说明书单摆头结构铣床刀尖点频响的快速计算方法
技术领域：
本发明属于机械加工技术领域，具体涉及一种单摆头结构铣床刀尖点频响的快速计算方 法。
背景技术：
在传统三轴结构铣床或加工中心的主轴上增加一个摆轴，从而成为四轴机床或再配合一 个转台而成为五轴机床，这种形式的机床非常适合一些曲面零件的加工，如汽轮机叶片、阀 体、盘类零件等。该类机床在进行曲面加工时，摆轴一般与工件曲面的切向垂直，从而与Z 轴成不同的角度。时刻变化的摆角影响了整个主轴系统的结构形式，系统刚度发生了变化， 因而此时采用同样的切削参数可能更易引起系统颤振，它不仅破坏工件的表面质量，而且还 加剧刀具的磨损，严重时甚至使切削无法进行。
在实际工程中为避免颤振发生的一个有效方法是借助于该机床的切削稳定性极限图(俗 称“叶瓣图”)来选择合适的切削参数，刀尖点频响函数是构造该图的基础。目前国内外比较 成熟的一种快速计算机床刀尖点频响的方法为频响耦合子结构法，该方法将机床整机分为三 个子结构：机床－主轴，刀柄和刀具。其中机床－主轴响应采用锤击法获取，而刀柄和刀具 的悬伸部分则采用铁木辛柯梁模型求解，最后将两部分响应进行耦合得到刀尖点总响应。
该方法的提出解决了刀具、刀柄频繁变换后整机频响特性需重新测试的不足之处，为机 床切削稳定性极限图的快速构建提供了新的思路。目前该方法及其改进策略均只适用于三轴 机床，对于具有单摆头的四轴或五轴联动机床而言，由于摆角的不断变化导致该方法失效。
发明内容：
本发明的目的在于克服上述现有技术的缺点，提供了一种单摆头结构铣床刀尖点频响的 快速计算方法。该方法通过建立摆动状态的刀柄端频响的计算模型实现不同摆动姿态下刀柄 端频响的快速计算，进而利用子结构耦合法快速计算刀尖点频响。
为达到上述目的，本发明采用了以下技术方案予以实现：
单摆头结构铣床刀尖点频响的快速计算方法，包括以下步骤：
步骤一：建立摆动状态的刀柄端频响的计算模型
计算机床-Z轴基体在耦合方向的频响矩阵，并基于单自由度耦合理论公式得到刀柄端频 响的表达式，根据机床-Z轴基体和主轴-刀柄的刚度关系建立刀柄端频响计算模型；
步骤二：进行刀尖点频响快速计算
用实验方法得到机床刀柄端在两处指定位置处的频响矩阵，根据摆动状态的刀柄端频响 的计算模型得到任意姿态下的刀柄端频响后，通过频响耦合子结构法计算该姿态下的任意刀 柄-刀具组合下的刀尖点频响。
本发明进一步的改进在于，步骤一中，耦合方向处的频响矩阵分别考虑α和β两个方向， α方向定义为刀柄端平面内和摆轴轴线平行的方向，β方向定义为刀柄端平面内和α方向垂直 的方向。
本发明进一步的改进在于，步骤一中，机床-Z轴基体在耦合方向的α方向频响矩阵如式 (1)所示，β方向频响矩阵如式(2)所示：
R αα , θ = H αα L αα cos θ N αα cos θ P αα cos 2 θ - - - ( 1 ) ]]>
R ββ , θ = H ββ cos 2 θ L ββ cos θ N ββ cos θ P ββ - - - ( 2 ) ]]>
其中：H、L、N和P分别是位移/力、位移/弯矩、转角/力和转角/弯矩的频响函数，R 为由H、L、N和P组成的频响函数矩阵；下角标αα表示α方向的频响，ββ表示β方向的 频响，θ表示摆轴的摆角。
本发明进一步的改进在于，步骤一中，刀柄端频响计算模型为：摆头摆角为θ时，刀柄 端α方向的频响矩阵如式(13)所示，刀柄端β方向的频响矩阵如式(14)所示：
R αα ( θ , 0 ) = H αα ( 0,0 ) L αα ( 0,0 ) co s 2 θ + L αα ( 90,0 ) sin 2 θ N αα ( 0,0 ) co s 2 θ + N αα ( 90,0 ) sin 2 θ P αα ( 0,0 ) cos 2 θ + P αα ( 90,0 ) sin 2 θ - - - ( 13 ) ]]>
R ββ ( θ , 0 ) = H ββ ( 0,0 ) cos 2 θ + H ββ ( 90,0 ) L ββ ( 0,0 ) co s 2 θ + L ββ ( 90,0 ) sin 2 θ N ββ ( 0,0 ) co s 2 θ + N ββ ( 90,0 ) si n 2 θ P αα ( 0,0 ) - - - ( 14 ) ]]>
