一种快速高精度确定空投物体可达域的方法技术领域
本发明涉及空投领域，尤其是一种对物体空投物体轨迹的计算方法。
背景技术
在传统的精确空投技术中，物体空投的方法主要有连续计算投放点(Continuously
ComputedReleasePoint，CCRP)和连续计算命中点(ContinuouslyComputedImpact
Point，CCIP)和算法，其中，CCRP算法的原理，就是根据物体的即时姿态，连续计
算出物体能够到达目的地时的投放域，并引导物体飞往相应的区域。CCIP算法的原理，
就是实时计算每一瞬间，假如投放物体时在地面上的命中点。传统的确定空投物体可
达域的方法是，当需要空投的物体以及它的起始条件确定后，可以确定物体的质心动
力学方程和运动学方程，在空投过程中采用龙格库塔法通过对时间积分求解物体的微
分方程组，从而确定物体的可达域。但这是一个积分上限不定的求解过程，它通过判
定空投的物体是否接近目的地结束计算，计算量比较大。而且当物体接近目的地时，
积分的步长必须足够小，这样才能达到高精度的效果。总之，传统的确定空投物体可
达域的方法计算量大，步骤繁琐。
发明内容
为了克服现有技术的不足，减少空投过程中的计算量，提高投放精度，本发明提
供了一种快速高精度确定空投物体可达域的方法，本发明变换物体的运动模型，使对
物体飞行轨迹的计算从对时间积分改为对角度积分，变未知积分限为已知积分限，从
而减小了计算量，同时也提高了投放精度。该方法首先确定物体的初始条件，然后建
立物体的运动方程，接着进行模型变换，变时间积分模型为角度积分模型，最后根据
积分范围进行积分，从而确定物体的可达域。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：
第一步：确定物体的初始条件
确定初始条件，包括物体的质量m、初始速度ν(0)、当前时间t(0)、航迹角θ(0)、
航向角ψ(0)以及物体的当前所在位置(x(0),y(0),z(0))；
第二步：建立物体的运动方程
物体在空投时，航迹坐标系统中物体的质心动力学方程如下：
d v d t = - Q m - g s i n θ - - - ( 1 ) ]]>
d θ d t = Y m v - g v c o s θ - - - ( 2 ) ]]>
d ψ d t = - Z m v c o s θ - - - ( 3 ) ]]>
其中,ν是速度，θ是航迹角、ψ是航向角，t是时间，Q为阻力、Y是升力，Z是
侧力，g是为重力加速度，Q＝0.5ν2ρScl0，Y＝0.5ν2ρScl0α，Z＝0.5ν2ρScl0β，ρ为大气
压强，S为物体横截面积，cl0为物体空气阻力参数，α为物体攻角，β为物体侧滑角；
物体在直角坐标系中的位置(x,y,z)分别对时间t微分，即物体实时速度在三个方
向上的分量，从而得到物体位置与速度ν、航迹角θ、航向角ψ的关系，得到物体运动
学方程如下：
d x d t = v c o s θ c o s ψ - - - ( 4 ) ]]>
d y d t = v sin θ - - - ( 5 ) ]]>
d z d t = - v c o s θ sin ψ - - - ( 6 ) ]]>
第三步：模型变换
对空投物体的位置信息进行变换，以坐标[x(0),0,z(0)]为坐标原点o建立柱坐标，
物体的位置信息为(r,α,z)，变换过程如下：
r = x 2 + y 2 ]]>
z＝z
α＝arctg(y/x)(7)
其中，r是空投物体到z轴的距离，α指的是空投物体在xy平面的投影和原点之
间的连线与x轴的夹角，得到物体的角度信息之后，确定物体的积分范围(90°，0°)；
坐标变换结束后，将柱坐标信息分别对时间求导，得到：
d r d t = d x d t c o s α + d y d t s i n α ]]>
d α d t = ( d y d t c o s α - d x d t s i n α ) / r ]]>
d z d t = d z d t - - - ( 8 ) ]]>
得到了空投物体在柱坐标系中的位置信息对时间的微分，即公式(8)，将公式
(4)～公式(6)代入公式(8)可得到：
d r d t = v c o s θ c o s ψ c o s α + v s i n θ s i n α ]]>
d α d t = v s i n θ c o s α - v c o s θ c o s ψ s i n α r ]]>
d z d t = - v c o s θ s i n ψ - - - ( 9 ) ]]>
结合第二步中的微分式可以得到：
d v d α = - r ( Q + m g s i n θ ) m v ( s i n θ cos α - cos θ c o s ψ s i n α ) ]]>
d θ d α = r ( Y - m g c o s θ ) mv 2 ( s i n θ c o s α - c o s θ cos ψ s i n α ) ]]>
