基于复共线性分析的RPC参数优选方法.pdf

本发明公开了一种RPC参数优选方法，首先建立求解RPC参数的严密误差方程，然后分析误差方程设计矩阵列向量间的复共线性并根据设定原则优选RPC参数，达到消除RPC参数相关性的目的，最后采用最小二乘平差方法求解优选出的RPC参数。当地面控制点稀疏时，通过本方法优选出20～30个独立的显著性RPC参数，能有效消除RFM在地形拟合中出现的振荡现象，明显提高RPC参数的求解和RFM的影像几何处理精度；当地面控制点足够多时，利用本方法优选的39个RPC参数进行地形拟合的结果与用常规最小二乘法求解的78个RPC参数实施地形拟合的结果完全一致。

1.  基于复共线性分析的RPC参数优选方法，其特征在于：首先建立求解RPC参数的严密误差方程；然后通过误差方程确定矩阵列向量间的复共性线，并优选出RPC参数；最后根据最小二乘平差原理求解优选出的RPC参数。

2.  根据权利要求1所述的基于复共线性分析的RPC参数优选方法，其特征在于将有理函数模型按照泰勒级数展开，得到线性形式的严密误差方程，具体过程如下：
有理函数模型将像点坐标(l，s)表示为含地面点坐标(P，L，H)的多项式的比值，即：
l=Nl(P,L,H)Dl(P,L,H)s=Ns(P,L,H)Ds(P,L,H)---(I)]]>
式中，(l，s)和(P，L，H)分别为正则化的像点坐标和地面点坐标，其取值均在[-1，1]之间，且
N_l(P，L，H)＝a₁+a₂L+a₃P+a₄H+a₅LP+a₆LH+a₇PH+a₈L²+a₉P²+a₁₀H²+a₁₁PLH+a₁₂L³+a₁₃LP²+a₁₄LH²+a₁₅L²P+a₁₆P³+a₁₇PH²+a₁₈L²H+a₁₉P²H+a₂₀H³
D_i(P，L，H)＝b₁+b₂L+b₃P+b₄H+b₅LP+b₆LH+b₇PH+b₈L²+b₉P²+b₁₀H²+b₁₁PLH+b₁₂L³+b₁₃LP²+b₁₄LH²+b₁₅L²P+b₁₆P³+b₁₇PH²+b₁₈L²H+b₁₉P²H+b₂₀H³
N_s(P，L，H)＝c₁+c₂L+c₃P+c₄H+c₅LP+c₆LH+c₇PH+c₈L²+c₉P²+c₁₀H²+c₁₁PLH+c₁₂L³+c₁₃LP²+c₁₄LH²+c₁₅L²P+c₁₆P³+c₁₇PH²+c₁₈L²H+c₁₉P²H+c₂₀H³
D_s(P，L，H)＝d₁+d₂L+d₃P+d₄H+d₅LP+d₆LH+d₇PH+d₈L²+d₉P²+d₁₀H²+d₁₁PLH+d₁₂L³+d₁₃LP²+d₁₄LH²+d₁₅L²P+d₁₆P³+d₁₇PH²+d₁₈L²H+d₁₉P²H+d₂₀H³
其中，a_i，b_i，c_i，d_i(i＝1，2，…，20)为RPC参数，b₁，d₁的值为1；将式(I)按照泰勒级数展开，得到如下线性形式的严密误差方程：
vl=[1DlLDlPDlHDl...P2HDlH3Dl-LNlDl2-PNlDl2-HNlDl2...-P2HNlDl2-H3NlDl2]X-(l-l0)vs=[1DsLDsPDsHDs...P2HDsH3Ds-LNsDs2-PNsDs2-HNsDs2...-P2HNsDs2-H3NsDs2]Y-(s-s0)---(II)]]>
式中，X＝[Δa₁…Δa₂₀Δb₂…Δb₂₀]^T为行RPC参数的改正数向量，
Y＝[Δc₁…Δc₂₀Δd₂…Δd₂₀]^T为列RPC参数的改正数向量，
由式(II)可知，行、列RPC参数是相互独立的，其中，行RPC参数即式(II)中第一式可写为：