其中：H、L、N和P分别是位移/力、位移/弯矩、转角/力和转角/弯矩的频响函数，R 为由H、L、N和P组成的频响函数矩阵；下角标αα表示α方向的频响，ββ表示β方向的 频响；下角标小括号中第一个数值表示摆轴的摆角，第二个数值表示转轴的转角，对于双摆 头结构才有转轴，所以这里转轴转角均为0。
本发明进一步的改进在于，步骤二中，两处指定位置分别指单摆轴摆角为0°和90°或0° 和-90°的两个单摆轴姿态。
本发明进一步的改进在于，步骤二中，用实验方法获得刀柄端频响矩阵的方法为一阶差 分合成法，即用一阶差分法计算频响L和N，用合成法计算P；频响耦合子结构法的计算中 刀具和刀柄耦合做刚性连接处理，刀具和刀柄的频响用铁木辛柯梁建模得到。
与现有技术相比，本发明的有益效果体现在：
本发明主要针单摆头结构铣床，基于摆头的结构特点及其与机床基体的刚度关系，推导 了机床刀柄端频响的快速计算模型，进而实现了不同摆动姿态下刀尖点频响的快速计算。基 于此方法可以在少量实验下较准确的快速计算单摆头结构铣床的刀尖点频响，进而实现机床 的切削稳定性极限图的快速生成，据此来选择合适的切削参数，保证切削过程的稳定进行。 该方法也可以成为进一步实现双摆头结构五轴铣床的刀尖点频响计算方法的基础，进而实现 更加复杂的主轴结构形式下的刀尖点频响计算。
附图说明：
图1为铣床摆头结构示意图；
图2为构件在特定方向上β方向频响矩阵的求解示意图，其中：(a)端面方向，(b)β 方向；
图3为构件在特定方向上α方向频响矩阵的求解示意图，其中：(a)端面方向，(b)α 方向；
图4为摆动模型β方向频响耦合示意图；
图5为摆角θ＝40°时机床刀尖点频响的测试曲线和计算曲线，其中：(a)α方向，(b)β 方向；
图6为摆角θ＝80°时机床刀尖点频响的测试曲线和计算曲线，其中：(a)α方向，(b)β 方向。
具体实施方式：
下面结合附图和实施例对本发明做进一步详细描述。
步骤一：建立摆动状态的刀柄端频响的计算模型
计算机床-Z轴基体在耦合方向的频响矩阵，并基于单自由度耦合理论公式得到刀柄端频 响的表达式，根据机床-Z轴基体和主轴-刀柄的刚度关系建立刀柄端频响计算模型；
耦合方向处的频响矩阵需要分别考虑α和β两个方向，α方向定义为垂直于刀柄轴线的 平面内和摆轴轴线平行的方向，β方向定义为垂直于刀柄轴线的内和α方向垂直的方向。对 于刀柄端，则α和β所在平面在刀柄端面，对于刀尖点，则α和β所在平面在刀具末端平面， 如图1所示。
在摆角为θ时，固定部分和摆动部分的直线耦合方向和摆动前的水平直线成夹角θ，固 定部分相应的在耦合方向的频响方向如图2(β方向)和图3(α方向)所示。其中图(a)为 端面频响，图(b)为端部耦合方向的频响，根据有向频响的概念，可推导出用端面频响和摆 角θ表示的端部耦合方向的频响的表达式。
机床-Z轴基体在耦合方向的α方向频响矩阵如式(1)所示，β方向频响矩阵如式(2) 所示：
R αα , θ = H αα L αα cos θ N αα cos θ P αα cos 2 θ - - - ( 1 ) ]]>
R ββ , θ = H ββ cos 2 θ L ββ cos θ N ββ cos θ P ββ - - - ( 2 ) ]]>
其中：H、L、N和P分别是位移/力、位移/弯矩、转角/力和转角/弯矩的频响函数，R 为由H、L、N和P组成的频响函数矩阵；下角标αα表示α方向的频响，ββ表示β方向的 频响，θ表示摆轴的摆角。
根据单自由度耦合理论公式可以将机床-Z轴基体和主轴-刀柄(摆动部分)耦合得到刀柄 端频响，如图4所示。刀柄端各频响表达式为：
H αα ( θ , 0 ) = H αα - H 2 αα 1 H α 1 α 1 + H α 2 α 2 - - - ( 3 ) ]]> L αα ( θ , 0 ) = L αα + L 2 αα 1 L α 1 α 1 + L α 2 α 2 cos θ - - - ( 4 ) ]]>
