一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法.pdf

摘要
申请专利号：	CN201410144832.0	申请日：	2014.04.11
公开号：	CN103955604A	公开日：	2014.07.30
当前法律状态：	授权	有效性：	有权
法律详情：	授权\|\|\|实质审查的生效IPC(主分类):G06F 19/00申请日:20140411\|\|\|公开
IPC分类号：	G06F19/00(2011.01)I	主分类号：	G06F19/00
申请人：	南京航空航天大学
发明人：	许希武; 赵震波; 郭树祥; 陈康
地址：	210016 江苏省南京市秦淮区御道街29号
优先权：
专利代理机构：	南京经纬专利商标代理有限公司 32200	代理人：	许方
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内容摘要

本发明公开了一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法。该方法利用有限元模型，采用扩展单元间断的位移插值函数表征模型中裂纹行为，以裂纹长度为变量，追踪裂尖所在位置动态判断裂纹尖端的应力强度因子与裂纹尖端位置对应断裂韧性大小，以确定裂纹是否扩展，实现梯度材料的剩余强度预测。该方法在建立有限元模型时无需在几何进行切割，裂尖网格无需细分，有较高的精度。

权利要求书

权利要求书
1.  一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，该方法通过对I型裂纹的扩展过程进行分析来获取当前含裂纹金属梯度材料剩余强度，其特征在于，具体包括以下步骤：
步骤1、构建该金属梯度材料的有限元模型，该有限元模型中以裂纹尖端所在单元的节点作为裂尖强化节点，以裂纹段所在单元的节点作为裂纹段强化节点，其余节点均为常规节点，其中裂纹尖端所在单元与裂纹段所在单元的交汇节点归为裂尖强化节点，并对所有节点进行编号；
步骤2、将所有的裂尖强化节点纳入裂纹尖端强化节点集NΛ，所有的裂纹段强化节点纳入裂纹段强化节点集NΓ；
步骤3、获取梯度区范围内所有节点对应材料的弹性模量E、泊松比μ和断裂韧性KIC沿y方向的线性变化关系式，如下：
E=E1+(E2-E1)(y+t2)-t2≤y<t2μ=μ1+(μ2-μ1)(y+t2)-t2≤y<t2KIC=KIC1+(KIC2-KIC1)(y+t2)-t2≤y<t2]]>
式中，t为梯度层厚度，E1、μ1、KIC1分别为第一种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性，E2、μ2、KIC2分别为第二种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性；以模型几何中心为原点，建立xy坐标系，其中y方向平行于材料梯度方向；
步骤4、根据下式确定模型结构刚度矩阵K:
K=∑(∫vB(x,y)TCB(x,y)dv)
式中，C为材料的本构矩阵，B(x,y)为单元几何矩阵，上标T为矩阵的转置运算，v表示积分区域为单个单元范围；
步骤5、初始化外载荷F=0；
步骤6、根据当前外载荷F来求解如下有限元离散方程：
KuI=F
式中，F为外载荷向量，uI为待求解的节点位移向量，其分量包括其中uI为常规节点位移，aI为NΓ集内节点由于裂纹造成的裂纹段不连续所带来的附加位移，为NΛ集内节点由于裂纹造成的裂纹尖端不连续所带来的附加位移，其中，α=1,2,3,4，下标I为节点编号；
步骤7、基于步骤6所求节点位移，利用强化位移逼近函数插值获取位移场

N表示所有节点集合，NI(x,y)、HI(x,y)和分别为常规单元位移插值函数、裂纹段插值函数和裂纹尖端插值函数，具体表达式如下：
NI(x,y)=14(1+ξIξ)(1+ηIη)]]>

ΦIα(x,y)=r·{sinθ2,cosθ2,sinθsinθ2,sinθcosθ2}]]>
(ξ,η)为高斯坐标，(r,θ)为裂纹尖端极坐标，(ξI,ηI)是节点高斯坐标；
步骤8、通过对步骤7所求得的位移场求导获得应变场，再由所得应变场及步骤4中得到的本构矩阵，利用物理方程求解模型应力场；
步骤9、获取当前裂纹尖端所在位置的材料弹性模量Etip、泊松比μtip和断裂韧性KICtip，并利用交互式积分计算裂纹尖端的应力强度因子KItip=(Etip/2)·I，其中I为交互式积分；
步骤10、比较当前裂纹尖端的应力强度因子KItip与裂纹尖端位置对应断裂韧性KICtip：若KItip<KICtip，则将载荷F增加ΔF，其中ΔF为预设值，重复步骤6-10；否则裂纹扩展，输出对应扩展载荷F，将裂纹长度增加Δa，其中，Δa取初始裂纹长度的1%-2%，判断当前裂纹长度a与预设的最大裂纹长度af：若a<af，更新裂尖当前位置、裂纹尖端强化节点集NΛ和裂纹段强化节点集NΓ，重复步骤5-10；若a≥af，计算结束，获取随裂纹长度a增加所需载荷F的变化趋势，输出的扩展过程中最大载荷Fmax，即为初始裂纹长度下金属梯度材料的剩余强度。

2.  根据权利要求1所述含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，其特征在于，所述步骤4中本构矩阵C的具体表达形式如下：
C=E(x,y)1-μ(x,y)21μ(x,y)0μ(x,y)10001-μ(x,y)2]]>
式中，E(x,y)为所有节点对应材料的弹性模量集合函数，μ(x,y)为所有节点对应材料的泊松比集合函数。

3.  根据权利要求1所述含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，其特征在于，所述增量ΔF=0.5kN。