v_l＝BX-l_l    (III)
式中，B=[1DlLDlPDlHDl...P2HDlH3Dl-LNlDl2-PNlDl2-HNlDl2...-P2HNlDl2-H3NlDl2].]]>

3.  根据权利要求1所述的基于复共线性分析的RPC参数优选方法，其特征在于通过以下方法确定矩阵列向量间的复共性线：
设未知数x_i和x_j(j≠i)分别为未知数向量X中的第i个和第j个元素，向量B_i＝[B_i1，B_i2，…，B_in]^T和B_j＝[B_j1，B_j2，…，B_jn]^T分别为设计矩阵B中与x_i和x_j对应的列向量，当未知数x_i和x_j相关时，B_i与B_j成近似线性关系；
列向量B_i与B_j间的复共线性用这两个列向量在n维欧几里德空间中夹角的余弦来度量，其值为：
cos(Bi,Bj)=Bi·Bj|Bi|×|Bj|---(IV)]]>
式中，Bi·Bj=Σk=1nBikBjk;]]>|Bi|=Σk=1nBik2;]]>|Bj|=Σk=1nBjk2,]]>该余弦值的绝对值越接近于1，列向量B_i和B_j之间的复共线性越强，即与这两个列向量相对应的未知数x_i和x_j间的相关性就越强。

4.  根据权利要求1所述的基于复共线性分析的RPC参数优选方法，其特征在于通过以下原则优选RPC参数：
根据式(IV)计算设计矩阵B的列向量两两之间的复共线性，当cos(B_i，B_j)大于某一给定的阈值时，保留设计矩阵B的第i列向量及其对应的RPC参数，而剔除第j列向量及其对应的RPC参数；
当设计矩阵B的两个列向量出现复共线性时，取两个列向量的较低次项及其对应的RPC参数。

5.  根据权利要求1或4所述的基于复共线性分析的RPC参数优选方法，其特征在于根据最小二乘平差原理求解优选出的RPC参数。
经过优选RPC参数后，由保留下来的列向量所构成的设计矩阵设为B′，其列向量间不存在复共线性，即优选的RPC参数之间不存在相关性，当有多个地面控制点参与平差计算时，式(III)的矩阵形式为：
V＝B′X′-L    (V)
式中，X′为优选的RPC参数增量向量。
根据最小二乘平差原理，对式(V)建立法方程便可求得优选的RPC参数最佳估值：
X′^(s)＝X′^(s-1)+((B′^(s-1))^TB′^(s-1))^-1(B′^(s-1))^TL^(s-1)(VI)
式中，s为迭代次数。

基于复共线性分析的RPC参数优选方法
技术领域
本发明涉及RPC(Rational Polynomial Coefficients)参数的优选方法，属于摄影测量与遥感领域。
背景技术
1999年9月24日，美国空间成像公司(Space Imaging)将IKONOS卫星成功送入预定轨道并接受卫星遥感影像，标志着高空间分辨率卫星遥感时代的到来。自从高空间分辨率遥感卫星IKONOS采用有理函数模型(Rational FunctionModel，RFM)替代以共线条件方程为基础的严格几何处理模型进行影像几何处理以来，RFM受到了遥感学界的广泛关注，并被学者们深入研究，取得了很好的应用效果。Grodecki和Tao等证实了在单线阵推扫式卫星遥感影像几何处理中可用RFM取代严格几何处理模型，可以用于影像纠正、正射影像制作和目标三维重建等。Fraser和Hu等研究了如何利用地面控制点提高RFM精度的方法。Grodecki和刘军等研究了基于RFM的区域网平差方法。
