一种圆柱齿轮造型方法技术领域
本发明涉及一种齿轮参数化造型方法，尤其涉及一种圆柱齿轮造型方法。
背景技术
圆柱齿轮包括直齿渐开线齿轮、斜齿渐开线、变位齿轮等。齿轮的参数
化造型过程实际上就是解决变位斜齿轮造型的过程，当变位系数为0时它就
是标准齿轮，当螺旋角为0时它就是直齿轮。圆柱齿轮参数化造型的难点主
要是齿廓曲线（如渐开线）的位置变换、变位齿轮齿厚的计算、斜齿轮的旋
向问题以及螺旋线生成等。
目前生成齿廓曲线通常用Pro/E软件，该软件是美国参数技术公司（PTC)
旗下的CAD/CAM/CAE一体化的三维软件，以参数化著称，是参数化技术的
最早应用者，在目前的三维造型软件领域特别是在国内产品设计领域占据重
要位置。
对于多条齿廓曲线的生成，通常情况下需分别建立多个坐标系，在各自
的坐标系中绘制曲线，这种方法增加了多个冗余特征，且不利于尺寸参数化；
对于斜齿轮的旋向问题，通常是分别建立左旋和右旋的参数化模型，这种方
法不能很好实现全参数化；螺旋线的生成通常是在基准平面内创建一条角度
为螺旋角的斜线，然后投影到分度圆曲面得到螺旋线，这种方法创建过程繁
琐，且引入一个冗余的分度圆曲面，模型质量不高，不利于CAE分析。
发明内容
根据现有技术中存在的缺陷，本发明提供了一种圆柱齿轮参数化造型方
法的技术方案，具体包括：
一种圆柱齿轮造型方法，其中，所述齿轮的一条渐开线齿廓曲线到缺省
坐标系XOY的坐标变换矩阵为：
s 1 = cos θ sin θ 0 0 - sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]]>
所述s1表示所述渐开线1的坐标变换矩阵，所述θ表示所述渐开线与所
述坐标的转角；
所述渐开线1在缺省坐标系XOY下的方程相应为：
x y z 1 = cos θ sin θ 0 0 - sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 0 y 0 z 0 1 ]]>
优选地，该圆柱齿轮造型方法，其中，还包括设置所述齿廓曲线的第二
条渐开线s2，所述第二条渐开线s2到缺省坐标系XOY的坐标变换矩阵为：
s 2 = cos θ - sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]]>
所述第二条渐开线s2在缺省坐标系XOY下的方程相应为：
x y z 1 = cos θ - sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 0 y 0 z 0 1 ]]>
优选地，该圆柱齿轮造型方法，其中，包括设置所述齿廓曲线的第三条
渐开线s3，所述渐开线s3到缺省坐标系XOY的坐标变换矩阵为：
s 3 = cos ( θ + γ ) sin ( θ + γ ) 0 0 - sin ( θ + γ ) cos ( θ + γ ) 0 0 0 0 1 B 0 0 0 1 ]]>
B表示所述圆柱齿轮的齿宽，γ=sin-1(B tanβ/r)，β表示所述圆柱齿
轮的螺旋角，r表示所述圆柱齿轮的基圆半径；
所述渐开线s3在缺省坐标系XOY下的方程相应为：
x y z 1 = cos ( θ + γ ) si n ( θ + γ ) 0 0 - sin ( θ + γ ) cos ( θ + γ ) 0 0 0 0 1 B 0 0 0 1 x 0 y 0 z 0 1 ]]>
优选地，该圆柱齿轮造型方法，其中，还包括设置所述齿廓曲线的第四
渐开线s4，所述渐开线s4到缺省坐标系XOY的坐标变换矩阵为：
s 4 = cos ( θ - γ ) - sin ( θ - γ ) 0 0 sin ( θ - γ ) cos ( θ - γ ) 0 0 0 0 1 B 0 0 0 1 ]]>
所述渐开线s4在缺省坐标系XOY下的方程相应为：
x y z 1 = cos ( θ - γ ) - sin ( θ - γ ) 0 0 sin ( θ - γ ) cos ( θ - γ ) 0 0 0 0 1 B 0 0 0 1 x 0 y 0 z 0 1 ]]>
优选地，该圆柱齿轮造型方法，其中，还包括设置螺旋线，所述螺旋线
在缺省坐标系XOY下的方程为：
x 2 + y 2 = r 2 z = x / tan β ]]>
优选地，该圆柱齿轮造型方法，其中，还包括设置所述齿轮的螺旋方向；
当所述齿轮右旋时，所述旋转角γ的表达式为：
γ=sin-1(Btanβ/γ)
当所述齿轮左旋时，所述旋转角γ的表达式为：
γ=2π-sin-1(Btanβ/γ)
