一种时滞系统的自抗扰控制系统的设计及整定方法.pdf

本发明具体涉及一种时滞系统的自抗扰控制系统的设计及整定方法。该方法基于自抗扰技术，首先将复杂的被控对象拟合成一阶惯性环节加纯时滞数学模型，同时将时滞归结为扰动量，应用时滞降价线性扩张状态观测器对含有时滞的未知总扰动进行估计，并主动补偿总扰动对系统的影响，从而把时滞系统还原为ADRC标准的“积分器串联型”，实现时滞系统的补偿。最后推导了系统的闭环传递函数，消除了特征方程中的纯时滞环节，相应给出了具有普适性的ADRC单参数整定公式及可调参数之间的数值关系。仿真结果验证了所设计的实用ADRC具有较好的稳定性、快速性、准确性和抗扰性。

权利要求书
1.  一种时滞系统的自抗扰控制系统的设计方法，其特征在于，首先将复杂的被控对象拟合成一阶惯性环节加纯时滞数学模型，同时将时滞归结为扰动量，应用时滞降价线性扩张状态观测器对含有时滞的未知总扰动进行估计，并主动补偿总扰动对系统的影响，从而把时滞系统还原为ADRC标准的“积分器串联型”，实现时滞系统的补偿。

2.  根据权利要求1所述的设计方法，其特征在于，所述设计方法具体步骤为：
A)将复杂的被控对象拟合成一阶惯性环节加纯时滞数学模型Gp(s)＝Y(s)/U(s)＝Ke-τs/(Ts+1)，式中y和u分别为输出和控制量，K、T和τ分别为稳态增益、时间常数和纯时滞；
B)创建ADRC结构，所述ADRC结构由时滞RLESO、控制律及扰动补偿组成；
C)创建时滞总扰动；
D)创建时滞RLESO；
E)建立控制律及扰动补偿。

3.  根据权利要求2所述的设计方法，其特征在于，所述步骤C)中的时滞总扰动基于f(·)＝-a·y(t)+b·(u(t-τ)+d(t-τ))-b0·u(t)建立，其中a＝1/T，b＝K/T，a、b和τ为不确定量，d为未知或不可测扰动，补偿因子b0为b的粗略估计值，可调参数。

4.  根据权利要求3所述的设计方法，其特征在于，所述时滞RLESO基于以下公式建立：
z·(t)=-ωo·z(t)-ωo2·y(t)-ωo·b0·u(t-τ0)z2(t)=z(t)+ωo·y(t)]]>
式中，z2(t)为扩张状态观测量，是含有时滞的未知总扰动f(·)状态的估计值；z(t)为引入的中间变量；观测器的带宽ωo>0，可调参数，决定观测器的收敛程度；u(t-τ0)为有效观测时滞状态引入的输入时滞，比控制输入量u(t)滞后一定的时间τ0；τ0为实际时滞τ的估计值；
适当选取参数ωo和b0，使得时滞RLESO在一定范围内有足够的响应速度，就可以一定精度估计出含有时滞的状态，即z2(t)→f(·)。

5.  一种时滞系统的自抗扰控制系统的整定方法，应用于上述权利要求1-4之一的设计方法中，其特征在于，建立时滞RLESO的传递函数、控制量等效表达式及系统等价的开环及闭环传递函数，最后消除了闭环系统特征方程中的纯时滞环节，实现建立ADRC单参数整定方法的公式及可调参数之间的数值关系公式，系统的闭环传递函数最终等效为一阶惯性加纯时滞环节；
当τ0＝τ，所述ADRC的单参数整定方法基于以下公式建立：
ωc=1cT,ωo=1(1-c)T,b0=KcT(0<c<1);]]>
其中，ωc为控制律的带宽，可调参数；
对于不同的被控对象，根据时滞大小、系统指标要求、阶跃响应曲线及扰动跟踪等情况，通过在线整定唯一的参数c来协调整定{b0,ωc,ωo}，以达到满意的控制效果，c越大，系统的调节时间越快，因此称为快速因子。

6.  根据权利要求5所述的整定方法，其特征在于，所述时滞RLESO的传递函数基于以下公式建立：
Z(s)=-ωos+ωo(ωoY(s)+b0U(s)e-τ0s)Z2(s)=ωos+ωo(sY(s)-b0U(s)e-τ0s).]]>

7.  根据权利要求6所述的整定方法，其特征在于，所述控制量等效的表达式基于以下公式建立：
U(s)＝Gc1(s)·(R(s)-Y(s))-Gc2(s)·Y(s)