就以上应用而言，RFM实质是对严格几何处理模型的数学逼近。其关键在于精确求解有理函数模型各多项式的系数(Rational Polynomial Coefficients，RPC)，简称为RPC参数。研究表明，对IKONOS和QuickBird高分辨率卫星遥感影像，采用地形无关的解算方案建立RFM可以达到极高的拟合精度。由于RFM形式简单，适用于各种类型的遥感传感器，包括新型的航空/航天遥感传感器，而且无需使用成像过程中的各种几何参数，如卫星星历、传感器姿态角以及物理特性参数和成像方式等；加之RPC参数不具有明确的物理意义，能够很好地隐藏传感器的核心信息。因此，RFM被广泛应用于高分辨率卫星遥感影像的几何处理中，已成为可以替代严格几何处理模型的一种独立于传感器的广义几何处理模型。
然而，为了RFM应用上的便利和保证遥感影像的几何处理精度，常常需要采用地形相关方案求解RPC参数。地面控制点分布不均匀或者RFM过度参数化，常常导致求解RPC参数的误差方程设计矩阵的列向量之间存在近似的线性关系(数学上称之为复共线性)，即RPC参数之间存在相关性，导致按照最小二乘平差原理建立的法方程严重病态，使得解不稳定或者出现较大的偏差。目前采用的岭估计法虽然能在一定程度上改善法方程的病态，但所能达到的精度依然十分有限。Tao和Hu对一景SPOT影像进行过试验，人工量测了71个地面控制点，根据其中的40个控制点按岭估计法求解RPC参数，所得到的控制点和检查点的坐标残差中误差分别为±6.42×10^-3pixels和±6.13pixels。由此不难看出，虽然RFM对控制点的拟合精度很高，但RFM用于高分辨率卫星遥感影像几何处理的精度还是非常有限的。
发明内容
本发明的目的就在于克服上述现有技术的不足而试图从分析求解RPC参数的误差方程设计矩阵列向量间的复共线性着手，提出一种去相关的RPC参数优选方法。根据一定准则优选出适量的显著性RPC参数，剔除部分相关的RPC参数，使RFM中的参数保持相对独立，以消除法方程病态对RPC参数求解精度的影响，实现在缺少地面控制点情况下，能够采用地形相关方案精确求解RPC参数，并保证基于此RPC参数构建RFM的遥感影像几何处理精度。
实现本发明目的采用的技术方案是：首先建立求解RPC参数的严密误差方程；然后分析误差方程设计矩阵列向量间的复共性线，并根据一定的原则优选RPC参数；最后根据最小二乘平差原理求解优选出的RPC参数。
上述严密误差方程的建立是将有理函数模型按照泰勒级数展开得到的，具体过程如下：
有理函数模型将像点坐标(l，s)表示为含地面点坐标(P，L，H)的多项式的比值，即：
l=Nl(P,L,H)Dl(P,L,H)s=Ns(P,L,H)Ds(P,L,H)---(I)]]>
式中，(l，s)和(P，L，H)分别为正则化的像点坐标和地面点坐标，其取值均在[-1，1]之间，且
N_l(P，L，H)＝a₁+a₂L+a₃P+a₄H+a₅LP+a₆LH+a₇PH+a₈L²+a₉P²+a₁₀H²+a₁₁PLH+
             a₁₂L³+a₁₃LP²+a₁₄LH²+a₁₅L²P+a₁₆P³+a₁₇PH²+a₁₈L²H+a₁₉P²H+a₂₀H³
D_l(P，L，H)＝b₁+b₂L+b₃P+b₄H+b₅LP+b₆LH+b₇PH+b₈L²+b₉P²+b₁₀H²+b₁₁PLH+
             b₁₂L³+b₁₃LP²+b₁₄LH²+b₁₅L²P+b₁₆P³+b₁₇PH²+b₁₈L²H+b₁₉P²H+b₂₀H³
N_s(P，L，H)＝c₁+c₂L+c₃P+c₄H+c₅LP+c₆LH+c₇PH+c₈L²+c₉P²+c₁₀H²+c₁₁PLH+
