基于区间有效独立法及其可能度计算的传感器配置方法.pdf

一种基于区间有效独立法及其可能度计算的传感器配置方法，首先确定结构备选的传感器数目、最终保留的传感器数目、采样的模态阶数以及结构不确定参数的区间，其次计算模态的确定性部分以及不确定区间，然后构建区间有效独立法中的区间Fisher信息矩阵；接着计算区间Fisher信息矩阵半径，然后根据定义区间大小关系的可能度计算情况，选择在该次迭代下区间有效独立法迭代中删掉的备选传感器位置，并计算删掉的备选传感器位置的可能度，确定最终的备选传感器位置方案以及计算其可能度。本发明基于非概率区间分析方法，将经典有效独立法进行不确定性扩展，分别给出了每一次删除备选传感器位置以及最终传感器配置方案的可能度。

1.一种基于区间有效独立法及其可能度计算的传感器配置方法，其特征在于，包括步
骤如下：
(1)确定待布置传感器的结构上的备选传感器数目n，最终保留的传感器数目m，采样的
模态阶数N；
(2)给出待布置传感器的结构的不确定参数区间向量bI，
$b^I=b^c+{\mathrm{\Δb}}^I=b^c+\mathrm{\Δ}b\[-1,1\]=\[\underset{\‾}{b},\stackrel{\‾}{b}\],b_j^I=b_j^c+{\mathrm{\Δb}}_j^I=b_j^c+{\mathrm{\Δb}}_j\[-1,1\]=\[\underset{\‾}{b_j},\stackrel{\‾}{b_j}\];$
其中，为结构不确定参数区间向量的分量，bc为结构不确
定参数区间中心值向量，为结构不确定参数区间中心值向量的分量，ΔbI＝Δb[-1,1]，
Δb为结构不确定参数区间半径向量，Δb为结构不确定参数区间半径向量
的分量，b为结构不确定参数下界向量，bj为结构不确定参数下界向量的分量，为结构不确
定参数上界的向量，为结构不确定参数上界向量的分量，j＝1,2,3,...,nm，nm为结构中
不确定量的数目；
(3)根据步骤(2)中的不确定参数区间中心值，构建动力学特征方程：
计算特征值和模态的确定性部分：
其中，K(bc)为结构总体刚度矩阵的确定部分，M(bc)为结构总体质量矩阵的确定部分，x
是结构位移向量，是结构加速度向量，和分别是第i阶特征值及其相应的模态阵型的
确定部分；i为正整数；
(4)根据一阶摄动方法计算不确定模态区间：不确定模态区间下界
不确定模态区间上界
(5)构建区间有效独立法中结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵
$E_D^I={\mathrm{\Φ}}^I{\[{\left({\mathrm{\Φ}}^I\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^I\]}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^I\right)}^T$
其中，ΦI为n×N维模态矩阵；
(6)构建结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵中的确定部分与不确
定性部分
$E_D^c={\mathrm{\Φ}}^c{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T,{\mathrm{\ΔE}}_D^I=2(I-E_D^c){\mathrm{\Δ\Φ}}^I{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T,$
其中，I为同阶单位矩阵；
(7)计算结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵半径ΔED，并计算区间Fisher
信息矩阵的下界ED与上界
${\[{\mathrm{\ΔE}}_D\]}_{rs}=2\underset{l=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\left|{(I-E_D^c)}_{rl}\right|{\[\mathrm{\Δ}\mathrm{\Φ}\]}_{lk}\left|{\[{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T\]}_{ks}\right|,$
$\underset{\‾}{E_D}=E_D^c-{\mathrm{\ΔE}}_D,\stackrel{\‾}{E_D}=E_D^c+{\mathrm{\ΔE}}_D;$
其中，r＝1,2,…,n；s＝1,2,…,N；
(8)对结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵对角元素进行两两比较，确
定对角元素中的最小区间位置作为第t次区间有效独立法迭代中要删掉的对角元素位置，
删掉的对角元素位置代表删掉的备选传感器位置，其中，
(9)根据以下公式计算在第t次区间有效独立法迭代中删掉的区间Fisher信息矩阵
对角元素的最小区间位置的可能度pt：

