一种计算两条参数曲线间的HAUSDORFF距离的方法.pdf

摘要
申请专利号：	CN201210373972.6	申请日：	2012.10.05
公开号：	CN103049593A	公开日：	2013.04.17
当前法律状态：	撤回	有效性：	无权
法律详情：	发明专利申请公布后的视为撤回IPC(主分类):G06F 17/50申请公布日:20130417\|\|\|实质审查的生效IPC(主分类):G06F 17/50申请日:20121005\|\|\|公开
IPC分类号：	G06F17/50	主分类号：	G06F17/50
申请人：	李英明
发明人：	李英明; 姜华; 曹凤莲
地址：	271100 山东省莱芜市教师村1号楼4单元502室
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内容摘要

本发明公开了一种求两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法，该方法主要对给定的两条参数曲线，证明了两条曲线间的Hausdorff距离一定会在这两条曲线的偏导曲线的交点上达到，然后通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似Hausdorff距离达到的点的位置，通过求两个三次曲线的近似的Hausdorff距离和两条空间四次Bézier曲线P(s)以及Q(t)Hausdorff距离的计算验证了本方法的效率与准确性，本发明通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似Hausdorff距离达到的点的位置，大大减少了计算时间，提高了算法效率。

权利要求书

权利要求书一种计算两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法，该方法包括如下步骤：
1）定义两条参数曲线P(s), Q(t)；
2）根据引理1两条曲线P(s)与Q(t)间的Hausdorff距离可以在曲线l1 : fs(s, t) =0与l2 : ft(s, t) = 0的交点处达到；
3）如果两条曲线P(s)与Q(t)满足引理2的条件，则存在l1与l2在(s0, t0)以及(s1, t1)上的非自交连续分支，l1与l2的交点可通过追踪它们其中的一条计算求得；
4）通过追踪一条偏导曲线，产生一个点集序列；
5）将这个序列中的每对相邻点都被用来代替ft(s; t)，然后检查相邻点P1以及P2处发生了符号变化；
6）选择P1; P2, 三者之一作为交点，在该点处取最小值；
7）将所有的交点代入f(s, t)，最大值是近似的Hausdorff距离。
根据权利要求2所述的引理1定义如下：
两条曲线P(s)及Q(t)间的Hausdorff距离可以通过两条曲线fs(s, t) = 0 和ft(s, t) = 0间的交点求出；

。
根据权利要求3所述的引理2定义如下：
(1)穿过任意点Q(t)并且垂直于该点的切向的直线，如果其与曲线P(s)仅相交于唯一点，那么在区域，存在曲线ft(s, t) = 0的非自交连续分支，并且该分支包含(s0, t0)以及(s1, t1)；
(2)穿过任意点P(s)并且垂直于该点的切向的直线，如果其与曲线Q(t)仅相交于唯一点，那么在区域，存在曲线fs(s, t) = 0的非自交连续分支，并且该分支包含(s0, t0)以及(s1, t1)。

说明书

说明书一种计算两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法
本发明涉及计算机辅助设计领域和模式识别领域，特别涉及一种计算两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法。
背景技术
随着计算机辅助设计越来越多的应用到产品设计中，计算机辅助设计技术的发展也带来了新的需求，曲线间的匹配程度和度量通常采用Hausdorff距离，然而，Hausdorff距离的计算却相当困难，并且通常相当费时，它的研究也只局限在某些特定的场合下。目前的研究有对两条平面曲线的Hausdorff距离；圆锥曲线与参数有理Bézier曲线间近似Hausdorff误差的方法，两条二维或三维空间中曲线间近似Hausdorff距离的算法的研究却很少。为了提高Hausdorff距离的计算效率，减少计算时间，研究计算两条二维或三维空间中曲线间近似Hausdorff距离的方法具有重要的意义。
Hausdorff距离定义如下：
给定两条参数曲线P(s)，Q(t)，t0≤t≤t1，假设两条参数曲线的末端端点重合，即： Ps(s)≠0，Qt(t)≠0，P(s0)= Q(t0)且P(s1)= Q(t1)
则这两条曲线间的Hausdorff距离定义如下：