d ψ d α = - z r mv 2 c o s θ ( s i n θ c o s α - c o s θ c o s ψ s i n α ) ]]>
d r d α = r ( c o s θ c o s ψ c o s α + sin θ s i n α ) s i n θ cos α - c o s θ cos ψ sin α ]]>
d t d α = r v ( s i n θ c o s α - c o s θ c o s ψ s i n α ) ]]>
d z d α = - r c o s θ sin ψ s i n θ c o s α - cos θ c o s ψ s i n α - - - ( 10 ) ]]>
第四步：计算物体的落地点
得到物体各变量对角度的微分方程组，即公式(10)后，对等式两边积分求解，
其中自变量α的积分范围为(90，0°)，通过代入第一步中各变量的初始值，进行积
分即可求得物体落地的位置、时间和状态信息速度ν、航迹角θ、航向角ψ。
本发明的有益效果是由于采用快速有效确定空投物体可达域，在确定空投物体可
达域的过程中，将积分上限不定的问题转化为一个固定积分上限的初值问题，能更快
更精确地得出空投物资的最终落地点的准确位置，在需要高精度投放的问题中，对于
投放物体的轨迹确定问题，同样采用对角度积分的方法，变未知积分限问题为已知积
分限问题，并且有高精度的数据性能，有效减少了计算量，对类似问题的解决提供了
新的途径。
附图说明
图1是是本发明快速高精度确定物体可达域的流程图。
图2是本发明的空间柱坐标图，其中r是物体到z轴的距离，α指的是物体在xy平
面的投影和原点之间的连线与x轴的夹角，x，y，z是坐标系轴。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
图1为快速高精度确定物体可达域的流程图，对本发明的方法进行具体实例说明，
并且用四阶R-K方法将本发明与传统的对时间积分的方法进行了仿真数据的分析，比
较两种方法的差别。
本发明的具体实施步骤如下：
第一步：确定物体的初始条件
首先确定初始条件，包括物体的质量m、初始速度ν(0)、当前时间t(0)、航迹角
θ(0)、航向角ψ(0)以及物体的当前所在位置(x(0),y(0),z(0))；
初始条件定为：空投物体质量m＝500kg，速度ν(0)＝225m/s，当前时间t(0)＝0，
航迹角θ(0)＝0°，航向角ψ(0)＝0°，x(0)＝0，y(0)＝2500m，z(0)＝0。
第二步：建立物体的运动方程
物体在空投时，航迹坐标系统中物体的质心动力学方程如下：
d v d t = - Q m - g s i n θ - - - ( 1 ) ]]>
d θ d t = Y m v - g v c o s θ - - - ( 2 ) ]]>
d ψ d t = - Z m v c o s θ - - - ( 3 ) ]]>
物体在直角坐标系中的位置(x,y,z)分别对时间t微分，即物体实时速度在三个方
向上的分量，从而得到物体位置与速度ν、航迹角θ、航向角ψ的关系，得到物体运动
学方程如下：
d x d t = v c o s θ c o s ψ - - - ( 4 ) ]]>
d y d t = v s i n θ - - - ( 5 ) ]]>
d z d t = - v c o s θ sin ψ - - - ( 6 ) ]]>
其中，g为重力加速度，Q＝0.5ν2ρScl0，Y＝0.5ν2ρScl0α，Z＝0.5ν2ρScl0β，
S＝π×0.062m2，cl0＝2.2，α＝0，β＝0，取ρ＝1.013×105Pa，g＝9.8m/s2。
对于传统的用时间积分求解的方法，就是对公式(1)～公式(6)的两边对时间积分，
其中在对时间积分的过程中要不断进行高度y的判别，当高度值为0时停止积分。用四
阶R-K方法进行仿真并将相关数据填入表1和表2中，表1是四阶R-K方法对时间积分不
同步长物体轨迹，表2是对时间积分不同步长物体轨迹的误差，以步长为0.01s的值为
精确值。
表1
表2
表中Δν指计算出来的速度与实际速度之间的差值；Δθ指计算出来的航际角与实
际航际角之间的差值；Δx指计算出来的x方向位移与实际x方向位移之间的差值；Δt指
计算出来的时间与实际所需时间之间的差值；
第三步：模型变换
首先对空投物体的位置信息进行变换，以坐标[x(0),0,z(0)]为坐标原点o建立柱坐
标，物体的位置信息为(r,α,z)，变换过程如下：
r = x 2 + y 2 ]]>
z＝z
α＝arctg(y/x)(7)
得到物体的角度信息之后，确定物体的积分范围(90°，0°)；
为了使得第二步方程组中的自变量t转换为角度α，将柱坐标信息分别对时间求
导，坐标变换结束后，为了使得第二步方程组中的自变量t转换为角度α，将柱坐标信
息分别对时间求导，得到：
d r d t = d x d t c o s α + d y d t s i n α ]]>
d α d t = ( d y d t c o s α - d x d t s i n α ) / r ]]>