说明书

说明书一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法
技术领域
本发明属于金属梯度材料力学性能的模拟仿真，更具体地说是一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法。
背景技术
金属梯度材料是伴随现代增材制造（3D打印）工艺的发展，参考功能梯度材料变更材料组份以实现特定功能的设计理念，加工得到的不同金属组份含量沿特定方向变化的新型复合材料体系。此材料不仅保留了传统金属材料特性仍然适用于结构承力部位，同时减少了部件之间机械连接造成的薄弱环节，并能如同功能梯度材料根据设计需要实现特定功能。
对于金属材料，由于自身细观缺陷及使用过程中循环载荷的作用，结构内部往往存在裂纹，含裂纹结构的静承载能力即为该结构的剩余强度，为防止灾难性破坏，剩余强度的预测对结构断裂安全性评估十分重要。长期以来国内外对于均匀金属材料的剩余强度已进行大量工作，力图获得剩余强度随裂纹增长的变化规律，并就已知可能的裂纹尺寸，预测是否满足剩余强度要求。
线弹性断裂力学经过长期的实践与理论研究，建立了裂纹扩展的K≥KIC破坏准则，其中K为线弹性状态下裂纹尖端的应力强度因子，KIC为断裂韧性，是与材料有关的性能常数。对于传统均匀金属材料，K值有相应的计算方法，然而对于金属梯度材料，已有的预测技术不再适用，包括：
1)裂纹尖端应力场变化剧烈及r-1/2奇异性，通过传统有限单元法计算裂尖应力强度因子需要细分网格。对于金属梯度材料，由于材料性能的变化，裂尖的应力分布更加复杂，对网格质量要求更高，计算成本过大，存在较大累积误差，如沈逸文等发表的《金属梯度材料应力强度因子研究》的论文中则采用在构建有限元模型时细分网格的方法来计算裂尖应力强度因子；
2)使用扩展单元可以有效减少裂尖网格数量并降低计算成本。但对于金属梯度材料，已有的扩展单元并不能实现单元内部材料性能的变化，为模拟材料性能的梯度变化，网格单元尺度仍有较高要求；
3)由于材料性能梯度变化，应力强度因子计算不再与积分路径无关，传统计算方法会造成极大误差，不再适用；
4)对于梯度材料，断裂韧性KIC不再为定值，而是与裂尖所在位置处材料组份相关的变量。
发明内容
本发明克服了现有技术中通过对有限元模型细分网格从而导致计算成本过大且存在较大累积误差的缺陷，采用扩展单元间断的位移插值函数表征模型中裂纹行为，以裂纹长度a为变量，追踪裂尖所在位置动态判断K≥KIC，以确定裂纹是否扩展，实现梯度材料的剩余强度预测。
为解决上述技术问题，本发明公开一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，具体包括以下步骤：
步骤1、构建该金属梯度材料的有限元模型，该有限元模型中以裂纹尖端所在单元的节点作为裂尖强化节点，以裂纹段所在单元的节点作为裂纹段强化节点，其余节点均为常规节点，其中裂纹尖端所在单元与裂纹段所在单元的交汇节点归为裂尖强化节点，并对所有节点进行编号；
步骤2、将所有的裂尖强化节点纳入裂纹尖端强化节点集NΛ，所有的裂纹段强化节点裂纹段强化节点集NΓ；
步骤3、获取梯度区范围内所有节点对应材料的弹性模量E、泊松比μ和断裂韧性KIC沿y方向的线性变化关系式，如下：
E=E1+(E2-E1)(y+t2)-t2≤y<t2μ=μ1+(μ2-μ1)(y+t2)-t2≤y<t2KIC=KIC1+(KIC2-KIC1)(y+t2)-t2≤y<t2]]>
式中，t为梯度层厚度，E1、μ1、KIC1分别为第一种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性，E2、μ2、KIC2分别为第二种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性；以模型几何中心为原点，建立xy坐标系，其中y方向平行于材料梯度方向；
步骤4、根据下式确定模型结构刚度矩阵K:
K=∑(∫vB(x,y)TCB(x,y)dv)
式中，C为材料的本构矩阵，B(x,y)为单元几何矩阵，上标T为矩阵的转置运算，v表示积分区域为单个单元范围；
步骤5、初始化外载荷F=0；
步骤6、根据当前外载荷F来求解如下有限元离散方程：
KuI=F
式中，F为外载荷向量，uI为待求解的节点位移向量，其分量包括其中uI为常规节点位移，aI为NΓ集内节点由于裂纹造成的裂纹段不连续所带来的附加位移，为NΛ集内节点由于裂纹造成的裂纹尖端不连续所带来的附加位移，其中，α=1,2,3,4，下标I为节点编号；
步骤7、基于步骤6所求节点位移，利用强化位移逼近函数插值获取位移场

N表示所有节点集合，NI(x,y)、HI(x,y)和分别为常规单元位移插值函数、裂纹段插值函数和裂纹尖端插值函数，具体表达式如下：
NI(x,y)=14(1+ξIξ)(1+ηIη)]]>

