一种压缩感知系统中的高效重建方法.pdf

摘要
申请专利号：	CN201110088314.8	申请日：	2011.04.08
公开号：	CN102163338A	公开日：	2011.08.24
当前法律状态：	授权	有效性：	有权
法律详情：	授权\|\|\|实质审查的生效IPC(主分类):G06T 11/00申请日:20110408\|\|\|公开
IPC分类号：	G06T11/00	主分类号：	G06T11/00
申请人：	哈尔滨工业大学
发明人：	陈浩; 张晔; 张钧萍; 谷延锋; 唐文彦
地址：	150001 黑龙江省哈尔滨市南岗区西大直街92号
优先权：
专利代理机构：	哈尔滨市松花江专利商标事务所 23109	代理人：	岳泉清
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内容摘要

一种压缩感知系统中的高效重建方法。它涉及一种数据处理方法，它解决了现有重建方法中不能够精度速度同时提高的问题。首先整理测量值Y0为易于重建算法实现的形式，若一维重建，则不整理，若二维重建，则进行矢量化，得到Y；然后，令k＝1，uk＝0，vk＝0，得到uk+1＝δ·shrink(vk+1，μ)；vk+1＝vk+ΘT(Y-Θuk)；迭代步骤中出现的无贡献迭代，计算求取无贡献迭代的次数s，则假设，vk变化s次恰好使得uk+1有所改变，那么在这些迭代步骤中有如下迭代公式：uk+s＝uk+1，进行判定即||uk+1-uk||≤ε，再判断是否成立，来确定迭代是否收敛，迭代直至收敛；最后，若一维信号，则直接利用信号稀疏表达重建原始信号，若二维信号，则对稀疏系数u进行逆矢量化，并利用图像的稀疏表达重建原始图像。本发明应用于压缩感知系统中一维或二维信号重建。

权利要求书

1.一种压缩感知系统中的高效重建方法，其特征在于它的步骤如下：步骤一：输入测量值Y0，以及一维信号重建的信息和二维信号重建的信息；步骤二：根据步骤一输入的一维信号重建的信息和二维信号重建的信息判断是一维信号重建，还是二维信号重建，若是一维信号重建，则执行步骤三，若是二维信号重建，则执行步骤四；步骤三：记Y＝Y0，并输入测量矩阵Φ，稀疏矩阵Ψ，执行步骤五；步骤四：对二维信号的测量值Y0执行矢量化操作vec：Y=vec(Y0)=vec(Φ2*X2)=Φ2‾vec(Ψ2S2Ψ3T)]]>公式五公式五中，是二维信号的测量矩阵Φ2的变换形式：Φ2‾(i)=vec(Φ(i))]]>公式七利用Kronecker积将公式五变换为如下形式：vec(Y0)=Φ2‾(Ψ2⊗Ψ3T)vec(S2)]]>公式八令Y＝vec(Y0)，再令Θ＝ΦΨ，u＝vec(S2)，则公式八等价于公式十一：Y＝ΦΨu＝Θu 公式十一执行步骤五；步骤五：令k＝1，uk＝0，vk＝0，得到vk+1和uk+1的公式为：uk+1＝δ·shrink(vk+1，μ) 公式十二vk+1＝vk+ΘT(Y-Θuk) 公式十三其中，μ是拉格朗日常数，δ是固定步长因子，取值范围为：shrink是个软阈值；则假设，vk变化s次恰好使得uk+1有所改变，那么在这些迭代步骤中有如下迭代公式：uk+s＝uk+1 公式十五步骤六：判断||uk+1-uk||≤ε是否成立，其中ε是设定的阈值；若不成立则执行步骤七，若成立则执行步骤八；步骤七：根据如下公式计算获得vk+1：k＝k+1 公式十六vk+1＝vk+ΘT(Y-Θuk) 公式十七获得vk+1后进入步骤十；步骤八：计算获得s：公式十八s＝min{si} i∈I0 公式十九其中I0表示uk+1中所有分量为0的下标，即I1表示uk+1中所有分量不为0的下标，即步骤九：将步骤八获得的s带入如下公式计算获得vk+1：k＝k+1 公式十六vik+1=vik+s·(ΘT(Y-Θuk))i,∀i∈I0]]>公式二十vik+1=vik,∀i∈I1]]>公式二十一获得vk+1后进入步骤十；步骤十：将获得的vk+1带入公式十二计算获得uk+1：uk+1＝δshrink(vk+1，μ) 公式十二获得uk+1后进入步骤十一；步骤十一：判断是否成立，其中γ是判断收敛的阈值；若成立则执行步骤十二，若不成立则返回步骤六；步骤十二：稀疏系数u＝uk+1；步骤十三：根据步骤一输入的一维信号重建的信息和二维信号重建的信息判断是一维信号重建，还是二维信号重建，若是一维信号重建，则执行步骤十四，若是二维信号重建，则执行步骤十五；步骤十四：根据稀疏矩阵Ψ，然后再利用公式一重建出原始一维信号X：X＝Ψu 公式二十二步骤十五：对系数向量u执行逆矢量化操作ivec，获得二维信号X2的稀疏域表示系数S2：S2＝ivec(u) 公式二十三再利用X2＝Ψ2S2Ψ3重建出原始二维信号X2。

