X射线复折射率中位相因子Δ的测定方法.pdf

一种X射线复折射率中位相因子δ的测定方法，其特征在于包括以下三个步骤：①.用一个矩形axb的准平行的X射线束照明待测的位相物体，在位相物体后面，探测器要紧贴在位相物体后面，测量X射线束的光强分布I(x，y)，即位相分布φ(x，y)；②.将φ(x，y)代入公式(30)，即可求得复折射率n(x，y，z)：(见上式)；根据复折射率n(x，y，z)，求得δ：δ＝1－n(x，y，z)。本发明给出了用实验方法求取待测物的位相分布，再从位相分布求取位相因子δ，是一项具有重要意义的原创性的工作。

1、  一种X射线复折射率中位相因子δ的测定方法，其特征在于包括以下三个步骤：
①.用一个矩形axb的准平行的X射线束照明待测的位相物体，在位相物体后面，探测器要紧贴在位相物体后面，测量X射线束的光强分布I(x，y)，即位相分布φ(x，y)；
②.将φ(x，y)代入公式(30)，即可求得复折射率n(x，y，z)：
φ ( x , y ) = 2 π λ ∫ [ n ( x , y , z ) - 1 ] dz ]]>
③.根据复折射率n(x，y，z)，求得δ：
δ＝1-n(x，y，z)

X射线复折射率中位相因子δ的测定方法
技术领域
本发明涉及X射线复折射率参数，特别是一种X射线复折射率中位相因子δ的测定方法。
背景技术
自从伦琴发现X射线以来，X射线已经在临床医学、工业探伤以及科学研究中，获得了极其广泛的应用，X射线的各种辐射特性也得到了充分的研究。早在1923年，康普顿就从理论上探讨了X射线的折射率。
当X射线穿过物质时，其折射率可以写成n＝1-δ-iβ，其中β为吸收项，δ为位相项。X射线穿透物质时，它的位相项δ会发生变化。在样品厚度为d的条件下，吸收和位相的变化分别为μd＝4πβd/λ和(d)＝2πδd/λ。在硬X射线波段(λ≤0.1nm)，轻元素的位相项δ比吸收项β大3～4个数量级，重元素的位相项δ比吸收项β大两个数量级。根据这一特性，人们发明了X射线位相衬度成像。
根据电磁波理论，X射线的折射率的复数形式可以用下式表示：
n = 1 - δ - iβ = 1 - r 0 λ 2 2 π N at ( f 1 - if 2 ) ]]>
则
δ = r 0 λ 2 2 π N at f 1 ]]>
β = r 0 λ 2 2 π N at f 2 ]]>
式中，N_at为电子数密度。对于化合物的折射率，可将式中每一元素的密度值代入，再把各元素的贡献累加求得，但同时还得注意吸收边的影响。
λ为X光波长，r₀为电子经数典半径，f为散射因子，当X射线的频率远大于原子的固有频率时，f＝z，即f可用原子序代替。
原子散射因子可用下列分析表达式求得：
f ( λ - 1 sin θ ) = Σ i = 1 4 a i exp [ - b i λ - 2 sin 2 θ ] + c ]]>
式中系数a_i，b_i和c的数值，可查阅《X射线结晶学国际表》第IV卷，第99～101页。另外，Henke及其合作者给出了光子能量介于50eV～30keV(相当于λ＝0.04～25nm)时，所有元素的复原子散射因子。利用Kramers-Kroning色散积分，可由f₂计算出f₁的值。
从上面的讨论可以看出，X射线复折射率是一个非常重要的参数，为了获得这一参数，人们进行了大量的研究，但折射率中的位相因子δ只能查表才能获取。
发明内容
本发明要解决的技术问题是，针对上述在先技术中存在的缺点，提出一种X射线复折射率中位相因子δ的测定方法，
本发明的技术解决构思是：用X射线在位相物体中的相衬成像方法，求取X射线的位相分布，从而获得X射线的折射率，再求得位相因子δ的值。
所谓位相物体是指这样一类物体，它只对入射光波引起位相改变，而不影响振幅的大小。这种位相改变是由于物体不均匀厚度或材料折射率的差异所致，而不吸收入射光波，在X射线波段，像生物体、晶体，在可见光波段，像玻璃等类样品，显然，这类物体用普通成像方法是观察不到的。
1935年，德国科学家Zernik在可见光波段发明了一种新的观察方法：“相衬法”。它能够把位相物体的位相分布转换成强度分布，利用这种方法可以使一个折射率与周围透明媒质略为不同的透明物质变得可见，因此，Zernik获得了1953年诺贝尔物理学奖。
自20世纪90年代X射线位相衬度成像方法迅速发展以来，人们利用实验室常规X射线光源和同步辐射光源，开展了针对生物、医学等样品的诸多X射线位相衬度成像实验，逐步完善了基于位相二阶微分的同轴成像术、基于位相一阶微分的衍射增强成像方法以及直接基于位相的干涉法等成像实验方法，大大推动了位相衬度方法的发展。国内，北京同步辐射装置上也开展了这方面的研究工作，获得了较好的实验结果。