             c₁₂L³+c₁₃LP²+c₁₄LH²+c₁₅L²P+c₁₆P³+c₁₇PH²+c₁₈L²H+c₁₉P²H+c₂₀H³
D_s(P，L，H)＝d₁+d₂L+d₃P+d₄H+d₅LP+d₆LH+d₇PH+d₈L²+d₉P²+d₁₀H²+d₁₁PLH+
             d₁₂L³+d₁₃LP²+d₁₄LH²+d₁₅L²P+d₁₆P³+d₁₇PH²+d₁₈L²H+d₁₉P²H+d₂₀H³
其中，a_i，b_i，c_i，d_i(i＝1，2，…，20)为RPC参数，通常设定b₁，d₁的值为1。
为了能根据最小二乘平差原理求解RPC参数，可将式(I)按照泰勒级数展开，得到如下线性形式的严密误差方程：
vl=[1DlLDlPDlHDl...P2HDlH3Dl-LNlDl2-PNlDl2-HNlDl2...-P2HNlDl2-H3NlDl2]X-(l-l0)vs=[1DsLDsPDsHDs...P2HDsH3Ds-LNsDs2-PNsDs2-HNsDs2...-P2HNsDs2-H3NsDs2]Y-(s-s0)---(II)]]>
式中，X＝[Δa₁…Δa₂₀ Δb₂…Δb₂₀]^T为行RPC参数的改正数向量；
Y＝[Δc₁…Δc₂₀ Δd₂…Δd₂₀]^T为列RPC参数的改正数向量。
由式(II)可知，行、列RPC参数是相互独立的，可以分开求解。以求解行RPC参数为例，式(II)中第一式可写为：
v_l＝BX-l_l    (III)
式中，B=[1DlLDlPDlHDl...P2HDlH3Dl-LNlDl2-PNlDl2-HNlDl2...-P2HNlDl2-H3NlDl2].]]>
上述误差方程设计矩阵列向量间的复共线性由以下方法进行分析：
设未知数x_i和x_j(j≠i)分别为未知数向量X中的第i个和第j个元素，向量B_i＝[B_i1，B_i2，…，B_in]^T和B_j＝[B_j1，B_j2，…，B_jn]^T分别为设计矩阵B中与x_i和x_j对应的列向量。当未知数x_i和x_j相关时，B_i与B_j成近似线性关系。由此可以根据设计矩阵B中列向量间的复共线性来分析未知参数间的相关性，并用于剔除强相关的参数。
列向量B_i与B_j间的复共线性可以用这两个列向量在n维欧几里德空间中夹角的余弦来度量，其值为：
cos(Bi,Bj)=Bi·Bj|Bi|×|Bj|---(IV)]]>
式中，Bi·Bj=Σk=1nBikBjk;]]>|Bi|=Σk=1nBik2;]]>|Bj|=Σk=1nBjk2.]]>
该余弦值的绝对值越接近于1，表明列向量B_i和B_j之间的复共线性越强，即与这两个列向量相对应的未知数x_i和x_j间的相关性就越强。
上述RPC参数的优选根据以下的原则进行：
依据最小二乘平差原理求解RPC参数时，地面控制点非均匀分布或模型过度参数化会使得式(III)中设计矩阵B的列向量之间存在复共线性，从而导致法方程系数矩阵B^TB奇异，由此求得的RPC参数估值不稳定或者出现较大的偏差。此时，可根据式(IV)计算设计矩阵B的列向量两两之间的复共线性。当cos(B_i，B_j)大于某一给定的阈值时，保留设计矩阵B的第i列向量及其对应的RPC参数，剔除第j列向量及其对应的RPC参数，以消除设计矩阵B的列向量间的复共线性，从而改善法方程的状态，提高RPC参数的求解精度。
