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1、10申请公布号CN104112070A43申请公布日20141022CN104112070A21申请号201410330339822申请日20140711G06F19/0020110171申请人长沙理工大学地址410015湖南省长沙市天心区赤岭路45号72发明人易壮鹏涂光亚曾有艺袁明74专利代理机构北京科亿知识产权代理事务所普通合伙11350代理人汤东凤54发明名称用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法57摘要本发明公开了一种用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，基于无量纲形式的动力学方程进行，将浅拱竖向弹性约束、转动方向弹性约束的大小用相应的刚度参数表示，通过求微分方程的通。
2、解和特解来假定弹性边界浅拱的模态，由模态系数矩阵对应的行列式等于零求自振频率，通过浅拱动力学方程的GALERKIN离散和多尺度摄动分析导出12，11，13三种内共振条件下极坐标形式的平均方程，即可得到发生内共振时的动力响应。本发明通过在模态和自振频率中考虑约束刚度的思路解决了现有弹性边界浅拱内共振时的动力响应求解的技术问题。保证了所建设浅拱的安全性和合理性，并且能够延长浅拱的使用寿命。51INTCL权利要求书11页说明书20页附图1页19中华人民共和国国家知识产权局12发明专利申请权利要求书11页说明书20页附图1页10申请公布号CN104112070ACN104112070A1/11页21一。
3、种弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在于，具体按照以下步骤实施步骤1、基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束边界进行描述，得到弹性约束边界的表达式；步骤2、基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；并结合步骤1中的边界的表达式对弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解；步骤3、通过浅拱动力学控制方程的GALERKIN离散和多尺度摄动分析导出三种内共振条件下极坐标形式的平均方程以及发生内共振时的动力响应的表达式，并进一步对平均方程进行求解得到浅拱发生内共振时的动力响应。2根据权利要求1所述的弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征。
4、在于，所述步骤1中的基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束边界进行描述，得到弹性约束边界的表达式，具体按照以下步骤实施弹性边界条件下，在直角坐标系下跨径为的弹性边界浅拱的动力学控制方程为其中，其中为两端竖向支撑刚度，为两端转动支撑刚度，为初始时刻的拱轴线形，任意一点在时刻外荷载作用下发生水平位移和竖直位移对于浅拱有平截面假定、不考虑剪切变形和转动惯量、忽略纵向惯性、零初始轴力等基本假定，式中，A为截面积，I为转动惯量，为密度，E为弹性模量，为阻尼系数；边界的弹性约束条件为在公式2中引入无量纲变量其中RX为截面转动半径，公式1可以简化为权利要求书CN104112070A2。
5、/11页3式中，为阻尼项，为谐波激励外荷载项，为二次非线性项，为三次非线性项，公式2中的边界条件可以写为式中BIUI14为边界的一般表达式，B1U表示一端竖向弹性约束，B3U表示一端转动弹性约束，B2U表示另一端竖向弹性约束，B4U表示另一端转动弹性约束。3根据权利要求1所述的弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在于，所述步骤2中基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；对弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解，具体按照以下步骤实施将步骤1中的公式4中的阻尼项、外荷载项及非线性项去掉，得弹性边界浅拱对应的线性方程利用公式6即求解弹性边界浅拱的自振频率和模态；设公。