其中，为区间Fisher信息矩阵的最小对角元素，
x＝x1,x2,...,xq,...,xn-t+1；x表示区间Fisher信息矩阵
的任意对角元素；为区间xI上界，x为区间xI下界，xc为区间xI中心值，Δx为区间xI半径；
(10)删除步骤(8)中确定的最小区间，进行第t+1次区间有效独立法迭代，重复步骤(5)
～步骤(9)依次删掉最小对角元素区间，直至余下的传感器数目满足初始定义的传感器
数量m，得到最终的传感器配置方案及该方案的可能度P：并根据传感器配置方案
在结构上安装传感器。
2.根据权利要求1所述的一种基于区间有效独立法及其可能度计算的传感器配置方
法，其特征在于：所述步骤(8)中区间Fisher信息矩阵对角元素的比较方法为：如果p(αI
≤βI)>0.5，则αI≤βI；其中，αI,βI分别为区间Fisher信息矩阵对角元素中任意两个区间
元素；两区间αI与βI为为区间αI
上界，α为区间αI下界，αc为区间αI中心值，Δα为区间αI半径；为区间βI上界，β为区间βI下
界，βc为区间βI中心值，Δβ为区间βI半径；
两区间αI,βI的大小关系可能度p(αI≤βI)为：
$p\left({\mathrm{\α}}^I\≤{\mathrm{\β}}^I\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& \stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\\ \frac{1}{\left(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}\right)\left(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\right)}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}d\mathrm{\α}{\∫}_{\mathrm{\α}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β},& \underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤{\mathrm{\α}}^c\≤{\mathrm{\β}}^c\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\\ \frac{1}{\left(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}\right)\left(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\right)}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β}{\∫}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}^{\mathrm{\β}}d\mathrm{\α},& \underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤{\mathrm{\α}}^c\≤{\mathrm{\β}}^c\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\\ \frac{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}+\frac{1}{\left(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}\right)\left(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\right)}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}d\mathrm{\α}{\∫}_{\mathrm{\α}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β},& \underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\end{array}\right..$
3.根据权利要求1或2所述的一种基于区间有效独立法及其可能度计算的传感器配置
方法，其特征在于：所述步骤(6)中计算结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵
中的确定部分与不确定性部分是通过区间数学和Neumann级数并且忽略高阶量计算得
到的。
4.根据权利要求3所述的一种基于区间有效独立法及其可能度计算的传感器配置方
法，其特征在于：所述步骤(7)中计算结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵半径
ΔED是通过区间扩张原理来计算的。

基于区间有效独立法及其可能度计算的传感器配置方法

技术领域

本发明涉及一种可能度计算方法，特别是一种基于区间有效独立法及其可能度计
算的传感器配置方法。

背景技术

随着空间科学的进步、航天技术的发展及未来人类对空间领域的需求，现代航天
器结构正在向着大型化、复杂化方向发展。包括载人飞船、深空探测卫星、空间太阳能电站
与太阳帆等航天器结构，在复杂的空间服役环境中受到设计载荷作用以及各种突发性外在
因素影响而面临结构的损伤积累问题，从而使结构的安全受到威胁。与此同时，大型结构具
有众多自由度，对每个位置进行采样极其不现实，因此传感器布置问题是对结构进行损伤
识别以及健康监测的第一步，它直接决定了识别问题的准确性。目前，优化传感器布点方案
的方法很多，如有效独立法(Effective Independence，EI)、Guyan模型缩减法、模态保证准
则(Modal Assurance Criteria，MAC)、模态应变能法等。这些方法都是使传感器布点上结
构的响应在某种意义下为最优，如有效独立法就是通过逐步消除那些对目标振型的独立性
贡献最小的自由度，以使目标振型的空间分辨率能得到最大程度的保证。