发明内容
本发明要解决的技术问题是提供一种计算两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法，算法效率高，速度快，计算精度可控，满足实用要求。
一种计算两条参数曲线间的Hausdorff距离的方法，其实施步骤如下：
第一步证明了两条曲线间的Hausdorff距离一定会在这两条曲线的偏导曲线的交点上达到
1）Hausdorff距离的定义及几何意义
给定两条参数曲线P(s)，Q(t)，t0≤t≤t1，假设两条参数曲线的末端端点重合，即：
Ps(s)≠0，Qt(t)≠0，P(s0)= Q(t0)且P(s1)= Q(t1)
则这两条曲线间的Hausdorff距离如下：
. (1)
为了计算它们之间的Hausdorff距离，定义一个两条曲线间距离函数的平方项的映射

让，假设

所以是函数的一个局部极值点，即,对于任意s,s0≤s≤s1，可以得到在s‑t平面内的一条曲线ft(s,t)=0，这条曲线上的任一点满足：

另一条曲线fs(s,t)=0上的任一点使得：

两条曲线fs(s,t)=0以及ft(s,t)=0的几何意义，即：
           ,

对于两条正则参数曲线P(s)以及Q(t)，有两个原因使得
fs(s,t)=0，即：
(1) P(s)=Q(t),即两条曲线相交,
(2) Ps(s)垂直于P(s)‑ Q(t)。
类似地，同样有两点使得ft(s,t)=0，即：
(1) P(s)=Q(t)，两条曲线相交,
(2) Qt(t)垂直于P(s)‑ Q(t)。
定义引理1简化Hausdorff距离的计算。
引理1 两条曲线P(s)及Q(t)间的Hausdorff距离可以通过两条曲线fs(s,t)=0和ft(s,t)=0间的交点求出，即：

证明：等式fs(s,t)=0隐式定义了s‑t平面上的一条曲线。假设这条曲线的显式表达式为：

约束上述方程，即f(s,t)，在上述曲线fs(s, t)=0上，可以得到单变量t的函数，也就是f(s(t),t)，t0≤t≤t1，固定, 使
由于在两个端点，有f(s(t0),t0)= f(s(t1),t1)=0，以及f(s,t≥0),0,(s,t∈[s0,s1]×[t0,t1]),所以函数f(s(t),t)的最大值点必然出现在其局部极值点，即

