一种基于“6次两段式缓和曲线”的铁路弯道线路设计方法
技术领域
本发明涉及交通运输道路工程，可用于铁路线路、高等级公路的选线及线路设计。尤其是涉及一种基于“6次两段式缓和曲线”的铁路弯道线路设计方法。
背景技术
铁路线路(包括高等级公路，下同)的取向变化，通常通过圆弧形弯道实现。但是，如果直线线路与圆弧形弯道直接连接，则车辆进入弯道时会突然有一个侧向的加速度，即向心加速度。以车辆为参照系时，车辆自身及乘客或货物将突然受到一个指向弯道外侧的惯性离心力。车辆速度越大、弯道曲率越大，这个惯性离心力就越大。这就会对车辆运行的安全性和乘坐的舒适性带来很大影响。以铁路线路为例，为了消除或减小这种不利影响，人们首先加高弯道的外侧轨道，称为“超高”(Superelevation)，使得车辆所受轨道的正压力有一个指向弯道内侧的水平分量，平衡车辆受到的惯性离心力。但是这样一来弯道的外侧轨道就不在原直线轨道的水平面内，几何位形不连续(在曲线几何中称G0不连续)。为解决这一问题，人们在圆弧形弯道两端各引入一段过渡曲线，称之为“缓和曲线”(Transition curve)。
缓和曲线主要有两个作用：一是使外侧轨道由原直线轨道所在的水平面逐渐抬升到弯道的轨道高度，实现外轨超高的位形连续(G0连续)；二是水平曲率由直线轨道的无穷大逐渐变为弯道圆弧的曲率，避免车辆进入或驶出弯道时侧向加速度发生突变。所以，从几何意义上来说，缓和曲线是一条三维空间曲线。
1864年法国人诺顿首先提出了迴转螺线形缓和曲线，简化后成为3次抛物线。时至今日，我国铁路和高速公路的线型设计仍采用这种缓和曲线。在保持 平、立面动力学协调(即车辆的向心力完全由轨道正压力的水平分量提供)的条件下，3次抛物线型缓和曲线所对应的立面超高为直线，称为直线型顺坡。但是，直线型顺坡在ZH点(直线轨道与缓和曲线的交点)和HY点(缓和曲线与圆轨道的交点)的切线方向在立面内存在突变(G1不连续)，这样势必在立面内对轮轨系统产生冲击载荷，对车辆运行的平顺性和安全性构成严重威胁，同时也有损于线路的线型保持。所以缓和曲线段线型不易保持、轨道磨损严重在业内是众所周知的现象。为了避免这种情况发生，一些国家采取的措施是在ZH点和HY点对缓和曲线进行圆润，即立面采用改善的曲线顺坡。但是，这样做又带来一个新的问题：轨道平、立面动力学协调关系被破坏，使车辆处于所谓的“变态运行”状态，同样会给车辆运行的平稳性和安全性带来不利影响。因此，在理论层面上，平面曲线采用3次抛物线、立面曲线采用直线或改善的曲线型顺坡这样一种传统的缓和曲线，存在着本质性的缺陷。
为了克服传统缓和曲线的不足，长期以来，改进缓和曲线线型的工作成为铁路线型设计基础理论研究中经久不衰的热点和难点。一百多年来，国内外学者设计了几十种形形色色的缓和曲线。
从动力学角度分析，缓和曲线的动力学性能可按曲线在ZH点和HY点的几何连续阶(Gn)区分。如果曲线在连接点仅位形连续(G0连续)而一阶导数不连续，车辆经过该点时理论上将受到一个无穷大的冲击力；如果曲线在连接点一阶导数连续(G1连续)但二阶导数不连续(G2不连续)，则车辆会受到一个突然出现的冲击力，引起车辆的振动。所以，人们对理想缓和曲线的要求是在ZH点和HY点平、立面均能达到G2连续，且在整个缓和曲线段平滑(G3连续)。已有的缓和曲线能达到这一要求的仅有前苏联沙湖念慈提出的一波长正弦型：
y = l 0 2 R [ 1 6 ( x l 0 ) 3 - 1 4 π 2 ( x l 0 ) + 1 8 π 3 sin 2 π x l 0 ] - - - ( 1 ) ]]>
和我国上世纪六十年代赵方民教授设计的7次三项式型：
y = l 0 2 2 R [ 2 7 ( x l 0 ) 7 - ( x l 0 ) 6 + ( x l 0 ) 5 ] - - - ( 2 ) ]]>
缓和曲线。
车辆的运动可分为整体运动和振动。整体运动由轨道的线型决定，而车辆的振动则是由轨道的不规则(随机不平顺)、缓和曲线及竖曲线的高阶不连续(几何不平顺)激发。在轨道不够平顺、车辆运行速度不太高的情况下，车辆振动的激振源主要来自于轨道的随机不平顺。缓和曲线和竖曲线线型的平滑与否(几何不平顺)带来的影响并不突出。传统缓和曲线为3次抛物线型，表达式简单，易于计算，线路设计和工务人员对这种线型熟悉，维护经验丰富，我国现有的轨道线路，包括已建和在建的高速铁路的缓和曲线，至今仍采用这种陈旧的线型。但是，3次抛物线型缓和曲线的立面为直线型顺坡，在ZH点和HY点均形成一个折角，即切线(G1)不连续，车辆通过时，势必产生轮轨冲击力。此外，如今我国的高速铁路普遍采用无砟道轨，轨道的随机平顺性已大为改善，缓和曲线及竖曲线的几何平顺性就上升为影响车辆平稳性和安全性的主要矛盾。因此，设计和采用满足理想动力学要求的连续阶高的新型缓和曲线，应该成为我国铁路线路设计理论和应用研究的重要方向。本发明即是在此方面所做的基础工作。
发明内容
本发明的目的在于设计一种能够消除缓和曲线段两端连接点处轨道(道路)与车辆之间的冲击，且力学性能优异、设计灵活的新型缓和曲线，应用于铁路及高等级公路的线型设计中。