在现有的传感器配置方法中，噪声以及不确定性都是作为参数讨论以及鲁棒性分
析出现，未曾将现有的确定性传感器配置方法向不确定性方法扩展，因此，当应用确定性方
法进行不确定结构的传感器配置分析计算时，难免出现不准确。基于概率的不确定性分析
方法在现在工程中发挥了巨大的价值，然而在实际应用中，结构不确定参数的概率密度分
布往往信息有限，特别是大型复杂结构信息贫乏，甚至不存在概率统计。传统的面向传感器
配置问题的有效独立法在进行每次迭代删除备选位置时，是十分确定的，这就导致将该方
法应用于不确定结构时，每一次的删除备选位置并不是十分肯定的，误差必然出现。如何将
确定性的传感器配置方法向不确定性扩展，如何考虑实际工程中的贫信息缺陷，如何给出
每一个传感器配置位置以及最终配置方案的可能性，是目前所关心的重点。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于区间有效独
立法及其可能度计算的传感器配置方法，考虑工程中实际存在的不确定性难以度量的缺
陷，基于非概率区间分析方法，将经典有效独立法进行不确定性扩展，构建区间Fisher矩
阵，结合区间可能度计算区间大小关系，给出了每一次删除备选传感器位置以及最终传感
器配置方案的可能度，为具有不确定性的复杂结构的传感器配置工作探索一种新的解决途
径。

本发明所采用的技术解决方案是：一种基于区间有效独立法及其可能度计算的传
感器配置方法，包括步骤如下：

(1)确定待布置传感器的结构上的备选传感器数目n，最终保留的传感器数目m，采
样的模态阶数N；

(2)给出待布置传感器的结构的不确定参数区间向量bI，

$b^I=b^c+{\mathrm{\Δb}}^I=b^c+\mathrm{\Δ}b\[-1,1\]=\[\underset{\‾}{b},\stackrel{\‾}{b}\],b_j^I=b_j^c+{\mathrm{\Δb}}_j^I=b_j^c+{\mathrm{\Δb}}_j\[-1,1\]=\[\underset{\‾}{b_j}-,\stackrel{\‾}{b_j}\];$

其中，为结构不确定参数区间向量的分量，bc为结构不确
定参数区间中心值向量，为结构不确定参数区间中心值向量的分量，ΔbI＝Δb[-1,1]，
Δb为结构不确定参数区间半径向量，Δb为结构不确定参数区间半径向量
的分量，b为结构不确定参数下界向量，bj为结构不确定参数下界向量的分量，为结构不确
定参数上界的向量，为结构不确定参数上界向量的分量，j＝1,2,3,...,nm，nm为结构中
不确定量的数目；

(3)根据步骤(2)中的不确定参数区间中心值，构建动力学特征方程：
计算特征值和模态的确定性部分：

其中，K(bc)为结构总体刚度矩阵的确定部分，M(bc)为结构总体质量矩阵的确定部
分，x是结构位移向量，是结构加速度向量，和分别是第i阶特征值及其相应的模态阵
型的确定部分；i为正整数；

(4)根据一阶摄动方法计算不确定模态区间：不确定模态区间下界
不确定模态区间上界

(5)构建区间有效独立法中结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵

$E_D^I={\mathrm{\Φ}}^I{\[{\left({\mathrm{\Φ}}^I\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^I\]}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^I\right)}^T$

其中，ΦI为n×N维模态矩阵；

(6)构建结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵中的确定部分与
不确定性部分

$E_D^c={\mathrm{\Φ}}^c{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T,{\mathrm{\ΔE}}_D^I=2(I-E_D^c){\mathrm{\Δ\Φ}}^I{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T,$

其中，I为同阶单位矩阵；

(7)计算结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵半径ΔED，并计算区间
Fisher信息矩阵的下界ED与上界

${\[{\mathrm{\ΔE}}_D\]}_{rs}=2\underset{l=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\left|{(I-E_D^c)}_{rl}\right|{\[\mathrm{\Δ}\mathrm{\Φ}\]}_{lk}\left|{\[{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T\]}_{ks}\right|,$

$\underset{\‾}{E_D}-E_D^c-{\mathrm{\ΔE}}_D,\stackrel{\‾}{E_D}=E_D^c+{\mathrm{\ΔE}}_D;$

其中，r＝1,2,…,n；s＝1,2,…,N；

(8)对结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵对角元素进行两两比
较，确定对角元素中的最小区间位置作为第t次区间有效独立法迭代中要删掉的对角元素
位置，删掉的对角元素位置代表删掉的备选传感器位置，其中，