说明书

一种压缩感知系统中的高效重建方法

技术领域

本发明涉及一种数据处理方法，具体涉及一种压缩感知系统中的信号重建方法。

背景技术

近年来，在国际上出现了一种新的理论——压缩感知(compressive sensing)理论。该理论指出，只要信号是可压缩的或者说信号在某一个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与稀疏矩阵不相关的测量矩阵对原始信号进行测量，将高维图像投影到一个低维空间中，然后通过求解一个优化问题就可以从这较少的投影值中完全重建出原始信号。压缩感知无需经过先采样再压缩的过程，这在很大的程度上克服了传统信号获取和处理的缺点。

压缩感知测量和重建过程描述如下：

现有的一维信号X(N×1维)和二维信号X2(N1×N2维)的压缩感知测量和重建过程描述如下：

根据稀疏矩阵Ψ(N×N维)，得到一维信号X的稀疏域表示：

X＝ΨS 公式一

其中，S是一维信号X的稀疏域表示系数(N×1维)，具有K个非零系数和(N-K)个零；对于一维信号X的压缩感知测量过程如下：

利用测量矩阵Φ(M×N维)，将一维信号X投影到M(M＜＜N)个测量值Y(M×1维)上；

Y＝ΦX＝ΦΨS＝ΘS 公式二

其中Θ＝ΦΨ，Θ是个M×N维矩阵；

在测量过程后，先利用公式二从测量值Y中求取出一维信号X的稀疏域表示系数S，然后再利用公式一重建出原始一维信号X，在重建的过程中利用了一维信号X的稀疏性；

对于二维信号X2(N1×N2维)，利用二维信号的行稀疏矩阵Ψ2(N1×N1维)和二维信号的列稀疏矩阵Ψ3(N2×N2维)，得到二维信号X2的稀疏域表示：

X2＝Ψ2S2Ψ3 公式三

其中，S2是二维信号X2的稀疏域表示系数(N1×N2维)；

利用二维信号的测量矩阵Φ2(M×N1×N2维)，获得M个二维信号的测量值Y2(M×1维)，上述过程用如下公式表示：

Y2＝Φ2*X2＝Φ2*(Ψ2S2Ψ3) 公式四

上面的公式中主要是表示用*符号表示；

由于压缩感知采用非自适应性测量进行欠采样，将信号/图像的获取和压缩融为一体，使得对前台的硬件要求大大降低，获取的主要任务从前台转移到了后台(需要对进行非线性重建，强大的计算机支持)其中，二维信号(本发明中指图像)。因此，压缩感知的重建算法的好坏直接影响到压缩感知理论能否实用。压缩感知的重建实际上就是在满足一定的观测值的条件下，寻求最稀疏解的过程，是个l0非凸优化的问题。然而，基于l0范数极小化的方法是个需要寻找最优组合的NP-hard问题，数值计算上无法有效实现。因此一般采用l1优化逼近l0优化。重建主要可以分为三类方法：

(1)凸优化方法，包括基追踪BP、梯度追踪GPSR、Bregman迭代、最小角回归(LARs)等方法。此类方法重建精度高，需要的压缩测量个数少，但是计算复杂度相对较高。

(2)贪婪方法，主要包括：匹配追踪(MP)、正交匹配追踪(OMP)、的梯度追踪(GP)、分段匹配追踪(StOMP)、子空间追踪(SP)等。此类方法计算复杂度相对较低，运算速度快、但是总的来说与凸优化方法相比，需要更多的压缩测量，重建精度相对较低。

(3)非凸方法，主要包括FOCUSS算法、迭代重新加权算法、多层Bayesian压缩感知方法等。该类方法所需的压缩测量个数、计算复杂度、重构精度总体上介于上述两类方法之间。

总结上述的重建方法，要么重建速度快但是需要的测量数据多且精度不高，如贪婪算法中的OMP等；要么需要的测量数据少，精度高但是重建速度慢，如GPSR等。而在实际应用中，重建精度高是最重要的，因为其决定了压缩感知系统应用的效果。而重建速度快也是必须的，因为获取的往往是具有数据量大的特点，重建的计算量很大，速度决定了应用效率。因此，我们需要寻找一种重建精度高且速度快的方法。

发明内容

本发明为了解决现有重建方法中不能够精度速度同时提高的问题，而提出了一种压缩感知系统中的高效重建方法。

本发明一种压缩感知系统中的高效重建方法的步骤如下：

步骤一：输入测量值Y0，以及一维信号重建的信息和二维信号重建的信息；

步骤二：根据步骤一输入的一维信号重建的信息和二维信号重建的信息判断是一维信号重建，还是二维信号重建，若是一维信号重建，则执行步骤三，若是二维信号重建，则执行步骤四；