其中，Gc1(s)=ωc(s+ωo)b0[s+ωo(1-e-τ0s)],Gc2(s)=ωosb0[s+ωo(1-e-τ0s)].]]>

8.  根据权利要求7所述的整定方法，其特征在于，所述系统等价的开环及闭环传递函数分别基于以下公式建立：
Gol(s)=Gp(s)&CenterDot;(Gc1(s)+Gc2(s))=c[(ωc+ωo)s+ωcωo]s2+[a+ωo(1-e-τ0s)]s+aωo(1-e-τ0s)e-τs]]>
Gcl(s)=Y(s)R(s)=Gol(s)1+Gol(s)=c[(ωc+ωo)s+ωc+ωo]s2+(a+ωo)s+aωo+Gd(s)e-τs]]>
其中，c=b/b0,Gd(s)=c[(ωc+ωo)s+ωcωo]e-τs-ωo(s+a)e-τ0s.]]>

9.  根据权利要求8所述时滞系统的自抗扰控制系统设计及整定方法，其特征在于：所述ADRC可调参数之间的数值关系基于以下公式建立：
1ωc+1ωo=T]]>或ωo=ωcTωc-1,b0=Kωc.]]>

10.  根据权利要求9所述时滞系统的自抗扰控制系统设计及整定方法，其特征在于：所述系统最终等效的开环及闭环传递函数分别基于以下公式建立：
Gol(s)=1(1-c)Ts+(1-e-τs)e-τs]]>
Gcl(s)=1(1-c)Ts+1e-τs.]]>

说明书一种时滞系统的自抗扰控制系统的设计及整定方法
技术领域
本发明属于工业过程控制技术领域，具体涉及一种时滞系统的自抗扰控制系统的设计及整定方法。
背景技术
化工、炼油、冶金、电站、制药和造纸等工业生产过程及其它实际系统广泛存在着时滞现象，如状态时滞、输入时滞、传输时滞或输出测量时滞、容积时滞等。由于时滞的存在，使得被控量不能及时反映系统所承受的扰动，产生明显的超调和较长的调节时间，甚至造成系统的不稳定。因此，时滞系统(time delay systems，TDS)被公认为较难控制的系统。
对时滞系统的研究一直是控制理论界关注的热点之一，国内外学者提出了许多克服时滞影响的控制方案。然而面对日益复杂的系统，如具有大时滞、非线性、时变、随机不确定性、多变量耦合等特征，很难建立精确的数学模型，限制了现有的控制理论在实际系统中的应用，因此，在实际中不依赖于模型的PID控制仍然占据主导地位。但随着科学技术的飞速发展,PID控制已经难以满足高精度、高速度以及环境变化适应能力的要求。
韩京清先生在发扬PID控制的技术精髓——“基于误差来消除误差”，并吸取现代控制理论成就的基础上，于1998年正式提出的自抗扰控制(active disturbance rejection control,ADRC)思想，是一种可以解决具有大范围及复杂结构(非线性、时变、耦合等)不确 定系统控制问题的有效方法(Han JQ.From PID to active disturbance rejection control.IEEE Transactions on Industrial Electronics.2009,56(3):900-906.)。其核心思想是以简单的“积分器串联型”作为反馈系统的标准型，把系统动态中异于标准型的部分视为“总扰动”(包括内扰和外扰)，对“总扰动”进行估计，并主动补偿“总扰动”对系统的影响，从而把充满扰动、不确定性和非线性的被控对象线性化为标准型，使得控制系统的设计从复杂到简单、从抽象到直观(黄一，薛文超.自抗扰控制：思想、应用及理论分析.系统科学与数学，2012，32(10)：1287-1307.)。
ADRC技术主要包括：跟踪微分器(tracking differentiator，TD)、扩张状态观测器(extended state observer，ESO)、状态误差反馈(state error feedback，SEF)控制律等(韩京清.自抗扰控制技术—–估计补偿不确定因素的控制技术.北京：国防工业出版社，2008.)。由于这几个部分的选取方法可以有很多不同形式，因此在这个统一的结构框架下，根据不同对象的需求，可以构造出上百种不同的ADRC。