(9)根据以下公式计算在第t次区间有效独立法迭代中删掉的区间Fisher信息矩
阵对角元素的最小区间位置的可能度pt：

其中，为区间Fisher信息矩阵的最小对角元素，

x表示区间Fisher信息矩阵
的任意对角元素；为区间xI上界，x为区间xI下界，xc为区间xI中心值，Δx为区间xI半径；

(10)删除步骤(8)中确定的最小区间，进行第t+1次区间有效独立法迭代，重复步
骤(5)～步骤(9)依次删掉最小对角元素区间，直至余下的传感器数目满足初始定义的
传感器数量m，得到最终的传感器配置方案及该方案的可能度P：并根据传感器配
置方案在结构上安装传感器。

所述步骤(8)中区间Fisher信息矩阵对角元素的比较方法为：如果p(αI≤βI)>
0.5，则αI≤βI；其中，αI,βI分别为区间Fisher信息矩阵对角元素中任意两个区间元素；两
区间αI与βI为为区间αI上界，α
为区间αI下界，αc为区间αI中心值，Δα为区间αI半径；为区间βI上界，β为区间βI下界，βc为
区间βI中心值，Δβ为区间βI半径；

两区间αI,βI的大小关系可能度p(αI≤βI)为：

$p({\mathrm{\α}}^I\≤{\mathrm{\β}}^I)=\left\{\begin{array}{cc}1,& \stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\\ \frac{1}{(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}})(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}})}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}d\mathrm{\α}{\∫}_{\mathrm{\α}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β},& \underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤{\mathrm{\α}}^c\≤{\mathrm{\β}}^c\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\\ \frac{1}{(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}})(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}})}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β}{\∫}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}^{\mathrm{\β}}d\mathrm{\α},& \underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤{\mathrm{\α}}^c\≤{\mathrm{\β}}^c\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\\ \frac{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}+\frac{1}{(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}})(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}})}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}d\mathrm{\α}{\∫}_{\mathrm{\α}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β},& \underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\end{array}\right..$

所述步骤(6)中计算结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵中的确
定部分与不确定性部分是通过区间数学和Neumann级数并且忽略高阶量计算得到的。

所述步骤(7)中计算结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵半径ΔED是
通过区间扩张原理来计算的。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明与现有技术相比，在现有的传感器配置方法中，噪声以及不确定性都是
作为参数讨论以及鲁棒性分析出现，未曾将现有的确定性传感器配置方法向不确定性方法
扩展，因此，当应用确定性方法进行不确定结构的传感器配置分析计算时，难免出现不准
确；本发明考虑工程实际，克服传统传感器配置中无法考虑的不确定性问题，将确定性传感
器配置方法向不确定性扩展，有效的提高了应用在工程中的准确性。

(2)本发明与现有技术相比，基于概率的不确定性分析方法在现在工程中发挥了
巨大的价值，然而在实际应用中，结构不确定参数的概率密度分布往往信息有限，特别是大
型复杂结构信息贫乏，甚至不存在概率统计。因此，本发明针对大型复杂结构的这种贫信息
缺陷，利用非概率区间分析描述了不确定参数，只需要知道不确定参数的上下界即可进行
非概率传感器布置计算，真实有效。

(3)本发明与现有技术相比，传统的面向传感器配置问题的有效独立法在进行每
次迭代删除备选位置时，是十分确定的，这就导致将该方法应用于不确定结构时，每一次的
删除备选位置并不是十分肯定的，误差必然出现。本发明基于区间可能度，给出了每次在区
间有效独立法每次删掉备选位置的可能度，以及最终传感器配置方案的可能度，方便工程
技术人员在每一次迭代删除备选位置时进行监控，而最终的配置方案可能度也有为工程技
术人员提供极有价值的参考数据。

附图说明

图1为本发明流程图；

图2为五层剪切刚架结构。

具体实施方式

如图1所示，一种基于区间有效独立法及其可能度计算的传感器配置方法，包括步
骤如下：

(1)确定待布置传感器的结构上的备选传感器数目n，最终保留的传感器数目m以
及采样的模态阶数N；

(2)根据待布置传感器的结构不确定参数变化范围，给出结构不确定参数的区间
描述为，

$b^I=b^c+{\mathrm{\Δb}}^I=b^c+\mathrm{\Δ}b\[-1,1\]=\[\underset{\‾}{b},\stackrel{\‾}{b}\],$