步骤三：记Y＝Y0，并输入测量矩阵Φ，稀疏矩阵Ψ，执行步骤五；

步骤四：对二维信号的测量值Y0执行矢量化操作vec：

Y=vec(Y0)=vec(Φ2*X2)=Φ2‾vec(Ψ2S2Ψ3T)]]>公式五

公式五中，是二维信号的测量矩阵Φ2的变换形式：

Φ2‾(i)=vec(Φ(i))]]>公式七

利用Kronecker积将公式五变换为如下形式：

vec(Y0)=Φ2‾(Ψ2⊗Ψ3T)vec(S2)]]>公式八

令Y＝vec(Y0)，再令Θ＝ΦΨ，u＝vec(S2)，则公式八等价于公式十一：

Y＝ΦΨu＝Θu 公式十一

执行步骤五；

步骤五：令k＝1，uk＝0，vk＝0，得到vk+1和uk+1的公式为：

uk+1＝δ·shrink(vk+1，μ) 公式十二

vk+1＝vk+ΘT(Y-Θuk) 公式十三

其中，μ是拉格朗日常数，

δ是固定步长因子，取值范围为：

shrink是个软阈值；则假设，vk变化s次恰好使得uk+1有所改变，那么在这些迭代步骤中有如下迭代公式：

uk+s＝uk+1 公式十五

步骤六：判断||uk+1-uk||≤ε是否成立，其中ε是设定的阈值；若不成立则执行步骤七，若成立则执行步骤八；

步骤七：根据如下公式计算获得vk+1：

k＝k+1 公式十六

vk+1＝vk+ΘT(Y-Θuk) 公式十七

获得vk+1后进入步骤十；

步骤八：计算获得s：

公式十八

s＝min{si} i∈I0 公式十九

其中I0表示uk+1中所有分量为0的下标，即I1表示uk+1中所有分量不为0的下标，即

步骤九：将步骤八获得的s带入如下公式计算获得vk+1：

k＝k+1 公式十六

vik+1=vik+s·(ΘT(Y-Θuk))i,∀i∈I0]]>公式二十

vik+1=vik,∀i∈I1]]>公式二十一

获得vk+1后进入步骤十；

步骤十：将获得的vk+1带入公式十二计算获得uk+1：

uk+1＝δshrink(vk+1，μ)公式十二

获得uk+1后进入步骤十一；

步骤十一：判断是否成立，其中γ是判断收敛的阈值；若成立则执行

步骤十二，若不成立则返回步骤六；

步骤十二：稀疏系数u＝uk+1；

步骤十三：根据步骤一输入的一维信号重建的信息和二维信号重建的信息判断是一维信号重建，还是二维信号重建，若是一维信号重建，则执行步骤十四，若是二维信号重建，则执行步骤十五；

步骤十四：根据稀疏矩阵Ψ，然后再利用公式一重建出原始一维信号X：

X＝Ψu 公式二十二

步骤十五：对系数向量u执行逆矢量化操作ivec，获得二维信号X2的稀疏域表示系数S2：

S2＝ivec(u) 公式二十三

再利用X2＝Ψ2S2Ψ3重建出原始二维信号X2。

在上述的重建方法中，凸优化方法的重建精度高，其中的Bregman方法相对于其他凸优化算法重建速度也较快。我们的研究主要针对Bregman方法，在它重建精度高的优势基础上，进一步提高其重建速度，实现一种高效的重建方法。由于Bregman方法中最关键的迭代部分具有可以进行优化的潜力，为实现上述目的提供了保障。为了验证本发明算法的性能，我们进行了计算机仿真实验，这里我们使用的测量基是部分傅里叶测量基，使用的稀疏基是db2小波基，我们在两种获取率30％和40％下对同一图像进行仿真。在进行加速算法之前先预设一个判定条件：uk+1≈uk是否成立。因此，我们必须设定一个阈值来对条件进行判定即||uk+1-uk||≤ε。ε的大小直接影响到迭代所需的时间和迭代精度。此外，还要预设一个判断收敛的阈值γ用以判断来确定迭代是否收敛，此处设γ＝10-1。实验中，采用的测试图像为一幅标准的1024×1024大小的遥感图像，如图2所示。仿真实验结果如图3至图6所示。由图3至图6可知，在不同的获取率下，本发明所涉及的方法(记为加速后)都比未改进的Bregman方法(记为加速前)迭代时间有着明显地降低，尽管代价是恢复图像的质量有所下降，即信噪比下降。输出时间曲线呈下凸曲线，即随着阈值的变化，时间一开始就下降的很快，只是在阈值变得很大时，时间的下降才缓慢下来。相反，输出信噪比曲线则呈上凸曲线，即随着阈值的变化，输出信噪比一开始下降的很慢，只是在阈值变得很大时，输出信噪比的的下降才会变快。因此，我们可以在满足足够高的信噪比的条件下，选择一个最合适的阈值，在这一阈值下，我们只需最短的迭代时间。也就是说，我们总可以找到这样的一个阈值，使得由于信噪比的降低带来的成本损失通过时间的缩短来挽回。比如，在这里，我们在30％的采样率下，采用阈值ε＝5；而在40％的采样率下，采用阈值ε＝3或者ε＝5。

附图说明

图1本发明的流程图；图2是实验所采用的测试图像；图3是采样率为30％时不同阈值下算法的输出信噪比曲线；图4是采样率为30％时不同阈值下算法的输出信噪比曲线时间曲线；图5是采样率为40％时不同阈值下算法的输出信噪比曲线；图6是采样率为40％时不同阈值下算法的输出信噪比曲线时间曲线。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图说明本实施方式，本实施方式的步骤如下：