N αα ( θ , 0 ) = N αα + N 2 αα 1 N α 1 α 1 + N α 2 α 2 cos θ - - - ( 5 ) ]]> P αα ( θ , 0 ) = P αα - P 2 αα 1 P α 1 α 1 + P α 2 α 2 co s 2 θ - - - ( 6 ) ]]>
H ββ ( θ , 0 ) = H ββ - H 2 ββ 1 H β 1 β 1 + H β 2 β 2 co s 2 θ - - - ( 7 ) ]]> L ββ ( θ , 0 ) = L ββ + L 2 ββ 1 L β 1 β 1 + L β 2 β 2 co s θ - - - ( 8 ) ]]>
N ββ ( θ , 0 ) = N ββ + N 2 ββ 1 N β 1 β 1 + N β 2 β 2 co s θ - - - ( 9 ) ]]> P ββ ( θ , 0 ) = P ββ - P 2 ββ 1 P β 1 β 1 + P β 2 β 2 - - - ( 10 ) ]]>
其中：下角标小括号中第一个数值表示摆轴的摆角，第二个数值表示转轴的转角；α和α1 分别为刀柄端和摆头耦合处的坐标，α2为机床-Z轴基体在耦合处的坐标；β和β1分别为刀 柄端和摆头耦合处的坐标，β2为机床-Z轴基体在耦合处的坐标。
机床-Z轴基体刚度远大于刀柄-主轴(摆头)刚度用公式可以表示为：
abs Hα2α2＜＜abs Hα1α1,abs Lα2α2＜＜abs Lα1α1, (11)
abs Nα2α2＜＜abs Nα1α1,abs Pα2α2＜＜abs Pα1α1.
abs Hβ2β2＜＜abs Hβ1β1,abs Lβ2β2＜＜abs Lβ1β1, (12)
abs Nβ2β2＜＜abs Nβ1β1,abs Pβ2β2＜＜abs Pβ1β1.
其中：α1为摆头在耦合处的坐标，α2为机床-Z轴基体在耦合处的坐标；β1为摆头在耦 合处的坐标，β2为机床-Z轴基体在耦合处的坐标。
基于机床-Z轴基体和刀柄-主轴(摆头)的刚度关系(11)和(12)，便可得到刀柄端频 响计算模型：摆头摆角为θ时，刀柄端α方向的频响矩阵如式(13)所示，刀柄端β方向的 频响矩阵如式(14)所示：
R αα ( θ , 0 ) = H αα ( 0,0 ) L αα ( 0,0 ) co s 2 θ + L αα ( 90,0 ) sin 2 θ N αα ( 0,0 ) co s 2 θ + N αα ( 90,0 ) sin 2 θ P αα ( 0,0 ) cos 2 θ + P αα ( 90,0 ) sin 2 θ - - - ( 13 ) ]]>
R ββ ( θ , 0 ) = H ββ ( 0,0 ) cos 2 θ + H ββ ( 90,0 ) L ββ ( 0,0 ) co s 2 θ + L ββ ( 90,0 ) sin 2 θ N ββ ( 0,0 ) co s 2 θ + N ββ ( 90,0 ) si n 2 θ P αα ( 0,0 ) - - - ( 14 ) ]]>
其中：R为由H、L、N和P组成的频响函数矩阵；下角标αα表示α方向的频响，ββ 表示β方向的频响。下角标小括号中第一个数值表示摆轴的摆角，第二个数值表示转轴的转 角，对于双摆头结构才有转轴，所以这里转轴转角均为0。其中，对于Hββ(θ,0)的推导过程为 式(15)，其他频响的推导过程相近。
H ββ ( θ , 0 ) - ( H ββ ( 0,0 ) cos 2 θ + H ββ ( 90,0 ) sin 2 θ ) = H 2 ββ 1 sin 2 θ cos 2 θ H β 1 β 1 ( H β 2 β 2 H β 1 β 1 ) 2 ( 1 + H β 2 β 2 H β 1 β 1 ) ( 1 + H β 2 β 2 H β 1 β 1 cos 2 θ ) ≈ H 2 ββ 1 sin 2 θ cos 2 H β 1 β 1 ( 0 ) 2 ( 1 + 0 ) ( 1 + cos 2 θ ) = 0 - - - ( 15 ) ]]>
其中：H是位移/力的频响函数；下角标小括号中第一个数值表示摆轴的摆角，第二个数 值表示转轴的转角；β和β1分别为刀柄端和摆头耦合处的坐标，β2为机床-Z轴基体在耦合 处的坐标。