d z d t = d z d t - - - ( 8 ) ]]>
得到了物体在柱坐标系中的位置信息对时间的微分，接下来就是本发明的最重要
的一步，将空投物质的信息由对时间积分转换为对角度积分。将公式(4)～公式(6)代
入公式(8)得到：
d r d t = v c o s θ c o s ψ c o s α + v s i n θ s i n α ]]>
d α d t = v s i n θ c o s α - v c o s θ c o s ψ s i n α r ]]>
d z d t = - v c o s θ s i n ψ - - - ( 9 ) ]]>
结合第二步中的微分式可以得到：
d v d α = - r ( Q + m g s i n θ ) m v ( s i n θ cos α - cos θ c o s ψ s i n α ) ]]>
d θ d α = r ( Y - m g c o s θ ) mv 2 ( s i n θ c o s α - c o s θ c o s ψ s i n α ) ]]>
d ψ d α = - z r mv 2 c o s θ ( s i n θ c o s α - c o s θ c o s ψ s i n α ) ]]>
d r d α = r ( cos θ cos ψ cos α + sin α ) sin θ cos α - cos α cos ψ sin α ]]>
d t d α = r v ( s i n θ c o s α - c o s θ c o s ψ s i n α ) ]]>
d z d α = - r c o s θ s i n ψ s i n θ c o s α - cos θ c o s ψ s i n α - - - ( 10 ) ]]>
模型变换要获得空投的最终位置，就必须确定积分的上限。对空投物质的位置信
息进行变换，其中以坐标位置[x(0),0,z(0)]为坐标原点建立柱坐标，空间柱坐标如图2
所示，位置信息x(0)＝0，y(0)＝2500m，z(0)＝0，根据公式(7)，变换后的位置信息
变为r(0)＝2500m，α(0)＝90°，z(0)＝0.0，从而确定对角度α的积分范围是(90°，0°)。
第四步：计算物体的落地点
得到物体各变量对角度的微分方程组(10)后，对等式两边积分求解，其中自变
量α的积分范围为(90，0°)，通过代入第一步中各变量的初始值，进行积分即可求
得物体落地的位置、时间和状态信息速度ν、航迹角θ、航向角ψ。
结合第一步给出的各变量的初始值，进行积分即可快速求得落地的位置和时间信
息。
将相关初始条件带入公式(3)，并对角度α从90°到0°进行积分，即本发明所述
的角度积分的方法。用四阶R-K方法进行仿真并将相关数据填入表3和表4中，其中表3
是四阶R-K方法对角度积分不同步长物体轨迹，表4是对角度积分不同步长物体轨迹
的误差，以步长为0.05°的值做为精确值。
表3
表4
其中表1、表3分别给出在相同初始条件下两种不同方法得出的数据，表2、表4分
别对两组数据进行分析。
当对时间进行积分时，由表1和表2可以看出，步长分别选择了积分步长分别为
0.01s，0.1s，1s，仅对物体落地的积分步数t和位置的水平误差Δx进行分析，以步长为
0.01s时的积分值为精确值，步长为0.1s时，积分步数为228，水平误差为3.12m；步长
为1s时积分步数为22，水平误差为39.27m，此为对时间积分的数据代表值。
当对角度进行积分时，积分限为90°—0°，由表3和表4可以看出，积分步长分别
为0.05°，0.5°，1°，5°，18°。我们同样仅对物体落地的积分步数t和位置的水平
误差Δx进行分析。以步长为0.05°时的积分值为精确值。步长为0.5°时，积分步数为
180，水平误差为2.02m；步长为1°时，积分步数为90，水平误差为4.42m；步长为5°
时，积分步数为18，水平误差为28.47m；步长为18°时，积分步数为5，水平误差为
159.63m。
对表2和表4中所得数据比较可知，在同等误差等级下，按角度积分步数要少，计
算速度快。
另外，表2步长为0.01s时的校正值为精确值，而表4以步长为0.05°时的积分值为
精确值，这两表定义的精确值非常接近，所以误差结果是可以相互比较的，不难发现
对时间积分的方法要不断进行高度判别，高度误差所带来的数据很不准确的，必须对
积分值进行校正，或用变步长积分方法运算，结果才能令人满意。而对角度积分方法
因已知积分限，运算简单，数据精度高，且因步长加大后，对角度积分方法比对时间
积分方法的数据性能更好，所以在一定的积分要求下，可以采用对角度积分方法以较
少步数完成运算。例如，在误差Δ|x|<5m的精度要求下，对角度积分的方法可取积分
步长为1时满足要求，积分步数为90；对时间积分的方法要取步长为0.1s满足要求，积
分步数约为228。本发明主要适用于对快速确定物体的落点位置，在连续计算可达域
CCAR(ContinuouslyComputedaccessibleregion)的计算中采用这种方法是非常适合
的。