ΦIα(x,y)=r·{sinθ2,cosθ2,sinθsinθ2,sinθcosθ2}]]>
(ξ,η)为高斯坐标，(r,θ)为裂纹尖端极坐标，(ξI,ηI)是节点高斯坐标；
步骤8、通过对步骤7所求得的位移场求导获得应变场，由所得应变场及步骤4中得到的本构矩阵，利用物理方程求解模型应力场；
步骤9、获取当前裂纹尖端所在位置的材料弹性模量Etip、泊松比μtip和断裂韧性KICtip，并利用交互式积分计算裂纹尖端的应力强度因子KItip=(Etip/2)·I，其中I为交互式积分；
步骤10、比较当前裂纹尖端的应力强度因子KItip与裂纹尖端位置对应断裂韧性KICtip；若KItip<KICtip，则将载荷F增加ΔF，其中ΔF为预设值，重复步骤6-10；否则裂纹扩展，输出对应扩展载荷F，将裂纹长度增加Δa，其中，Δa取初始裂纹长度的1%-2%，判断当前裂纹长度a与预设的最大裂纹长度af：若a<af，更新裂尖当前位置、裂纹尖端强化节点集NΛ和裂纹段强化节点集NΓ，重复步骤5-10；若a≥af，计算结束，获取随裂纹长度a增加所需载荷F的变化趋势，输出扩展过程中最大载荷Fmax，即为初始裂纹长度下金属梯度材料的剩余强度。
进一步地优选方案，本发明含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，所述步骤3中本构矩阵C的具体表达形式如下：
C=E(x,y)1-μ(x,y)21μ(x,y)0μ(x,y)10001-μ(x,y)2]]>
式中，E(x,y)为所有节点对应材料的弹性模量集合函数，μ(x,y)为所有节点对应材料的泊松比集合函数。
进一步地优选方案，本发明含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，所述步骤10中，载荷增量ΔF取0.5kN。
本发明与现有技术相比具有以下显著的优点：1）使用间断的插值函数描述裂纹行为，建立有限元模型时无需在几何进行切割，裂尖网格无需细分，有较高的精度；2）裂纹扩展后，仅需更新裂尖位置，无需重新建模或网格重划分，可以方便的模拟裂纹的扩展行为，实现整个扩展过程的动态模拟。
附图说明
图1为本发明含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法的流程图；
图2为裂纹尖端积分路径示意图；
图3为实施例中模型结构示意图；
图4为实施例中节点强化信息示意图；
图5为实施例的预测扩展载荷与试验结果对比图。
具体实施方式
如图1所示，本发明一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，具体包括以下步骤：
步骤1、构建该金属梯度材料的有限元模型，该有限元模型中以裂纹尖端所在单元的节点作为裂尖强化节点，以裂纹段所在单元的节点作为裂纹段强化节点，其余节点均为常规节点，其中裂纹尖端所在单元与裂纹段所在单元的交汇节点归为裂尖强化节点，并对所有节点进行编号；
步骤2、将所有的裂尖强化节点纳入裂纹尖端强化节点集NΛ，所有的裂纹段强化节点纳入裂纹段强化节点集NΓ；
步骤3、获取梯度区范围内所有节点对应材料的弹性模量E、泊松比μ和断裂韧性KIC沿y方向的线性变化关系式，如下：
E=E1+(E2-E1)(y+t2)-t2≤y<t2μ=μ1+(μ2-μ1)(y+t2)-t2≤y<t2KIC=KIC1+(KIC2-KIC1)(y+t2)-t2≤y<t2]]>
式中，t为梯度层厚度，E1、μ1、KIC1分别为第一种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性，E2、μ2、KIC2分别为第二种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性；以模型几何中心为原点，建立xy坐标系，其中y方向平行于材料梯度方向；
步骤4、根据下式确定模型结构刚度矩阵K:
K=∑(∫vB(x,y)TCB(x,y)dv)
式中，C为材料的本构矩阵，B(x,y)为单元几何矩阵，对于确定的模型为已知量，上标T为矩阵的转置运算，v表示积分区域为单个单元范围；其中，本构矩阵C的具体表达形式如下：
C=E(x,y)1-μ(x,y)21μ(x,y)0μ(x,y)10001-μ(x,y)2]]>
式中，E(x,y)为所有节点对应材料的弹性模量集合函数，μ(x,y)为所有节点对应材料的泊松比集合函数；
步骤5、初始化外载荷F=0；
步骤6、根据当前外载荷F来求解如下有限元离散方程：KuI=F
式中，F为外载荷向量，uI为待求解的节点位移向量，其分量包括其中uI为常规节点位移，aI为NΓ集内节点由于裂纹造成的裂纹段不连续所带来的附加位移，为NΛ集内节点由于裂纹造成的裂纹尖端不连续所带来的附加位移，其中，α=1,2,3,4，下标I为节点编号；
步骤7、基于步骤6所求节点位移，利用强化位移逼近函数插值获取位移场

N表示所有节点集合，NI(x,y)、HI(x,y)和分别为常规单元位移插值函数、裂纹段插值函数和裂纹尖端插值函数，具体表达式如下：
NI(x,y)=14(1+ξIξ)(1+ηIη),]]>

ΦIα(x,y)=r·{sinθ2,cosθ2,sinθsinθ2,sinθcosθ2}]]>
上式含义为：ΦI1(x,y)=r·sinθ2,ΦI2(x,y)=r·cosθ2,ΦI3(x,y)=r·sinθsinθ2]]>
ΦI4(x,y)=r·sinθcosθ2]]>
理论上插值函数取的阶数（数量）越高，结算结果也精确，但计算量也会提高，一般情况取4阶就足够满足精度，(ξ,η)为高斯坐标，(r,θ)为裂纹尖端极坐标，(ξI,ηI)是节点高斯坐标；
步骤8、通过对步骤7所求得的位移场求导获得应变场，由所得应变场即步骤4中得到的本构矩阵，利用物理方程求解模型应力场，具体为：
应变场εij由几何方程来获取，应力场σij由物理方程σij=Cijklεkl获取，式中，张量Cijkl为本构矩阵C的分量，下标ijkl为张量表达形式，i=x或i=y；j=x或j=y，张量下表中的逗号代表求导，定义为逗号前的参数对逗号后的方向进行求导，即ui,j表示i方向的位移对j方向求导；关于应力应变的计算属于本领域公知常识，具体参数见：郭日修，弹性力学与张量分析[M]，高等教育出版社，2003；
步骤9、根据步骤3中的线性变化关系，获取当前裂纹尖端所在位置的材料弹性模量Etip、泊松比μtip和断裂韧性KICtip，并利用交互式积分计算裂纹尖端的应力强度因子KItip=(Etip/2)·I，其中I为交互式积分：
I=&Integral;Ω(σijui,1aux+σijauxui,1-σikϵikauxδ1j)q,jdΩ+&Integral;Ωσij(ui,1jaux-ϵij.1aux)qdΩ-&Integral;ΩCijkl,1ϵijϵklauxqdΩ]]>
式中，如图2所示，Ω为以裂尖为圆心的环形积分域，环形区域的内外径可取任意值，q为与积分路径有关的权函数，积分域外围Γ0上q=0，积分域内侧Γs上q=1，裂纹段积分路径Γ+和Γ-上q为从0到1的连续线性变化；
含aux上标的为辅助场，为辅助位移场，为辅助应力场，为辅助应变场，其表达式如下：
uiaux=1+μtipEtipr2πgi(θ)]]>
σijaux=12πrfij(θ)]]>
ϵijaux=Sijklσklaux]]>
其中，Sijkl为柔度张量，即本构张量Cijkl求逆，gi(θ)、fij(θ)为标准角度变换函数，分别表示裂尖位移场和应力场沿角度的变化规律，其表达式如下：
gi(θ)=cosθ2(3-μtip1+μtip-1+2sin2θ2)i=xsinθ2(3-μtip1+μtip-1+cos2θ2)i=y]]>