$b_j^I=b_j^c+{\mathrm{\Δb}}_j^I=b_j^c+{\mathrm{\Δb}}_j\[-1,1\]=\[\underset{\‾}{b_j}-,\stackrel{\‾}{b_j}),$

$b^I={(b_1^I,b_2^I,...,b_{nm}^I)}^T$

其中，bI与分别是结构不确定参数区间的向量与分量，bc与bc分别是结构不确定
参数区间中心值的向量与分量，Δb与Δb分别是结构不确定参数区间半径的向量与分量，b
与bj分别是结构不确定参数下界的向量与分量，与分别是结构不确定参数上界的向量
与分量，nm为结构中不确定量的数目。

(3)通过步骤(2)中的结构参数区间中心值，应用不确定参数中确定性部分的单元
刚度与质量函数关系，构建单元刚度矩阵与质量矩阵中的确定部分，并组装总体刚度矩阵
与质量矩阵中的确定部分，并构建如下的确定性的动力学特征方程，

$M\left(b^c\right)\stackrel{\·\·}{x}+K\left(b^c\right)x=0$

计算特征值和模态的确定性部分

(4)根据一阶摄动方法，计算不确定模态区间

此时，结合步骤(3)中的模态中心值，每一阶的模态阵型的区间上下界可以得出。

(5)通过步骤(4)中计算得到的各模态阶次的区间值，构建区间有效独立法中结构
备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵

$E_D^I={\mathrm{\Φ}}^I{\[{\left({\mathrm{\Φ}}^I\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^I\]}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^I\right)}^T$

其中ΦI为n×N维模态矩阵。此时的Fisher信息矩阵为一区间矩阵。

(6)根据区间数学和Neumann级数，并且忽略高阶量，分别构建步骤(5)表达式中结
构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵中的确定部分与不确定性部分：

$E_D^I-E_D^c+{\mathrm{\ΔE}}_D^I-E_D^c+{\mathrm{\ΔE}}_D\[-1,1\]$

$E_D^c={\mathrm{\Φ}}^c{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T$

${\mathrm{\ΔE}}_D^I=2(I-E_D^c){\mathrm{\Δ\Φ}}^I{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T$

其中，是区间Fisher信息矩阵中的确定部分，即区间Fisher信息矩阵中心值，
是区间Fisher信息矩阵中的不确定部分；I为同阶单位矩阵。

(7)利用区间扩张原理，计算步骤(6)中结构备选传感器位置信息的区间Fisher信
息矩阵半径，

$\begin{array}{c}{\[{\mathrm{\ΔE}}_D\]}_{rs}=2\underset{l=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\left|{(I-E_D^c)}_{rl}\right|{\[\mathrm{\Δ}\mathrm{\Φ}\]}_{lk}\left|{\[{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T\]}_{ks}\right|\\ r=1,2,\mathrm{...},n,s=1,2,\mathrm{...},N\end{array},$

计算区间Fisher信息矩阵的下界ED与上界

$\underset{\‾}{E_D}-E_D^c-{\mathrm{\ΔE}}_D$

$\stackrel{\‾}{E_D}-E_D^c+{\mathrm{\ΔE}}_D$

(8)根据定义四种的两两区间大小关系的可能度计算情况，选择在第t次区间有效
独立法迭代中删掉结构备选传感器位置信息的区间矩阵的对角元素位置，即删掉的备
选传感器位置；对区间Fisher信息矩阵对角元素进行两两比较，确定对角元素中的最小
区间位置作为第t次区间有效独立法迭代中要删掉的对角元素位置，删掉的对角元素位置
代表删掉的备选传感器位置；

如果p(αI≤βI)>0.5，则αI≤βI；

其中，αI,βI分别为区间Fisher信息矩阵对角元素中任意两个区间元素；两区间
αI与βI为：为区间αI上界，α为
区间αI下界，αc为区间αI中心值，Δα为区间αI半径；为区间βI上界，β为区间βI下界，βc为区
间βI中心值，Δβ为区间βI半径；