因为函数f(s,t)限制在曲线fs(s,t)=0上，可以得到：

这意味着可以在两条曲线fs(s,t)=0以及ft(s,t)=0的交点处达到。
相似地，可以证明可以在fs(s,t)=0以及ft(s,t)=0的交点处达到。
因此，上述定义是正确的，见附图2所示
（2）第二步通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似Hausdorff距离达到的点的位置。
在通常情况下，他们的形状非常复杂，所以他们的交点也同样非常复杂。但大多数情况下两条曲线P(s)以及Q(t)都满足一条简单的性质，而这条性质使得fs(s, t) =0与ft(s, t)=0的求交运算变得较为容易。这种性质可表示成如下:
引理2  (1)穿过任意点Q(t)并且垂直于该点的切向Q´(t)的直线，如果其与曲线P(s)仅相交于唯一点，那么在区域[s0,s1]×[t0,t1]，存在曲线ft(s,t)=0的非自交连续分支，并且该分支包含(s0, t0)以及(s1, t1)。
(2)穿过任意点P(s)并且垂直于该点的切向P´(s)的直线，如果其与曲线Q(t)仅相交于唯一点，那么在区域[s0,s1]× [t0,t1]，存在曲线fs(s,t)=0的非自交连续分支，并且该分支包含(s0,t0)以及(s1,t1)。
证明：这里仅证明(1)，(2)的证明与(1)是完全相似的。引理中的条件，即穿过任意点Q(t)并且垂直于该点的切向Q´(t)的，且与曲线P(s)仅相交于唯一点的直线，意味着，对于任意直线t=ta,ta∈[t0,t1]与曲线ft(s,t)=0,(s,t)∈[s0,s1]×[t0,t1]相交于唯一点。另一方面，因为P(s0)=Q(t0)以及P(s1)=Q(t1)，ft(s0,t0)=ft(s1,t1)=0，也就是，点(s0,t0)和(s1,t1)均落在曲线ft(s,t)=0上。
利用反证法证明曲线ft(s, t) = 0在分支为连续的。
假设曲线ft(s, t) = 0,（s,t）[s0,s1]×[t0,t1]在上述定义域中非连续。非连续性会导致两种情况，或者直线t = ta与曲线ft(s,t)=0无交点（见附图3（a）），或者两者之间多于一个相交点（见附图3（b）、（c））。第一种情况意味着穿过点Q(ta)且垂直于与该点的切向Q´(ta)的直线，与曲线P(s)无交点。第二种情况则意味着直线将会与曲线P(s)有多于一个交点。两种情况都将导致矛盾的产生。所以假设不成立，即曲线的连续性得到证明。
然后，假设曲线ft(s, t)=0在[s0,s1]×[t0,t1]分支是自交的。（见附图3（d））这种自相交的情况会使得穿过点Q(ta)且垂直于该点切向Q´(ta)的直线，与曲线P(s)有多于一个交点。这同样会导致矛盾。
因此，在区域[s0,s1]×[t0,t1]，存在一个连接点(s0, t0)与点(s1, t1)的曲线ft(s, t)=0的非自交连续分支。
根据引理1，两条曲线P(s)与Q(t)间的Hausdorff距离可以在曲线l1: fs(s, t)=0与l2: ft(s, t) =0的交点处达到。如果两条曲线P(s)与Q(t)满足引理2的条件，则存在l1与l2在(s0, t0)以及(s1, t1)上的非自交连续分支，因此，l1与l2的交点可通过追踪它们其中的一条计算求得。
（3）第三步需要分析这种近似估算Hausdorff距离的精确程度
假设近似的Hausdorff距离出现在点A=(sa,ta)处，而真实的Hausdorff距离出现在点B=(sb,tb)处，连接这两点间的线段被记为L，即：

假设线段L的长度为h，根据中值定理，

其中ξ∈[0,1]，输入的追踪步长ε可被认为例子中的h，用于估计近似Hausdorff距离的精确程度。
第四步通过计算平面及空间上两条曲线的Hausdorff距离验证了本发明的效率与准确性。

（1）计算两个平面Bézier曲线P(s)以及Q(t)间的Hausdorff距离（见附图4）。两个平面三次Bézier曲线的控制顶点如下：
P(t) : (0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 0);
Q(s) : (0, 0), (1, 2), (2, 2), (3, 0);
通过算法1，可以得到这两条三次曲线的近似的Hausdorff距离，也就是0.75，在曲线P(s)上点(1.5, 0.75)，与曲线Q(t)上点(1.5, 1.5)之间。这个例子的计算时间为0.1749秒。
（2）要处理两条空间四次Bézier曲线P(s)以及Q(t) （见附图5）。其控制顶点如下：
P(s): (0, 0, 0), (1, 1, ‑1), (2, 1, 1), (3, ‑1, ‑1), (4, 0, 0);
Q(t): (0,0,0), (1,0.5, ‑0,5), (1.5, ‑0.5, 0.5), (3, ‑1, ‑0.5), (4, 0, 0).
两条曲线间的近似Hausdorff距离是0.7141，对应于曲线P(s)上的点(1.6818, ‑0.2614, ‑0.0641)，以及曲线Q(t)上的点(2.000, 0.3750, ‑0.1250)。在这个例子中，本发明需要的时间为0.1969秒。
本发明具有下述优点：
1、定义并验证了两条曲线P(s)及Q(t)间的Hausdorff距离可以通过两条曲线fs(s, t) = 0 和ft(s, t) = 0间的交点求出。
2、通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似Hausdorff距离达到的点的位置，简化了求Hausdorff距离的方法，提高了算法的效率。
附图说明
图1为本发明实施例的基本流程示意图。
图2为本发明Hausdorff距离示意图。
图3为本发明实施例的曲线不连续性与自交示意图；
图3(a)为本发明实施例的直线t = ta与曲线ft(s, t) = 0没有交点示意图；
图3(b)为本发明实施例的直线t = ta与曲线ft(s, t) = 0有一个交点示意图；
图3(c)为本发明实施例的直线t = ta与曲线ft(s, t) = 0示意图;
图3(d)为本发明实施例的曲线ft(s, t) = 0自相交, 有两个交点示意图。
图4为本发明实施例的计算两条平面三次Bézier曲线间的Hausdorff距离示意图；
图4(a)为本发明实施例的两条平面曲线P(s),Q(t)以及它们之间Hausdorff距离示意图;
图4(b)为本发明实施例的两条导矢曲线fs(s, t) = 0以及ft(s, t) = 0(蓝色)，一条追踪曲线(红色)，以及它们之间的交点(标记处)示意图。
图5为本发明实施例的计算两条空间四次Bézier曲线间的Hausdroff距离示意图。
图5(a)为本发明实施例的计算两条空间曲线P(s),Q(t)以及它们的近似Hausdroff距离示意图；
图5(b)为本发明实施例的两条导矢曲线fs(s, t) = 0以及ft(s, t) = 0 (蓝色)，一条追踪曲线(红色)，以及它们间的交点(标记)示意图。
具体实施方式
如图1所示，本实施实施步骤如下：
1）给定两条参数曲线P(s)，Q(t)，t0≤t≤t1，假设两条参数曲线的末端端点重合，即：
Ps(s)≠0，Qt(t)≠0，P(s0)= Q(t0)且P(s1)= Q(t1)
则这两条曲线间的Hausdorff距离定义如下：