步骤一：输入测量值Y0，以及一维信号重建的信息和二维信号重建的信息；

步骤三：记Y＝Y0，并输入测量矩阵Φ，稀疏矩阵Ψ，执行步骤五；

步骤四：对测量值Y0执行矢量化操作vec，记Y＝vec(Y0)：

如果考虑到压缩感知过程中测量矩阵中系数的随机性，只要二维信号的测量矩阵Φ2不是非结构性，那么对测量值Y0执行矢量化操作vec：

Y=vec(Y0)=vec(Φ2*X2)=Φ2‾vec(Ψ2S2Ψ3T)]]>公式五

公式五中，矢量化操作vec的含义如下：

设A＝(ai，j)M×N，称M×N维的列向量vec(A)为矩阵A的按行展开，或矩阵A按行拉直的列向量，如下式：

vec(A)＝(a11，…，a21，…，am1，…，amn)T 公式六

公式五中，是二维信号的测量矩阵Φ2的变换形式(维的矩阵，)，如果令中的每一个元素为1≤i≤M令二维信号的测量矩阵Φ2中的每一个元素为Φ2(i，j，k)，1≤i≤M，1≤j≤N1，1≤k≤N2，那么是由二维信号的测量矩阵Φ2确定的，关系如下：

Φ2‾(i)=vec(Φ(i))]]>公式七

利用Kronecker积将公式五变换为如下形式：

vec(Y0)=Φ2‾(Ψ2⊗Ψ3T)vec(S2)]]>公式八

Kronecker积的具体解释如下：

根据矩阵分析中的理论，设A∈Cm×n，X∈Cn×p，B∈Cp×q，那么则有下式成立

vec(AXB)=(A⊗BT)vecX]]>公式九

其中，表示矩阵A和矩阵B的Kronecker积，

其定义如公式十，其中设A＝(ai，j)∈Cm×n，B＝(bi，j)∈Cp×q。

A⊗B=a11a12B···a1nBa21Ba22B···a2nB············am1Bam2B···amnB=(aijB)∈Cmp×nq]]>公式十

令Y＝vec(Y0)，再令Θ＝ΦΨ，u＝vec(S2)，则公式八等价于公式十一：

Y＝ΦΨu＝Θu 公式十一

执行步骤五；

步骤五：令k＝1，uk＝0，vk＝0，得到vk+1和uk+1的公式为：

uk+1＝δ·shrink(vk+1，μ) 公式十二

vk+1＝vk+ΘT(Y-Θuk) 公式十三

其中，μ是拉格朗日常数，应使μ在足够小的范围内越大，收敛越快，δ是固定步长因子，取值范围为：

shrink是个软阈值：

shink(y,α)=sign(y)·max{|y|-α,0}=y-αy∈(α,∞)0y∈[-α,α]y+αy∈(-∞,-α)]]>公式十四

在上述迭代中，由于shrink软阈值操作的影响，当出现v∈[-μ，μ]时，u不发生变化，只有v出了[-μ，μ]范围内时，u才发生变化。也即是说u将要保持不变直到v迭代使u出现一个非零值之后。而在此期间v的迭代会占用一定的时间，从而影响整体重建方法的速度，这个期间成为无贡献迭代。这里设I0表示uk+1中所有分量为0的下标，即同理，我们设I1表示uk+1中所有分量不为0的下标，即对于I0中的所有值，由于shrink操作的存在，可能导致多个vk的不断变化，均使得uk+1没有任何改变，这样在计算vk时，无需每次都计算一次ΘT(Y-Θuk)，只需计算一次即可，这样就可以对线性算法进行加速。假设，vk变化s次恰好使得uk+1有所改变，那么在这些迭代步骤中有如下迭代公式：

uk+s＝uk+1 公式十五

步骤六：判断||uk+1-uk||≤ε是否成立，其中ε是设定的阈值，大小直接影响到迭代所需的时间和迭代精度；若不成立则执行步骤七，若成立则执行步骤八；

步骤七：根据如下公式计算获得vk+1：

k＝k+1 公式十六

vk+1＝vk+ΘT(Y-Θuk) 公式十七

获得vk+1后进入步骤十；

步骤八：计算获得s：

公式十八

s＝min{si} i∈I0 公式十九

其中I0表示uk+1中所有分量为0的下标，即I1表示uk+1中所有分量不为0的下标，即

步骤九：将步骤八获得的s带入如下公式计算获得vk+1：

k＝k+1 公式十六

vik+1=vik+s·(ΘT(Y-Θuk))i,∀i∈I0]]>公式二十

vik+1=vik,∀i∈I1]]>公式二十一

获得vk+1后进入步骤十；

步骤十：将获得的vk+1带入公式十二计算获得uk+1：

uk+1＝δshrink(vk+1，μ) 公式十二

获得uk+1后进入步骤十一；

步骤十一：判断是否成立，其中γ是判断收敛的阈值；若成立则执行步骤十二，若不成立则返回步骤六；

步骤十二：稀疏系数u＝uk+1；

步骤十四：根据稀疏矩阵Ψ，然后再利用公式一重建出原始一维信号X：

X＝Ψu 公式二十二

步骤十五：对系数向量u执行逆矢量化操作ivec，获得二维信号X2的稀疏域表示系数S2：

S2＝ivec(u) 公式二十三

再利用X2＝Ψ2S2Ψ3重建出原始二维信号X2。

资源描述

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1、(10)申请公布号 CN 102163338 A (43)申请公布日 2011.08.24 CN 102163338 A *CN102163338A* (21)申请号 201110088314.8 (22)申请日 2011.04.08 G06T 11/00(2006.01) (71)申请人哈尔滨工业大学地址 150001 黑龙江省哈尔滨市南岗区西大直街 92 号 (72)发明人陈浩张晔张钧萍谷延锋唐文彦 (74)专利代理机构哈尔滨市松花江专利商标事务所 23109 代理人岳泉清 (54) 发明名称一种压缩感知系统中的高效重建方法 (57) 摘要一种压缩感知系统中的高效。

