一种基于TD-SCDMA无线定位来波方向的估计方法 【技术领域】
本发明属于无线通讯技术领域，具体涉及移动终端的无线定位技术。
技术背景
实现移动终端的无线定位则是IMT-2000中一个重要研究课题。与全球定位系统(GPS)借助24颗卫星进行定位不同，该技术依托的是无线蜂窝基站，其研发工作与IMT-2000标准直接相关，在我国提出的具有自主知识产权的第三代移动通信标准TD-SCDMA首次被国际电联(ITU-T)采纳之际，进行基于TD-SCDMA标准的无线定位技术研究无疑具有广泛的理论意义、应用价值和市场前景。
均匀线阵的阵列流形为Vandermonde结构，便于理论分析，所以许多有效算法都是基于线阵的，然而在测向时均匀圆阵与均匀线阵相比有许多优点，如圆阵可以提供360度的方位角信息，可提供俯仰角信息，另外由于均匀圆阵具有圆对称特性，其方向特性在方向角方向上近似各向同性，这些优良特性都意味着均匀圆阵将会有广阔的应用前景。但由于均匀圆阵的阵列流形的复杂性(即，阵列流形为非Vandermonde结构)所导致基于均匀圆阵的DOA算法为数不多。因此，较经典的MUSIC算法也不能直接运用于均匀园阵智能天线的DOA估计，而且对相关信号源MUSIC算法地DOA估计性能更加恶化。
【发明内容】
为了克服MUSIC算法不能直接应用于TD-SCDMA无线定位的来波方向(DOA)估计，本专利提供了一种基于TD-SCDMA无线定位来波方向(DOA)估计方法，该方法不仅能够解决TD-SCDMA的圆阵智能天线DOA估计问题，而且也能解决TD-SCDMA对相关信号源的DOA估计问题。
虚拟线阵修正MUSIC算法，虽然既具有对非相关信号源进行DOA估计，而且也能对相关信号源进行DOA估计的优点，但阵列孔径扩展很少，不能对多个信号源进行DOA估计(尤其多径数增多时，估计性能很低)。当出现阵元误差时，MUSIC算法稳健性差。针对以上问题，本专利首先提出了虚拟线阵四阶累量MUSIC算法，随后提出了虚拟线阵四阶累量修正MUSIC算法(FOC-MMUSIC)。该方法能够解决TD-SCDMA的圆阵智能天线的阵列孔径扩展少、不能对多个信号源进行DOA估计(尤其多径数增多时，估计性能很低)以及当出现阵元误差时，MUSIC算法稳健性差等一系列问题。
本发明的技术方案如下：
1.将基于TD-SCDMA无线定位阵元空间均匀圆阵转化为模式空间虚拟均匀线阵
本专利利用圆阵所特有的模式空间的概念，尤其圆阵具有周期性，对圆阵上的信号可进行傅立叶分解，即信号可以看作是多个谐波分量之和的形式，每个谐波分量称为一个模式分量，所有的模式分量就构成了整个模式空间。针对我国TD-SCDMA无线定位是采用8个阵元的智能天线实现圆-角定位的特点，通过阵列预处理技术将圆阵由阵元空间变换到模式空间，使阵列流形由复杂的指数函数形式变换成类似于线阵的简单形式，使之能方便地进行空间平滑，进而利用MUSIC算法对来波方向进行估计。
为了更好的描述平面波的来波方向，假设天线阵列是在xy平面上的一个半径为r的圆阵天线，天线的圆周上均匀的分布着各向同性的p个阵元，q个窄带平面波，并选取圆阵天线的圆心为参考点，如附图1所示来自于方向φ的窄带平面波的阵元因子就可表示为：
a(φ)=a(ζ,φ)=[ejζcos(φ-γ0),ejζcos(φ-γ1),......,ejζcos(φ-γp-1)]T------(1)]]>
第t次快拍的数据向量为：
x(t)＝A(φ)s(t)+n(t) (2)
式中A(φ)是p×q方向向量矩阵，
A(φ)＝[a(φ1)，a(φ2)，......，a(φq)] (3)
该预处理技术的基本思想是将实际阵列转化为虚拟阵列，使之能够进行空间平滑。由式(2)引入变换矩阵B，并表达如下：
A~(φ)=BA(φ)---x~(t)=Bx(t)---n~(t)=Bn(t)-----(4)]]>
x~(t)=A~(φ)s(t)+n~(t)----(5)]]>