2）研究两条曲线fs(s,t)=0以及ft(s,t)=0的几何意义，即：
    ,

3）证明两条曲线P(s)及Q(t)间的Hausdorff距离可以通过两条曲线fs(s,t)=0和ft(s,t)=0间的交点求出，即：

4）进一步简化运算，得出引理2 (1)穿过任意点Q(t)并且垂直于该点的切向Q´(t)的直线，如果其与曲线P(s)仅相交于唯一点，那么在区域[s0,s1]×[t0,t1]，存在曲线ft(s,t)=0的非自交连续分支，并且该分支包含(s0, t0)以及(s1, t1)。
(2)穿过任意点P(s)并且垂直于该点的切向P´(s)的直线，如果其与曲线Q(t)仅相交于唯一点，那么在区域[s0,s1]× [t0,t1]，存在曲线fs(s,t)=0的非自交连续分支，并且该分支包含(s0,t0)以及(s1,t1)。
5）根据引理1，两条曲线P(s)与Q(t)间的Hausdorff距离可以在曲线l1: fs(s, t)=0与l2: ft(s, t) =0的交点处达到。如果两条曲线P(s)与Q(t)满足引理2的条件，则存在l1与l2在(s0, t0)以及(s1, t1)上的非自交连续分支，因此，l1与l2的交点可通过追踪它们其中的一条计算求得。
6）通过追踪l1，会生成一个点集序列。在这个序列中的每对相邻点都被用来代替ft(s, t)，然后检查它们的符号变化。如果在相邻点P1以及P2处发生了符号变化，那么在它们之间(参照图4(b) ,5(b))一定存在着交点。
7）测试函数fs2(s,t)+ ft2(s,t)在三点P1, , 以及P2 的取值，选择三者之一作为交点，在该点处函数fs2(s,t)+ ft2(s,t)取最小值，将这些交点代入f(s, t)，最大值可被认为近似的Hausdorff距离。

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1、(10)申请公布号 CN 103049593 A (43)申请公布日 2013.04.17 CN 103049593 A *CN103049593A* (21)申请号 201210373972.6 (22)申请日 2012.10.05 G06F 17/50(2006.01) (71)申请人李英明地址 271100 山东省莱芜市教师村 1 号楼 4 单元 502 室 (72)发明人李英明姜华曹凤莲 (54) 发明名称一种计算两条参数曲线间的 Hausdorff 距离的方法 (57) 摘要本发明公开了一种求两条参数曲线间的 Hausdorff 距离的方法，该方法主要对给定的两条。

2、参数曲线，证明了两条曲线间的 Hausdorff 距离一定会在这两条曲线的偏导曲线的交点上达到，然后通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似 Hausdorff 距离达到的点的位置，通过求两个三次曲线的近似的 Hausdorff 距离和两条空间四次 Bzier 曲线P(s)以及Q(t)Hausdorff 距离的计算验证了本方法的效率与准确性，本发明通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似 Hausdorff 距离达到的点的位置，大大减少了计算时间，提高了算法效率。 (51)Int.Cl. 权利要求书 1 页说明书 6 页附图 3 页 (19)中华人民共和国国家。