由于ADRC不依赖于精确的对象模型，并具有抗干扰能力强、精度高、响应速度快、结构简单等特点，得到了国内外学者广泛而深入的应用研究。将ADRC设计思想应用于时滞系统，也取得了良好的控制效果。ADRC无视时滞法(韩京清.自抗扰控制技术—–估计补偿不确定因素的控制技术.北京：国防工业出版社，2008.)将被控对象中的时滞环节近似成单位1来处理，把时滞对象直接近似成无时滞 环节。但当时滞大到一定程度不能被忽略时，控制效果就会不尽人意。ADRC阶次提高法(Han JQ.From PID to active disturbance rejection control.IEEE Transactions on Industrial Electronics.2009,56(3):900-906.)在设计时一般把时滞环节近似为一阶惯性环节，尽管目前得到了大量应用，但由于人为地提高了被控对象的阶次，导致ADRC可调参数增多。ADRC输出预估法(Zheng Qinling,Gao Zhiqiang.Predictive active disturbance rejection control for processes with time delay.ISA Transactions.2014,53(4):873-881.)将有时滞的输出反馈信号变换为不包含时滞的反馈信号，尽管所设计的ADRC明显加快了时滞对象的过渡过程，并提高了鲁棒性能，但较好地实现相位超前环节是系统设计的关键。ADRC输入预估法(韩京清.自抗扰控制技术—–估计补偿不确定因素的控制技术.北京：国防工业出版社，2008.)和输出预估法类似，不过它是通过对控制量进行改造来实现的，但较好地实现超前信号仍是系统设计的难点。目前常规的状态观测器(包括常规的ESO)主要是针对无时滞对象进行状态重构的。因此前面这四种方法都需要把时滞对象近似或变换为无时滞对象后，才能设计ESO进行相应的观测。而ADRC输入时滞法(Zhao S.Practical solutions to the non-minimum phase and vibration problems under the disturbance rejection paradigm.Ph.D.dissertation.Dept.ECE,Cleveland State Univ.,Cleveland；2012.)则突破了这种限制，通过增加一个输入时滞环节，对常规的二阶线性ESO进行改进，直接针对时滞对象来设计ADRC， 加快了过渡过程，并提高了抗扰性能。文(王丽君，童朝南，李擎，等。热连轧板宽反厚的实用自抗扰解耦控制.控制理论与应用，2012，29(11)：1471-1478.)在此基础上，利用输出量可由传感器直接测量的优势，设计降阶线性ESO替代常规的二阶线性ESO，应用于热连轧板宽板厚双入双出多变量时滞系统，回路之间的耦合也看做扰动进行实时估计和动态补偿。尽管所设计的ADRC不仅具有较好的解耦性能，而且对模型参数的不确定性和外扰具有较强的鲁棒性和参数适应性，但ADRC输入时滞法的系统设计、分析及参数整定方法仍需进一步深入研究，例如对时滞状态的有效观测方法，各个可调参数方便实用的整定方法等。
ADRC内在的鲁棒性使得它可以应用于十分广泛的对象中，但显然一个控制器的能力是有限的，一个参数固定的控制器不可能控制所有的对象，因此参数整定成为ADRC面临的一个主要问题。ADRC参数的整定可以按照分离性原则来进行，首先分别整定TD、ESO的参数，然后将三部分综合，对控制律的参数进行整定。
传统的ADRC参数一般采用试验加试凑的方法由人工整定，主要依靠专家的经验和设计者的反复实验。尽管ADRC本身的参数具有很强的鲁棒性，降低了参数整定的难度，但由于各部分可调参数较多且相互影响、分布范围较大，把多个参数有效的协调组合，以达到最优的控制效果，无疑是一项困难而繁杂的工作。另外，由于目前ADRC还缺乏相关成熟理论，很难精确获得ADRC参数的稳定域，而且也不像PID控制器那样有许多工程的方法来确定参数初值，这更为参数的 整定增加了很大难度。