2、重建方法。它涉及一种数据处理方法，它解决了现有重建方法中不能够精度速度同时提高的问题。首先整理测量值 Y0 为易于重建算法实现的形式，若一维重建，则不整理，若二维重建，则进行矢量化，得到 Y ；然后，令 k 1， uk 0， v k 0，得到 uk+1 shrink(vk+1， ) ； vk+1 v k+T(Y-uk) ；迭代步骤中出现的无贡献迭代，计算求取无贡献迭代的次数 s，则假设， vk变化 s 次恰好使得 u k+1有所改变，那么在这些迭代步骤中有如下迭代公式： uk+s u k+1，进行判定即 |uk+1-uk| ，再判断是否成立，。

3、来确定迭代是否收敛，迭代直至收敛；最后，若一维信号，则直接利用信号稀疏表达重建原始信号，若二维信号，则对稀疏系数 u 进行逆矢量化，并利用图像的稀疏表达重建原始图像。本发明应用于压缩感知系统中一维或二维信号重建。 (51)Int.Cl. (19)中华人民共和国国家知识产权局 (12)发明专利申请权利要求书 2 页说明书 7 页附图 4 页 CN 102163340 A1/2 页 2 1. 一种压缩感知系统中的高效重建方法，其特征在于它的步骤如下：步骤一：输入测量值 Y0，以及一维信号重建的信息和二维信号重建的信息；步骤二：根据步骤一输入的一维信。

4、号重建的信息和二维信号重建的信息判断是一维信号重建，还是二维信号重建，若是一维信号重建，则执行步骤三，若是二维信号重建，则执行步骤四；步骤三：记 Y Y0，并输入测量矩阵，稀疏矩阵，执行步骤五；步骤四：对二维信号的测量值 Y0 执行矢量化操作 vec ：公式五公式五中，是二维信号的测量矩阵 2 的变换形式：公式七利用 Kronecker 积将公式五变换为如下形式：公式八令 Y vec(Y0)，再令， u vec(S2)，则公式八等价于公式十一： Y u u 公式十一执行步骤五；步骤五：令 k 1， uk 0， vk 0。

5、，得到 vk+1和 uk+1的公式为： uk+1 shrink(vk+1， ) 公式十二 vk+1 vk+T(Y-uk) 公式十三其中，是拉格朗日常数，是固定步长因子，取值范围为： shrink 是个软阈值；则假设， vk变化 s 次恰好使得 uk+1有所改变，那么在这些迭代步骤中有如下迭代公式： uk+s uk+1 公式十五步骤六：判断 |uk+1-uk| 是否成立，其中是设定的阈值；若不成立则执行步骤七，若成立则执行步骤八；步骤七：根据如下公式计算获得 vk+1： k k+1 公式十六 vk+1 vk+T(Y-uk) 公式十七获得 vk+。

6、1后进入步骤十；步骤八：计算获得 s ：公式十八 s minsi i I0 公式十九其中 I0表示 uk+1中所有分量为 0 的下标，即I1表示 uk+1中所有分量不为 0 的下标，即步骤九：将步骤八获得的 s 带入如下公式计算获得 vk+1：权利要求书 CN 102163338 A CN 102163340 A2/2 页 3 k k+1 公式十六公式二十公式二十一获得 vk+1后进入步骤十；步骤十：将获得的 vk+1带入公式十二计算获得 uk+1： uk+1 shrink(vk+1， ) 公式十二获得 uk+1后进入步骤十一；步骤十一：。

7、判断是否成立，其中是判断收敛的阈值；若成立则执行步骤十二，若不成立则返回步骤六；步骤十二：稀疏系数 u uk+1；步骤十三：根据步骤一输入的一维信号重建的信息和二维信号重建的信息判断是一维信号重建，还是二维信号重建，若是一维信号重建，则执行步骤十四，若是二维信号重建，则执行步骤十五；步骤十四：根据稀疏矩阵，然后再利用公式一重建出原始一维信号 X ： X u 公式二十二步骤十五：对系数向量 u 执行逆矢量化操作 ivec，获得二维信号 X2 的稀疏域表示系数 S2 ： S2 ivec(u) 公式二十三再利用 X2 2S23 重建出原。

8、始二维信号 X2。权利要求书 CN 102163338 A CN 102163340 A1/7 页 4 一种压缩感知系统中的高效重建方法技术领域 0001 本发明涉及一种数据处理方法，具体涉及一种压缩感知系统中的信号重建方法。背景技术 0002 近年来，在国际上出现了一种新的理论压缩感知 (compressive sensing) 理论。该理论指出，只要信号是可压缩的或者说信号在某一个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与稀疏矩阵不相关的测量矩阵对原始信号进行测量，将高维图像投影到一个低维空间中，然后通过求解一个优化问题就可以从这较少的投影值中完全重建出原始信号。。