3、知识产权局 (12)发明专利申请权利要求书 1 页说明书 6 页附图 3 页 1/1 页 2 1. 一种计算两条参数曲线间的 Hausdorff 距离的方法，该方法包括如下步骤： 1）定义两条参数曲线 P(s), Q(t) ； 2）根据引理 1 两条曲线 P(s) 与 Q(t) 间的 Hausdorff 距离可以在曲线l1 : fs(s, t) =0 与l2 : ft(s, t) = 0 的交点处达到； 3）如果两条曲线P(s) 与Q(t) 满足引理 2 的条件，则存在l1与l2在 (s0, t0) 以及 (s1, t1) 上的非自交连续分支，l1与l2的交点可通过追踪它们。

4、其中的一条计算求得； 4）通过追踪一条偏导曲线，产生一个点集序列； 5）将这个序列中的每对相邻点都被用来代替ft(s; t)，然后检查相邻点 P1以及 P2处发生了符号变化； 6）选择P1; P2,三者之一作为交点，在该点处取最小值； 7）将所有的交点代入f(s, t)，最大值是近似的 Hausdorff 距离。 2. 根据权利要求 2 所述的引理 1 定义如下：两条曲线P(s)及Q(t)间的Hausdorff距离可以通过两条曲线fs(s, t) = 0 和ft(s, t) = 0 间的交点求出；。 3. 根据权利要求 3 所述的引理 2 定义如下： (1)。

5、穿过任意点Q(t) 并且垂直于该点的切向的直线，如果其与曲线P(s) 仅相交于唯一点，那么在区域，存在曲线ft(s, t) = 0 的非自交连续分支，并且该分支包含 (s0, t0) 以及 (s1, t1) ； (2)穿过任意点P(s)并且垂直于该点的切向的直线，如果其与曲线Q(t)仅相交于唯一点，那么在区域，存在曲线fs(s, t) = 0 的非自交连续分支，并且该分支包含 (s0, t0) 以及 (s1, t1)。权利要求书 CN 103049593 A 2 1/6 页 3 一种计算两条参数曲线间的 Hausdorff 距离的方法 0001 本发明涉及计。

6、算机辅助设计领域和模式识别领域，特别涉及一种计算两条参数曲线间的 Hausdorff 距离的方法。背景技术 0002 随着计算机辅助设计越来越多的应用到产品设计中，计算机辅助设计技术的发展也带来了新的需求，曲线间的匹配程度和度量通常采用 Hausdorff 距离，然而， Hausdorff 距离的计算却相当困难，并且通常相当费时，它的研究也只局限在某些特定的场合下。目前的研究有对两条平面曲线的 Hausdorff 距离；圆锥曲线与参数有理 Bzier 曲线间近似 Hausdorff 误差的方法，两条二维或三维空间中曲线间近似 Hausdorff 距离的算法的研究却很。

7、少。为了提高 Hausdorff 距离的计算效率，减少计算时间，研究计算两条二维或三维空间中曲线间近似 Hausdorff 距离的方法具有重要的意义。 0003 Hausdorff 距离定义如下：给定两条参数曲线P(s)， Q(t)， t0 t t1，假设两条参数曲线的末端端点重合，即： Ps(s) 0， Qt(t) 0， P(s0)= Q(t0)且P(s1)= Q(t1) 则这两条曲线间的 Hausdorff 距离定义如下：发明内容 0004 本发明要解决的技术问题是提供一种计算两条参数曲线间的 Hausdorff 距离的方法，算法效率高，速度快，计算精度可控，满。

8、足实用要求。 0005 一种计算两条参数曲线间的 Hausdorff 距离的方法，其实施步骤如下：第一步证明了两条曲线间的 Hausdorff 距离一定会在这两条曲线的偏导曲线的交点上达到 1） Hausdorff 距离的定义及几何意义给定两条参数曲线P(s)，Q(t)，t0 t t1，假设两条参数曲线的末端端点重合，即： Ps(s)0， Qt(t)0， P(s0)= Q(t0)且P(s1)= Q(t1) 则这两条曲线间的 Hausdorff 距离如下： . (1) 为了计算它们之间的 Hausdorff 距离，定义一个两条曲线间距离函数的平方项的映射让，假设说明。