6、式6的方程解的一般形式为UX，TXEIT7式中为系统的频率，将上式其代入公式6，得与公式4对应的线性系统的特征方程上标撇表示对X微分，方程的解由微分方程的通解HX和特解PX两部分组成，即XHXPX9对于系统的频率，式8的通解表示为权利要求书CN104112070A3/11页4其中CII14是系数，式8积分符号内的项为一个常数，针对不同的初始拱轴线形X特征方程的特解有不同的形式，当XBSINXB为矢高时，PX可以表示为C5SINXC5为系数；时，PX可以表示为C5COS2X；将模态方程式9代入边界条件式5和式8中，即得到自振频率和模态的求解方程B1|X00；B2|X10B3|X00；B4|X10。
7、；V011式11中，由CII15的系数矩阵所对应的行列式等于零得N阶频率N和相应的模态NX；CI的系数矩阵对应行列式等于零所得一般为关于N的超越方程，采用MATHEMATICA，MATLAB等软件进行计算；将所得模态标准正交化有MN是KRONECKERDELTA函数；在分析式5中KI等弹性支撑浅拱的约束参数对自振频率和模态的影响时，假定某一参数在一定区间之内变化而其余参数保持不变；具体地，当XBSINX时其中，B表示浅拱的矢高，式11的求解方程展开为K1C13/2C2K1C33/2C43C5012AC1K31/2C2C3K31/2C4K3C5012C1C12C23C34C45C5012E其中当。
8、其中，B表示浅拱的矢高时，式11的求解方程展开为权利要求书CN104112070A4/11页5K1C13/2C2K1C33/2C4K1C5013AC1K31/2C2C3K31/2C442C5013C1C12C23C34C45C5013E其中4根据权利要求1所述的弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在于，所述步骤3通过浅拱动力学控制方程的GALERKIN离散和多尺度摄动分析导出三种内共振条件下极坐标形式的平均方程，即得到发生内共振时的动力响应的求解式，并对动力响应的求解式进行求解，具体按照以下步骤实施在采用时间多尺度法进行摄动分析的过程中，定义无量纲小参数，同时用2，F2F，并将式。
9、4写为ULUG2U，UG3U，U，U2U3FCOST14式中上标点表示对T微分，正线性自伴随微分算子G2和G3分别为二、三次非线性微分算子，且对U进行全离散，将U一致展开为式中RK是广义坐标，将其代入式14并进行GALERKIN积分可得权利要求书CN104112070A5/11页6其中将广义坐标RK展开为式中时间尺度TIITI0，1，2，且有将式18代入式16展开并利用时间参数的独立性可得各阶近似方程23式13中一阶近似方程的解可写为其中CC表示前面复数项的共轭，将上式代入式14可得步骤31、求12内共振的平均方程；权利要求书CN104112070A6/11页7考虑M和N阶模态之间的12内共振。
10、，引入调谐参数1和2，N2M2，I1，IM，N24来分别描述N和M之间；与MN之间的接近程度，式23中由消除共振项的条件可得其中S1MMNMNM26S2NMM27公式21的三阶近似方程可以化简成如下形式式中NST表示非共振项，系数SMM，SNN，SMN的具体表达式如下由消除永年项条件，以及变量时间导数的多尺度表达式权利要求书CN104112070A7/11页8AD1A2D2A，得到求解方程如下33式中KM和KN分别表示M和N阶主共振的情况，将摄动解AM和AN写为极坐标形式JM，N，其中AJ和J均为实函数，将其代入式32，33展开并分离实、虚部可得平均方程其中1N2M2T1，2M1T1，3N1T。
11、1稳态解可在上式中令AJJ0获得，先选取一个远离共振区的参数值进行积分得到一组解，再通过延拓得到随参数变化的整条曲线；发生12内共振时的位移响应表示为其中，形函数为权利要求书CN104112070A8/11页9步骤32、求11内共振的平均方程；考虑M和N阶模态之间的11内共振，引入调谐参数1和2，NM22，M2138来分别描述N和M之间；与M之间的接近程度；在11和13内共振中方程的解与时间尺度T1无关，即有D10，因而式23的解写成如下形式进一步，三阶近似方程式21写为40，公式40为消除永年项条件；对于M和N阶模态之间的11内共振，由消除永年项条件可以得到式中系数为权利要求书CN10411。
