采样点间隔有一特定偏离时，根据平均值计算中采样间隔的偏离对差值Δvi赋与权重。
本发明的第二方面是一种传感器自校准方法，其校准曲线表示为f(x)=v=Sm．x+g(x)，这里x代表输入值；v代表输出值；Sm代表平均灵敏度；而g(x)代表线性误差，所述方法包括以下步骤：(a)将校准曲线用反函数B(v)=x=v／Sm+T(v)表示；(b)在预先确定的传感器校准范围内在多个第一采样点采样输出值vi(这里i=1，2，…，n)；(c)在预先确定的传感器校准范围内在多个第二采样点采样输出值vi+，每对第一和第二采样点之间的输入间隔为Δx；(d)利用差值Δvi=vi+-vi计算反函数B(v)的线性误差T(v)的微分近似值T’(vi)≈Δx／Δvi-1／Sm；以及(e)数值积分微分近似值T’(vi)以获得线性误差T(v)。
按照本发明，无需采用比目标传感器精度更高的基准传感器和其它附加装置，只要通过对采样数据的处理(即利用差值近似计算线性误差的微分，利用微分值近似计算线性误差以及改进采样点和线性误差的收敛计算)就能自校准线性误差。因此，按照本发明，装在单元里的传感器可以在原位条件下进行自校准而无需借助专门的空间和附加装置。
此外，按照本发明，借助校准曲线的反函数可以从采样数据中直接获得反函数的线性误差函数微分，并且对结果进行数值积分从而得到校准曲线。在利用反函数的方法中，由于在无线性误差的假定下没有进行近似计算，所以无需作收敛计算就可以获得校准曲线。
通过以下结合附图对本发明实施例的描述可以进一步理解本发明的各种目标、特征和优点。
图1为按照本发明的位移传感器自校准过程的流程图；
图2为解释校准曲线上差值计算和输入近似值计算用的曲线；
图3为解释线性误差微分函数近似值计算用的曲线；
图4为解释线性误差近似值计算用的曲线；
图5为驱动压电器件特性的曲线图；
图6为通过数值计算得到的近似误差传输函数的曲线图；
图7为校准结果的线性误差和残差曲线图；
图8为存在偶然误差情况下校准结果的曲线图；
图9为线性误差频率与校准残差之间关系的曲线图；
图10为线性误差幅度与残差之间关系的曲线图；
图11为位置误差与残差之间关系的曲线图；
图12为对采样间隔存在／不存在偏离补偿时与残差之间关系的曲线图；
图13为驱动电压与输入位移之间关系的曲线图；
图14为实验用校准单元的示意图；
图15为图14所示校准单元的稳定性曲线图；
图16为图14所示校准单元校准结果的曲线图；
图17为图14所示校准单元驱动电压与输入位移之间关系的曲线图；
图18为采用已有技术自校准方法获得的校准数据曲线图；
图19为图16和18所示校准数据平均值的曲线图；
图20为本发明在于涉显微镜上应用的示意图；
图21为图20所示应用中线性误差特性的曲线图；
图22为本发明在于涉显微镜上另一种应用的示意图；
图23为图20所示应用的线性误差特性的曲线图；
图24A和24B为本发明在扫描探针显微镜上应用的示意图；
图25A和25B为对应本发明的图24A和24B所示应用与现有技术的测量结果比较曲线图；
图26为按照本发明的校准位移输入单元的平面图；以及
图27为图26的校准位移输入单元的平面图。
图2示出了计量传感器的输入值与输出值之间的关系(即校准曲线)。在大多数情况下，可以确保相对平均灵敏度直线(简称为校准直线)的偏差落在输出值的±a％范围内。假定传感器的输入值(输入值在位移传感器情况下为位移)及其输出值分别用x和v表示，校准曲线函数v=f(x)用斜率为平均灵敏度Sm的直线和代表偏离直线的线性误差g(x)表示为下列方程式(1)。
v=f(x)=Sm．x+g(x)(1)