同时，引入离散参数k，当所述齿轮右旋时k=0，当所述齿轮左旋时k=1。
在螺旋线方程中，通过负一的k次方转换螺旋线的方向，从而改变齿轮螺旋
方向。
优选地，该圆柱齿轮造型方法，其中，采用所述造型方法形成轮齿，进
而形成其余齿轮轮齿。
本发明的有益效果：通过坐标变化矩阵，实现了多条齿廓曲线在缺省坐
标系下的生成，减少参数化造型特征数量；推导了螺旋线曲线方程，省去冗
余的辅助曲面；引入离散参数，实现齿轮螺旋方向的控制，提高了参数化造
型的质量；通过替换齿廓曲线方程中的参数即可实现圆弧齿廓、摆线齿廓等
构造设计；输入齿轮的关键参数即可得到所需的齿轮模型，实现参数化造型。
附图说明
图1是本发明中圆柱齿轮的轮齿齿厚与角度的关系图；
图2是本发明中圆柱齿轮的空间位置关系图；
图3是本发明中圆柱齿轮的主体视图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，但不作为本发明的
限定。
下表为齿轮的基本参数代号：
参数名称
参数代号
模数
m
齿数
z
压力角
α
螺旋角
β
齿顶高系数
h*a
顶隙系数
c*
变位系数
x
齿宽
B
如图1所示，齿廓的渐开线a的方程为：
其中，在变位齿轮中，
s = AB ^ = mπ / 2 + 2 xm tan α ]]>
θ2=s/2r
根据渐开线函数，取端面参数：
θ1=tanα-α
于是可得：
θ=θ1+θ2
如图3所示，结合斜齿轮螺旋原理可得：
γ=sin-1(Btanβ/γ)
则第一条渐开线s1到缺省坐标系XOY的变换矩阵为：
s 1 = cos θ sin θ 0 0 - sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]]>
该渐开线s1在缺省坐标系XOY下的方程式为：
x y z 1 = cos θ sin θ 0 0 - sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 0 y 0 z 0 1 ]]>
在齿轮制作软件Pro/E中制作齿廓渐开线时采用上述方程式的方法精确
生成，选择缺省坐标系，在文件rel.ptd中输入：
r=db/2
phi=t*45
x0=r*sin(phi)-r*cos(phi)*phi*pi/180
y0=r*cos(phi)+r*sin(phi)*phi*pi/180
z0=0
x=x0*cos(theta)+y0*sin(theta)
y=-x0*sin(theta)+y0*cos(theta)
z=z0
其中，t为参变量，其在0到1之间变化，下述t的意义相同。
第二条渐开线s2相对于渐开线s1分布，其到缺省坐标系XOY的变换矩
阵为：
s 2 = cos θ - sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]]>
该渐开线s2在缺省坐标系XOY下的方程式为：
x y z 1 = cos θ - sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 0 y 0 z 0 1 ]]>
其在Pro/E中的生成方式类似于渐开线s1。
第三条渐开线s3到缺省坐标系XOY的变换矩阵为：
s 3 = cos ( θ + γ ) sin ( θ + γ ) 0 0 - sin ( θ + γ ) cos ( θ + γ ) 0 0 0 0 1 B 0 0 0 1 ]]>
该渐开线s3在缺省坐标系XOY下的方程为：
x y z 1 = cos ( θ + γ ) si n ( θ + γ ) 0 0 - sin ( θ + γ ) cos ( θ + γ ) 0 0 0 0 6 1 B 0 0 0 1 x 0 y 0 z 0 1 ]]>
在Pro/E的文件rel.ptd中输入以下参数：
r=db/2
phi=t*45
x0=r*sin(phi)-r*cos(phi)*phi*pi/180
y0=r*cos(phi)+r*sin(phi)*phi*pi/180
z0=0
x=x0*cos(theta+gamma)+y0*sin(theta+gamma)
y=-x0*sin(theta+gamma)+y0*cos(theta+gamma)
z=z0+B
第四条渐开线s4相对于渐开线s3分布，其到缺省坐标系XOY的变换矩
阵为：
s 4 = cos ( θ - γ ) - sin ( θ - γ ) 0 0 sin ( θ - γ ) cos ( θ - γ ) 0 0 0 0 1 B 0 0 0 1 ]]>
该渐开线s4在缺省坐标系XOY下的方程为：