在Zernik相衬和干涉方法中，都是将位相分布转化为光强衬度。事实上，不用干涉等方法，采用数字重构也可以使位相可见。已知与光轴垂直的两相邻平面上光强分布，可利用强度传输方程进行数字位相重构。
本发明的工作原理：
假定光波沿z轴方向传播，在自由空间，其波动的亥姆霍兹方程可以写为
[ ∂ 2 ∂ z 2 + ▿ 2 + ( 2 π λ ) 2 ] ψ z ( r → ) = 0 - - - ( 1 ) ]]>
其中 ▿ 2 = ∂ x 2 + ∂ y 2 , r → = ( x , y ) ]]>
上述波动方程亦可写为
L + L - ψ z ( r → ) = 0 - - - ( 2 ) ]]>
其中算符

L + u z ( r → ) = 0 - - - ( 4 ) ]]>
L - u z ( r → ) = 0 - - - ( 5 ) ]]>
分别代表沿z＞0方向及z＜0方向传播的光波，在此处我们研究的是(4)式，沿z＞0方向传播的光波，由麦克劳林级数
f ( x ) = Σ n = 0 ∞ 1 n ! f ( n ) x n - - - ( 6 ) ]]>
取其展开式前两项为近似结果，可得
[ 1 + ( λ ▿ 2 π ) 2 ] 1 / 2 ≈ 1 + ▿ 2 2 K 2 , K = 2 π λ - - - ( 7 ) ]]>
将(7)式代入到(3)式，再代入(4)式中得
( i ∂ ∂ z + ▿ 2 2 K + K ) u z ( r → ) = 0 - - - ( 8 ) ]]>
令 L 1 = i ∂ ∂ z u , L 2 = ▿ 2 2 K u - - - ( 9 ) ]]>
而
I z ( r → ) = | u z ( r → ) | 2 - - - ( 10 ) ]]>
u z ( r → ) = [ I z ( r → ) ] 1 / 2 exp [ iφ z ( r → ) ] - - - ( 11 ) ]]>
∂ u ∂ x = ∂ ∂ x ( I 1 / 2 e iφ ) = 1 2 I - 1 / 2 ∂ I ∂ x e iφ + iI 1 / 2 e iφ ∂ φ ∂ x = u 2 I ∂ I ∂ x + iu ∂ φ ∂ x - - - ( 12 ) ]]>
∂ 2 u ∂ x 2 = 1 2 I ∂ u ∂ x ∂ I ∂ x + u 2 I ∂ 2 I ∂ x 2 + i ∂ u ∂ x ∂ φ ∂ x + iu ∂ 2 φ ∂ x 2 ]]>
= 1 2 I ∂ u ∂ x ( u 2 I ∂ I ∂ x + iu ∂ φ ∂ x ) + u 2 I ∂ 2 I ∂ x 2 + i ∂ φ ∂ x ( u 2 I ∂ I ∂ x + iu ∂ φ ∂ x ) + iu ∂ 2 φ ∂ x 2 - - - ( 13 ) ]]>
= u 2 4 I 2 ∂ 2 I ∂ x 2 + u 2 I ∂ 2 I ∂ x 2 - u ∂ 2 φ ∂ x 2 + i ( u I ∂ I ∂ x ∂ φ ∂ x + u ∂ 2 φ ∂ x 2 ) - - - ( 14 ) ]]>
∂ u ∂ z = u 2 I ∂ I ∂ z + iu ∂ φ ∂ z - - - ( 15 ) ]]>
▿ 2 u = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = u 4 I 2 ▿ 2 I + u 2 I ▿ 2 I - u ▿ 2 φ + i ( u I ∂ I ∂ x ∂ φ ∂ x + u I ∂ I ∂ y ∂ φ ∂ y + u ▿ 2 φ ) - - - ( 16 ) ]]>
其中x与y完全对称。将(15)、(16)式代入到(9)式中得
L 1 = - u ∂ φ ∂ z + i u 2 I ∂ I ∂ z - - - ( 17 ) ]]>
而
L 2 = 1 2 K [ u 4 I 2 ▿ 2 I + u 2 I ▿ 2 I - u ▿ 2 φ + i ( u I ∂ I ∂ x ∂ φ ∂ x + u I ∂ I ∂ y ∂ φ ∂ y + u ▿ 2 φ ) ] - - - ( 18 ) ]]>
由(4)式和(9)式可知
( L 1 + L 2 + K ) u z ( r → ) = 0 - - - ( 19 ) ]]>
将(19)式乘以u_z^*，再与(19)式的共轭与u的乘积相减，可以得到
K ∂ I ∂ z + ∂ I ∂ x ∂ φ ∂ x + ∂ I ∂ y ∂ φ ∂ y + I ▿ 2 φ = 0 - - - ( 20 ) ]]>