9、书 CN 103049593 A 3 2/6 页 4 所以是函数的一个局部极值点，即, 对于任意s,s0 s s1，可以得到在s-t平面内的一条曲线ft(s,t)=0，这条曲线上的任一点满足：另一条曲线fs(s,t)=0上的任一点使得：两条曲线fs(s,t)=0以及ft(s,t)=0的几何意义，即： , 对于两条正则参数曲线P(s) 以及Q(t)，有两个原因使得 fs(s,t)=0，即： (1) P(s)=Q(t), 即两条曲线相交 , (2) Ps(s) 垂直于P(s)- Q(t)。 0006 类似地，同样有两点使得ft(s,t)=0，即： (1) P(s)=。

10、Q(t)，两条曲线相交 , (2) Qt(t) 垂直于P(s)- Q(t)。 0007 定义引理 1 简化 Hausdorff 距离的计算。 0008 引理 1 两条曲线P(s)及Q(t)间的 Hausdorff 距离可以通过两条曲线fs(s,t)=0 和ft(s,t)=0 间的交点求出，即：证明：等式fs(s,t)=0 隐式定义了s-t平面上的一条曲线。假设这条曲线的显式表达式为：约束上述方程，即f(s,t)，在上述曲线fs(s, t)=0上，可以得到单变量t的函数，也就是f(s(t),t)， t0 t t1，固定, 使由于在两个端点，有f(s(t0),t0)。

11、= f(s(t1),t1)=0，以及f(s,t0),0,(s,ts0,s1 t0,t1), 所以函数f(s(t),t) 的最大值点必然出现在其局部极值点，即因为函数f(s,t) 限制在曲线fs(s,t)=0 上，可以得到：这意味着可以在两条曲线fs(s,t)=0 以及ft(s,t)=0 的交点处达到。说明书 CN 103049593 A 4 3/6 页 5 0009 相似地，可以证明可以在fs(s,t)=0 以及ft(s,t)=0 的交点处达到。 0010 因此，上述定义是正确的，见附图 2 所示（2）第二步通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似 Hausd。

12、orff 距离达到的点的位置。 0011 在通常情况下，他们的形状非常复杂，所以他们的交点也同样非常复杂。但大多数情况下两条曲线P(s) 以及Q(t) 都满足一条简单的性质，而这条性质使得fs(s, t) =0 与 ft(s, t)=0 的求交运算变得较为容易。这种性质可表示成如下 : 引理 2 (1) 穿过任意点Q(t) 并且垂直于该点的切向Q(t) 的直线，如果其与曲线 P(s) 仅相交于唯一点，那么在区域 s0,s1t0,t1，存在曲线ft(s,t)=0 的非自交连续分支，并且该分支包含 (s0, t0) 以及 (s1, t1)。 0012 (2)穿过任意点P(s)。

13、并且垂直于该点的切向P(s)的直线，如果其与曲线Q(t)仅相交于唯一点，那么在区域s0,s1 t0,t1，存在曲线fs(s,t)=0的非自交连续分支，并且该分支包含(s0,t0) 以及 (s1,t1)。 0013 证明：这里仅证明 (1)， (2) 的证明与 (1) 是完全相似的。引理中的条件，即穿过任意点Q(t) 并且垂直于该点的切向Q(t) 的，且与曲线P(s) 仅相交于唯一点的直线，意味着，对于任意直线t=ta,ta t0,t1 与曲线ft(s,t)=0,(s,t) s0,s1t0,t1 相交于唯一点。另一方面，因为P(s0)=Q(t0) 以及P(s1)=。