关于利用交互式积分来计算裂纹尖端应力强度因子也属于本领域公知常识，具体参见：沈逸文2012年发表的《金属梯度材料裂尖应力强度因子研究》论文，此处不再赘述！同时关于计算过程中的张量预设可参见郭日修，弹性力学与张量分析[M]，高等教育出版社，2003;
步骤10、比较当前裂纹尖端的应力强度因子KI tip与裂纹尖端位置对应断裂韧性KIC tip；若KI tip<KIC tip，则将载荷F增加ΔF，其中增量ΔF可以为预设值，也可以通过基本强度理论估算模型破坏强度量级，取该量级的1%-2%，重复步骤6-10；否则裂纹扩展，输出对应扩展载荷F，将裂纹长度增加Δa，其中，Δa取初始裂纹长度的1%-2%，判断当前裂纹长度a与允许的最大裂纹长度af：若a<af，更新裂尖当前位置、裂纹尖端强化节点集NΛ和裂纹段强化节点集NΓ，重复步骤5-10；若a≥af，计算结束，随裂纹长度a增加所需载荷F的变化趋势，输出扩展过程中最大载荷Fmax，即为初始裂纹长度下，金属梯度材料的剩余强度。
实施例
步骤1、建立有限元模型如图3，模型高度H=24mm，材料梯度区域位于高度对称处其厚度t=1mm，支点间跨度S=96mm。本实施例处理边缘裂纹，故只有1个裂纹尖端，标x处分别为裂尖和裂纹起点，裂纹起点位于模型下侧边界中点，裂尖与起点间距离为初始裂纹长度a0=8.6mm，定义本实施例裂纹终止长度 af=15mm。
步骤2、使用矩形单元对模型进行离散，网格边长为1mm，共计2640个单元；处理节点强化信息如图4，将与裂尖相关的单元节点纳入裂纹尖端强化节点集NΛ，将与裂纹段相关的单元节点纳入裂纹段强化节点集NΓ。
步骤3、模型有2种组份材料，其性能如下

按图3所示坐标系建立模型参数场，梯度层中材料性能线性变化，由于两种材料泊松比相同，整个模型中泊松比为定值：
E=E1-12≤y<-0.5E=E1+(E2-E1)(y+0.5)-0.5≤y<0.5E=E20.5≤y≤12]]>
KIC=KIC1-12≤y<-0.5KIC=KIC1+(KIC2-KIC1)(y+0.5)-0.5≤y<0.5KIC=KIC20.5≤y≤12]]>
步骤4、由C=E(x,y)1-μ(x,y)21μ(x,y)0μ(x,y)10001-μ(x,y)2]]>计算本构矩阵，由K=∑(∫vB(x,y)TCB(x,y)dv)计算模型刚度矩阵，B为几何矩阵，本实施例使用4节点矩形单元，则B=[B1 B2 B3 B4]，针对不同节点，子阵表达式如下：
常规节点：Bi=Ni,x00Ni,yNi,yNi,x]]>
裂纹段强化节点：Bi=(NiHi),x00(NiHi),y(NiHi),y(NiHi),x]]>
裂纹尖端强化节点：Bi=Bi1Bi1Bi3Bi4]]>
Biα=(NiΦiα),x00(NiΦiα),y(NiΦiα),y(NiΦiα),xα=1,2,3,4]]>
式中,对于已知模型，i为已知单元的四个节点，Ni、Hi和为位移插值函数，其具体表达式见步骤7；
步骤5、初始化载荷F=0；
步骤6、根据当前外载荷F求解有限元离散方程KuI=F得到节点位移向量uI；步骤7、基于步骤6所求节点位移uI，利用强化位移逼近函数插值获取位移场

各插值函数表达式如下：
NI(x,y)=14(1+ξIξ)(1+ηIη),]]>

ΦI1(x,y)=r·sinθ2,ΦI2(x,y)=r·cosθ2]]>
ΦI3x,y=r·sinθsinθ2,ΦI4(x,y)=r·sinθcosθ2]]>
步骤8、由几何方程来获取求解应变场εij，由物理方程σij=Cijklεkl求解应力场σij;
步骤9、获取当前裂纹尖端所在位置的材料弹性模量Etip、泊松比μtip和断裂韧性KIC tip，如当裂纹长度为12mm时，裂尖坐标为(0,0)，此时Etip=117.5GPa，μtip=0.33，KICtip=77.5MPam;]]>
由公式KItip=(Etip/2)·I求解裂尖应力强度因子，其中I为交互式积分：
I=&Integral;Ω(σijui,1aux+σijauxui,1-σikϵikauxδ1j)q,jdΩ+&Integral;Ωσij(ui,1jaux-ϵij.1aux)qdΩ-&Integral;ΩCijkl,1ϵijϵklauxqdΩ]]>
对于本实施例，积分域内径取裂纹长度的1/3，积分域外径取裂纹长度的2/3；
步骤10、比较当前裂纹尖端的应力强度因子KI tip与裂纹尖端位置对应断裂韧性KIC tip；若KI tip<KIC tip，增大载荷，本实施例载荷增量取0.5kN，重复步骤6-10；以裂纹长度12mm为例各载荷计算结果如表1，当载荷小于14kN，裂纹不扩展：表1：