在该实施例中，假定待校准传感器是计量传感器中的位移传感器。在该实施例中，利用在目标位移传感器预定校准范围内多个第一采样点的输出值和多个与第一采样点略微不同的第二采样点的输出值，通过对数字化数据的数值计算校准目标传感器的线性误差。
图1是自校准过程的流程图
如图1所示，按照预先确定校准范围内的预定间隔将位移(即输入值)施加到位移传感器上并且采样输出值(在步骤S1中)。比较好的是在校准范围内等间隔地设置采样点xi(这里i=1，2，…，n)。但是间隔并不一定要严格限定为等间距。
接着，在第二采样点xi+=xi+Δx处采样输出值，这里小输入位移Δx加入步骤S1中的每个第一采样点xi上(在步骤S2中)。小输入位移Δx可以作为已知数值提供。但是，实际上正如下面将要描述的那样，通过计算平均输出值可以获取小输入位移Δx。
经过两次采样操作获得数据之后，假定采样点xi处的输出值用vi表示并且忽略线性误差g(x)，则根据下列表达式(2)计算输入近似值(即第0阶输入近似值)x0i(在步骤S3中)。
x0i≈vi／Sm(2)
另一方面，当在步骤S2中获得采样点xi+处的输出值用vi+表示时，根据下列方程式(3)得到间隔为Δx的采样点xi与xi+的输出差值Δvi。
vi=vi+-vi(3)
在获得差值Δvi之后，根据下列表达式(4)数值计算得到线性误差g(x)的微分函数的第0阶近似值g’0(x0i)(在步骤S4中)。
g’0(x0i)=Δg(x)／Δx≈Δvi／Δx-Sm (4)
如图3所示，微分近似值g’0(x0i)表示x0i处的线性误差g(x)的斜率。随后数值积分微分近似值g0’(x0i)，从而得到线性误差g(x)的第0阶近似值g0(x)=∑g’0(x0i)Δx(在步骤S5中)。
在步骤S6中初始化改进过程次数j。利用步骤S5获得的第0阶线性误差近似值g0(x)，重复进行收敛计算以使线性误差g(x)收敛至预先确定的范围内。具体而言，借助第0阶线性误差近似值g0(x)，改进了采样点xi处的第0阶输入近似值x0i，从而获得一次输入近似值x1i(在步骤S7中)。如图4所示，当利用g0(x)校正第0阶输入近似值x0i时，一次输入近似值x1i可以由下列方程(5)给出。
x1i={vi-g0(x0i)}／Sm (5)
接着，利用一次输入近似值x1i，根据表达式(4)计算一次微分近似值g’1(x1i)(在步骤S8中)。即，第0阶微分近似值g’(x0i)改进为一次微分近似值g’1(x1i)。所获得的初级微分近似值g’1(x1i)被数值积分，从而计算出一次线性误差近似值g1(x1i)(在步骤S8中)。随后判断例如残差是否收敛至预先确定的范围(在步骤S10中)。当不满足收敛条件时，改进处理次数j增一(步骤S11)。此后重复同一改进处理。这样可以改善微分值g’(x)h和线性误差g(x)的近似精度。
通常情况下，用第j次输入近似值xji表示的微分g’j(xji)和积分g’j(xji)获得的线性误差gj(xji)表示如下。
g’j(xji)≈Δvi／Δx-Sm
gj(xji)=∫g’j(xji)dx (6)
利用表达式(6)，可以根据表达式(7)获得在第j次输入近似值xji基础改进的第(j+1)次输入近似值。
xj+1={vi-gi(xji)}／Sm (7)
当改进处理次数增一时，输入xi和线性误差g(x)的逼近程度可以逐渐得到改进并且精确地收敛到校准曲线上。
一般情况下，平均灵敏度Sm与小输入变化Δx之间的关系由下列方程式(8)给出。
Sm．Δx=∑Δvi／n (8)