由式(4)～(5)可以看出，我们的目标就是选择变换矩阵B，利用贝塞尔函数，将变化为具有满足范德蒙(Vandermonde)结构。
A~(φ)=BA(φ)=e-jhφ1···e-jhφq·········1···1·········ejhφ1····ejhφq]]>
由于满足Vandermonde矩阵结构，基于TD-SCDMA的圆阵结构就变成了附图2所示的虚拟均匀线阵结构。
2.对基于TD-SCDMA无线定位模式空间虚拟均匀线阵采用MUSIC算法进行DOA估计：
本专利研究了虚拟线阵数据协方差矩阵的特征值和特征向量的特性，推导出了用于虚拟线阵的MUSIC算法功率谱，总结出模式空间MUSIC算法的一般实现步骤。通过理论与实验研究，说明MUSIC算法可以用于经预处理后的虚拟线阵，即将MUSIC算法的适用范围从单纯的均匀线阵拓展到均匀圆阵，实验结果表明该算法对相互独立的信源的DOA估计精度较高，但对相关信号源的DOA估计MUSIC算法精度几乎失效。
1)构成虚拟线阵采样协方差矩阵。
R^x~=1KΣt=1Kx~(t)x~H(t)]]>
R~x~=E[x~(t)x~H(t)]≈1KΣt=1Kx~(t)x~H(t)-----(6)]]>
K是快拍数，可得：
R~x~=BE[x(t)xH(t)]BH≈1KΣt=1KBx(t)xH(t)BH,]]>式中：
R~x~=A~(φ)E[s(t)sH(t)]A~H(φ)+σ2Q]]>
≈A~(φ)1KΣt=1Ks(t)sH(t)A~(φ)H+σ2Q---(7)]]>
2)对进行特征值分解，求得的特征值，即：λ^1≥λ^2≥...≥λ^2h+1,]]>并求得与之相对应的特征向量从而构成了矩阵：
两者分别为信号子空间和噪声子空间。
3)采用MDL(Minimum Description Length Criterion)方法估计信号源个数
MDL(q)=2K(P-q)lnδq(λ^)+V(q,P)lnK]]>
式中V(q，P)＝q(2P-q)+1，
δq(λ^)=1P-qΣi=q+1Pλ^i[Πi=q+1Pλ^i]1P-q------(8)]]>
K是快拍数，P＝2h+1。
4)计算在噪声子空间的投影矩阵并估计MUSIC的功率谱。
S^MUSIC(φ)=1a~H(φ)G~^G~^a~(φ)-----(9)]]>
5)通过搜索的谱峰值，估计来波方向φ。
3.采用空间平滑技术对基于TD-SCDMA无线定位模式空间虚拟均匀线阵MUSIC算法进行修正
MUSIC算法虽然能应用于虚拟线阵的非相关信号的DOA估计，但当出现相关信号源，比如出现多径信号时，其性能很低。为了使MUSIC算法能够对相关信号源进行DOA估计，采用空间平滑技术对MUSIC算法进行修正。
实际应用中可以直接采用：
(t)=I~x~*(t)----(10)]]>
为的复共轭，是2h+1阶交换阵，除副对角线上元素为1外，其余元素均为0，
即：
I~=00...0100...10...............01...0010...00------(11)]]>
有I~I~=I,]]>I是单位阵，可得Y(t)的相关矩阵为：
Ry=E[Y(t)YH(t)]=I~E[X~*(t)X~*(t)H]I~=I~R~x~*I~----(12)]]>
=I~A~*(φ)Rs*A~H(φ)I~+σ2Q]]>
进行前后向平滑：
Rfb=R~x~+Ry2=R~x~+I~R~x~*I~2------(13)]]>
从式(12)可以看出，在低信噪比、快拍数较小时，由于Ry是用有限次快拍数据进行估计的，存在估计误差，此时，用Rfb代替前节的进行DOA估计，具有平均的意义，可提高信号DOA估计性能。
4.对基于TD-SCDMA无线定位虚拟均匀线阵采用四阶累量的MUSIC算法进行计算
通过推导虚拟线阵接收数据矩阵的四阶累积量。对虚拟线阵接收数据矩阵的四阶累积量进行了奇异值分解，进一步推导出了基于虚拟线阵的四阶累量的MUSIC算法的功率谱。
通过与均匀线阵MUSIC算法的类比，总结并归纳出基于虚拟线阵的四阶累量的MUSIC算法的实现方法。