在RFM中，一次项用于描述光学系统产生的误差，二次项用来表达地球曲率、大气折光和镜头畸变等产生的误差，三次项可用于表示一些具有高阶分量的未知误差，如相机震动等。由于低次项的RPC参数较高阶项的RPC参数显得更为重要，因此，当设计矩阵B的两个列向量出现复共线性时，需要比较两个列向量的阶次，保留低次项及其对应的RPC参数，剔除高阶项及其对应的RPC参数。
根据以上原则，经过优选RPC参数后，由保留下来的列向量所构成的设计矩阵设为B′，其列向量间应不存在复共线性，即优选的RPC参数之间不存在相关性。当有多个地面控制点参与平差计算时，式(III)的矩阵形式为：
V＝B′X′-L    (V)
式中，X′为优选的RPC参数增量向量。
根据最小二乘平差原理，对式(V)建立法方程便可求得优选的RPC参数最佳估值：
X′^(s)＝X′^(s-1)+((B′^(s-1))^TB′^(s-1))^-1(B′^(s-1))^T L^(s-1)  (VI)
式中，s为迭代次数。
采用普通的最小二乘平差方法整体求解78个RPC参数时，地面控制点的非均匀分布或者模型的过度参数化，会导致RPC参数求解的不稳定或者出现较大的偏差。在采用地形相关方案求解78个RPC参数时，这种现象更为明显，使得RFM模型在地形拟合时所能够达到的精度非常有限。
本发明从分析误差方程设计矩阵列向量间的复共线性着手，提出一种去相关RPC参数优选方法。当地面控制点稀疏时，通过优选20~30个RPC参数可以很好地消除参数间的相关性，有效消除RFM在地形拟合中出现的振荡现象，可明显提高RPC参数的求解和RFM的影像几何处理精度。当地面控制点足够多时，利用本发明方法优选的RPC参数进行地形拟合的结果与用常规最小二乘法求解的78个RPC参数实施地形拟合的结果完全一致。
附图说明
下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步的说明。
图1为本发明方法的流程图。
图2为SPOT-5影像中地面控制点的分布图。
图3为根据40个地面控制点求解39个行RPC参数之误差方程设计矩阵的复共线性示意图。
图4-a和图4-b分别为利用40个地面控制点求解78个RPC参数和优选的25个RPC参数时75个像点坐标残差分布图。
图5为SPOT-5影像几何处理精度随控制点变化的趋势图。
具体实施方式
本发明方法的流程如图1所示，包括：首先建立求解RPC参数的严密误差方程；然后通过误差方程确定矩阵列向量间的复共性线，并根据一定的原则优选RPC参数；最后根据最小二乘平差原理求解优选出的RPC参数。其具体操作步骤为：
(1)建立求解RPC参数的严密误差方程
有理函数模型将像点坐标(l，s)表示为含地面点坐标(P，L，H)的多项式的比值，即：
l=Nl(P,L,H)Dl(P,L,H)s=Ns(P,L,H)Ds(P,L,H)---(I)]]>
式中，(l，s)和(P，L，H)分别为正则化的像点坐标和地面点坐标，其取值均在[-1，1]之间，且
N_l(P，L，H)＝a₁+a₂L+a₃P+a₄H+a₅LP+a₆LH+a₇PH+a₈L²+a₉P²+a₁₀H²+a₁₁PLH+
             a₁₂L³+a₁₃LP²+a₁₄LH²+a₁₅L²P+a₁₆P³+a₁₇PH²+a₁₈L²H+a₁₉P²H+a₂₀H³
D_l(P，L，H)＝b₁+b₂L+b₃P+b₄H+b₅LP+b₆LH+b₇PH+b₈L²+b₉P²+b₁₀H²+b₁₁PLH+
             b₁₂L³+b₁₃LP²+b₁₄LH²+b₁₅L²P+b₁₆P³+b₁₇PH²+b₁₈L²H+b₁₉P²H+b₂₀H³