因此，当Sm和Δx中有一个已知其精确数值时，另一个可以通过计算得到。例如，当已知平均灵敏度Sm精确数值时，小输入变化Δx可以根据方程式(8)精确地得到。借助获取的小输入变化Δx，可以完成表达式(4)与后续表达式的计算。采样点xi较佳地是等间距地放置(并不一定要严格地等间距放置)。当采样点xi没有随i而是有偏离地等间距变化时，表达式(8)右边给出的平均值是不正确的。例如，当位移传感器用诸如PZT之类的压电器件的位移进行校正时，如图5所示，与压电器件等间距输入电压对应的位移输出值的间距是不相等的。由于图5所示非等距位移输出值成为待校正传感器的输入值，所以采样点xi也变成非等距的。在这种情况下，当Δx由表达式(8)给定的平均处理得到时，权重随测量范围内的xi变化。因此Δx无法精确获取。
在这种情况下，如同在下列表达式(9)中所给出的那样，在平均值计算中，Δvi根据采样间距来赋予权重。
Sm．Δx=∑(xi+1-xi)Δvi／(xn-x1) (9)
在本发明中，根据校正范围内线性误差的循环次数Mr，数值计算的误差作相应变化。换句话说，当借助数值计算逼近微分函数并且对结果取中间点作数值积分时，可以利用下列表达式(10)给出的传输函数估计实际值与近似值之比。
H(f)=xs．sin(2πf／Δx／s)／{Δx．sin(2πfxs／s)} (10)
这里xs代表采样间隔；并且f代表校准曲线频率。
假定采样间隔xs为基本长度并且频率f是无维数的，由于采样定理，需要考虑的范围是f≤0．5。图6示出了采用α=xs／Δx作为参数时频率与上述传输函数绝对值之间的关系。图6示出的情况是，当波长10倍以上于采样间隔xs时(即f≤0．1)，即使参数变化，也不会产生较大的误差。即使波长是采样间隔xs的3倍左右(即f=0．3)，当0．9≤α≤1．1时，计算误差也不会超过真实值的10％。
以下在α=1的条件下进行模拟和实验。
包含在采样读取数值中的偶然误差无法从正确的读取值中分离出来。因此偶然误差仍然保留在校正结果内。假定读取值的偶然误差用σm表示，则在读取数值之差Δv中，偶然误差由于传播法则而变为√2σm。该数值等价于普通的比较校正情况，基准一侧的误差与目标一侧的误差相同。
当估计小位移Δx时包含的误差σΔ可以由下列表达式(11)给出。
(σΔ／σm)2=2／(NSm) (11)
误差σΔ的影响通过微分函数g’(x)的估计误差变为线性误差g(x)的幅值误差。此外，在通过数值积分得到线性g(x)的第i个采样点处，由误差传播法则引起的误差σgi由表达式(12)产生。
(σgi／σm)2=2i (12)
但是，根据灵敏度Sm是如何给定的(即灵敏度Sm给定为校准曲线的斜率平均值还是连接两端直线的斜率平均值)，平均值为零或者两端为零，作为误差函数Δg(x)的形式。
按照本发明，正如上面校正理论所示，偶然误差相对采样点xi等间距的偏离不会引起严重的校正误差因子。此外，这种偏离不会使表达式(8)给定的Δx的估值变化较大。
困难在于确定小输入位移Δx偏离的原因是否为测量点vi+的差值或者偶然误差vi+。因此偶然误差σm可能因Δx的涨落引起。
影响本发明自校准方法精度的因素例如有：(1)对应位移的线性误差g(x)的幅值ag和频率fg(在整个传感器校正范围内用波数表示的频率)，(2)采样间隔xs和小输入位移Δx，(3)由于量化传感器输出值引起的截取误差最大值rs(最大值rs被称为传感器分辨率)，(4)受传感器输出信号噪声电平影响的偶然误差σm，(5)采样点xi等间隔偏离，以及(6)xi中所包含的偶然误差值xie。
在对按照本发明发明人制造的位移传感器模拟过程中(表1列出了参数值)，考察了幅值与频率的影响。
表1
测量范围Mr：10微米
采样间隔xs：2微米
小位移Δx：2微米
偶然误差σm：传感器分辨率rs与计算机产生的随机数(范围为±1)相乘(范围为±1)
偶然误差xie：常数cx与计算机产生的随机数相乘
g(x)的幅值将转换为位移形式表示。