由x~(t)=A~(ζ,φ)s(t)+Bn(t),]]>
并令F(t)=A~(φ)s(t)-----(14)]]>
可得：x~(t)=F(t)+Bn(t)-----(15)]]>
定义：Z(t)＝F(t)F(t) (16)
符号表示Kronecker直积。
为了推导四阶累量的需要，下面简单介绍两条Kronecker直积的恒等式。
假设Fi(i＝1，2，3，4)为2h+1维列向量，则有：
(F1⊗F2)(F3H⊗F4H)=(F1F3H)⊗(F2F4H)-------(17)]]>
(F1⊗F2)(F3H⊗F4H)=(F3H⊗F2)⊗f1(1)F4H(F3H⊗F2)⊗f1(2)F4H...(F3H⊗F2)⊗f1(P)F4H----(18)]]>
式中f1(i)表示F1的第i个元素，由式(16)得：
Z(t)=[A~(φ)s(t)]⊗[A~(φ)s(t)]=[A~(φ)⊗A~(φ)][s(t)⊗s(t)]-----(19)]]>
定义F(t)的四阶累量矩阵：
CF＝cum{[F(t)F(t)][F(t)F(t)]H} (20)
由(19)和(20)式推得：
CF=F[Z(t)ZH(t)]-E[Z(t)]·E[ZH(t)]]]>
-E[F(t)FH(t)]⊗E[F(t)FH(t)]------(21)]]>
-E[FH⊗F]⊗E[f1FH]E[FH⊗F]⊗E[f2FH]...E[FH⊗F]⊗E[fPFH]]]>
由式(20)，可将式(21)化简为：
CF=[A~(φ)A~(φ)]Cs[A~(φ)A~(φ)]H-------(22)]]>
式中Cs是s(t)的四阶累量矩阵，即：
Cs＝cum{[s(t)s(t)][s(t)s(t)]H} (23)
根据累量的性质，即相互独立的随机过程的和之累量等于它们各自累量之和，以及高斯信号的四阶累量为0，可得：
Cx~=CF-------(24)]]>
Cx~=[A~(ζ,φ)⊗A~(ζ,φ)]Cs[A~(ζ,φ)⊗A~(ζ,φ)]H-----(25)]]>
将代替并进行奇异值分解，此时零谱函数定义为：
5.对基于TD-SCDMA无线定位四阶累量MUSIC算法进行修正得到四阶累量修正MUSIC算法，即FOC-MMUSIC：
针对基于虚拟线阵的四阶累量的MUSIC算法处理相关信号源性能差的问题，采用空间平滑技术对四阶累量MUSIC算法(FOC-MUSIC)进行了修正，从而得到了性能稳定的四阶累量修正MUSIC算法(FOC-MMUSIC)。
针对虚拟线阵四阶累量MUSIC算法不能用于相关信号源DOA估计的问题，应用空间平滑技术对该算法进行了进一步改进。
由下式：
x~(t)=A~(φ)s(t)+Bn(t)]]>
Y(t)=I~X~*(t)]]>
I~A~*(φ)=A~(φ)-----(27)]]>
AT(φ)I~=A~H(φ)]]>
得到：Y(x)=I~A~*(φ)s*(t)+B*n*(t)=A~(φ)s*(t)+B*n*(t)----(28)]]>
由累量的性质，即相互独立的随机过程的和之累量等于它们各自累量之和，以及高斯信号的四阶累量为0，可得：
CY=[A~(φ)A~(φ)]Cs*[A~(φ)A~(φ)]H=(I~⊗I~)(Cx~)*(I~⊗I~)T-----(29)]]>
式中Cs*是s*(t)的四阶累量矩阵，是的复共轭即：
Cs*=cum{[s*(t)⊗s*(t)][s*(t)⊗s*(t)]H}----(30)]]>
Cx~*=cum{[x*(t)⊗x*(t)][x*(t)⊗x*(t)]H}]]>
定义Cfb=Cx~+CY2,]]>可得到：
Cfb=[A~(φ)⊗A~(φ)]Cs+Cs*2[A~(φ)⊗A~(φ)]H-----(31)]]>
令：Qfb=Cs+Cs*2------(32)]]>
从式(32)可知，该算法减小了信号源之间的相关系数，用Cfb代替FOC-MUSIC算法中的矩阵的四阶累量矩阵就可以得到FOC-MMUSIC算法。
FOC-MMUSIC估计φ的方法