本发明的目的通过以下措施来实现：
铁路轨道线路是按照如下方程式设计：
平面曲线方程(1)：
y 1 = 2 L 2 15 R [ 3 ( x L ) 5 - 2 ( x L ) 6 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
y 2 = L 2 120 R [ 32 ( x L ) 6 - 144 ( x L ) 5 + 240 ( x L ) 4 - 160 ( x L ) 3 + 60 ( x L ) 2 - 12 ( x L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] ]]>
6次两段式缓和曲线平面曲线的图形如图1所示。
立面超高方程(2)：
h 1 = 8 H [ ( x L ) 3 - ( x L ) 4 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
h 2 = H [ 8 ( x L ) 4 - 24 ( x L ) 3 + 24 ( x L ) 2 - 8 ( x L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] ]]>
6次两段式缓和曲线立面超高曲线的图形如图2所示。式中以ZH点为原点，x轴以直线轨道的延长线方向为正方向，y轴以曲线弯曲的一侧为正方向；L为缓和曲线长度，R为圆弯道曲率半径，H为圆弯道设计的外轨超高。
本发明中所述(1)式可以用弧长坐标l取代x：
y 1 = 2 L 2 15 R [ 3 ( l L ) 5 - 2 ( l L ) 6 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
y 2 = L 2 120 R [ 32 ( l L ) 6 - 144 ( l L ) 5 + 240 ( l L ) 4 - 160 ( l L ) 3 + 60 ( l L ) 2 - 12 ( l L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] ]]>
本发明中所述(1)式亦可代数变形：
y 1 = 2 15 RL 4 [ 3 Lx 5 - 2 x 6 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
y 2 = 1 120 RL 4 [ 32 x 6 - 144 Lx 5 + 240 L 2 x 4 - 160 L 3 x 3 + 60 L 4 x 2 - 12 L 5 x + L 6 ] [ L / 2 , L ] ]]>
本发明中所述(2)式可以用弧长坐标l取代x：
h 1 = 8 H [ ( l L ) 3 - ( l L ) 4 [ 0 , L / 2 ] ]]>
h 2 = H [ 8 ( l L ) 4 - 24 ( l L ) 3 + 24 ( l L ) 2 - 8 ( l L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] ]]>
本发明中所述(2)式亦可代数变形：
h 1 = 8 H L 4 [ Lx 3 - x 4 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
h 2 = H L 4 [ 8 x 4 - 24 Lx 3 + 24 L 2 x 2 - 8 L 3 x + L 4 ] [ L / 2 , L ] ]]>
本发明中所述(1)、(2)式可拆分应用：
①将平面曲线方程(1)中的
y 1 = 2 L 2 15 R [ 3 ( l L ) 5 - 2 ( l L ) 6 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
和立面超高方程(2)中的
h 1 = 8 H [ ( x L ) 3 - ( x L ) 4 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
可以单独用于连接水平直线轨道与上坡型圆弯道；
②将平面曲线方程(1)中的
y 2 = L 2 120 R [ 32 ( l L ) 6 - 144 ( l L ) 5 + 240 ( l L ) 4 - 160 ( l L ) 3 + 60 ( l L ) 2 - 12 ( l L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] ]]>
和立面超高方程(2)中的
h 2 = H [ 8 ( x L ) 4 - 24 ( x L ) 3 + 24 ( x L ) 2 - 8 ( x L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] ]]>