两区间αI,βI的大小关系可能度p(αI≤βI)为：

$p({\mathrm{\α}}^I\≤{\mathrm{\β}}^I)=\left\{\begin{array}{cc}1,& \stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\\ \frac{1}{(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}})(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}})}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}d\mathrm{\α}{\∫}_{\mathrm{\α}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β},& \underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤{\mathrm{\α}}^c\≤{\mathrm{\β}}^c\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\\ \frac{1}{(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}})(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}})}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β}{\∫}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}^{\mathrm{\β}}d\mathrm{\α},& \underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤{\mathrm{\α}}^c\≤{\mathrm{\β}}^c\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\\ \frac{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}+\frac{1}{(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}})(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}})}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}d\mathrm{\α}{\∫}_{\mathrm{\α}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β},& \underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\end{array}\right.$

根据以上标准，两两区间比较，选择在第t次区间有效独立法迭代中最小对角元
素区间，作为在本次迭代中要删掉的备选传感器位置

(9)假设最小对角元素位置位于x1，根据以下公式计算在第t次区间有效独立法迭
代中删掉区间Fisher信息矩阵的最小对角元素位置x1的可能度pt，即删掉的备选传感器
位置的可能度pt；

其中，x表示区间Fisher信息矩
阵的任意对角元素；为区间xI上界，x为区间xI下界，xc为区间xI中心值，Δx为区间xI半
径；

(10)开始进行第t+1次区间有效独立法迭代，重复步骤(5)～步骤(9)依次删掉
最小对角元素区间，直至余下的传感器数目满足初始定义的传感器数量m，即共需要n-m次
迭代，得到最终的传感器配置方案及该方案的可能度P：

其中，步骤(6)中计算结构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵中的确定
部分与不确定性部分，是通过区间数学和Neumann级数，并且忽略高阶量计算得到的。

其中，所述步骤(7)中计算结构备选传感器位置信息的Fisher信息矩阵半径，是通
过区间扩张原理来计算的。

其中，所述步骤(8)和步骤(9)中分别选择每次迭代最小区间以及计算每次删
掉传感器位置的可能度，都是通过定义的区间大小关系的可能度来计算的。

实施例

一种基于区间有效独立法及其可能度计算的传感器配置方法，如图1、图2所示，具
体步骤如下：

(1)考虑一个五层剪切刚架结构，确定结构备选的传感器数目n＝5，最终保留的传
感器数目m＝2以及采样的模态阶数N＝2。

(2)根据结构不确定参数变化范围，给出结构不确定参数的区间描述为，刚度中心
值分别为2010，1825，1615，1410，1205N/m,质量中心值分别为30,27,27,25,18kg，刚度
半径值Δkj分别为50,125,75,50,25N/m,质量半径值Δmj均为5kg。

(3)通过步骤(2)中的结构参数变化范围，应用不确定参数中确定性部分的单元刚
度与质量函数关系，构建单元刚度矩阵与质量矩阵中的确定部分，并组装总体刚度矩阵与
质量矩阵中的确定部分，并构建如下的确定性的动力学特征方程，

$M\left(m^c\right)\stackrel{\·\·}{x}+K\left(k^c\right)x=0$

计算特征值和模态的确定性部分

其中K(bc)和M(bc)分别是结构总体刚度矩阵和总体质量矩阵的确定部分，x是结构
位移向量，是结构位移向量对时间的二阶导数即加速度向量，和分别是第i阶特征值
及其相应的模态阵型的确定部分。

(4)根据一阶摄动方法，计算不确定模态区间

其中bc分别代表mc和kc，bj分别代表mj和kj，此时，结合步骤(3)中的模态中心值，每
一阶的模态阵型的区间上下界可以得出。

(5)计算得到的各模态阶次的区间值，构建结构备选传感器位置信息的区间有效
独立法中的区间Fisher信息矩阵

$E_D^I={\mathrm{\Φ}}^I{\[{\left({\mathrm{\Φ}}^I\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^I\]}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^I\right)}^T$

其中ΦI为5×2维模态矩阵。此时的Fisher信息矩阵为一区间矩阵。

(6)根据区间数学和Neumann级数，并且忽略高阶量，分别构建步骤(5)表达式中结
构备选传感器位置信息的区间Fisher信息矩阵中的确定部分与不确定性部分；

$E_D^I-E_D^c+{\mathrm{\ΔE}}_D^I-E_D^c+{\mathrm{\ΔE}}_D\[-1,1\]$

$E_D^c={\mathrm{\Φ}}^c{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T$

${\mathrm{\ΔE}}_D^I=2(I-E_D^c){\mathrm{\Δ\Φ}}^I{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T$