N_s(P，L，H)＝c₁+c₂L+c₃P+c₄H+c₅LP+c₆LH+c₇PH+c₈L²+c₉P²+c₁₀H²+c₁₁PLH+
             c₁₂L³+c₁₃LP²+c₁₄LH²+c₁₅L²P+c₁₆P³+c₁₇PH²+c₁₈L²H+c₁₉P²H+c₂₀H³
D_s(P，L，H)＝d₁+d₂L+d₃P+d₄H+d₅LP+d₆LH+d₇PH+d₈L²+d₉P²+d₁₀H²+d₁₁PLH+
             d₁₂L³+d₁₃LP²+d₁₄LH²+d₁₅L²P+d₁₆P³+d₁₇PH²+d₁₈L²H+d₁₉P²H+d₂₀H³
其中，a_i，b_i，c_i，d_i(i＝1，2，…，20)为RPC参数，通常设定b₁，d₁的值为1。
为了能根据最小二乘平差原理求解RPC参数，可将式(I)按照泰勒级数展开成如下线性形式：
vl=[1DlLDlPDlHDl...P2HDlH3Dl-LNlDl2-PNlDl2-HNlDl2...-P2HNlDl2-H3NlDl2]X-(l-l0)vs=[1DsLDsPDsHDs...P2HDsH3Ds-LNsDs2-PNsDs2-HNsDs2...-P2HNsDs2-H3NsDs2]Y-(s-s0)---(II)]]>
式中，X＝[Δa₁…Δa₂₀ Δb₂…Δb₂₀]^T为行RPC参数的改正数向量；
Y＝[Δc₁…Δc₂₀ Δd₂…Δd₂₀]^T为列RPC参数的改正数向量。
由式(II)可知，行、列RPC参数是相互独立的，可以分开求解。以求解行RPC参数为例，式(II)中第一式可写为：
v_l＝BX-l_l    (III)
式中，B=[1DlLDlPDlHDl...P2HDlH3Dl-LNlDl2-PNlDl2-HNlDl2...-P2HNlDl2-H3NlDl2].]]>
(2)复共线性分析
设未知数x_i和x_j(j≠i)分别为未知数向量X中的第i个和第j个元素，向量B_i＝[B_i1，B_i2，…，B_in]^T和B_j＝[B_j1，B_j2，…，B_jn]^T分别为设计矩阵B中与x_i和x_j对应的列向量。当未知数x_i和x_j相关时，B_i与B_j成近似线性关系。由此可以根据设计矩阵B中列向量间的复共线性来分析未知参数间的相关性，并用于剔除强相关的参数。
列向量B_i与B_j间的复共线性可以用这两个列向量在n维欧几里德空间中夹角的余弦来度量，其值为：
cos(Bi,Bj)=Bi·Bj|Bi|×|Bj|---(IV)]]>
式中，Bi·Bj=Σk=1nBikBjk;]]>|Bi|=Σk=1nBik2;]]>|Bj|=Σk=1nBjk2.]]>
该余弦值的绝对值越接近于1，表明列向量B_i和B_j之间的复共线性越强，即与这两个列向量相对应的未知数x_i和x_j间的相关性就越强。
(3)优选RPC参数
根据式(IV)计算设计矩阵B的列向量两两之间的复共线性。当cos(B_i，B_j)大于某一给定的阈值时，保留设计矩阵B的第i列向量及其对应的RPC参数，剔除第j列向量及其对应的RPC参数。
当设计矩阵B的两个列向量出现复共线性时，比较两个列向量的阶次，保留低次项及其对应的RPC参数，剔除高阶项及其对应的RPC参数。
(4)求解优选出的RPC参数
根据以上原则，经过优选RPC参数后，由保留下来的列向量所构成的设计矩阵设为B′，其列向量间不存在复共线性，即优选的RPC参数之间不存在相关性。当有多个地面控制点参与平差计算时，式(III)的矩阵形式为：
V＝B′X′-L    (V)
式中，X′为优选的RPC参数增量向量。