可以单独用于连接上坡型圆弯道和平面圆弯道。
本发明的优点是：
较之我国现行的传统缓和曲线，本发明给出的曲线连续阶更高，可以大大增加铁路线路曲线段的平顺性，消除轨道曲线段由于几何不平顺产生的激振源，从而消除缓和曲线段轨道与车辆之间的冲击。一方面有利于轨道线型的保持，另一方面可以降低车辆的核算强度，简化车辆的减震机构，在保证安全性的前提下实现车辆的轻型化，从而达到节省车辆和轨道结构材料、减小动力消耗、降低铁路建设费用和车辆生产成本的目的。因而有良好的经济和社会效益。
本发明设计方法采用的6次两段式缓和曲线，平面曲线完全达到一波长正弦 和7次三项式缓和曲线的性能(图3、图4、图5)。一波长正弦的平面曲线(1)式为幂函数和三角函数的复合函数式，而6次两段式(3)式只使用幂函数，形式更为简单；7次三项式也只应用了幂函数，但6次两段式要比它低一次方，从误差理论可知，6次式相对误差比七次式减小1/7，对测设、维护等实际工程应用更为有利。当然，一波长正弦和7次三项式缓和曲线均为一段式，比6次两段式简洁，但在设计应用时两段式具有更大的灵活性。譬如上述的单独应用前段连接水平直线轨道与坡道型圆弯道，单独应用后段连接坡道型圆弯道和水平弯道、在两段缓和曲线之间加入坡道型圆弯道等等。
附图说明
图1为6次两段式缓和曲线平面曲线图形；
图2为6次两段式缓和曲线立面超高图形；
图3为本发明的6次两段式缓和曲线在最苛刻的刚体轨道车辆模型下计算的轮轨力，车辆速度为100m/s，轴重10000kg；缓和曲线长度500m，圆弯道超高200mm。图中N为轮对所受侧向力，N1－P/2为内轮所受附加正压力，N2－P/2为外轮所受附加正压力；
图4为沙湖念慈一波长正弦缓和曲线在轨道车辆刚体模型下的轮轨力，车辆速度为100m/s，轴重10000kg；缓和曲线长度500m，圆弯道超高200mm；图中N为轮对所受侧向力，N1－P/2为内轮所受附加正压力，N2－P/2为外轮所受附加正压力；
图5为赵方民7次三项式缓和曲线在轨道车辆刚体模型下的轮轨力，车辆速度为100m/s，轴重10000kg；缓和曲线长度500m，圆弯道超高200mm；图中N为轮对所受侧向力，N1－P/2为内轮所受附加正压力，N2－P/2为外轮所受附加正压力；
图6为6次两段式缓和曲线长度500m，圆弯道超高190mm实例的平面控制点分布图；
图7为6次两段式缓和曲线长度500m，圆弯道超高190mm实例的立面控制点分布图
具体实施方式：
实施例1
一种基于“6次两段式缓和曲线”的铁路弯道线路设计方法，铁路轨道线路是按照如下方程式设计：
平面曲线方程：
y 1 = 2 L 2 15 R [ 3 ( x L ) 5 - 2 ( x L ) 6 ] [ 0 , L / 2 ] y 2 = L 2 120 R [ 32 ( x L ) 6 - 144 ( x L ) 5 + 240 ( x L ) 4 - 160 ( x L ) 3 + 60 ( x L ) 2 - 12 ( x L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] - - - ( 1 ) ]]>
立面超高方程：
h 1 = 8 H [ ( x L ) 3 - ( x L ) 4 ] [ 0 , L / 2 ] h 2 = H [ 8 ( x L ) 4 - 24 ( x L ) 3 + 24 ( x L ) 2 - 8 ( x L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] - - - ( 2 ) ]]>
式中以ZH点(直缓点)为原点，x轴以直线轨道的延长线方向为正方向，y轴以曲线弯曲的一侧为正方向；L为缓和曲线长度，R为圆弯道曲率半径，H为圆弯道设计的外轨超高。
(1)式中以弧长坐标l取代x：
y 1 = 2 L 2 15 R [ 3 ( l L ) 5 - 2 ( l L ) 6 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
y 2 = L 2 120 R [ 32 ( l L ) 6 - 144 ( l L ) 5 + 240 ( l L ) 4 - 160 ( l L ) 3 + 60 ( l L ) 2 - 12 ( l L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] ]]>
(1)式的代数变形：
y 1 = 2 15 RL 4 [ 3 Lx 5 - 2 x 6 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
y 2 = 1 120 RL 4 [ 32 x 6 - 144 Lx 5 + 240 L 2 x 4 - 160 L 3 x 3 + 60 L 4 x 2 - 12 L 5 x + L 6 ] [ L / 2 , L ] ]]>
(2)式中以弧长坐标l取代x：