14、Q(t1)，ft(s0,t0)=ft(s1,t1)=0，也就是，点 (s0,t0) 和 (s1,t1) 均落在曲线ft(s,t)=0 上。 0014 利用反证法证明曲线ft(s, t) = 0 在分支为连续的。 0015 假设曲线ft(s, t) = 0,（s,t） s0,s1t0,t1 在上述定义域中非连续。非连续性会导致两种情况，或者直线t = ta与曲线ft(s,t)=0 无交点（见附图 3（a）），或者两者之间多于一个相交点（见附图 3（b）、（c））。第一种情况意味着穿过点Q(ta) 且垂直于与该点的切向Q(ta) 的直线，与曲线P(s) 无交点。第二种。

15、情况则意味着直线将会与曲线P(s) 有多于一个交点。两种情况都将导致矛盾的产生。所以假设不成立，即曲线的连续性得到证明。 0016 然后，假设曲线ft(s, t)=0在 s0,s1t0,t1 分支是自交的。（见附图 3 （d））这种自相交的情况会使得穿过点Q(ta)且垂直于该点切向Q(ta)的直线，与曲线P(s)有多于一个交点。这同样会导致矛盾。 0017 因此，在区域 s0,s1t0,t1，存在一个连接点 (s0, t0) 与点 (s1, t1) 的曲线 ft(s, t)=0 的非自交连续分支。 0018 根据引理 1，两条曲线P(s)与Q(t)间的 Hausdorf。

16、f 距离可以在曲线l1: fs(s, t)=0 与 l2: ft(s, t) =0的交点处达到。如果两条曲线P(s) 与 Q(t)满足引理 2 的条件，则存在l1与l2在(s0, t0)以及 (s1, t1)上的非自交连续分支，因此，l1与l2的交点可通过追踪它们其中的一条计算求得。 0019 （3）第三步需要分析这种近似估算 Hausdorff 距离的精确程度假设近似的Hausdorff距离出现在点A=(sa,ta)处，而真实的Hausdorff距离出现在点 B=(sb,tb) 处，连接这两点间的线段被记为 L，即：说明书 CN 103049593 A 5 4/6 页。

17、 6 假设线段 L 的长度为 h，根据中值定理，其中 0,1，输入的追踪步长可被认为例子中的 h，用于估计近似 Hausdorff 距离的精确程度。 0020 第四步通过计算平面及空间上两条曲线的 Hausdorff 距离验证了本发明的效率与准确性。 0021 （1）计算两个平面 Bzier 曲线 P(s) 以及 Q(t) 间的 Hausdorff 距离（见附图 4）。两个平面三次 Bzier 曲线的控制顶点如下： P(t) : (0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 0); Q(s) : (0, 0), (1, 2), (2, 2), (3, 0); 通。

18、过算法 1，可以得到这两条三次曲线的近似的 Hausdorff 距离，也就是 0.75，在曲线 P(s)上点(1.5, 0.75)，与曲线Q(t)上点(1.5, 1.5)之间。这个例子的计算时间为0.1749 秒。 0022 （2）要处理两条空间四次 Bzier 曲线 P(s) 以及 Q(t) （见附图 5）。其控制顶点如下： P(s): (0, 0, 0), (1, 1, -1), (2, 1, 1), (3, -1, -1), (4, 0, 0); Q(t): (0,0,0), (1,0.5, -0,5), (1.5, -0.5, 0.5), (3, -1, -0.5),。

19、 (4, 0, 0). 两条曲线间的近似 Hausdorff 距离是 0.7141，对应于曲线 P(s) 上的点 (1.6818, -0.2614, -0.0641)，以及曲线Q(t)上的点(2.000, 0.3750, -0.1250)。在这个例子中，本发明需要的时间为 0.1969 秒。 0023 本发明具有下述优点： 1、定义并验证了两条曲线 P(s) 及 Q(t) 间的 Hausdorff 距离可以通过两条曲线fs(s, t) = 0 和ft(s, t) = 0 间的交点求出。 0024 2、通过追踪一条偏导曲线来寻找交点，确定近似 Hausdorff 距离达到的点的。

20、位置，简化了求 Hausdorff 距离的方法，提高了算法的效率。附图说明说明书 CN 103049593 A 6 5/6 页 7 0025 图 1 为本发明实施例的基本流程示意图。 0026 图 2 为本发明 Hausdorff 距离示意图。 0027 图 3 为本发明实施例的曲线不连续性与自交示意图；图 3(a) 为本发明实施例的直线t = ta与曲线ft(s, t) = 0 没有交点示意图；图 3(b) 为本发明实施例的直线t = ta与曲线ft(s, t) = 0 有一个交点示意图；图 3(c) 为本发明实施例的直线t = ta与曲线ft(s, t) = 0 。