12、2070A9/11页1047将极坐标形式的摄动解AJ，J为实函数代入式41，42并分实、虚部可得平均方程其中1MN，同样11内共振的位移响应写成式35的形式，其中NNX，MNX，MMX，NNX与12内共振相同，由式37给出，而MMX和MNX则由下式给出权利要求书CN104112070A1010/11页11步骤33、求13内共振的平均方程；考虑M和N阶模态之间的13内共振，引入调谐参数1和2，N3M22，I21，IM，N50对应的二阶近似解和三阶近似方程与11的情况类似，写为式39和式40的形式；对于M和N阶模态之间的13内共振，由消除永年项条件公式40可以得到式中KM和KN分别表示M和N阶主共。
13、振的情况，各系数为将摄动解AM和AN写为极坐标形式JM，N，其中AJ和J均为实函数，将其代入式51，52展开并分离实、虚部可得平均方程56B权利要求书CN104112070A1111/11页12式中1N3M2T2，2M1T2，3N1T2，同样13内共振的位移响应由式35给出，形函数NNX，MNX，MMX，NNX，MMX，MNX由式37和式49给出。权利要求书CN104112070A121/20页13用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法技术领域0001本发明属于桥梁工程技术领域，具体涉及一种用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法。背景技术0002浅拱是一种受力性能介于拱和梁之间。
14、的受力构件，它在外荷载下的动力学特性对于把握浅拱类结构的力学性能研究具有重要的意义。浅拱在轻质、低阻和满载设计条件下容易发生大幅度的振动，而外激励激发的内共振是一种典型的破坏性动力行为，在设计参数的考虑上必须予以避免。0003已有浅拱的内共振研究主要针对理想的铰支、固结等边界，这些理想的边界条件下浅拱结构的模态能用简单的解析函数表示，自振频率可以方便地求解。而针对弹性边界浅拱，由于弹性约束常数的不确定性使得这种方便简易的求解条件不具备，导致目前弹性边界浅拱的内共振研究不能考虑弹性约束，动力响应缺乏有效的求解方法，相应的研究未见报导。发明内容0004本发明的目的是提供一种用于弹性边界浅拱发生内共。
15、振时动力响应的求解方法，解决了现有技术中存在的在弹性边界浅拱的自振频率和模态中能够解析考虑大小不确定的弹性约束刚度的影响、建设浅拱时发生位移和形变的问题。0005本发明所采用的技术方案是，一种弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，具体按照以下步骤实施0006步骤1、基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束边界进行描述，得到弹性约束边界的表达式；0007步骤2、基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；并结合步骤1中的边界的表达式对弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解；0008步骤3、通过浅拱动力学控制方程的GALERKIN离散和多尺度摄动分析导出。
16、三种内共振条件下极坐标形式的平均方程以及发生内共振时的动力响应的表达式，并进一步对平均方程进行求解得到浅拱发生内共振时的动力响应。0009本发明的特点还在于，0010步骤1中的基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束边界进行描述，得到弹性约束边界的表达式，具体按照以下步骤实施0011弹性边界条件下，在直角坐标系下跨径为的弹性边界浅拱的动力学控制方程为0012说明书CN104112070A132/20页140013其中，其中为两端竖向支撑刚度，为两端转动支撑刚度，为初始时刻的拱轴线形，任意一点在时刻外荷载作用下发生水平位移和竖直位移对于浅拱有平截面假定、不考虑剪切变形和转动。
17、惯量、忽略纵向惯性、零初始轴力等基本假定，0014式中，A为截面积，I为转动惯量，为密度，E为弹性模量，为阻尼系数；边界的弹性约束条件为00150016在公式2中引入无量纲变量00170018其中RX为截面转动半径，公式1可以简化为00190020式中，为阻尼项，为谐波激励外荷载项，为二次非线性项，为三次非线性项，公式2中的边界条件可以写为00210022说明书CN104112070A143/20页150023式中BIUI14为边界的一般表达式，B1U表示一端竖向弹性约束，B3U表示一端转动弹性约束，B2U表示另一端竖向弹性约束，B4U表示另一端转动弹性约束。0024步骤2中基于步骤1中动力学。