令矩阵表示对Cfb作特征分解所得的最小的[(2h+1)2-q2]个(信号源间相关)或[(2h+1)2-q]个(信号源间独立)特征值所对应的特征矢量组成的矩阵，通过求下式的极小值以得到第i个信号的DOA估计量
(φ^i)=argminφ∈ΦS(φi)----(33)]]>
式中Φ表示可视的来波方位角的集合，此时零谱函数定义为：
【附图说明】
图1是均匀圆阵的结构图；
图2是虚拟线阵的结构图；
图3是虚拟线阵MUSIC算法流程图；
图4是由相互交叠的L个阵元组成的虚拟子阵构成的阵元数为M的虚拟全阵；
M：阵元数为M的虚拟阵列，M＝2h+1。
L：每个虚拟子阵的阵元数
图5是虚拟全阵和虚拟子阵协方差矩阵间关系；
图6是基于TD-SCDMA无线定位修正MUSIC算法实现流程图；
图7是基于TD-SCDMA无线定位四阶累量MUSIC算法实现流程图。
【具体实施方式】
1.首先将TD-SCDMA无线定位阵元空间均匀圆阵转化为模式空间虚拟均匀线阵：
首先利用圆阵所特有的模式空间的概念，尤其圆阵具有周期性，对圆阵上的信号可进行傅立叶分解，即信号可以看作是多个谐波分量之和的形式，每个谐波分量称为一个模式分量，所有的模式分量就构成了整个模式空间。针对我国TD-SCDMA无线定位是采用8个阵元的智能天线实现圆-角定位的特点，通过阵列预处理技术将圆阵由阵元空间变换到模式空间，使阵列流形由复杂的指数函数形式变换成类似于线阵的简单形式，使之能方便地进行空间平滑，进而利用MUSIC算法对来波方向进行估计。
为了更好的描述平面波的来波方向，假设天线阵列是在xy平面上的一个半径为r的圆阵天线，天线的圆周上均匀的分布着各向同性的p个阵元，q个窄带平面波，并选取圆阵天线的圆心为参考点，如附图1所示来自于方向φ的窄带平面波的阵元因子就可表示为：
a(φ)=a(ζ,φ)=[ejζcos(φ-γ0),ejζcos(φ-γ1),......,ejζcos(φ-γp-1)]T------(35)]]>
第t次快拍的数据向量为：
x(t)＝A(φ)s(t)+n(t) (36)
式中A(φ)是p×q方向向量矩阵，
A(φ)＝[a(φ1)，a(φ2)，......，a(φq)] (37)
该预处理技术的基本思想是将实际阵列转化为虚拟阵列，使之能够进行空间平滑。由式(36)引入变换矩阵B，并表达如下：
A~(φ)=BA(φ)---x~(t)=Bx(t)---n~(t)=Bn(t)-----(38)]]>
x~(t)=A~(φ)s(t)+n~(t)----(39)]]>
由式(38)～(39)可以看出，我们的目标就是选择变换矩阵B，利用贝塞尔函数，将变化为具有满足范德蒙(Vandermonde)结构。
A~(φ)=BA(φ)=e-jhφ1···e-jhφq·········1···1·········ejhφ1····ejhφq]]>
由于满足Vandermonde矩阵结构，基于TD-SCDMA的圆阵结构就变成了附图2所示的虚拟均匀线阵结构。
2.再对TD-SCDMA无线定位模式空间虚拟均匀线阵采用MUSIC算法进行计算：
1)构成虚拟线阵采样协方差矩阵。
R^x~=1KΣt=1Kx~(t)x~H(t)------R~x~=E[x~(t)x~H(t)]≈1KΣt=1Kx~(t)x~H(t)----(40)]]>
K是快拍数，可得：R~x~=BE[x(t)xH(t)]BH≈1KΣt=1KBx(t)xH(t)BH,]]>
K式中：R~x~=A~(φ)E[s(t)sH(t)]A~H(φ)+σ2Q]]>
≈A~(φ)1KΣt=1Ks(t)sHA~(φ)H+σ2Q-----(41)]]>
2)对进行特征值分解，求得的特征值，即：λ^1≥λ^2≥...≥λ^2h+1,]]>并求得与之相对应的特征向量从而构成了矩阵：
两者分别为信号子空间和噪声子空间。
3)采用MDL(Minimum Description Length Criterion)方法估计信号源个数