由矢量代数运算可知
▿ · I ▿ φ = ∂ I ∂ x ∂ φ ∂ x + ∂ I ∂ y ∂ φ ∂ y + I ∂ 2 φ ∂ x 2 + I ∂ 2 φ ∂ y 2 - - - ( 21 ) ]]>
也就是
K ∂ I ∂ z + ▿ · I ▿ φ = 0 - - - ( 22 ) ]]>
(22)式即强度传输方程，式中，I(x，y，z)为光强，φ为缓变相位。
假定光强I(x，y，z)在区域Ω边界及边界之外均为零，寻找在矩形区域Ω_ab＝(0，a)×(0，b)内强度传输方程的解。引入傅里叶谐波W_mn和Ω_ab区域内的标量积<f，g>：
W_mn(x，y)＝exp{i2πmx/a}exp{i2πny/b}                        (23)
〈 f , g 〉 = 1 ab &Integral; 0 b &Integral; 0 a f ( x , y ) g * ( x , y ) dxdy - - - ( 24 ) ]]>
这些傅里叶谐波构成一个正交序列，将光强的微分进行傅里叶级数分解得
k &PartialD; I &PartialD; z = Σ m . n F mn W mn , ( | m | ≤ M , | n | ≤ N ) - - - ( 25 ) ]]>
式中M，N是m，n取值大小，m＝1，2，3，…，N＝1，2，3，…例如M＝N＝256.类似地，对于位相有
φ = Σ m , n φ mn W mn , ( | m | ≤ M , | n | ≤ N ) ]]>
将(22)与一傅里叶谐波W_pq取标量积，分部积分后得到以下代数方程，其中傅里叶系数未知。
Σ m , n L pq mn φ mn = abF pq - - - ( 27 ) ]]>
L pq mn = ( 2 π ) 2 ( mpb / a + nqa / b ) I ( p - m ) ( q - n ) - - - ( 28 ) ]]>
I_mn＝<I，W_mn>为光强分布的傅里叶系数。在均匀照明的特殊情况下，可以得到
φ mn = ( ab ) 2 ( 2 π ) 2 ( m 2 b 2 + n 2 a 2 ) I 0 F mn - - - ( 29 ) ]]>
其中：φ_mn为取样区域第m，n点的位相值；a，b是样品取样区域尺寸，a为长度，b为宽度；I₀为输入样品的光强；F_mn为傅里叶级数系数。当m²+n²≠0，在均匀照明时，为了从沿轴方向的光强微分得到位相，先对kI/z作傅里叶变换，根据(23)式求得傅里叶系数，并进行傅里叶逆变换。代入(29)式即可对位相进行重构。
将(29)式中φ值代入(30)式，就可求得X射线复折射率n(x，y，z)
φ ( x , y ) = 2 π λ &Integral; [ n ( x , y , z ) - 1 ] dz - - - ( 30 ) ]]>
由于使用的是一个位相物体，因此吸收系数等于零：
n＝1-δ-iβ＝1-δ                                (31)
从而可以求得复折射率中的因子δ。
本发明的技术解决方案如下：
一种X射线复折射率中位相因子δ的测定方法，其特征在于包括以下三个步骤：
①.用一个矩形axb的准平行的X射线束照明待测的位相物体，在位相物体后面，探测器要紧贴在位相物体后面，测量X射线束的光强分布I(x，y)，即位相分布φ(x，y)；
②.将φ(x，y)代入公式(30)，即可求得复折射率n(x，y，z)：
φ ( x , y ) = 2 π λ &Integral; [ n ( x , y , z ) - 1 ] dz ]]>
③.根据复折射率n(x，y，z)，求得δ：
δ＝1-n(x，y，z)
与在先技术相比，本发明的X射线复折射率中位相因子δ的测定方法，给出了用实验方法求取待测物的位相分布，再从位相分布求取位相因子δ，是一项具有重要意义的原创性的工作。
具体实施方式
一种X射线复折射率中位相因子δ的测定方法，其特征在于包括以下三个步骤：
①.用一个矩形axb的准平行地X射线束照明待测的位相物体，在位相物体后面，探测器要紧贴在位相物体后面，测量X射线束的光强分布I(x，y)，即位相分布φ(x，y)；
②.将φ(x，y)代入公式(30)，即可求得复折射率n(x，y，z)：
φ ( x , y ) = 2 π λ &Integral; [ n ( x , y , z ) - 1 ] dz ]]>
③.根据复折射率n(x，y，z)，求得δ：
δ＝1-n(x，y，z)