一种旋转环状周期结构参激弹性振动分析方法技术领域
本发明涉及一种振动分析方法。特别是涉及一种旋转环状周期结构参激弹性振动
分析方法。
背景技术
旋转环状周期结构系统广泛存在于现代工业中，例如行星齿轮传动系统齿圈、旋
转电机的环形定转子、汽轮机叶片和滚动轴承内外圈等。该类结构通常由圆环和旋转载荷
组成。在旋转载荷作用下，环状结构将产生振动和噪声问题，尤其对于高速、重载的工作场
合。在各类振动行为中，参激振动备受关注。但针对其模态特性和动力稳定性问题的传统分
析技术计算效率和精度低下，对高效率和高精度分析技术的需求较为迫切。
发明人认为，含移动支撑的周期结构本质上为参激振动系统。由于经典振动理论
无法对参激系统直接进行解析求解(胡海岩.应用非线性动力学，北京：航空工业出版社，
2000)，因此多通过引入小参数，利用近似处理的思想展开分析。现有技术(Canchi S V,
Parker R G.Parametric instability of a rotating circular ring with moving,
time-varying springs,ASME Journal of Vibration and Acoustics,2006,128(2):231-
243；Zhao Z F,Wang S Y.Parametric instability induced by traveling magnetic
load within permanent magnet motors,Nonlinear Dynamics,2015,80(1):827–843)采
用多尺度法分别分析了旋转环状周期结构和永磁电机的参激振动问题，揭示了参激不稳定
规律，并给出了数值验证。发明人还采用摄动和模态叠加技术探讨了参激系统的振型耦合
与组合不稳定之间的关系(Wang S Y,Sun W J,Wang Y Y.Instantaneous mode
contamination and parametric combination instability of spinning cyclic
symmetric ring structures with expanding application to planetary gear ring,
Journal of Sound and Vibration,2016,375:366–385)。应当指出，上述分析都是在全局
静止坐标系下直接进行的。然而，这些技术通常适用于小参数系统，对于旋转支撑刚度较大
的情形不再适用。现有文献还通常采用数值计算方法预测参激振动规律，但计算效率较低，
且不利于揭示普适规律。
由于旋转环状周期结构的薄圆环假设，因此圆环会呈现出包括径向和切向弹性参
激振动的特点，在全局静止坐标系下得到的系统的动力学方程会含有时变的参数项。由于
经典振动理论只能解析分析常微分方程，因此现有技术不能直接解析求解其动力学方程。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是，提供一种可以进行系统模态特性的计算求解，也
可以进行系统的动力稳定性和动态响应分析的旋转环状周期结构参激弹性振动分析方法。
本发明所采用的技术方案是：一种旋转环状周期结构参激弹性振动分析方法，所
述旋转环状周期结构由薄圆环和离散旋转支撑弹簧组成，是采用坐标变换方法实现参激系
统动力稳定性的解析分析，具体包括以下步骤：
1)在全局静止坐标系o-rθz下，根据哈密顿原理建立旋转环状周期结构的刚-弹耦
合动力学模型：
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式中：
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β为旋转支撑的方向角；
θ为表示旋转支撑位置角的一个空间函数；
kt为圆环外侧均布切向静止支撑刚度；
kr为圆环外侧均布径向静止支撑刚度；
θj＝2π(j–1)/N，表示第j个旋转支撑的初始位置，N为总的旋转支撑个数；
Ω为旋转支撑的转速；
t表示时间；
cz＝I/(AR2)为人为引入的一个运算符；
I＝bh3/12为圆环截面惯性矩；
A＝bh为圆环截面面积；
R为圆环中心圆半径；
b为圆环的径向厚度；
h为圆环的轴向高度；
ks为旋转支撑刚度；
2)引入坐标变换![]()
将步骤1)所述动力学模型转换到支撑随动坐标系
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下，从而消除原方程中的参激项，得到偏微分常系数动力学方程：
(M′+K′0+K′1)q＝0；
式中：
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3)采用伽辽金方法对旋转支撑随动坐标系![]()
下的偏微分常系数动力学方程进
行离散处理，得到常微分矩阵方程：