文(Gao ZQ.Scaling and bandwidth-parameterization based controller tuning.In:Proceedings of the American Control Conference.Denver,CO,United states,2003,4989-4996.)(高志强等.控制器、观测器及其应用.CN101578584A，2009)将ADRC从最初的非线性简化为线性形式，并通过引进带宽的概念，给出了尺度化、参数化整定观测器带宽和控制器带宽的公式，大大简化了ADRC参数的整定过程，并使得ADRC参数有更明确的物理意义。这样，线性ADRC中多个参数的整定就变成了只需调整1个带宽参数的问题。目前这种线性ADRC参数的整定方法，因为简单实用而得到了大量的应用。但并没有给出补偿因子的整定公式及其所有可调参数之间的关系，还需通过不断实验来确定参数的最优值。
发明内容
本发明针对现有技术的不足，拟解决扩张状态观测器估计含时滞总扰动的难题，及自抗扰控制器参数难以整定的问题，以便给出简单、实用、好调的自抗扰控制设计及整定方法。
为实现以上的技术目的，本发明将采取以下技术方案：该方法基于自抗扰(ADRC)技术，首先将复杂的被控对象拟合成一阶惯性环节加纯时滞数学模型，同时将时滞归结为扰动量，应用时滞降价线性扩张状态观测器对含有时滞的未知总扰动进行估计，并主动补偿总扰动对系统的影响，从而把时滞系统还原为ADRC标准的“积分器串联型”，实现时滞系统的补偿。最后推导了系统的闭环传递函数，消除了特征 方程中的纯时滞环节，相应给出了具有普适性的ADRC单参数整定公式及可调参数之间的数值关系。仿真结果验证了所设计的实用ADRC具有较好的稳定性、快速性、准确性和抗扰性。
进一步地，所述设计方法具体步骤为：
A)将复杂的被控对象拟合成一阶惯性环节加纯时滞数学模型Gp(s)＝Y(s)/U(s)＝Ke-τs/(Ts+1)，式中y和u分别为输出和控制量，K、T和τ分别为稳态增益、时间常数和纯时滞)；
B)创建ADRC结构，所述ADRC结构由时滞RLESO、控制律及扰动补偿组成；
C)创建时滞总扰动；
D)创建时滞RLESO；
E)建立控制律及扰动补偿。
进一步地，所述步骤C)中的时滞总扰动基于f(·)＝-a·y(t)+b·(u(t-τ)+d(t-τ))-b0·u(t)建立，其中a＝1/T，b＝/T，a、b和τ为不确定量，d为未知或不可测扰动，补偿因子b0为b的粗略估计值，可调参数。
进一步地，所述时滞RLESO基于以下公式建立：
z&CenterDot;(t)=-ωo&CenterDot;z(t)-ωo2&CenterDot;y(t)-ωo&CenterDot;b0&CenterDot;u(t-τ0)z2(t)=z(t)+ωo&CenterDot;y(t)]]>
式中，z2(t)为扩张状态观测量，是含有时滞的未知总扰动f(·)状态的估计值；z(t)为引入的中间变量；观测器的带宽ωo>0，可调参数，决定观测器的收敛程度；u(t-τ0)为有效观测时滞状态引入的输入时 滞，比控制输入量u(t)滞后一定的时间τ0；τ0为实际时滞τ的估计值；
适当选取参数ωo和b0，使得时滞RLESO在一定范围内有足够的响应速度，就可以一定精度估计出含有时滞的状态，即z2(t)→f(·)。
一种时滞系统的自抗扰控制系统的整定方法，应用于上述设计方中，其特征在于，建立时滞RLESO的传递函数、控制量等效表达式及系统等价的开环及闭环传递函数，最后消除了闭环系统特征方程中的纯时滞环节，实现建立ADRC单参数整定方法的公式及可调参数之间的数值关系公式，系统的闭环传递函数最终等效为一阶惯性加纯时滞环节；
当τ0＝τ，所述ADRC的单参数整定方法基于以下公式建立：
ωc=1cT,ωo=1(1-c)T,b0=KcT(0<c<1);]]>