MDL(q)=2K(P-q)lnδq(λ^)+V(q,P)lnK,]]>式中V(q，P)＝q(2P-q)+1，
δq(λ^)=1P-qΣi=q+1Pλ^i[Πi=q+1Pλ^i]1P-q------(42)]]>
K是快拍数，P＝2h+1。
4)计算在噪声子空间的投影矩阵并估计MUSIC的功率谱。
S^MUSIC(φ)=1a~H(φ)G~^G~^a~(φ)-----(43)]]>
5)通过搜索的谱峰值，估计来波方向φ。
从上述步骤可以得到MUSIC算法总流程图，如附图3所示。其实现硬件采用TMS320C31。
3.对TD-SCDMA无线定位模式空间虚拟均匀线阵的MUSIC算法进行修正：
设阵元数为M＝2h+1的虚拟全阵被阵元数为L的虚拟子阵分成N个子阵。附图4表示虚拟全阵与子阵的关系。
M个阵元的全虚拟阵列接收数据的协方差矩阵由下式表示：
R~x~=E[x~(t)x~H(t)]=A(φ)E[s(t)sH(t)]AH(φ)+σ2Q----(44)]]>
E[s(t)sH(t)]是信号的协方差矩阵，MUSIC算法要求信号协方差矩阵是非奇异的，才能保证对进行奇异值分解，当信号相关时，其信号协方差矩阵是奇异的，可以采用空间平滑技术进行预处理以达到解相关的目的。
首先将只有前向平滑的全相关协方差矩阵分成N个子阵其虚拟全阵的协方差矩阵与每个虚拟子阵的关系由附图5所示：
R~n(i,j)=R~x~(i+n-1,j+n-1),(1≤i,j≤L,n=1,2,...,N)------(45)]]>
式中L是每个子阵的阵元数，N＝M-L+1。
采用上式，并将应用于MUSIC算法还不能达到完全解相关的目的，需采用前后向空间平滑方法，其平滑协方差矩阵表达如下：
Rfb=1NΣn=1NR~n+I~R~n*I~2------(46)]]>
交换矩阵的第(i，j)个元素是：I~(i,j)=δi,L-i+1,(1≤i,j≤L)]]>
采用上述平滑方法，其计算量较用方法增为L2N，可以令L＝M，即每个子阵的阵元数与全阵的阵元数相同，此时N＝1，R~n=R~x~,]]>这样，式(46)可以变为：
Rfb=R~x~+I~R~x~*I~2------(47)]]>
式中的交换矩阵I~(i,j)=δi,M-i+1,(1≤i,j≤M).]]>
实际应用中可以直接采用：Y(t)=I~x~*(t)------(48)]]>为的复共轭，是2h+1阶交换阵，除副对角线上元素为1外，其余元素均为0，
即：I~=00...0100...10...............01...0010...00-----(49)]]>
有I~I~=I,]]>I是单位阵，可得Y(t)的相关矩阵为：
Ry=E[Y(t)YH(t)]=I~E[X~*(t)X~*(t)H]I~=I~R~x~*I~-----(50)]]>
=I~A~*(φ)Rs*A~H(φ)I~+σ2Q]]>
进行前后向平滑：
Rfb=R~x~+Ry2=R~x~+I~R~x~*I~2------(13)]]>
从式(50)可以看出，在低信噪比、快拍数较小时，由于Ry是用有限次快拍数据进行估计的，存在估计误差，此时，用Rfb代替前节的进行DOA估计，具有平均的意义，可提高信号DOA估计性能。
基于TD-SCDMA无线定位修正MUSIC算法实现流程图见附图6，实现硬件采用TMS320C31。
4.对TD-SCDMA无线定位虚拟均匀线阵采用四阶累量的MUSIC算法
由x~(t)=A~(ζ,φ)s(t)+Bn(t),]]>
并令：F(t)=A~(φ)s(t)-----(52)]]>
可得：x~(t)=F(t)+Bn(t)-----(53)]]>
定义：Z(t)＝F(t)F(t) (54)
符号表示Kronecker直积。为了推导四阶累量，要使用两条Kronecker直积的恒等式。假设Fi(i＝1，2，3，4)为2h+1维列向量，则有：
(F1⊗F2)(F3H⊗F4H)=(F1F3H)⊗(F2F4H)-------(55)]]>