若KI tip≥KIC tip裂纹扩展，输出对应扩展载荷F，对于上表计算结果，当载荷为14kN时满足扩展判据，故裂纹长度为12mm时其扩展载荷为14kN。
增加裂纹长度，本实施例裂纹长度增量取0.2mm，判断当前裂纹长度a与预设的最大裂纹长度af：若a<af，更新裂尖当前位置、裂纹尖端强化节点集NΛ和裂纹段强化节点集NΓ，重复步骤5-10；若a≥af，计算结束。
计算各裂纹长度下的扩展载荷如图5，图中还给中3件试验件的试验结果，对比发现模拟结果与试验结果吻合较好。
取裂纹扩展过程中的最大载荷为模型剩余强度，计算结果与试验结果如表2，预测相对误差在10%以内，满足工程中对强度预测的要求。
表2

资源描述

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1、(10)申请公布号 CN 103955604 A (43)申请公布日 2014.07.30 CN 103955604 A (21)申请号 201410144832.0 (22)申请日 2014.04.11 G06F 19/00(2011.01) (71)申请人南京航空航天大学地址 210016 江苏省南京市秦淮区御道街 29 号 (72)发明人许希武赵震波郭树祥陈康 (74)专利代理机构南京经纬专利商标代理有限公司 32200 代理人许方 (54) 发明名称一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法 (57) 摘要本发明公开了一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法。该方法。

2、利用有限元模型，采用扩展单元间断的位移插值函数表征模型中裂纹行为，以裂纹长度为变量，追踪裂尖所在位置动态判断裂纹尖端的应力强度因子与裂纹尖端位置对应断裂韧性大小，以确定裂纹是否扩展，实现梯度材料的剩余强度预测。该方法在建立有限元模型时无需在几何进行切割，裂尖网格无需细分，有较高的精度。 (51)Int.Cl. 权利要求书 2 页说明书 10 页附图 3 页 (19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请权利要求书2页说明书10页附图3页 (10)申请公布号 CN 103955604 A CN 103955604 A 1/2 页 2 1. 一种含裂。

3、纹金属梯度材料剩余强度预测方法，该方法通过对 I 型裂纹的扩展过程进行分析来获取当前含裂纹金属梯度材料剩余强度，其特征在于，具体包括以下步骤：步骤 1、构建该金属梯度材料的有限元模型，该有限元模型中以裂纹尖端所在单元的节点作为裂尖强化节点，以裂纹段所在单元的节点作为裂纹段强化节点，其余节点均为常规节点，其中裂纹尖端所在单元与裂纹段所在单元的交汇节点归为裂尖强化节点，并对所有节点进行编号；步骤 2、将所有的裂尖强化节点纳入裂纹尖端强化节点集 N，所有的裂纹段强化节点纳入裂纹段强化节点集 N；步骤 3、获取梯度区范围内所有节点对应材料的弹性模量 E、泊。

4、松比和断裂韧性 KIC 沿 y 方向的线性变化关系式，如下：式中， t 为梯度层厚度， E1、 1、 KIC1分别为第一种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性， E2、 2、 KIC2分别为第二种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性；以模型几何中心为原点，建立 xy 坐标系，其中 y 方向平行于材料梯度方向；步骤 4、根据下式确定模型结构刚度矩阵 K: K= ( vB(x,y) TCB(x,y)dv) 式中， C 为材料的本构矩阵， B(x,y) 为单元几何矩阵，上标 T 为矩阵的转置运算， v 表示积分区域为单个单元范围；步骤 5、初始化外载荷 F=0。

5、；步骤 6、根据当前外载荷 F 来求解如下有限元离散方程： KuI=F 式中， F 为外载荷向量， uI为待求解的节点位移向量，其分量包括其中 uI为常规节点位移， aI为 N集内节点由于裂纹造成的裂纹段不连续所带来的附加位移，为 N集内节点由于裂纹造成的裂纹尖端不连续所带来的附加位移，其中， =1,2,3,4，下标 I 为节点编号；步骤 7、基于步骤 6 所求节点位移，利用强化位移逼近函数插值获取位移场 N表示所有节点集合， NI(x,y)、 HI(x,y)和分别为常规单元位移插值函数、裂纹段插值函数和裂纹尖端插值函数，具体表达式如下：权利要求书。

6、CN 103955604 A 2 2/2 页 3 (,) 为高斯坐标， (r,) 为裂纹尖端极坐标， (I,I) 是节点高斯坐标；步骤 8、通过对步骤 7 所求得的位移场求导获得应变场，再由所得应变场及步骤 4 中得到的本构矩阵，利用物理方程求解模型应力场；步骤 9、获取当前裂纹尖端所在位置的材料弹性模量 Etip、泊松比 tip和断裂韧性 KICtip，并利用交互式积分计算裂纹尖端的应力强度因子KItip=(Etip/2) I，其中I为交互式积分；步骤 10、比较当前裂纹尖端的应力强度因子 KItip与裂纹尖端位置对应断裂韧性 KICtip：若 KItipK。

7、ICtip，则将载荷 F 增加 F，其中 F 为预设值，重复步骤 6-10 ；否则裂纹扩展，输出对应扩展载荷F，将裂纹长度增加a，其中， a取初始裂纹长度的1%-2%，判断当前裂纹长度a与预设的最大裂纹长度af：若aaf，更新裂尖当前位置、裂纹尖端强化节点集N和裂纹段强化节点集 N，重复步骤 5-10 ；若 a af，计算结束，获取随裂纹长度 a 增加所需载荷 F 的变化趋势，输出的扩展过程中最大载荷 Fmax，即为初始裂纹长度下金属梯度材料的剩余强度。 2. 根据权利要求 1 所述含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，其特征在于，所述步骤 4 中。

8、本构矩阵 C 的具体表达形式如下：式中， E(x,y) 为所有节点对应材料的弹性模量集合函数， (x,y) 为所有节点对应材料的泊松比集合函数。 3. 根据权利要求 1 所述含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，其特征在于，所述增量 F=0.5kN。权利要求书 CN 103955604 A 3 1/10 页 4 一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法技术领域 0001 本发明属于金属梯度材料力学性能的模拟仿真，更具体地说是一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法。背景技术 0002 金属梯度材料是伴随现代增材制造（3D打印）工艺的发展，参考功能梯度材料变更材料。