x y z 1 = cos ( θ - γ ) - sin ( θ - γ ) 0 0 sin ( θ - γ ) cos ( θ - γ ) 0 0 0 0 1 B 0 0 0 1 x 0 y 0 z 0 1 ]]>
其在Pro/E中的生成方式类似于渐开线s3。
本发明还推导了螺旋线曲线方程，通过方程直接生成螺旋线。该螺旋线
是柱面x2+y2=z2和z=x/tanβ的交线，所述该螺旋线的方程应为：
x 2 + y 2 = r 2 z = x / tan β ]]>
将该方程组进行参数化，在Pro/E曲线文件rel.ptd中输入：
r=d/2
x=t*B*tan(beta)
y=sqrt(r^2-(t*B*tan(beta))^2)
z=t*B
或者
sigma=2*B*tan(beta)*180/(d*pi)
x=d*sin(t*sigma)/2
y=d*cos(t*sigma)/2
z=t*B
在实现对斜齿轮左旋右旋的控制时，可以引入离散变量k和角度的转化
关系。决定斜齿轮旋向的参数是螺旋角β和螺旋齿的坐标旋转角γ。在Pro/E
的关系式中，这两个角不允许直接输入负值，本发明通过以下方法解决该问
题。
斜齿轮旋向是由螺旋角β的正负引起螺旋线方向的变化，在不改变螺旋
角的情况下，引入离散变量k，通过k控制螺旋线的x坐标，进而控制螺旋
线方向。以上述原理为基础修订Pro/E中的螺旋线方程参数如下：
r=d/2
x=t*B*tan(beta)*(-1)^k
y=sqrt(r^2-(t*B*tan(beta))^2)
z=t*B
其中，k=1为左旋，k=0为右旋；
当螺旋齿的坐标旋转角γ无法反向偏移时，可在Pro/E关系中引入判断
语句：
当k=0时，斜齿轮右旋，
γ=sin-1(Btanβ/γ)
当k=1时，斜齿轮左旋，
γ-2π-sin-1(Btanβ/γ)
综上所述，圆柱齿轮的造型步骤如下：
在Pro/E参数化造型之前一定要统一单位，特别是角度和弧度。
1，新建一个PRO/E零件，在工具——程序——编辑文本内添加如下参
数：
INPUT
MN NUMBER
"请输入齿轮的法向模数=="
Z NUMBER
"请输入齿轮的齿数=="
ALPHA NUMBER
"请输入齿轮的压力角度=="
BETA NUMBER
"请输入齿轮的螺旋角=="
K NUMBER
"左旋输入1右旋输入0=="
B NUMBER
"请输入齿轮的宽度=="
HAX NUMBER
"请输入齿轮的齿顶高系数=="
CX NUMBER
"请输入齿轮的齿底隙系数=="
X NUMBER
"请输入齿轮的变位系数(负变位请加负号)=="
END INPUT
2，创建基圆、分度圆、齿顶圆、齿根圆，将尺寸代号进行参数化。根
据齿轮参数关系，在关系窗口内定义各参数的关系式：
MT=MN/COS(BETA)/*端面模数
ALPHAT=ATAN(TAN(ALPHA)/COS(BETA))/*端面压力角
HA=(HAX+X)*MN
HF=(HAX+CX-X)*MN
D=MN*Z/COS(BETA)
DB=D*COS(ALPHAT)
DA=D+2*HA
DF=D-2*HF
3，通过方程绘制螺旋线，并在水平基准面捕捉螺旋线的投影曲线。注
意基准和方向的统一；
4，通过方程绘制渐开线齿廓，并通过坐标旋转变换绘制其他齿廓，关
系如下：
THETA1＝(TAN(ALPHAT)-ALPHAT*PI/180)*180/PI
THETA2=(MT*PI/2+2*X*MT*TAN(ALPHAT))*180/(D*PI)
THETA=THETA1+THETA2/*坐标变换角度
IF K==0/*判断斜齿轮右旋
GAMMA=ASIN(2*B*TAN(BETA)/D)
ENDIF
IF k==1/*判断斜齿轮左旋
GAMMA=360-ASIN(2*B*TAN(BETA)/D)
ENDIF
5，使用扫描混合命令，选取螺旋线和其投影线，定义螺旋线两端点的
草绘，通过捕捉渐开线轮廓以及齿顶圆、齿根圆，并进行齿根倒圆角，完成
轮齿齿形草绘，进而扫描混合出轮齿实体。扫描混合过程注意两条轨迹线的
选取顺序以及草绘平面与轨迹线的垂直关系；
D#=0.3*MN/*轮齿根部倒角半径
D#=B
6，阵列轮齿，并添加以下关系：
P#=Z/*阵列轮齿齿数
新齿轮的造型过程只需点击Pro/E中再生，输入齿轮的基本参数，即可
生成所需的齿轮模型，实现齿轮的参数化造型。
以上所述仅为本发明较佳的实施例，并非因此限制本发明的实施方式及
保护范围，对于本领域技术人员而言，应当能够意识到凡运用本发明说明书
及图示内容所做出的等同替换和显而易见的变化所得到的方案，均应当包含
在本发明的保护范围内。