9、压缩感知无需经过先采样再压缩的过程，这在很大的程度上克服了传统信号获取和处理的缺点。 0003 压缩感知测量和重建过程描述如下： 0004 现有的一维信号 X(N1 维 ) 和二维信号 X2(N1N2 维 ) 的压缩感知测量和重建过程描述如下： 0005 根据稀疏矩阵 (NN 维 )，得到一维信号 X 的稀疏域表示： 0006 X S 公式一 0007 其中， S 是一维信号 X 的稀疏域表示系数 (N1 维 )，具有 K 个非零系数和 (N-K) 个零；对于一维信号 X 的压缩感知测量过程如下： 0008 利用测量矩阵 (MN 维 )，将一维信号 X 投影到 M(M 。

10、N) 个测量值 Y(M1 维 ) 上； 0009 Y X S S 公式二 0010 其中，是个 MN 维矩阵； 0011 在测量过程后，先利用公式二从测量值 Y 中求取出一维信号 X 的稀疏域表示系数 S，然后再利用公式一重建出原始一维信号 X，在重建的过程中利用了一维信号 X 的稀疏性； 0012 对于二维信号 X2(N1N2 维 )，利用二维信号的行稀疏矩阵 2(N1N1 维 ) 和二维信号的列稀疏矩阵 3(N2N2 维 )，得到二维信号 X2 的稀疏域表示： 0013 X2 2S23 公式三 0014 其中， S2 是二维信号 X2 的稀疏域表示系数 (N1N2 。

11、维 ) ； 0015 利用二维信号的测量矩阵 2(MN1N2 维 )，获得 M 个二维信号的测量值 Y2(M1 维 )，上述过程用如下公式表示： 0016 Y2 2*X2 2*(2S23) 公式四 0017 上面的公式中主要是表示用 * 符号表示； 0018 由于压缩感知采用非自适应性测量进行欠采样，将信号 / 图像的获取和压缩融为一体，使得对前台的硬件要求大大降低，获取的主要任务从前台转移到了后台 ( 需要对进行非线性重建，强大的计算机支持)其中，二维信号(本发明中指图像)。因此，压缩感知的重建算法的好坏直接影响到压缩感知理论能否实用。压缩感知的重建实际上就是在。

12、满足一定的观测值的条件下，寻求最稀疏解的过程，是个 l0非凸优化的问题。然而，基于 l0范数极说明书 CN 102163338 A CN 102163340 A2/7 页 5 小化的方法是个需要寻找最优组合的 NP-hard 问题，数值计算上无法有效实现。因此一般采用 l1优化逼近 l0优化。重建主要可以分为三类方法： 0019 (1)凸优化方法，包括基追踪BP、梯度追踪GPSR、 Bregman迭代、最小角回归(LARs) 等方法。此类方法重建精度高，需要的压缩测量个数少，但是计算复杂度相对较高。 0020 (2) 贪婪方法，主要包括：匹配追踪 (MP)、。

13、正交匹配追踪 (OMP)、的梯度追踪 (GP)、分段匹配追踪 (StOMP)、子空间追踪 (SP) 等。此类方法计算复杂度相对较低，运算速度快、但是总的来说与凸优化方法相比，需要更多的压缩测量，重建精度相对较低。 0021 (3)非凸方法，主要包括FOCUSS算法、迭代重新加权算法、多层Bayesian压缩感知方法等。该类方法所需的压缩测量个数、计算复杂度、重构精度总体上介于上述两类方法之间。 0022 总结上述的重建方法，要么重建速度快但是需要的测量数据多且精度不高，如贪婪算法中的 OMP 等；要么需要的测量数据少，精度高但是重建速度慢，如 GP。

14、SR 等。而在实际应用中，重建精度高是最重要的，因为其决定了压缩感知系统应用的效果。而重建速度快也是必须的，因为获取的往往是具有数据量大的特点，重建的计算量很大，速度决定了应用效率。因此，我们需要寻找一种重建精度高且速度快的方法。发明内容 0023 本发明为了解决现有重建方法中不能够精度速度同时提高的问题，而提出了一种压缩感知系统中的高效重建方法。 0024 本发明一种压缩感知系统中的高效重建方法的步骤如下： 0025 步骤一：输入测量值 Y0，以及一维信号重建的信息和二维信号重建的信息； 0026 步骤二：根据步骤一输入的一维信号重建的信息和二维信号重。

15、建的信息判断是一维信号重建，还是二维信号重建，若是一维信号重建，则执行步骤三，若是二维信号重建，则执行步骤四； 0027 步骤三：记 Y Y0，并输入测量矩阵，稀疏矩阵，执行步骤五； 0028 步骤四：对二维信号的测量值 Y0 执行矢量化操作 vec ： 0029 公式五 0030 公式五中，是二维信号的测量矩阵 2 的变换形式： 0031 公式七 0032 利用 Kronecker 积将公式五变换为如下形式： 0033 公式八 0034 令 Y vec(Y0)，再令， u vec(S2)，则公式八等价于公式十一： 0035 Y u u 公式十。

16、一 0036 执行步骤五； 0037 步骤五：令 k 1， uk 0， vk 0，得到 vk+1和 uk+1的公式为： 0038 uk+1 shrink(vk+1， ) 公式十二 0039 vk+1 vk+T(Y-uk) 公式十三 0040 其中，是拉格朗日常数，说明书 CN 102163338 A CN 102163340 A3/7 页 6 0041 是固定步长因子，取值范围为： 0042 shrink 是个软阈值；则假设， vk变化 s 次恰好使得 uk+1有所改变，那么在这些迭代步骤中有如下迭代公式： 0043 uk+s uk+1 公式十五 0044 步骤。