9、组份以实现特定功能的设计理念，加工得到的不同金属组份含量沿特定方向变化的新型复合材料体系。此材料不仅保留了传统金属材料特性仍然适用于结构承力部位，同时减少了部件之间机械连接造成的薄弱环节，并能如同功能梯度材料根据设计需要实现特定功能。 0003 对于金属材料，由于自身细观缺陷及使用过程中循环载荷的作用，结构内部往往存在裂纹，含裂纹结构的静承载能力即为该结构的剩余强度，为防止灾难性破坏，剩余强度的预测对结构断裂安全性评估十分重要。长期以来国内外对于均匀金属材料的剩余强度已进行大量工作，力图获得剩余强度随裂纹增长的变化规律，并就已知可能的裂纹尺寸，预测是否满足。

10、剩余强度要求。 0004 线弹性断裂力学经过长期的实践与理论研究，建立了裂纹扩展的 K KIC破坏准则，其中 K 为线弹性状态下裂纹尖端的应力强度因子， KIC为断裂韧性，是与材料有关的性能常数。对于传统均匀金属材料， K 值有相应的计算方法，然而对于金属梯度材料，已有的预测技术不再适用，包括： 0005 1)裂纹尖端应力场变化剧烈及r-1/2奇异性，通过传统有限单元法计算裂尖应力强度因子需要细分网格。对于金属梯度材料，由于材料性能的变化，裂尖的应力分布更加复杂，对网格质量要求更高，计算成本过大，存在较大累积误差，如沈逸文等发表的金属梯度材料应力强度因。

11、子研究的论文中则采用在构建有限元模型时细分网格的方法来计算裂尖应力强度因子； 0006 2)使用扩展单元可以有效减少裂尖网格数量并降低计算成本。但对于金属梯度材料，已有的扩展单元并不能实现单元内部材料性能的变化，为模拟材料性能的梯度变化，网格单元尺度仍有较高要求； 0007 3) 由于材料性能梯度变化，应力强度因子计算不再与积分路径无关，传统计算方法会造成极大误差，不再适用； 0008 4) 对于梯度材料，断裂韧性 KIC不再为定值，而是与裂尖所在位置处材料组份相关的变量。发明内容 0009 本发明克服了现有技术中通过对有限元模型细分网格从而导致计算成本过。

12、大且存在较大累积误差的缺陷，采用扩展单元间断的位移插值函数表征模型中裂纹行为，以裂纹长度 a 为变量，追踪裂尖所在位置动态判断 K KIC，以确定裂纹是否扩展，实现梯度材料说明书 CN 103955604 A 4 2/10 页 5 的剩余强度预测。 0010 为解决上述技术问题，本发明公开一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，具体包括以下步骤： 0011 步骤 1、构建该金属梯度材料的有限元模型，该有限元模型中以裂纹尖端所在单元的节点作为裂尖强化节点，以裂纹段所在单元的节点作为裂纹段强化节点，其余节点均为常规节点，其中裂纹尖端所在单元与裂纹段所在单元的。

13、交汇节点归为裂尖强化节点，并对所有节点进行编号； 0012 步骤 2、将所有的裂尖强化节点纳入裂纹尖端强化节点集 N，所有的裂纹段强化节点裂纹段强化节点集 N； 0013 步骤3、获取梯度区范围内所有节点对应材料的弹性模量E、泊松比和断裂韧性 KIC沿 y 方向的线性变化关系式，如下： 0014 0015 式中， t 为梯度层厚度， E1、 1、 KIC1分别为第一种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性， E2、 2、 KIC2分别为第二种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性；以模型几何中心为原点，建立 xy 坐标系，其中 y 方向平行于材料梯度方向； 0。

14、016 步骤 4、根据下式确定模型结构刚度矩阵 K: 0017 K= ( vB(x,y) TCB(x,y)dv) 0018 式中， C 为材料的本构矩阵， B(x,y) 为单元几何矩阵，上标 T 为矩阵的转置运算， v 表示积分区域为单个单元范围； 0019 步骤 5、初始化外载荷 F=0 ； 0020 步骤 6、根据当前外载荷 F 来求解如下有限元离散方程： 0021 KuI=F 0022 式中， F 为外载荷向量， uI为待求解的节点位移向量，其分量包括其中uI为常规节点位移， aI为N集内节点由于裂纹造成的裂纹段不连续所带来的附加位。

15、移，为 N集内节点由于裂纹造成的裂纹尖端不连续所带来的附加位移，其中， =1,2,3,4，下标 I 为节点编号； 0023 步骤 7、基于步骤 6 所求节点位移，利用强化位移逼近函数插值获取位移场 0024 0025 N 表示所有节点集合， NI(x,y)、 HI(x,y) 和分别为常规单元位移插值函数、说明书 CN 103955604 A 5 3/10 页 6 裂纹段插值函数和裂纹尖端插值函数，具体表达式如下： 0026 0027 0028 0029 (,) 为高斯坐标， (r,) 为裂纹尖端极坐标， (I,I) 是节点高斯坐标； 0030 步骤 8、通过对步骤。

16、7 所求得的位移场求导获得应变场，由所得应变场及步骤 4 中得到的本构矩阵，利用物理方程求解模型应力场； 0031 步骤 9、获取当前裂纹尖端所在位置的材料弹性模量 Etip、泊松比 tip和断裂韧性 KICtip，并利用交互式积分计算裂纹尖端的应力强度因子KItip=(Etip/2) I，其中I为交互式积分； 0032 步骤 10、比较当前裂纹尖端的应力强度因子 KItip与裂纹尖端位置对应断裂韧性 KICtip；若 KItipKICtip，则将载荷 F 增加 F，其中 F 为预设值，重复步骤 6-10 ；否则裂纹扩展，输出对应扩展载荷 F，将裂纹长度增。