其中，ωc为控制律的带宽，可调参数。
可见，该发明不仅给出了ωc、ωo的整定公式，而且给出了补偿因子b0的参数整定公式。参数的整定变为以c为单一变量的函数，这样多个参数的整定简化为一种单参数整定，大大减少了ADRC参数整定的麻烦。
对于不同的被控对象，根据时滞大小、系统指标要求、阶跃响应曲线及扰动跟踪等情况，通过在线整定唯一的参数c来协调整定{b0,ωc,ωo}，以达到满意的控制效果。c越大，系统的调节时间越快，因此称为快速因子。
进一步地，所述时滞RLESO的传递函数基于以下公式建立：
Z(s)=-ωos+ωo(ωoY(s)+b0U(s)e-τ0s)Z2(s)=ωos+ωo(sY(s)-b0U(s)e-τ0s).]]>
进一步地，所述控制律等效的表达式基于以下公式建立：
U(s)＝Gc1(s)·(R(s)-Y(s))-Gc2(s)·Y(s)
其中，Gc1(s)=ωc(s+ωo)b0[s+ωo(1-e-τ0s)],Gc2(s)=ωosb0[s+ωo(1-e-τ0s)].]]>
进一步地，所述系统等价的开环及闭环传递函数分别基于以下公式建立：
Gol(s)=Gp(s)&CenterDot;(Gc1(s)+Gc2(s))=c[(ωc+ωo)s+ωcωo]s2+[a+ωo(1-e-τ0s)]s+aωo(1-e-τ0s)e-τs]]>
Gcl(s)=Y(s)R(s)=Gol(s)1+Gol(s)=c[(ωc+ωo)s+ωc+ωo]s2+(a+ωo)s+aωo+Gd(s)e-τs]]>
其中，c=b/b0,Gd(s)=c[(ωc+ωo)s+ωcωo]e-τs-ωo(s+a)e-τ0s.]]>
进一步地，所述ADRC可调参数之间的数值关系基于以下公式建立：
1ωc+1ωo=T]]>或ωo=ωcTωc-1,b0=Kωc.]]>
可见，该公式间接证明了ADRC各部分参数之间是相互影响的，也意味着本发明给出的整定公式可以有效地协调ADRC各个参数
进一步地，所述系统最终等效的开环及闭环传递函数分别基于以下公式建立：
Gol(s)=1(1-c)Ts+(1-e-τs)e-τs]]>
Gcl(s)=1(1-c)Ts+1e-τs.]]>
显然，此时在系统的特征方程中，已不包含纯时滞环节e-τs项。这就是说，所设计的ADRC系统已经消除了纯时滞对系统控制品质的影响。另外，系统的闭环传递函数最终等效为一阶惯性加纯时滞环节，且稳态增益为1，这意味着系统的阶跃响应过程是单调上升的指数曲线，保证了系统没有超调且无稳态误差，提高了系统的稳定性和准确性。
根据以上的技术方案，本发明的优点在于：
1)传统的扩张状态观测器是针对无时滞对象进行状态重构的，在设计ADRC前需把时滞对象变换为无时滞对象后，才能设计ESO对状态进行相应的观测。而本发明直接将时滞归结为总扰动而进行估计。为便于观测出有时滞的总扰动状态，给出了带时滞环节的ESO设计方案，并主动补偿总扰动对系统的影响，从而把时滞系统还原为ADRC标准的“积分器串联型”，使得时滞补偿系统的设计从复杂到简单、从抽象到直观。
2)根据推导出的等效ADRC闭环传递函数，本发明给出了消除闭环传递函数特征方程中纯时滞环节的设计方案，减小了纯时滞对系统控制品质的影响，并提高了时滞控制系统的稳定性。
3)不仅给出了控制器带宽ωc、观测器带宽ωo的整定公式，而且给出了补偿因子b0的参数整定公式。参数的整定变为以快速因子c为单一变量的函数，这样多个参数的整定简化为一种单参数整定，大大减少了ADRC参数整定的麻烦。对于不同的被控对象，根据时滞大小、系统指标要求、阶跃响应曲线及扰动跟踪等情况，通过在线整定唯一 的参数c来协调整定{b0,ωc,ωo}，以达到满意的控制效果。这种公式整定法具有一定的普适性，操作方法实用、简单，整定参数c的物理意义明确。
4)常规ADRC各部分的可调参数需要单独进行整定，但各参数之间相互影响，很难达到各参数有效的协调组合。而本发明给出的ADRC可调参数之间的数值关系公式间接证明了ADRC各部分参数之间是相互影响的，也意味着本发明给出的整定公式可以有效地协调ADRC各个参数。