21、示意图 ; 图 3(d) 为本发明实施例的曲线ft(s, t) = 0自相交 , 有两个交点示意图。 0028 图 4 为本发明实施例的计算两条平面三次 Bzier 曲线间的 Hausdorff 距离示意图；图 4(a) 为本发明实施例的两条平面曲线P(s),Q(t)以及它们之间 Hausdorff 距离示意图 ; 图 4(b) 为本发明实施例的两条导矢曲线fs(s, t) = 0 以及ft(s, t) = 0( 蓝色 )，一条追踪曲线 ( 红色 )，以及它们之间的交点 ( 标记处 ) 示意图。 0029 图 5 为本发明实施例的计算两条空间四次 Bzier 曲线间的 Hausd。

22、roff 距离示意图。图 5(a) 为本发明实施例的计算两条空间曲线P(s),Q(t)以及它们的近似 Hausdroff 距离示意图；图 5(b) 为本发明实施例的两条导矢曲线fs(s, t) = 0 以及ft(s, t) = 0 ( 蓝色 )，一条追踪曲线 ( 红色 )，以及它们间的交点 ( 标记 ) 示意图。具体实施方式 0030 如图 1 所示，本实施实施步骤如下： 1）给定两条参数曲线P(s)，Q(t)，t0tt1，假设两条参数曲线的末端端点重合，即： Ps(s)0， Qt(t)0， P(s0)= Q(t0)且P(s1)= Q(t1) 则这两条曲线间的 Hau。

23、sdorff 距离定义如下： 2）研究两条曲线fs(s,t)=0以及ft(s,t)=0的几何意义，即： , 3）证明两条曲线P(s)及Q(t)间的 Hausdorff 距离可以通过两条曲线fs(s,t)=0 和 ft(s,t)=0 间的交点求出，即： 4）进一步简化运算，得出引理 2 (1) 穿过任意点Q(t) 并且垂直于该点的切向Q(t) 的直线，如果其与曲线P(s) 仅相交于唯一点，那么在区域 s0,s1t0,t1，存在曲线 ft(s,t)=0 的非自交连续分支，并且该分支包含 (s0, t0) 以及 (s1, t1)。说明书 CN 103049593 A 。

24、7 6/6 页 8 0031 (2)穿过任意点P(s)并且垂直于该点的切向P(s)的直线，如果其与曲线Q(t)仅相交于唯一点，那么在区域s0,s1 t0,t1，存在曲线fs(s,t)=0的非自交连续分支，并且该分支包含(s0,t0) 以及 (s1,t1)。 0032 5）根据引理 1，两条曲线P(s)与Q(t)间的 Hausdorff 距离可以在曲线l1: fs(s, t)=0 与 l2: ft(s, t) =0的交点处达到。如果两条曲线P(s) 与 Q(t)满足引理 2 的条件，则存在l1与l2在(s0, t0)以及 (s1, t1)上的非自交连续分支，因此，l1与l2的。

25、交点可通过追踪它们其中的一条计算求得。 0033 6）通过追踪l1，会生成一个点集序列。在这个序列中的每对相邻点都被用来代替 ft(s, t)，然后检查它们的符号变化。如果在相邻点P1以及P2处发生了符号变化，那么在它们之间 ( 参照图 4(b) ,5(b) 一定存在着交点。 0034 7）测试函数fs2(s,t)+ ft2(s,t)在三点P1, , 以及P2 的取值，选择三者之一作为交点，在该点处函数fs2(s,t)+ ft2(s,t)取最小值，将这些交点代入f(s, t)，最大值可被认为近似的 Hausdorff 距离。说明书 CN 103049593 A 8 1/3 页 9 图 1 图 2 说明书附图 CN 103049593 A 9 2/3 页 10 图 3 说明书附图 CN 103049593 A 10 3/3 页 11 图 4 图 5 说明书附图 CN 103049593 A 11 。

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