17、加 a，其中， a 取初始裂纹长度的 1%-2%，判断当前裂纹长度 a 与预设的最大裂纹长度 af：若 aaf，更新裂尖当前位置、裂纹尖端强化节点集 N和裂纹段强化节点集 N，重复步骤 5-10 ；若 a af，计算结束，获取随裂纹长度 a 增加所需载荷 F 的变化趋势，输出扩展过程中最大载荷 Fmax，即为初始裂纹长度下金属梯度材料的剩余强度。 0033 进一步地优选方案，本发明含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，所述步骤 3 中本构矩阵 C 的具体表达形式如下： 0034 0035 式中， E(x,y) 为所有节点对应材料的弹性模量集合函数， (x,y) 。

18、为所有节点对应材料的泊松比集合函数。 0036 进一步地优选方案，本发明含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，所述步骤 10 中，载荷增量 F 取 0.5kN。 0037 本发明与现有技术相比具有以下显著的优点： 1）使用间断的插值函数描述裂纹行为，建立有限元模型时无需在几何进行切割，裂尖网格无需细分，有较高的精度； 2）裂纹扩展后，仅需更新裂尖位置，无需重新建模或网格重划分，可以方便的模拟裂纹的扩展行为，实现整个扩展过程的动态模拟。附图说明说明书 CN 103955604 A 6 4/10 页 7 0038 图 1 为本发明含裂纹金属梯度材料剩余强度预。

19、测方法的流程图； 0039 图 2 为裂纹尖端积分路径示意图； 0040 图 3 为实施例中模型结构示意图； 0041 图 4 为实施例中节点强化信息示意图； 0042 图 5 为实施例的预测扩展载荷与试验结果对比图。具体实施方式 0043 如图 1 所示，本发明一种含裂纹金属梯度材料剩余强度预测方法，具体包括以下步骤： 0044 步骤 1、构建该金属梯度材料的有限元模型，该有限元模型中以裂纹尖端所在单元的节点作为裂尖强化节点，以裂纹段所在单元的节点作为裂纹段强化节点，其余节点均为常规节点，其中裂纹尖端所在单元与裂纹段所在单元的交汇节点归为裂尖强化节点，并对。

20、所有节点进行编号； 0045 步骤 2、将所有的裂尖强化节点纳入裂纹尖端强化节点集 N，所有的裂纹段强化节点纳入裂纹段强化节点集 N； 0046 步骤3、获取梯度区范围内所有节点对应材料的弹性模量E、泊松比和断裂韧性 KIC沿 y 方向的线性变化关系式，如下： 0047 0048 式中， t 为梯度层厚度， E1、 1、 KIC1分别为第一种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性， E2、 2、 KIC2分别为第二种组份材料的弹性模量、泊松比和断裂韧性；以模型几何中心为原点，建立 xy 坐标系，其中 y 方向平行于材料梯度方向； 0049 步骤 4、根据下式确。

21、定模型结构刚度矩阵 K: 0050 K= ( vB(x,y) TCB(x,y)dv) 0051 式中， C 为材料的本构矩阵， B(x,y) 为单元几何矩阵，对于确定的模型为已知量，上标 T 为矩阵的转置运算， v 表示积分区域为单个单元范围；其中，本构矩阵 C 的具体表达形式如下： 0052 0053 式中， E(x,y) 为所有节点对应材料的弹性模量集合函数， (x,y) 为所有节点对应材料的泊松比集合函数； 0054 步骤 5、初始化外载荷 F=0 ；说明书 CN 103955604 A 7 5/10 页 8 0055 步骤 6、根据当前外载荷 F 来求解如下。

22、有限元离散方程： KuI=F 0056 式中， F 为外载荷向量， uI为待求解的节点位移向量，其分量包括其中 uI为常规节点位移， aI为 N集内节点由于裂纹造成的裂纹段不连续所带来的附加位移，为 N集内节点由于裂纹造成的裂纹尖端不连续所带来的附加位移，其中， =1,2,3,4，下标 I 为节点编号； 0057 步骤 7、基于步骤 6 所求节点位移，利用强化位移逼近函数插值获取位移场 0058 0059 N 表示所有节点集合， NI(x,y)、 HI(x,y) 和分别为常规单元位移插值函数、裂纹段插值函数和裂纹尖端插值函数，具体。

23、表达式如下： 0060 0061 0062 0063 上式含义为： 0064 0065 理论上插值函数取的阶数（数量）越高，结算结果也精确，但计算量也会提高，一般情况取 4 阶就足够满足精度， (,) 为高斯坐标， (r,) 为裂纹尖端极坐标， (I,I) 是节点高斯坐标； 0066 步骤 8、通过对步骤 7 所求得的位移场求导获得应变场，由所得应变场即步骤 4 中得到的本构矩阵，利用物理方程求解模型应力场，具体为： 0067 应变场 ij由几何方程来获取，应力场 ij由物理方程 ij=Cijklkl获取，式中，张量 Cijkl。

24、为本构矩阵 C 的分量，下标 ijkl 为张量表达形式， i=x 或 i=y ； j=x 或 j=y，张量下表中的逗号代表求导，定义为逗号前的参数对逗号后的方向进行求导，即 ui,j表示 i 方向的位移对 j 方向求导；关于应力应变的计算属于本领域公知常识，具体参数见：郭日修，弹性力学与张量分析 M，高等教育出版社， 2003 ； 0068 步骤 9、根据步骤 3 中的线性变化关系，获取当前裂纹尖端所在位置的材料弹性模量 Etip、泊松比 tip和断裂韧性 KICtip，并利用交互式积分计算裂纹尖端的应力强度因子说明书 CN 103955604 A 8。

25、 6/10 页 9 KItip=(Etip/2)I，其中 I 为交互式积分： 0069 0070 式中，如图 2 所示，为以裂尖为圆心的环形积分域，环形区域的内外径可取任意值， q 为与积分路径有关的权函数，积分域外围 0上 q=0，积分域内侧 s上 q=1，裂纹段积分路径 +和 -上 q 为从 0 到 1 的连续线性变化； 0071 含 aux 上标的为辅助场，为辅助位移场，为辅助应力场，为辅助应变场，其表达式如下： 0072 0073 0074 0075 其中， Sijkl为柔度张量，即本构张量 Cijkl求逆， gi()、 fij() 为标准角度变换函数，。