5)与常规的一阶或二阶非线性ADRC相比，由于采用降阶线性ADRC实用技术方案，线性环节比非线性实现更加简单，阶次的降低也使系统设计变得比较方便和实用，另外可调参数大大减少，为ADRC的工程实现提供了途径。
6)与常规的PID控制效果相比，由于ADRC将时滞系统中的参数不确定性、外扰和时滞等不确定因素看做总扰动而进行估计及补偿，从而提高了时滞系统的抗扰性能，满足了工业界节能的要求。
附图说明
图1本发明的系统框图。
图2时滞系统输出响应曲线对比图，其中虚线为PID，实线为所设计的ADRC；
图3时滞系统控制量曲线对比图，其中虚线为PID，实线为所设计的ADRC；
图4实际扰动和扰动估计对比图，其中虚线为含有时滞的实际总 扰动，实线为估计的总扰动。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细描述。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用于解释本发明，并不用于限定本发明。
相反，本发明涵盖任何由权利要求定义的在本发明的精髓和范围上做的替代、修改、等效方法以及方案。进一步，为了使公众对本发明有更好的了解，在下文对本发明的细节描述中，详尽描述了一些特定的细节部分。对本领域技术人员来说没有这些细节部分的描述也可以完全理解本发明。
第一步：将复杂的被控对象拟合为一阶时滞系统数学模型。
为简化控制系统的设计，复杂的被控对象经常拟合为一阶惯性环节加纯时滞(First Order Plus Delay Time，FOPDT)系统。不考虑扰动，其传递函数为：
Gp(s)=Y(s)U(s)=KTs+1e-τs---(1)]]>
式中，y、u分别为输出和控制量，K为稳态增益，T为时间常数，τ为纯时滞。
由于ADRC可以将模型误差视为干扰，尽管工业过程比较复杂，但并不要求获得准确的数学模型，因此可采用比较简单的系统辨识方法，例如，可通过简单的测试获得对象的阶跃响应，大致确定模型特征参数{K,T,τ}，拟合成近似的FOPDT传递函数。在这里，假定K＝2，T＝4，τ＝4。
FOPDT系统(1)被公认为比较难控制的过程，尤其对于系统具有大时滞、参数不确定性、外扰等特点。
第二步：设计ADRC结构的方法。
如图1所示，虚框中为所设计的ADRC，由时滞RLESO、控制律及扰动补偿两部分组成。根据控制量u(t)和量测输出y(t)，适当构造时滞RLESO，以便给出系统未知总扰动f(·)的实时估计值z2(t)。根据设定值r和y(t)的误差，利用比例控制生成误差反馈控制量u0，并根据扰动估计量的补偿来生成控制量u(t)。
第三步：时滞总扰动的设计。
设计总扰动f(·)是ADRC中比较关键和巧妙的环节。ADRC以简单的“积分器串联型”作为标准型，把系统动态中异于标准型的部分均可视为总扰动f(·)。
若考虑未知或不可测的扰动d，则系统输出变为：
Y(s)=KTs+1(U(s)+D(s))e-τs---(2)]]>
对于时滞系统，常规的ADRC在设计时需要把时滞对象近似或变换为无时滞对象，这样总扰动f(·)并没有必要包含时滞环节。但如果直接针对时滞对象设计ADRC，除了将模型不确定性和未知外扰等归结为系统的总扰动外，还可将时滞环节归结为扰动量，通过ADRC的抗扰补偿功能，把充满扰动、不确定性的时滞系统还原为ADRC标准的“积分器串联型”，使得时滞补偿系统的设计从复杂到简单、从抽象到直观。
时滞总扰动基于以下公式建立：
f(·)＝-a·y(t)+b·(u(t-τ)+d(t-τ))-b0·u(t)   (3)
式中，a＝1/T，b＝K/T，a、b和τ为不确定量；补偿因子b0为b的粗略估计值，可调参数。
则时滞对象的传递函数(2)转化为微分方程的形式：
y&CenterDot;(t)=f(&CenterDot;)+b0&CenterDot;u(t)---(4)]]>