根据最小二乘平差原理，对式(V)建立法方程便可求得优选的RPC参数最佳估值：
X′^(s)＝X′^(s-1)+((B′^(s-1))^TB′^(s-1))^-1(B′^(s-1))^TL^(s-1)     (VI)
式中，s为迭代次数。
本实施例选用中国迁西地区一景SPOT-5 HRG 1A级影像进行了试验，采用地形相关方案优选和求解RPC参数。该影像获取于2004年10月21日，侧视角-24.04°，地面空间分辨率为5.5m，影像大小为12000×12000pixels，所覆盖地面区域为66km×66km，地面最大高差约20m，属平坦地区。影像中分布有75个平高地面控制点(如图2所示)，其三维坐标是利用该区域的1∶60000比例尺航空影像由WuCAPS系统采用GPS辅助光束法区域网平差方法加密得到的。根据30个地面检查点评定的加密点坐标精度：平面为±2.5m，高程为±2.0m。这一加密精度优于SPOT-5影像的0.5pixels，完全可以用作试验影像几何处理的控制点和检查点。不过，由于控制点选取了SPOT-5立体影像对中的同名像点，分布相对集中于影像内部，影像边缘的地面控制点比较少。
为了验证所提出的RPC参数选择方法的有效性和实用性，这里进行了对比试验：
试验A采用普通的最小二乘平差方法整体求解78个RPC参数；
试验B先按照本发明提出的方法优选RPC参数，再根据式(VI)求解保留的RPC参数。
由于RFM中行RPC参数和列RPC参数是相互独立的，本实施例采用分开求解策略。获得RPC参数后，利用式(I)将75个地面控制点的地面坐标反投影到影像上，可求得各像点的量测坐标与其计算值的残差。对影像上75个像点坐标残差统计出的中误差列于表1。
表1SPOT-5影像坐标残差中误差

分析表1中的结果可以看出：
1)采用地形相关方案整体求解78个RPC参数时，由于式(III)的设计矩阵列向量之间存在复共线性(以图3为例)，导致系数阵B^TB的条件数高达10¹¹数量级，法方程出现严重病态，不能获得稳定的解。当使用极限的40个地面控制点求解RPC参数时，基于RFM的影像几何处理精度仅能达到±10.81pixels。随着地面控制点数的增加，RFM拟合地形的精度有了明显的提高。当地面控制点达到70个时，地面检查点的像点坐标残差中误差虽能达到±0.71pixels，但设计矩阵列向量之间的复共线性依然没有太大的改善，系数矩阵B^TB的条件数仍为10¹¹数量级，法方程依然是严重病态的。
2)利用本发明方法优选RPC参数后，式(V)的设计矩阵列向量之间的复共线性被明显消除。同样是在40个地面控制点的情况下，优选出25个RPC参数(详见表2)，参数之间不再存在相关性(详见表3)，系数阵B′^TB′的条件数降到了10³数量级，法方程状态明显改善，所求解的RPC参数精度有了显著提高，由RFM拟合的地形精度明显提高。图4示意了使用40个地面控制点求解RPC参数时的75个像点坐标残差分布图。从图4(a)可以看出，受RPC参数相关性的影响，含有78个参数的RFM虽然对控制点具有很高的拟合精度，但检查点像点坐标残差是明显振荡的；从图4(b)可知，由25个独立RPC参数构成的RFM去拟合地形，不但可以消除设计矩阵列向量之间的复共线性，提高RPC参数的求解精度和影像的几何处理精度，而且能够保证各检查点的影像坐标残差大小基本一致，不再带有系统误差。此时，含有78个参数的RFM对影像行方向的处理精度仅为±8.35pixels，而基于本发明方法优选的25个参数的RFM在影像行方向上的处理精度提高到了±0.68pixels，由35个检查点的像点坐标残差统计出的影像几何处理精度提高了88.1％＝(10.81-1.29)/10.81。