26、分别表示裂尖位移场和应力场沿角度的变化规律，其表达式如下： 0076 0077 0078 关于利用交互式积分来计算裂纹尖端应力强度因子也属于本领域公知常识，具体参见：沈逸文 2012 年发表的金属梯度材料裂尖应力强度因子研究论文，此处不再赘述！同时关于计算过程中的张量预设可参见郭日修，弹性力学与张量分析 M，高等教育出版社， 2003; 0079 步骤 10、比较当前裂纹尖端的应力强度因子 KI tip与裂纹尖端位置对应断裂韧性 KIC tip；若 KI tipKIC tip，则将载荷 F 增加 F，其中增量 F 可以为预设值，也可以通过基本强度理论估算。

27、模型破坏强度量级，取该量级的 1%-2%，重复步骤 6-10 ；否则裂纹扩展，输出对应扩展载荷F，将裂纹长度增加a，其中， a取初始裂纹长度的1%-2%，判断当前裂纹长度 a 与允许的最大裂纹长度 af：若 aaf，更新裂尖当前位置、裂纹尖端强化节点集 N和裂说明书 CN 103955604 A 9 7/10 页 10 纹段强化节点集 N，重复步骤 5-10 ；若 a af，计算结束，随裂纹长度 a 增加所需载荷 F 的变化趋势，输出扩展过程中最大载荷 Fmax，即为初始裂纹长度下，金属梯度材料的剩余强度。 0080 实施例 0081 步骤 1、。

28、建立有限元模型如图 3，模型高度 H=24mm，材料梯度区域位于高度对称处其厚度 t=1mm，支点间跨度 S=96mm。本实施例处理边缘裂纹，故只有 1 个裂纹尖端，标 x 处分别为裂尖和裂纹起点，裂纹起点位于模型下侧边界中点，裂尖与起点间距离为初始裂纹长度 a0=8.6mm，定义本实施例裂纹终止长度 af=15mm。 0082 步骤2、使用矩形单元对模型进行离散，网格边长为1mm，共计2640个单元；处理节点强化信息如图 4，将与裂尖相关的单元节点纳入裂纹尖端强化节点集 N，将与裂纹段相关的单元节点纳入裂纹段强化节点集 N。 0083 步骤 3、模型。

29、有 2 种组份材料，其性能如下 0084 0085 按图 3 所示坐标系建立模型参数场，梯度层中材料性能线性变化，由于两种材料泊松比相同，整个模型中泊松比为定值： 0086 0087 0088 步骤 4、由计算本构矩阵，由 K= ( vB(x,y)TCB(x,y)dv) 计算模型刚度矩阵， B 为几何矩阵，本实施例使用 4 节点矩形单元，则 B=B1 B2 B3 B4，针对不同节点，子阵表达式如下： 0089 常规节点：说明书 CN 103955604 A 10 8/10 页 11 0090 裂纹段强化节点： 0091 裂纹尖端强化节点： 009。

30、2 0093 式中 , 对于已知模型， i 为已知单元的四个节点， Ni、 Hi和为位移插值函数，其具体表达式见步骤 7 ； 0094 步骤 5、初始化载荷 F=0 ； 0095 步骤 6、根据当前外载荷 F 求解有限元离散方程 KuI=F 得到节点位移向量 uI；步骤 7、基于步骤 6 所求节点位移 uI，利用强化位移逼近函数插值获取位移场 0096 0097 各插值函数表达式如下： 0098 0099 0100 0101 0102 步骤 8、由几何方程来获取求解应变场 ij，由物理方程 ij=Cijklkl求解应力场 ij; 0103 步骤 9、获取当前裂纹尖端所在位。

31、置的材料弹性模量 Etip、泊松比 tip和断裂韧性 KIC tip，如当裂纹长度为 12mm 时，裂尖坐标为 (0,0)，此时 Etip=117.5GPa， tip=0.33， 0104 由公式 KItip=(Etip/2)I 求解裂尖应力强度因子，其中 I 为交互式积分：说明书 CN 103955604 A 11 9/10 页 12 0105 0106 对于本实施例，积分域内径取裂纹长度的 1/3，积分域外径取裂纹长度的 2/3 ； 0107 步骤 10、比较当前裂纹尖端的应力强度因子 KI tip与裂纹尖端位置对应断裂韧性 KIC tip；若 KI tipKI。

32、C tip，增大载荷，本实施例载荷增量取 0.5kN，重复步骤 6-10 ；以裂纹长度 12mm 为例各载荷计算结果如表 1，当载荷小于 14kN，裂纹不扩展：表 1 ： 0108 说明书 CN 103955604 A 12 10/10 页 13 0109 0110 若 KI tip KIC tip裂纹扩展，输出对应扩展载荷 F，对于上表计算结果，当载荷为 14kN 时满足扩展判据，故裂纹长度为 12mm 时其扩展载荷为 14kN。 0111 增加裂纹长度，本实施例裂纹长度增量取 0.2mm，判断当前裂纹长度 a 与预设的最大裂纹长度 af：若 aaf，更。

33、新裂尖当前位置、裂纹尖端强化节点集 N和裂纹段强化节点集 N，重复步骤 5-10 ；若 a af，计算结束。 0112 计算各裂纹长度下的扩展载荷如图 5，图中还给中 3 件试验件的试验结果，对比发现模拟结果与试验结果吻合较好。 0113 取裂纹扩展过程中的最大载荷为模型剩余强度，计算结果与试验结果如表 2，预测相对误差在 10% 以内，满足工程中对强度预测的要求。 0114 表 2 0115 说明书 CN 103955604 A 13 1/3 页 14 图 1 图 2 说明书附图 CN 103955604 A 14 2/3 页 15 图 3 图 4 说明书附图 CN 103955604 A 15 3/3 页 16 图 5 说明书附图 CN 103955604 A 16 。

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