18、控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；对弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解，具体按照以下步骤实施0025将步骤1中的公式4中的阻尼项、外荷载项及非线性项去掉，得弹性边界浅拱对应的线性方程00260027利用公式6即求解弹性边界浅拱的自振频率和模态；0028设公式6的方程解的一般形式为0029UX，TXEIT70030式中为系统的频率，将上式其代入公式6，得与公式4对应的线性系统的特征方程00310032上标撇表示对X微分，方程的解由微分方程的通解HX和特解PX两部分组成，即0033XHXPX90034对于系统的频率，式8的通解表示为00350036其中CII14是系数，式8积分符号内的。
19、项为一个常数，针对不同的初始拱轴线形X特征方程的特解有不同的形式，当XBSINXB为矢高时，PX可以表示为C5SINXC5为系数；时，PX可以表示为C5COS2X；0037将模态方程式9代入边界条件式5和式8中，即得到自振频率和模态的求解方程0038B1|X00；B2|X10；B3|X0；B4|X10；V0110039式11中，由CII15的系数矩阵所对应的行列式等于零得N阶频率N和相应的模态NX；CI的系数矩阵对应行列式等于零所得一般为关于N的超越方程，采用MATHEMATICA，MATLAB等软件进行计算；将所得模态标准正交化有MN是KRONECKERDELTA函数；在分析式5中KI等弹性。
20、支撑浅拱的约束参数对自振频率和模态的影响时，假定某一参数在一定区间之内变化而其余参数保持不变；0040具体地，当XBSINX时其中，B表示浅拱的矢高，式11的求解方程展开为说明书CN104112070A154/20页160041K1C13/2C2K1C33/2C43C5012A00420043C1K31/2C2C3K31/2C4K3C5012C004400451C12C23C34C45C5012E0046其中00470048当其中，B表示浅拱的矢高时，式11的求解方程展开为0049K1C13/2C2K1C33/2C4K1C5013A00500051C1K31/2C2C3K31/2C442C50。
21、13C005200531C12C23C34C45C5013E0054其中00550056步骤3、通过浅拱动力学控制方程的GALERKIN离散和多尺度摄动分析导出三种内共振条件下极坐标形式的平均方程以及发生内共振时的动力响应的表达式，并进一步对平均方程进行求解得到浅拱发生内共振时的动力响应，具体按照以下步骤实施0057在采用时间多尺度法进行摄动分析的过程中，定义无量纲小参数，同时用2，F2F，并将式4写为0058ULUG2U，UG3U，U，U2U3FCOST140059式中上标点表示对T微分，正线性自伴随微分算子说明书CN104112070A165/20页17G2和G2分别为二、三次非线性微分算。
22、子，且对U进行全离散，将U一致展开为00600061式中RK是广义坐标，将其代入式14并进行GALERKIN积分可得00620063其中00640065将广义坐标RK展开为00660067式中时间尺度TIITI0，1，2，且有将式18代入式16展开并利用时间参数的独立性可得各阶近似方程006800690070200710072300730074式13中一阶近似方程的解可写为00750076其中CC表示前面复数项的共轭，将上式代入式14可得0077说明书CN104112070A176/20页180078步骤31、求12内共振的平均方程；0079考虑M和N阶模态之间的12内共振，引入调谐参数1和2。
23、，0080N2M2，I1，IM，N240081来分别描述N和M之间；与MN之间的接近程度。式23中由消除共振项的条件可得00820083其中0084S1MMNMNM260085S2NMM270086公式21的三阶近似方程可以化简成如下形式00870088式中NST表示非共振项，系数SMM，SNN，SMN的具体表达式如下0089009000910092由消除永年项条件，以及变量时间导数的多尺度表达式0093AD1A2D2A，得到求解方程如下说明书CN104112070A187/20页19009400950096式中KM和KN分别表示M和N阶主共振的情况，将摄动解AM和AN写为极坐标形式JM，N，。