17、六：判断 |uk+1-uk| 是否成立，其中是设定的阈值；若不成立则执行步骤七，若成立则执行步骤八； 0045 步骤七：根据如下公式计算获得 vk+1： 0046 k k+1 公式十六 0047 vk+1 vk+T(Y-uk) 公式十七 0048 获得 vk+1后进入步骤十； 0049 步骤八：计算获得 s ： 0050 公式十八 0051 s minsi i I0 公式十九 0052 其中 I0表示 uk+1中所有分量为 0 的下标，即I1表示 uk+1中所有分量不为 0 的下标，即 0053 步骤九：将步骤八获得的 s 带入如下公式计算获得 vk+1：。

18、 0054 k k+1 公式十六 0055 公式二十 0056 公式二十一 0057 获得 vk+1后进入步骤十； 0058 步骤十：将获得的 vk+1带入公式十二计算获得 uk+1： 0059 uk+1 shrink(vk+1， ) 公式十二 0060 获得 uk+1后进入步骤十一； 0061 步骤十一：判断是否成立，其中是判断收敛的阈值；若成立则执行 0062 步骤十二，若不成立则返回步骤六； 0063 步骤十二：稀疏系数 u uk+1； 0064 步骤十三：根据步骤一输入的一维信号重建的信息和二维信号重建的信息判断是一维信号重建，还是二维信号重建，。

19、若是一维信号重建，则执行步骤十四，若是二维信号重建，则执行步骤十五； 0065 步骤十四：根据稀疏矩阵，然后再利用公式一重建出原始一维信号 X ： 0066 X u 公式二十二 0067 步骤十五：对系数向量 u 执行逆矢量化操作 ivec，获得二维信号 X2 的稀疏域表示系数 S2 ： 0068 S2 ivec(u) 公式二十三说明书 CN 102163338 A CN 102163340 A4/7 页 7 0069 再利用 X2 2S23 重建出原始二维信号 X2。 0070 在上述的重建方法中，凸优化方法的重建精度高，其中的 Bregman 方法相对于。

20、其他凸优化算法重建速度也较快。我们的研究主要针对 Bregman 方法，在它重建精度高的优势基础上，进一步提高其重建速度，实现一种高效的重建方法。由于 Bregman 方法中最关键的迭代部分具有可以进行优化的潜力，为实现上述目的提供了保障。为了验证本发明算法的性能，我们进行了计算机仿真实验，这里我们使用的测量基是部分傅里叶测量基，使用的稀疏基是 db2 小波基，我们在两种获取率 30和 40下对同一图像进行仿真。在进行加速算法之前先预设一个判定条件： uk+1 uk是否成立。因此，我们必须设定一个阈值来对条件进行判定即 |uk+1-uk| 。的大小直接影响到。

21、迭代所需的时间和迭代精度。此外，还要预设一个判断收敛的阈值用以判断来确定迭代是否收敛，此处设 10-1。实验中，采用的测试图像为一幅标准的 10241024 大小的遥感图像，如图 2 所示。仿真实验结果如图 3 至图 6 所示。由图 3 至图 6 可知，在不同的获取率下，本发明所涉及的方法(记为加速后)都比未改进的Bregman方法(记为加速前)迭代时间有着明显地降低，尽管代价是恢复图像的质量有所下降，即信噪比下降。输出时间曲线呈下凸曲线，即随着阈值的变化，时间一开始就下降的很快，只是在阈值变得很大时，时间的下降才缓慢下来。相反，输出信噪比曲线则呈上凸曲。

22、线，即随着阈值的变化，输出信噪比一开始下降的很慢，只是在阈值变得很大时，输出信噪比的的下降才会变快。因此，我们可以在满足足够高的信噪比的条件下，选择一个最合适的阈值，在这一阈值下，我们只需最短的迭代时间。也就是说，我们总可以找到这样的一个阈值，使得由于信噪比的降低带来的成本损失通过时间的缩短来挽回。比如，在这里，我们在 30的采样率下，采用阈值 5 ；而在 40的采样率下，采用阈值 3 或者 5。附图说明 0071 图 1 本发明的流程图；图 2 是实验所采用的测试图像；图 3 是采样率为 30时不同阈值下算法的输出信噪比曲线；图 4 。

23、是采样率为 30时不同阈值下算法的输出信噪比曲线时间曲线；图 5 是采样率为 40时不同阈值下算法的输出信噪比曲线；图 6 是采样率为 40时不同阈值下算法的输出信噪比曲线时间曲线。具体实施方式 0072 具体实施方式一：结合图说明本实施方式，本实施方式的步骤如下： 0073 步骤一：输入测量值 Y0，以及一维信号重建的信息和二维信号重建的信息； 0074 步骤二：根据步骤一输入的一维信号重建的信息和二维信号重建的信息判断是一维信号重建，还是二维信号重建，若是一维信号重建，则执行步骤三，若是二维信号重建，则执行步骤四； 0075 步骤三：记 Y。