其中，是区间Fisher信息矩阵中的确定部分，即区间Fisher信息矩阵中心值，
是区间Fisher信息矩阵中的不确定部分，I为同阶单位矩阵。

(7)利用区间扩张原理，计算步骤(6)中结构备选传感器位置信息的区间Fisher信
息矩阵半径，

${\[{\mathrm{\ΔE}}_D\]}_{rs}=2\underset{l=1}{\overset{n}{\Σ}}\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\left|{(I-E_D^c)}_{rl}\right|{\[\mathrm{\Δ}\mathrm{\Φ}\]}_{lk}\left|{\[{\left({\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^c\right)}^{-1}{\left({\mathrm{\Φ}}^c\right)}^T\]}_{ks}\right|,r=1,2,...,5,s=1,2$

计算区间Fisher信息矩阵的下界ED与上界

$\underset{\‾}{E_D}-E_D^c-{\mathrm{\ΔE}}_D$

$\stackrel{\‾}{E_D}-E_D^c+{\mathrm{\ΔE}}_D$

经计算区间Fisher矩阵中对角元素的区间分别为：[0.1429,0.2586]，[0.3592,
0.5330]，[0.2809,0.4071]，[0.2845,0.3714]，[0.6141,0.7483]。

(8)根据定义四种的两两区间大小关系的可能度计算情况，选择在第1次区间有效
独立法迭代中删掉结构备选传感器位置信息的区间矩阵的对角元素位置，即删掉的备
选传感器位置，两区间αI与βI可以表达为，

${\mathrm{\α}}^I=\[\underset{\‾}{\mathrm{\α}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\]={\mathrm{\α}}^c+\mathrm{\Δ}\mathrm{\α}\[-1,1\];{\mathrm{\β}}^I=\[\underset{\‾}{\mathrm{\β}},\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\]={\mathrm{\β}}^c+\mathrm{\Δ}\mathrm{\β}\[-1,1\];$

两区间的大小关系可能度为

$p({\mathrm{\α}}^I\≤{\mathrm{\β}}^I)=\left\{\begin{array}{cc}1,& \stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\\ \frac{1}{(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}})(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}})}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}d\mathrm{\α}{\∫}_{\mathrm{\α}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β},& \underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤{\mathrm{\α}}^c\≤{\mathrm{\β}}^c\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\\ \frac{1}{(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}})(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}})}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β}{\∫}_{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}^{\mathrm{\β}}d\mathrm{\α},& \underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤{\mathrm{\α}}^c\≤{\mathrm{\β}}^c\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\\ \frac{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}}}+\frac{1}{(\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}-\underset{\‾}{\mathrm{\α}})(\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}-\underset{\‾}{\mathrm{\β}})}{\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\β}}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}d\mathrm{\α}{\∫}_{\mathrm{\α}}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}}d\mathrm{\β},& \underset{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\underset{\‾}{\mathrm{\β}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}\≤\stackrel{\‾}{\mathrm{\β}}\end{array}\right.$

根据以下标准，两两区间比较，选择在第1次区间有效独立法迭代中最小对角元
素区间，作为在本次迭代中要删掉的备选传感器位置

if p(αI≤βI)>0.5,

therefore αI≤βI.

经过计算在第1次迭代过程中删掉的备选传感器是位于第1个自由度。

(9)根据以下公式，计算第1次区间有效独立法迭代中，步骤(8)中删掉的备选传感
器位置的可能度p1

经过计算p1＝100％

(10)开始进行第t+1次区间有效独立法迭代，重复步骤(5)～(9)依次删掉最小
对角元素区间，直至余下的传感器数目满足初始定义的传感器数量2，即共需要5-2＝3次迭
代，得到最终的传感器配置方案，并计算该方案的可能度P。

$P=\underset{t=1}{\overset{n-m}{\Π}}{p}_t$

经计算p2＝95.83％，p3＝93.52％，最终的传感器配置方案可能度P＝89.62％。

本发明说明书中未作详细描述的内容属本领域技术人员的公知技术。