图7示出了位移传感器的校正实例，线性误差的测量范围Mr为一个周期。图7示出了最终校正的线性误差(实线)和残差。在第三或后面的校正计算中，残差几乎没有变化。峰值-峰值残差的最大值在2纳米以下。
图8示出了在与图7同样条件下只有偶然误差σm随传感器分辨率参数rs变化情况下的残差变化。图8显示峰值-峰值残差在2rs以下。
图9示出在给定线性误差的频率fg(=f／f0，f0=1／Mr)变化时的最大残差。当线性误差在整个校正范围Mr内为三个以下周期时(fg=3)，残差几乎与频率无关。当频率超出该范围时，残差显著增大。这意味着只要采用按照本发明的积分方法，就会产生表达式(10)给定的误差。换句话说，当校准曲线的频率较高时，需要减小采样间隔或者考虑对表达式(10)进行补偿。
图10分别示出了X轴和Y轴上的线性误差幅值和最大残差。当线性误差幅值为6微米以下时(6％的测量范围Mr)，残差在分辨率的两倍以下。当幅值超过6微米时，残差逐渐增大。但是，当幅值是测量范围的20％时，残差在4×10-4左右。换句话说，按照本发明的方法，可以在普通传感器线性误差范围内得到高精度的校准曲线。
图11示出了包含在采样点xi内的偶然误差变化时的最大残差。图11表明，最大残差几乎不受采样点xi校准误差影响。即使校准误差达到采样间隔的一半(1微米)，残差也几乎不增大。这表明本发明的方法能够处理随机的输入涨落。即使线性误差的空间频率增加，xi随机涨落的影响也不会增大。这表明由于本发明的方法无需输入值等间隔，所以处理输出误差涨落以外的影响都不大。
图12示出了采样点xi间隔由于位移传感器校正所用驱动压电器件磁滞引起偏离时对偏离进行补偿或不补偿的校正结果。换句话说，残差是在通过利用表达式(8)进行平均值计算得到小位移Δx后(即进行了补偿)获得的。此外，残差还通过利用表达式(9)给出的权重平均计算得到小位移Δx后(即进行了补偿)获得。图13示出了压电器件施加电压与校正收敛计算中的输出位移(即待校正位移传感器的输入位移)之间的关系。如同12所示，当收敛计算中所用的小位移Δx偏离得到补偿时，残差显然变小。
图14示出了实验中所用位移传感器的校准单元。被计算的电容性位移传感器1支承于可在样本台3上滑移的台面4上。串联在一起的两个压电器件(PZT)2a和2b固定在样本台3上以提供输入位移和小位移。压电器件2b用来提供小位移Δx。首先压电器件2a在校准范围(=10微米)内膨胀和收缩。因此位移传感器1的输出值以0．2微米的间隔获取(作为第一次采样操作)。接着，在由压电器件2b施加Δx=0．2微米的小位移时，使压电器件2a膨胀和收缩。
这样完成了输出值的测量(作为第二次采样操作)。由于在每个采样点上压电器件2a需要稳定，所以在台面4上的校准范围内完成一次往复操作需要15分钟的时间。
图15示出了30分钟内压电器件2a膨胀和收缩两次后系统的稳定性。
图16示出了四次校准结果，每次都在原位状态下对膨胀和收缩两次的压电器件2a进行校准。四次校准结果的误差最多为8纳米。四次校准结果属于根据图15所示系统稳定性评估得到的重复误差。
图17示出了最后一次校准结果的位移与压电器件2a驱动电压之间的关系。如图17所示，压电器件2a的磁滞回路以合适的状态出现。
图18示出了按照本发明发明人提出的已有技术自校准方法得到的四次校准结果，该方法采用了两个传感器和一个杠杆系统。如图18所示，重复误差最多为10纳米。
图19示出了按照本发明方法得到的图16所示校准结果的平均值和图18所示校准结果的平均值。两种方法线性误差之差不超过2纳米。在校准范围内，校准结果在重现性误差为0．2％。当考虑两种方法的重复误差时，该数值是非常小的，这表明这些方法的可靠性较高。