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式中：
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4)利用经典振动理论，解析分析步骤3)所述的常微分矩阵方程的特征值；
5)分别利用步骤4)得到的常微分矩阵方程的特征值的虚部和实部对旋转环状周
期结构的模态特性和参激弹性振动的动力稳定性规律进行分析；
步骤3)所述的离散处理方式如下：
首先对偏微分常系数动力学方程的响应u和v设解
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式中：
U(t)＝x1(t)+iy1(t)和V(t)＝x2(t)+iy2(t)；i为虚数单位，“～”表示复共轭；
定义内积：
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将所述的设解代入步骤2)所述动力学方程，并与![]()
作内积，分离方程的实、虚部，
进而得到所述的常微分矩阵方程。
步骤4)包括：
(1)根据三角函数的运算性质：![]()
确定步骤3)所述的常微分矩阵方程的刚度矩阵形式如下：
a)当2n/N为整数时
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b)当2n/N不为整数时
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式中：
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(2)将常微分矩阵方程中所有的矩阵输入Matlab软件中，调用Matlab软件中的eig
命令，得到常微分矩阵方程的特征值。
步骤5)所述的分析是将特征值的虚部作为旋转对称结构的固有频率；将特征值的
实部作为稳定性判据：当特征值的实部大于零，则旋转对称结构出现不稳定现象；当特征值
的实部小于或等于零，则旋转对称结构稳定。
本发明的一种旋转环状周期结构参激弹性振动分析方法，是在全局静止坐标系下
建立旋转环状周期结构的动力学模型，采用一种坐标变换技术和经典振动理论计算系统的
特征值，并预测了模态特性和动力稳定性。本发明可用于旋转机械，如行星齿轮传动系统齿
圈、旋转电机的环形定转子、汽轮机叶片和滚动轴承内外圈等旋转机械的动力学解析分析，
可以进行系统模态特性的计算求解，也可以进行系统的动力稳定性和动态响应的分析。
首先针对全局静止坐标系下的动力学方程进行坐标变换，通过引入了陀螺项的方
式消除经典振动理论无法解析求解的时变参激刚度项。本发明直观地给出了旋转环状周期
结构解析形式的特征值，比现有技术更具有高效性、准确性和普适性，克服了现有技术受小
参数的限制或偏于数值计算，效率低下的缺点，使针对类似结构的旋转机械参激振动的研
究更加符合工程实际。根据本发明可以揭示参数与系统的模态特性、动力稳定性和动态响
应之间的关系，可实现在设计阶段预估旋转机械的振动情况及各阶振动的不稳定区域，据
此指导旋转机械的高效结构设计，进而提高稳定性及运行可靠性。
附图说明
图1是本发明的旋转环状周期结构示意图及两种坐标系；
图2a是振动波数n＝2，支撑弹簧个数N＝4时，根据本发明的方法求得的旋转环状
周期结构固有频率随旋转支撑弹簧转速变化规律图；
图2b是振动波数n＝2，支撑弹簧个数N＝4时，根据本发明的方法求得的旋转环状
周期结构稳定性判据随旋转支撑弹簧转速变化规律图；
图3a是本发明的方法和现有数值计算方法对旋转环状周期结构不稳定区域预测
对比图；
图3b是旋转环状周期结构发散不稳定型动态响应图；
图3c是旋转环状周期结构颤振不稳定型动态响应图；
图3d是旋转环状周期结构稳态型动态响应图。
具体实施方式
下面结合实施例和附图对本发明的一种旋转环状周期结构参激弹性振动分析方
法做出详细说明。
本发明的一种旋转环状周期结构参激弹性振动分析方法，考虑到经典振动理论的
特点，通过引入坐标变换，实现了动力学方程在不同坐标系下的转换，提出了一种旋转环状
周期结构参激弹性振动的解析分析技术。
本发明的一种旋转环状周期结构参激弹性振动分析方法中，所述旋转环状周期结
构如图1所示由薄圆环和离散旋转支撑弹簧组成，是采用坐标变换方法实现参激系统动力
稳定性的解析分析，方法具体包括以下步骤：
1)在全局静止坐标系o-rθz下，根据哈密顿(Hamilton)原理建立旋转环状周期结
构的刚-弹耦合动力学方程：
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式中：
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β为旋转支撑的方向角；
θ为表示旋转支撑位置角的一个空间函数；
kt为圆环外侧均布切向静止支撑刚度；
kr为圆环外侧均布径向静止支撑刚度；