第四步：设计时滞RLESO的方法。
由于总扰动f(·)为不确定的未知函数，常规的状态观测器无法对其观测。因此为了估计出f(·)，在重构对象(4)状态变量x1＝y的基础上，需再增加一个观测状态变量，即令扩张状态变量：
x2＝f(t,x1(t),u(t-τ),d(t-τ),u(t))   (5)
则数学模型由微分方程(4)转化为状态空间方程的描述：
x&CenterDot;1(t)=x2(t)+b0&CenterDot;u(t)x&CenterDot;2(t)=W(&CenterDot;)y(t)=x1(t)---(6)]]>
式中，为未知函数。
对于化简后的模型(6)，按常规应设计二阶ESO，以便观测出系统的状态变量x1和x2。但由于输出y可测，所以x1无需观测，只需观测出系统的扩张状态变量x2(系统的总扰动f(·))即可。因此，对式(6)设计降阶ESO(reduced ESO，RESO)。
常规的ESO在具体构成上建议采用非线性函数，为了减少可调参数和实现简单，改用线性ESO(linear ESO，LESO)。
常规的ESO主要用于观测无时滞的状态，但式(3)中的总扰动f(·)却含有时滞，将会增大观测误差，因此主动将输入时滞环节引入到降 阶LESO(reducedlinearESO，RLESO)的设计中。设计的时滞RLESO基于以下公式建立：
z&CenterDot;(t)=-ωo&CenterDot;z(t)-ωo2&CenterDot;y(t)-ωo&CenterDot;b0&CenterDot;u(t-τ0)z2(t)=z(t)+ωo&CenterDot;y(t)---(7)]]>
式中，z2(t)为扩张状态观测量，是含有时滞的未知总扰动f(·)的估计值；z(t)为有效观测时滞状态引入的中间变量；观测器的带宽ωo>0，可调参数，决定观测器的收敛程度；u(t-τ0)为引入的输入时滞，比控制输入量u(t)滞后一定的时间τ0；τ0为实际时滞τ的估计值。
适当选取参数ωo和b0，使得式(7)在一定范围内有足够的响应速度，时滞RLESO就可以一定精度估计出含有时滞的未知总扰动，即z2(t)→f(·)。
第五步：控制律及扰动补偿的设计。
既然时滞RLESO能够实时获得未知总扰动f(·)的估计值z2，如果能在控制律中予以补偿，则可实现时滞系统的自抗扰功能。因此，控制律取：
u=u0-z2b0---(8)]]>
若忽略z2对未知总扰动f(·)的估计误差，则时滞系统(4)被还原为无时滞的“积分器串联型”：
y&CenterDot;=f(&CenterDot;)-z2+u0&ap;u0---(9)]]>
这样，就易于用“状态误差反馈”来设计出理想的控制律。在继承经典PID“基于误差来生成消除误差的控制策略”精髓的基础上，误差反馈控制量u0最初采用非线性组合来模拟人的手动控制策略。从 某种意义上讲，它具有“智能”功能。但为提高时滞系统的快速响应性能以及简易实现，u0改用线性组合。由于时滞RLESO仅设计为一阶，可简化为比例控制，即
u0＝ωc·e           (10)
其中，误差e＝r-y；r为设定值；ωc为控制律的带宽，可调参数。
第六步：ADRC可调参数的整定。
在零初始条件下，对时滞RLESO的微分方程(7)进行拉普拉斯变换，相应的传递函数基于以下公式建立：
Z(s)=-ωos+ωo(ωoY(s)+b0U(s)e-τ0s)Z2(s)=ωos+ωo(sY(s)-b0U(s)e-τ0s)---(11)]]>
经过整理后，控制量等效的表达式基于以下公式建立：
U(s)＝Gc1(s)·(R(s)-Y(s))-Gc2(s)·Y(s)        (12)
其中，
Gc1(s)=ωc(s+ωo)b0[s+ωo(1-e-τ0s)],Gc2(s)=ωosb0[s+ωo(1-e-τ0s)].]]>
则系统等价的开环及闭环传递函数分别基于以下公式建立：