24、其中AJ和J均为实函数，将其代入式32，33展开并分离实、虚部可得平均方程00970098009901000101其中1N2M2T1，2M1T1，3N1T1稳态解可在上式中令AJJ0获得，先选取一个远离共振区的参数值进行积分得到一组解，再通过延拓得到随参数变化的整条曲线；发生12内共振时的位移响应表示为01020103其中，形函数为010401050106说明书CN104112070A198/20页200107步骤32、求11内共振的平均方程；0108考虑M和N阶模态之间的11内共振，引入调谐参数1和2，0109NM22，M21380110来分别描述N和M之间；与M之间的接近程度；在11和13。
25、内共振中方程的解与时间尺度T1无关，即有D10，因而式23的解写成如下形式01110112进一步，三阶近似方程式21写为0113011440，公式40为消除永年项条件；0115对于M和N阶模态之间的11内共振，由消除永年项条件可以得到011601170118式中系数为011901200121说明书CN104112070A209/20页21012201230124将极坐标形式的摄动解AJ，J为实函数代入式41，42并分实、虚部可得平均方程01250126012701280129其中1MN，同样11内共振的位移响应写成式35的形式，其中NNX，MNX，MMX，NNX与12内共振相同，由式37给出，。
26、而MMX和MNX则由下式给出01300131步骤33、求13内共振的平均方程；0132考虑M和N阶模态之间的13内共振，引入调谐参数1和2，0133N3M22，I21，IM，N500134对应的二阶近似解和三阶近似方程与11的情况类似，写为式39和式40的形式；对于M和N阶模态之间的13内共振，由消除永年项条件公式40可以得到01350136说明书CN104112070A2110/20页220137式中KM和KN分别表示M和N阶主共振的情况，各系数为0138013901400141将摄动解AM和AN写为极坐标形式JM，N，其中AJ和J均为实函数，将其代入式51，52展开并分离实、虚部可得平均方。
27、程01420143014401450146式中1N3M2T2，2M1T2，3N1T2。同样13内共振的位移响应由式35给出，形函数NNX，MNX，MMX，NNX，MMX，MNX由式37和式49给出。0147本发明的有益效果是本求解方法可实现弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解，在弹性边界浅拱的模态和自振频率中考虑约束刚度的大小及影响程度，所得平均方程的系数与弹性边界的约束刚度具有一一对应的关系。本发明方法对弹性边界浅拱的内共振时动力响应的求解提供了一种技术思路，对浅拱发生内共振时动力响应的求解只能针对铰支、固结等理想边界而不能针对弹性约束边界的技术现状进行了改进，这样能够精确计算所建设浅拱发。
28、生的位移和形变，避免浅拱设计参数分布在结构发生内共振、大幅振动等不利影响的区间内，保证了所建设浅拱的安全性和合理性，并且能够延长浅拱的使用寿命。附图说明0148图1是本发明弹性边界浅拱结构示意图；0149图2是本发明用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法的流程图。说明书CN104112070A2211/20页23具体实施方式0150本发明的求解思想是基于无量纲形式的动力学方程进行，将浅拱竖向弹性约束、转动方向弹性约束的大小用相应的刚度参数表示，通过求微分方程的通解和特解来假定弹性边界浅拱的模态，由模态系数矩阵对应的行列式等于零求自振频率，即在模态和自振频率中考虑约束刚度的大小及影响程度。
29、。接下来，通过浅拱动力学方程的GALERKIN离散和多尺度摄动分析导出各种内共振12，11，13条件下极坐标形式的平均方程，即可得到发生内共振时的动力响应。由于平均方程的系数与各阶模态有关，因而与弹性边界的约束刚度具有一一对应的关系。本发明籍通过在模态和自振频率中考虑约束刚度的思路解决了现有弹性边界浅拱内共振时的动力响应求解的技术问题。0151下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。0152本发明提供一种用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，具体按照以下步骤实施0153步骤1、基于弹性边界浅拱，建立弹性边界条件下弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束边界进行描述；具体按照以。