h 1 = 8 H [ ( l L ) 3 - ( l L ) 4 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
h 2 = H [ 8 ( l L ) 4 - 24 ( l L ) 3 + 24 ( l L ) 2 - 8 ( l L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] ]]>
(2)式的代数变形：
h 1 = 8 H L 4 [ Lx 3 - x 4 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
h 2 = H L 4 [ 8 x 4 - 24 Lx 3 + 24 L 2 x 2 - 8 L 3 x + L 4 ] [ L / 2 , L ] ]]>
(1)(2)式的拆分应用：
①将平面曲线方程(1)式中的
y 1 = 2 L 2 15 R [ 3 ( l L ) 5 - 2 ( l L ) 6 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
和立面超高方程(2)式中的
h 1 = 8 H [ ( x L ) 3 - ( x L ) 4 ] [ 0 , L / 2 ] ]]>
单独用于连接水平直线轨道与上坡型圆弯道；
②将平面曲线方程(1)式中的
y 2 = L 2 120 R [ 32 ( l L ) 6 - 144 ( l L ) 5 + 240 ( l L ) 4 - 160 ( l L ) 3 + 60 ( l L ) 2 - 12 ( l L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] ]]>
和立面超高方程(2)式中的
h 2 = H [ 8 ( x L ) 4 - 24 ( x L ) 3 + 24 ( x L ) 2 - 8 ( x L ) + 1 ] [ L / 2 , L ] ]]>
单独用于连接上坡型圆弯道和平面圆弯道。
实施例2
实施过程：
1.根据弯道参数要求，利用(1)、(2)分别给出平面G4连续(挠度的导数连续)的一组曲线数学方程和立面G2连续(曲率连续)的超高的数学方程；
2.根据实际应用时所连接弯道的曲率，利用Excel计算出缓和曲线平立、面的数值表列；
3.依数值表列给出的具体数据和有关设计规范，即可设计路基、道床和铺设轨道。
设计建议：
具体实施属于工程问题，不属于本发明的范畴。建议测设时以ZH点作为坐标原点，直线的延长线为x轴正向，平面内曲线弯曲一侧为y轴正向，竖直向上为超高坐标z正向。可以根据(1)、(2)式，直接利用EXCEL给出控制点的坐标数列，同时注意以下要点：
1、立面曲线的前1/3和1/3段变化较为显著，控制点密度应大于中段；
2、利用EXCEL计算控制点坐标时，应保持10位以上有效数字(EXCEL2003及以上版本均具有20位有效数字)，以免产生计算误差。最终的坐标值可以按线路精度要求保留位数；
3、若应用于高速铁路，由于曲线长度较大，测设及工务维护时无论使用智能全站仪或是经纬仪，都应注意控制点的相对差值，避免长度引入误差超过线路精度值。
上述设计、测量与现行的传统缓和曲线的过程相同，施工装备也没有特别的要求，有关计算在普通的个人计算机上即可完成。
工程设计实例
1.设计参数：
车辆设计运行速度：v＝360km/h＝100m/s；
圆弯道曲率半径R＝8000m；
最大超高：H＝190mm；
缓和曲线长度：L＝500m。
不设置欠超高和过超高，平、立面完全动力学协调。
2.设计内容：
(1)平面线型
以ZH点为坐标原点，直线的延长线为x轴正向，平面内曲线弯曲一侧为y轴正向。
由于平面曲线曲率为单调递增函数，控制点应前疏后密，故前60m除原点外不设控制点，60～240m曲线每30m设置一个控制点，240～400m曲线每20m设置一个控制点，400～500m曲线每10m设置一个控制点。控制点分布如图6所示。具体数值列表见表1。
如表1所示，平面曲线的最大支距只有4.4271m，因此工程施工时可采用切线支距法进行平面放线。线路维护测量时也用切线支距法较为方便。
(2)立面线型
以ZH点为坐标原点，直线的延长线为x轴正向，竖直向上为超高坐标z正向。
如图2所示，根据立面曲线超高变化情况，前50m除原点外不设控制点，50～200m超高斜率变化较快，每10m设置一个控制点；200～300m超高接近 于线性，每20m设置一个控制点；300～450m超高斜率变化较快，每10m设置一个控制点。控制点分布如图7所示。具体数值列表见表2。
表1.平面曲线数值列表：单位m
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表2.立面超高数值列表：单位m
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鉴于精度要求，测设时建议使用ES100智能全站仪或LP400激光电子经纬仪。