表2利用本发明方法优选出的RPC参数

表3利用40个地面控制点优选的行RPC参数间的相关系数

注：ρij=-QijQii·Qjj,]]>Q_ij为法方程系数阵逆矩阵Q＝(B^TB)^-1的第i行第j列元素。
3)采用地形相关方案整体求解78个RPC参数，当地面控制点数少于39个时，按照常规最小二乘平差方法是无法求解的。若按照本发明方法，可依据不同的地面控制点来优选RPC参数(详见表2)，由此建立的RFM模型依然可以获得较高的影像几何处理精度。分析表2可以发现，随着控制点数的增加，RPC参数间的相关性逐渐减弱，可选的RPC参数不断增多，但基本参数是在a₁～a₁₉、b₁₁～b₁₈及c₁～c₁₉中选择，并且各种控制点情况下所选出的RPC参数主要是a₁～a₈、a₁₁、b₁₁、b₁₅、c₁～c₈及c₁₁。图5绘制了SPOT-5影像几何处理精度随地面控制点变化的曲线。从图5可以清楚地看出，随着控制点的增加，影像几何处理精度在缓慢提升。当RPC参数为20个时，影像几何处理精度可达到±1.82pixels；但当RPC参数由20个增加到33个时，影像几何定位精度仅提高了±0.61pixels。此时，所需的地面控制点数已由15个增加到了60个，相比于增加的45个地面控制点而言，影像几何处理精度的提升幅度是非常有限的。仔细分析表1和图5的试验结果还发现，基于本发明法优选的RPC参数所构建的RFM模型的几何处理精度明显好于利用全部78个RPC参数形成RFM的几何处理精度。即使是利用60个地面控制点按照最小二乘平差方法整体解求的78个RPC参数实施影像几何处理的精度也只能达到±3.10pixels，其精度还不及利用15个地面控制点优选出的20个RPC参数所构建RFM的几何处理精度。这就充分说明，在RFM中并非78个参数都是显著和必要的。因此，采用RFM进行高分辨率卫星遥感影像几何处理时，应根据地面控制点的数量及其分布，合理选择最恰当的RPC参数是有必要的。
为了检验本发明方法的有效性和可靠性以及RPC参数对影像几何处理精度的影响，这里采用地形无关方案重新解求表2所优选出的各组RPC参数。此时，共使用了500(10×10×5)个虚拟格网点作为物方控制点。基于表2所列的RPC参数构建RFM模型，利用式(1)将75个地面检查点的地面坐标反投影到试验影像上，由其影像坐标残差统计出的影像几何处理精度一并列于表4。
表4SPOT-5影像坐标残差中误差

从表4可以看出：
1)采用地形无关方案求解RPC参数时，选择的RPC参数越多，RFM越逼近于严格几何模型，对地形拟合的精度也越高。当RPC参数少于25个时，在500个虚拟格网点上显示的RFM与严格几何模型处理精度相差±1.71pixels；但当RPC参数多于25个时，两种模型的几何处理精度是恒定的，其差距均小于±0.25pixels。
2)由于卫星轨道参数和影像姿态角存在误差，利用严格几何模型对SPOT-5影像进行处理的精度并不是很高，采用RFM去逼近严格几何模型时，几何处理精度自然不会很理想。在本实施例中，当优选出的RPC参数多于25个时，影像几何处理精度仅为±3.51pixels，且与利用常规RPC参数求解方法获得的78个参数所构建的RFM进行影像几何处理的精度是完全一致的。这就进一步证明了：本发明方法优选出的25～39个RPC参数是最显著的。