30、下步骤实施0154图1所示为直角坐标系下跨径为的两端弹性边界浅拱，其中为两端竖向支撑刚度，为两端转动支撑刚度，为初始时刻的拱轴线形，任意一点在时刻外荷载作用下发生水平位移和竖直位移对于浅拱有平截面假定、不考虑剪切变形和转动惯量、忽略纵向惯性、零初始轴力等基本假定，在弹性边界条件下其动力学控制方程可写为01550156其中A为截面积，I为转动惯量，为密度，E为弹性模量，为阻尼系数，边界的弹性约束条件为01570158为简化方程，引入无量纲变量0159说明书CN104112070A2312/20页240160其中RX为截面转动半径，公式1可以简化为01610162式中，为阻尼项，为谐波激励外荷载项。
31、，为二次非线性项，为三次非线性项，公式2中的边界条件可以写为016301640165式中BIUI14为边界的一般表达式，B1U表示图1中左端竖向弹性约束，B2U表示图1中右端竖向弹性约束，B3U表示图1中左端转动弹性约束，B4U表示图1中右端转动弹性约束。0166步骤2、基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；对弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解；通过求微分方程的通解和特解来假定弹性边界浅拱的模态，由模态系数矩阵对应的行列式等于零求自振频率，即在模态和自振频率中考虑约束刚度的大小及影响程度。0167具体按照以下步骤实施0168将步骤1中的公式4中的阻尼项、外荷载项及非线。
32、性项去掉，得弹性边界浅拱对应的线性方程01690170利用公式6即可求解弹性边界浅拱的自振频率和模态。0171设公式6的方程解的一般形式为0172UX，TXEIT70173式中为系统的频率，将上式其代入公式6，可得与公式4对应的线性系统的特征方程说明书CN104112070A2413/20页2501740175上标撇表示对X微分，方程的解由微分方程的通解HX和特解PX两部分组成，即0176XHXPX90177对于系统的频率，式8的通解可以表示为01780179其中CII14是系数，式8积分符号内的项为一个常数，因而整体上针对不同的初始拱轴线形X特征方程的特解有不同的形式，如当XBSINXB为矢。
33、高时，PX可以表示为C5SINXC5为系数；时，PX可以表示为C5COS2X。0180将模态方程式9代入边界条件式5和式8中，即可得到自振频率和模态的求解方程0181B1|X00；B2|X10；B3|X00；B4|X10；V0110182式11中，由CII15的系数矩阵所对应的行列式等于零可得N阶频率N和相应的模态NX。CI的系数矩阵对应行列式等于零所得一般为关于N的超越方程，实际计算可采用MATHEMATICA，MATLAB等软件进行计算。将所得模态标准正交化有MN是KRONECKERDELTA函数。在分析式5中KI等弹性支撑浅拱的约束参数对自振频率和模态的影响时，一般假定某一参数在一定区间。
34、之内变化而其余参数保持不变。0183具体地，当XBSINX时其中，B表示浅拱的矢高，式11的求解方程可以展开为0184K1C13/2C2K1C33/2C43C5012A01850186C1K31/2C2C3K31/2C4K3C5012C018701881C12C23C34C45C5012E0189其中01900191当其中，B表示浅拱的矢高时，式11的求解方程可以展说明书CN104112070A2514/20页26开为0192K1C13/2C2K1C33/2C4K1C5013A01930194C1K31/2C2C3K31/2C442C5013C019501961C12C23C34C45C501。
35、3E0197其中01980199步骤3、通过浅拱动力学控制方程的GALERKIN离散和多尺度摄动分析导出三种内共振条件下极坐标形式的平均方程以及发生内共振时的动力响应的表达式，并进一步对平均方程进行求解得到浅拱发生内共振时的动力响应，具体按照以下步骤实施0200在采用时间多尺度法进行摄动分析的过程中，为分析方便及使阻尼效应、激励与非线性项同阶，定义无量纲小参数，同时用2，F2F，并将式4写为0201ULUG2U，UG3U，U，U2U3FCOST140202式中上标点表示对T微分，正线性自伴随微分算子G2和G3分别为二、三次非线性微分算子，且对U进行全离散，将U一致展开为02030204式中RK。