以下描述几个作为计量传感器的干涉显微镜的原位校准的例子及其实际数据。
图20示出了一种校准干涉显微镜中位移测量值直线偏离的方法，干涉显微镜测量的是高度方向上的表面位移，它综合利用了白光干涉条纹与压电器件位移。目标样本13放置在样本台12上。干涉光束14射向目标样本13。样本台与诸如PZT之类压电器件11在高度方向略微隔开一点距离。目标样本13有一斜面，使受到光束14照射的面移开所需长度(高度)作为校准范围。利用目标样本13，在样本13高度固定的情况下可以在校准范围内获取多个输出值。样本台12的压电器件11膨胀Δx(如图20中的d所示)并且两次测量样本台12的高度。样本台12位移前后的高度之差变为显微镜高度方向上位移线性误差函数之差{g(x+Δx)-g(x)}。输入位移x的第0阶近似值通过读取高度值获得。
图21示出了按照本发明方法的图20所示系统测量得到的校准曲线(No．1-No．3)。显然，校准曲线几乎与校准数据重合，1微米量级的高度测量精度提高了一位数。
图22示出了将本发明应用于干涉显微镜校准的另一实例。在该实例中，受到光束14照射的校准样本22沿高度方向具有大小为Δx的台阶。光束14照射到校准样本22的台阶面上。当样本22在预定校准范围内用x轴台面移动并定位时(即输入值x变化)，重复进行测量操作。在这种顺序测量中，由于Δx表面台阶的缘故，基本上完成了两次数据采样。因此可以利用较高表面与较低表面获取线性误差的差值g(x+Δx)-g(x)。
图23示出了按照本发明方法的图22所示系统获得的校准曲线No．1-No．3。图23所示的校准曲线No．1-No．3与图21所示的相比，匹配得较好。因此按照本发明的方法显然具有较高的可靠性。
图24A和24B示出了将本发明应用于扫描型探针显微镜校准的实例。由图24A和24b可见，压电器件31a与扫描样本33表面的悬臂32的压电器件31b串联。利用悬臂32扫描样本33表面的特定位置作为第一次扫描测量。此后，压电器件31b位移一段预定的距离d并扫描样本33表面的同一位置。由于两次测量结果之差变为压电器件31a的线性误差之差{g(x+Δx+-g(x)}，所以通过按照本发明的数据处理得到了校准曲线。
图25A和25B示出了借助得到的校准曲线来校准测量形状的结果。图25A示出了以所谓外部监测方法获取的测量结果(在该方法中，以机械方式将操作方式与后面压电器件相同的监视压电器件的位移放大并由位移计读取)与按照本发明的校准结果。如同25A所示，外部监测方法与按照本发明的方法的校准结果显然是一致的。图25B示出了未校准和已经校准的测量结果。图25B显示出本发明的有效性。
图26和27示出了用于本发明的传感器自校准方法的位移输入单元结构的较佳实例。
支承框架42位于基座41上。空心圆柱体压电驱动器43位于支承框架42上。压电驱动器43可以沿着空心圆柱体的轴向膨胀和收缩。移动目标传感器44的盘状夹具45位于压电驱动器43的上部边缘。
目标传感器44例如是诸如静电电容型位移传感器之类的位移传感器。位于支承基柱46上的Z轴滑移机构47将传感器44固定在Z轴方向的特定位置上。
控制干涉条纹间距上夹具45位移的激光干涉仪60位于夹具45下面。激光干涉仪60的激光光源54为半导体激光器。激光光源54位于基座41上。基座41上放置有平板分束器56、1／4波长板57和引导激光光源54的激光射向夹具45背面的镜子53。此外在支承框架42上放置有立方体分束器52。