(F1⊗F2)(F3H⊗F4H)=(F3H⊗F2)⊗f1(1)F4H(F3H⊗F2)⊗f1(2)F4H...(F3H⊗F2)⊗f1(P)F4H----(56)]]>
式中f1(i)表示F1的第i个元素，由式(54)得：
Z(t)=[A~(φ)s(t)]⊗[A~(φ)s(t)]=[A~(φ)⊗A~(φ)][s(t)⊗s(t)]-----(57)]]>
定义F(t)的四阶累量矩阵：
CF＝cum{[F(t)F(t)][F(t)F(t)]H} (58)
由(57)和(58)式推得：
CF=E[Z(t)ZH(t)]-E[Z(t)]·E[ZH(t)]-E[F(t)FH(t)]⊗E[F(t)FH(t)]]]>
-E[FH⊗F]⊗E[f1FH]E[FH⊗F]⊗E[f2FH]...E[FH⊗F]⊗E[fPFH]------(59)]]>
由式(58)，可将式(59)化简为：
CF=[A~(φ)⊗A~(φ)]Cs[A~(φ)⊗A~(φ)]H-----(60)]]>
式中Cs是s(t)的四阶累量矩阵，即：
Cs＝cum{{s(t)s(t)][s(t)s(t)]H} (61)
根据累量的性质，即相互独立的随机过程的和之累量等于它们各自累量之和，以及高斯信号的四阶累量为0，可得：
Cx~=CF-------(62)]]>
Cx~=[A~(ζ,φ)⊗A~(ζ,φ)]Cs[A~(ζ,φ)⊗A~(ζ,φ)]H----(63)]]>
将代替并进行奇异值分解，此时零谱函数定义为：
基于TD-SCDMA无线定位四阶累量MUSIC算法实现流程图如附图7，实现硬件为TMS320C31。
5.对TD-SCDMA无线定位四阶累量MUSIC算法进行修正
由下式：
x~(t)=A~(φ)s(t)+Bn(t)]]>
Y(t)=I~X~*(t)----(65)]]>
I~A~*(φ)=A~(φ)]]>
AT(φ)I~=A~H(φ)]]>
得到：Y(x)=I~A~*(φ)s*(t)+B*n*(t)=A~(φ)s*(t)+B*n*(t)----(66)]]>
由累量的性质，即相互独立的随机过程的和之累量等于它们各自累量之和，以及高斯信号的四阶累量为0，可得：
CY=[A~(φ)⊗A~(φ)]Cs*[A~(φ)⊗A~(φ)]H-----(67)]]>
=(I~⊗I~)(Cx~)*(I~⊗I~)T]]>
式中Cs*是s*(t)的四阶累量矩阵，是的复共轭即：
Cs*=cum{[s*(t)⊗s*(t)][s*(t)⊗s*(t)]H}----(68)]]>
Cx~*=cum{[x*(t)⊗x*(t)][x*(t)⊗x*(t)]H}]]>
定义Cfb=Cx~+CY2,]]>可得到：
令：Qfb=Cs+Cs*2-------(70)]]>
从式(70)可知，该算法减小了信号源之间的相关系数，用Cfb代替FOC-MUSIC算法中的矩阵的四阶累量矩阵就可以得到FOC-MMUSIC算法。
采用该算法不但能扩大了阵列的有效孔径，而且能改善估计相关信号源的DOA的性能。
(1)如果信号源间统计相关，可以通过(36)式进行解相关处理。
(2)经过解相关的信号源Qfb的秩q，此时Cfb可以简化为：
Cfb＝BDqBH (71)
B=[a~(φ1)⊗a~(φ1),...,a~(φq)⊗a~(φq)]------(72)]]>
Dq＝diag[Qfb，1，...，Qfb，q] (73)
Qfb,i=Cs,i+Cs*,i2-----(74)]]>
式中Cs，i(i＝1，2，...，q)为第i个信号si(t)的四阶累量，Cs*，i(i＝1，2，...，q)为第i个信号si*(t)的四阶累量。
FOC-MMUSIC估计φ的方法
令矩阵表示对Cfb作特征分解所得的最小的[(2h+1)2-q2]个(信号源间相关)或[(2h+1)2-q]个(信号源间独立)特征值所对应的特征矢量组成的矩阵，通过求下式的极小值以得到第i个信号的DOA估计量
(φ^i)=argminφ∈ΦS(φi)------(75)]]>
式中Φ表示可视的来波方位角的集合，此时零谱函数定义为：