24、 Y0，并输入测量矩阵，稀疏矩阵，执行步骤五； 0076 步骤四：对测量值 Y0 执行矢量化操作 vec，记 Y vec(Y0) ：说明书 CN 102163338 A CN 102163340 A5/7 页 8 0077 如果考虑到压缩感知过程中测量矩阵中系数的随机性，只要二维信号的测量矩阵 2 不是非结构性，那么对测量值 Y0 执行矢量化操作 vec ： 0078 公式五 0079 公式五中，矢量化操作 vec 的含义如下： 0080 设 A (ai， j)MN，称 MN 维的列向量 vec(A) 为矩阵 A 的按行展开，或矩阵 A 按行拉直的列向量，。

25、如下式： 0081 vec(A) (a11， a21， am1， amn)T 公式六 0082 公式五中，是二维信号的测量矩阵 2 的变换形式 (维的矩阵， )，如果令中的每一个元素为1iM令二维信号的测量矩阵 2 中的每一个元素为 2(i， j， k)， 1 i M， 1 j N1， 1 k N2，那么是由二维信号的测量矩阵 2 确定的，关系如下： 0083 公式七 0084 利用 Kronecker 积将公式五变换为如下形式： 0085 公式八 0086 Kronecker 积的具体解释如下： 0087 根据矩阵分析中的理论，设 A Cmn， X Cnp， B Cpq。

26、，那么则有下式成立 0088 公式九 0089 其中，表示矩阵 A 和矩阵 B 的 Kronecker 积， 0090 其定义如公式十，其中设 A (ai， j) Cmn， B (bi， j) Cpq。 0091 公式十 0092 令 Y vec(Y0)，再令， u vec(S2)，则公式八等价于公式十一： 0093 Y u u 公式十一 0094 执行步骤五； 0095 步骤五：令 k 1， uk 0， vk 0，得到 vk+1和 uk+1的公式为： 0096 uk+1 shrink(vk+1， ) 公式十二 0097 vk+1 vk+T(Y-uk) 公式十三 009。

27、8 其中，是拉格朗日常数，应使在足够小的范围内越大，收敛越快，是固定步长因子，取值范围为： 0099 shrink 是个软阈值： 0100 公式十四 0101 在上述迭代中，由于 shrink 软阈值操作的影响，当出现 v -，时， u 不发生变化，只有 v 出了 -，范围内时， u 才发生变化。也即是说 u 将要保持不变直到 v 说明书 CN 102163338 A CN 102163340 A6/7 页 9 迭代使 u 出现一个非零值之后。而在此期间 v 的迭代会占用一定的时间，从而影响整体重建方法的速度，这个期间成为无贡献迭代。这里设 I0表示 uk。

28、+1中所有分量为 0 的下标，即同理，我们设I1表示uk+1中所有分量不为0的下标，即对于I0 中的所有值，由于shrink操作的存在，可能导致多个vk的不断变化，均使得uk+1没有任何改变，这样在计算 vk时，无需每次都计算一次 T(Y-uk)，只需计算一次即可，这样就可以对线性算法进行加速。假设， vk变化 s 次恰好使得 uk+1有所改变，那么在这些迭代步骤中有如下迭代公式： 0102 uk+s uk+1 公式十五 0103 步骤六：判断 |uk+1-uk| 是否成立，其中是设定的阈值，大小直接影响到迭代所需的时间和迭代精度；若不成立则执行。

29、步骤七，若成立则执行步骤八； 0104 步骤七：根据如下公式计算获得 vk+1： 0105 k k+1 公式十六 0106 vk+1 vk+T(Y-uk) 公式十七 0107 获得 vk+1后进入步骤十； 0108 步骤八：计算获得 s ： 0109 公式十八 0110 s minsi i I0 公式十九 0111 其中 I0表示 uk+1中所有分量为 0 的下标，即I1表示 uk+1中所有分量不为 0 的下标，即 0112 步骤九：将步骤八获得的 s 带入如下公式计算获得 vk+1： 0113 k k+1 公式十六 0114 公式二十 0115 公式二十一 0116 。

30、获得 vk+1后进入步骤十； 0117 步骤十：将获得的 vk+1带入公式十二计算获得 uk+1： 0118 uk+1 shrink(vk+1， ) 公式十二 0119 获得 uk+1后进入步骤十一； 0120 步骤十一：判断是否成立，其中是判断收敛的阈值；若成立则执行步骤十二，若不成立则返回步骤六； 0121 步骤十二：稀疏系数 u uk+1； 0122 步骤十三：根据步骤一输入的一维信号重建的信息和二维信号重建的信息判断是一维信号重建，还是二维信号重建，若是一维信号重建，则执行步骤十四，若是二维信号重建，则执行步骤十五； 0123 步骤十四。

31、：根据稀疏矩阵，然后再利用公式一重建出原始一维信号 X ： 0124 X u 公式二十二 0125 步骤十五：对系数向量 u 执行逆矢量化操作 ivec，获得二维信号 X2 的稀疏域表示说明书 CN 102163338 A CN 102163340 A7/7 页 10 系数 S2 ： 0126 S2 ivec(u) 公式二十三 0127 再利用 X2 2S23 重建出原始二维信号 X2。说明书 CN 102163338 A CN 102163340 A1/4 页 11 图 1 说明书附图 CN 102163338 A CN 102163340 A2/4 页 12 图 2 图 3 说明书附图 CN 102163338 A CN 102163340 A3/4 页 13 图 4 图 5 说明书附图 CN 102163338 A CN 102163340 A4/4 页 14 图 6 说明书附图 CN 102163338 A 。

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