步骤二：进行刀尖点频响快速计算
用实验方法得到机床刀柄端在两处指定位置处的频响矩阵，根据摆动状态的刀柄端频响 的计算模型得到任意姿态下的刀柄端频响后，通过频响耦合子结构法计算该姿态下的任意刀 柄-刀具组合下的刀尖点频响。
两处指定位置分别指单摆轴摆角为0°和90°或0°和-90°的两个单摆轴姿态。
用实验方法获得刀柄端频响矩阵的方法为一阶差分合成法，即用一阶差分法计算频响L 和N，用合成法计算P。频响耦合子结构法的计算中刀具和刀柄耦合做刚性连接处理，刀具 和刀柄的频响用铁木辛柯梁建模得到。
以单摆头结构铣床为对象，进行锤击实验说明本方法的使用步骤。
第一步，将刀柄装夹在主轴上，在摆头初始状态(即摆角为0°，θ＝0°)下，用锤击实验 分别测试刀柄端在α和β两个方向上的原点频响和跨点频响。原点频响的力锤敲击点和位移 拾取点(加速度传感器布置点)均在刀柄末端，跨点频响的力锤敲击点在刀柄末端，位移拾 取点在距离刀柄末端S距离处，这里S＝30cm。在摆头摆动到和初始位置垂直的姿态下(即摆 角为90°(或-90°)，θ＝90(或-90°))，再次用锤击实验分别测试刀柄端在α和β两个方向上 的原点频响和跨点频响，S＝30cm，保持不变。
第二步，用一阶差分合成法计算每个测试姿态下的各个方向的频响矩阵。假设相同姿态 下某一方向(α或β)的原点频响为H11，跨点频响为H1a1，则其转角频响的计算公式如式(16-17) 所示：
L 11 = N 11 = H 11 - H 1 a 1 S - - - ( 16 ) ]]>
P 11 = N 2 11 H 11 - - - ( 17 ) ]]>
其中：S＝30cm。下角标11表示原点频响，1a1表示跨点频响。
由此可以得到两个测试位置各个方向的频响矩阵 R αα ( 0,0 ) = H αα ( 0,0 ) L αα ( 0,0 ) N αα ( 0,0 ) P αα ( 0,0 ) , ]]>
R αα ( 90,0 ) = H αα ( 90,0 ) L αα ( 90,0 ) N αα ( 90,0 ) P αα ( 90,0 ) , R ββ ( 0,0 ) = H ββ ( 0,0 ) L ββ ( 0,0 ) N ββ ( 0,0 ) P ββ ( 0,0 ) , R ββ ( 90,0 ) = H ββ ( 90,0 ) L ββ ( 90,0 ) N ββ ( 90,0 ) P ββ ( 90,0 ) . ]]>
第三步，将刀柄从主轴上取下，将刀具装夹到刀柄上，刀具夹持长度为30cm。将刀具- 刀柄装配体装夹到机床主轴上，改变摆头姿态，用锤击实验测试不同姿态下刀尖点的α和β 两个方向的刀尖点频响，力锤敲击点和位移拾取点均在刀具末端。这里取两个不同摆头的摆 角，分别为θ＝40°，θ＝80°。
第四步，运用摆动状态的刀柄端频响的计算模型计算摆头不同姿态(即摆角为θ)下的 刀柄端频响矩阵，计算公式为式(13-14)。这里计算和实验对应的两个不同摆角(θ＝40°，θ＝80°) 下的刀柄端频响矩阵。
第五步，运用频响耦合子结构法得到不同姿态下的刀尖点计算频响。具体步骤为首先用 逆子结构法将刀柄悬伸部分剔除，得到机床-主轴-刀柄法兰部分的频响矩阵，其次用理论方 法得到悬伸刀柄-刀具装配体的频响矩阵，最后将机床-主轴-刀柄法兰和悬伸刀柄-刀具两个结 构的频响矩阵耦合，得到机床刀尖点频响。其中刀柄和刀具均用铁木辛柯梁建模求解频响矩 阵。
图5-6为两个不同摆角姿态下机床刀尖点的测试频响和计算频响的对比图，其中横坐标 为频率，纵坐标为频响实部和虚部值，红色曲线表示测试频响曲线，蓝色曲线表示计算频响 曲线。从图中可以看出，虽然每个姿态下频响的计算精度有一定的变化，本方法对摆头摆动 中两个个姿态下的刀尖点频响的计算比较准确。
本发明公布的刀尖点频响的快速计算方法以单摆头结构铣床为实施对象，解决了现存频 响子结构耦合法只能适用于三轴铣床的局限。以上显示和描述本发明的基本原理及主要特征， 本领域的技术人员应该了解，本发明不受上述实例的限制，凡是根据本发明的内容，按照本 发明的方法，做一些改进和变化的，都落入本发明保护的范围。