Gol(s)=Gp(s)&CenterDot;(Gc1(s)+Gc2(s))=c[(ωc+ωo)s+ωcωo]s2+[a+ωo(1-e-τ0s)]s+aωo(1-e-τ0s)e-τs---(13)]]>
Gcl(s)=Y(s)R(s)=Gol(s)1+Gol(s)=c[(ωc+ωo)s+ωc+ωo]s2+(a+ωo)s+aωo+Gd(s)e-τs---(14)]]>
其中，c=b/b0,Gd(s)=c[(ωc+ωo)s+ωcωo]e-τs-ωo(s+a)e-τ0s.]]>
可见，系统的特征方程中出现了纯时滞环节，使得系统的稳定性 降低，如果时滞足够大，系统将不稳定。当τ0＝τ时，为了除去特征方程中的纯时滞环节，ADRC的单参数整定方法基于以下公式建立：
ωc=1cT,ωo=1(1-c)T,b0=KcT(0<c<1)---(15)]]>
显然，ADRC可调参数之间的数值关系基于以下公式建立：
1ωc+1ωo=T]]>或ωo=ωcTωc-1,b0=Kωc---(16)]]>
将整定公式(15)代入(13)和(14)，则系统最终等效的开环及闭环传递函数分别基于以下公式建立：
Gol(s)=1(1-c)Ts+(1-e-τs)e-τs---(17)]]>
Gcl(s)=1(1-c)Ts+1e-τs---(18)]]>
很显然，此时在系统的特征方程中，已不包含纯时滞环节e-τs项。这就是说，这个系统已经消除了纯时滞对系统控制品质的影响。另外，系统的闭环传递函数(18)最终等效为一阶惯性加纯时滞环节，且稳态增益为1，这意味着系统的阶跃响应过程是单调上升的指数曲线，保证了系统没有超调且无稳态误差，提高了系统的稳定性和准确性。
可见，尽管这种实用的ADRC可调参数只有3个：{b0,ωc,ωo}，但由于本发明不仅给出了ωc、ωo的整定公式，而且给出了b0的参数整定公式及其3个参数间的数值关系，参数整定变为以快速因子c为单一变量的函数，这样多个参数的整定简化为一种单参数整定(one parameter tuning，OPT)，大大减少了控制器参数整定的麻烦。
常规ADRC各部分的可调参数需要单独进行整定，但各参数之间 相互影响，很难达到各参数有效的协调组合。而本发明公式(16)间接证明了ADRC各部分参数之间是相互影响的，也意味着本发明给出的整定公式(15)可以有效地协调ADRC各个参数。
对于不同的被控对象，根据时滞大小、系统指标要求、阶跃响应曲线及扰动跟踪等情况，通过在线整定唯一的参数c来协调整定{b0,ωc,ωo}，以达到满意的控制效果。c越大，系统的调节时间越快，因此称为快速因子。
在控制系统设计中，典型的被控对象通常采用FOPDT系统来近似描述，而且比较容易获得模型的特征参数{K,T,τ}，因此本发明给出的ADRC公式整定法具有一定的普适性，操作方法实用、简单，整定参数c的物理意义明确。
当然，在设计ADRC时需要实际时滞τ的估计值τ0，但估计误差可归结扰动量。但当时滞未知时，τ0当作可调参数进行整定。
本例令τ0＝4，根据公式(15)求得ADRC所有可调参数的初值，ωc＝1/4c，ωo＝1/4(1-c)，b0＝1/2c。根据时滞大小、系统指标要求、阶跃响应曲线及扰动跟踪等情况，在线整定唯一的参数c，以达到满意的控制效果。本例c＝0.8。
仿真实验时，采用最简单的欧拉方程求解微分方程，近似误差可归结为扰动量。首先在t＝0加单位阶跃定值扰动r，然后在80s加幅值10％的阶跃外扰d。所得到的闭环响应曲线如图2及图3所示。其中虚线为时滞系统采用传统PID所得到的闭环响应曲线，实线表示系统采用本发明中ADRC设计及整定方法所得到的闭环响应曲线。两种 方法都具有良好的定值跟踪能力且无静态误差，但与PID相比，ADRC没有超调，且能耗指标下降了2％，消除扰动的恢复时间减小了12％，具有较好的节能效果并具有较强的抗扰性能。实际扰动和扰动估计的对比如图4所示。其中虚线为含有时滞的实际总扰动f(·)，实线表示总扰动的估计量z2(t)。可见，本发明设计的时滞RLESO能够快速准确地估计出有时滞的总扰动，克服了常规ESO不能观测时滞状态的局限性。