36、是广义坐标，将其代入式14并进行GALERKIN积分可得02050206其中02070208将广义坐标RK展开为说明书CN104112070A2615/20页2702090210式中时间尺度TIITI0，1，2，且有将式18代入式16展开并利用时间参数的独立性可得各阶近似方程021102120213202140215302160217式13中一阶近似方程的解可写为02180219其中CC表示前面复数项的共轭，将上式代入式14可得02200221步骤31、求12内共振的平均方程；0222考虑M和N阶模态之间的12内共振，引入调谐参数1和2，0223N2M2，I1，IM，N240224来分别描述N。
37、和M之间；与MN之间的接近程度。式23中由消除共振项的条件可得02250226其中0227S1MMNMNM260228S2NMM270229公式21的三阶近似方程可以化简成如下形式0230说明书CN104112070A2716/20页280231式中NST表示非共振项，系数SMM，SNN，SMN的具体表达式如下0232023302340235由消除永年项条件，以及变量时间导数的多尺度表达式0236AD1A2D2A，得到求解方程如下023702380239式中KM和KN分别表示M和N阶主共振的情况，接下来将摄动解AM和AN写为极坐标形式JM，N，其中AJ和J均为实函数，将其代入式32，33展开并。
38、分离实、虚部可得平均方程0240024102420243说明书CN104112070A2817/20页290244其中1N2M2T1，2M1T1，3N1T1稳态解可在上式中令AJJ0获得，先选取一个远离共振区的参数值进行积分得到一组解，再通过延拓得到随参数变化的整条曲线。最终发生12内共振时的位移响应可以表示为02450246其中，以下是形函数的具体表达式0247024802490250步骤32、求11内共振的平均方程；0251考虑M和N阶模态之间的11内共振，引入调谐参数1和2，0252NM22，M21380253来分别描述N和M之间；与M之间的接近程度。在11和13内共振中方程的解与时间尺。
39、度T1无关，即有D10，因而式23的解可以写成如下形式02540255进一步，三阶近似方程式21可以写为0256025740，公式40为消除永年项条件；0258对于M和N阶模态之间的11内共振，由消除永年项条件可以得到说明书CN104112070A2918/20页30025902600261式中系数为026202630264026502660267将极坐标形式的摄动解AJ，J为实函数代入式41，42并分实、虚部可得平均方程0268026902700271说明书CN104112070A3019/20页310272其中1MN，同样11内共振的位移响应可写成式35的形式，其中形函数NNX，MNX，M。
40、MX，NNX与12内共振相同，由式37给出，而MMX和MNX则由下式给出02730274步骤33、求13内共振的平均方程；0275考虑M和N阶模态之间的13内共振，引入调谐参数1和2，0276N3M22，I21，IM，N500277对应的二阶近似解和三阶近似方程与11的情况类似，可以写为式39和式40的形式。对于M和N阶模态之间的13内共振，由消除永年项条件公式40可以得到027802790280式中KM和KN分别表示M和N阶主共振的情况，各系数为0281028202830284将摄动解AM和AN写为极坐标形式JM，N，其中AJ和J均为实函数，将其代入式51，52展开并分离实、虚部可得平均方程。
41、0285028602870288说明书CN104112070A3120/20页320289式中1N3M2T2，2M1T2，3N1T2。同样13内共振的位移响应由式35给出，形函数NNX，MNX，MMX，NNX，MMX，MNX由式37和式49给出。0290与现有的方案相比较，本求解方法，对弹性边界浅拱的内共振时动力响应的求解提供了一种新的技术思路，对浅拱发生内共振时动力响应的求解只能针对铰支、固结等理想边界而不能针对弹性约束边界的技术现状进行了改进，这样能够精确计算所建设浅拱发生的位移和形变，避免浅拱设计参数分布在结构发生内共振、大幅振动等不利影响的区间内，保证了所建设浅拱的安全性和合理性，并且能够延长浅拱的使用寿命。说明书CN104112070A321/1页33图1图2说明书附图CN104112070A33。