移动镜50放置在夹具45背面从而与夹具45一起移动。激光垂直射入移动镜50。与立方体分束器52集成在一起的基准镜51位于支承框架42上。基准镜51具有垂直于移动镜50的反射面。由立方体分束器52分路的光束垂直射入基准镜51。移动镜50与基准镜51的光程之差为10个波长以下。因此被移动镜50和基准镜51反射的光线由立方体分束器52组合，从而产生干涉条纹。干涉条纹通过镜子53、1／4波长板57和平板分束器56获得。光接收二极管55放置在基座41上以接收干涉光束。
光接收二极管55的输出信号由包含电流-电压转换电路的检测电路61检测。检测电路61的输出信号被送至控制器62。控制器62检测干涉条纹的零交叉从而根据检测结果产生并向驱动电路63发送控制信号。驱动电路63根据控制信号向压电驱动器43提供驱动电压。
在这种需要将夹具45临时固定在预定位置上并向夹具45提供输入位移的情况下，控制器62具有检测干涉条纹零交叉点并根据检测信号锁定驱动器43的功能。控制器62也可以使夹具45在预定范围内振动和位移并将零交叉点检测信号作为获取校准数据的触发信号。
利用按照本实施例的位移输入单元，可以在原位线性误差校准处理中校准对上述位移传感器线性误差校准所需的平均灵敏度Sm。换句话说，通过控制位于激光干涉仪60干涉间隔处加给夹具45的小位移，并通过对所获数据进行平均，可以得到精确的平均灵敏度Sm。
在普通方法中，当位移传感器(不是干涉仪)的平均灵敏度是未知的时候，需要借助有台阶的样本测量平均灵敏度。相反，按照本实施例，借助带自校准夹具的激光干涉仪60可以对平均灵敏度和线性误差一起校准。此外，由于平均灵敏度根据干涉仪的波长确定，所以可以非常精确地获取平均灵敏度。
对于带台阶的样本，由于附着灰尘的原因，测量数据可能失去可靠性。相反地，激光干涉仪不会有这样的问题。此外，由于激光干涉仪60仅仅需要测量驱动器43的最大位移，所以结构简单而紧凑。当干涉臂的光程差最多为10个波长时，干涉条纹的漂移可以抑制在较低的水平。
在上述实施例中，借助表达式(1)给出的校准曲线，根据对应于小位移的测量数据对微分函数作近似计算，对微分函数作积分计算和收敛计算。相反，可以使用表达式(1)给出的校准函数的反函数为：
x=B(v)=v／Sm+T(v) (13)
当采用这样的反函数时，数据的采样方式与上述实施例相同。同样也可以采用小位移Δx。利用测量数据vi、Δvi和小位移Δx，通过下列表达式(14)的近似计算可以得到反函数线性误差T(v)的微分函数。
T’(v)≈Δx／Δvi-1／Sm (14)
通过数值积分所获的微分函数，可以获得反函数的线性误差T(v)。
在这种情况下，与上述直接利用表达式(1)给出的校准曲线的实施例不同，在假定没有线性误差的前提下无需对输入值进行近似计算。因此即使线性误差较大，也不会产生较大的近似误差。这样就可以无需进行上述实施例所需的收敛计算即可获得校准曲线。
按照本发明的自校准方法具有如下的特点：
(1)除了特定的小输入(位移)以外，单个传感器的线性误差无需附加单元就可以自校准。
(2)只要输入值在校准范围内是基本均匀设置的，输入值就可以是未知的或者并不严格等间距的。
(3)即使存在大于10％测量范围的误差，也可以借助两倍于传感器分辨率的最大误差校准线性误差。
(4)即使输入值是对称偏离的，也可以借助权重的输入值校准传感器。
(5)当线性误差包含高频成份时，应特别注重数值积分。但是对于整个校准范围1／3间隔内的线性误差而言，利用中点方程就可以获得足够的精度。
如上所述，按照本发明的自校准方法，通过处理采样数据(无需利用附加单元)就可以校准传感器的线性误差。因此单元内的传感器无需额外的空间就可进行原位校准。
虽然上面借助实施例对本发明进行了描述，但是本发明的精神市值和范围由后面所附权利要求限定。
1997年5月30日提交的日本专利申请No．142638／97(包括说明书、权利要求书、附图和摘要)作为参考文献包含在这里。