θj＝2π(j–1)/N，表示第j个旋转支撑的初始位置，N为总的旋转支撑个数；
Ω为旋转支撑的转速；
t表示时间；
cz＝I/(AR2)为人为引入的一个运算符；
I＝bh3/12为圆环截面惯性矩；
A＝bh为圆环截面面积；
R为圆环中心圆半径；
b为圆环的径向厚度；
h为圆环的轴向高度；
ks为旋转支撑刚度；
上述刚-弹耦合动力学方程为一个含有时变刚度项的参激振动方程，其动力学响
应和系统的特征值无法直接通过经典振动理论解析求得，借助Floquét理论和数值计算技
术，可以得到在给定初始条件下的结论，但不具有普适性。
由此，本发明通过引入坐标变换![]()
可将在全局静止坐标系o-rθz下所得
到的动力学方程转换到支撑随动坐标系![]()
下，得到一个不含参激项的定常偏微分方程，
进而可以计算系统的特征值以确定固有频率和参激不稳定行为。具体过程如下：
2)引入坐标变换![]()
将步骤1)所述动力学模型转换到支撑随动坐标系
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下，从而消除原方程中的参激项，得到偏微分常系数动力学方程：
(M′+K′0+K′1)q＝0；
式中：
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通过本发明所提出的这种坐标变换技术，系统的动力学方程引入了陀螺项，消去
了原有方程刚度项的时变性；
3)采用伽辽金(Galerkin)方法对旋转支撑随动坐标系![]()
下的偏微分常系数动
力学方程进行离散处理，得到常微分矩阵方程。所述的离散处理方式如下：
首先对偏微分常系数动力学方程的响应u和v设解
![]()
式中：
U(t)＝x1(t)+iy1(t)和V(t)＝x2(t)+iy2(t)；i为虚数单位，“～”表示复共轭；
定义内积：
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将所述的设解代入步骤2)所述动力学方程，并与![]()
作内积，分离方程的实、虚部，
进而得到所述的常微分矩阵方程：
![]()
式中：
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4)利用经典振动理论，解析分析步骤3)所述的常微分矩阵方程的特征值；包括：
(1)根据三角函数的运算性质：![]()
确定步骤3)所述的常微分矩阵方程的刚度矩阵形式如下：
a)当2n/N为整数时
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b)当2n/N不为整数时
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式中：
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(2)将常微分矩阵方程中所有的矩阵输入Matlab软件中，调用Matlab软件中的eig
命令，得到常微分矩阵方程的特征值。
以表1中数据为例，利用经典振动理论计算步骤(S3)中常微分方程的特征值。
表1旋转环状周期结构系统参数
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5)分别利用步骤4)得到的常微分矩阵方程的特征值的虚部和实部对旋转环状周
期结构的模态特性和参激弹性振动的动力稳定性规律进行分析，所述的分析是将特征值的
虚部作为旋转对称结构的固有频率；将特征值的实部作为稳定性判据：当特征值的实部大
于零，则旋转对称结构出现不稳定现象；当特征值的实部小于或等于零，则旋转对称结构稳
定。解析结论如附图2a、图2b所示。
下面用两种不同的方式对本发明的一种旋转环状周期结构参激弹性振动分析方
法进行验证。
第一种方式：
利用Floquét理论，对本发明得到的旋转环状周期结构的模态特性和参激弹性振
动的动力稳定性规律进行数值验证。以2n/N等于整数为例，针对全局静止坐标系o-rθz下动
力学模型，采用本发明步骤3)所述Galerkin离散处理，可得下面的常微分方程：
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式中：
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式中：
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将得到的常微分方程改写为状态空间形式：
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式中：
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且A(t+Tm)＝A(t)，Tm是与旋转支撑弹簧转
速有关的参激变化周期；0表示4维的零矩阵；I表示4维的单位矩阵。
根据周期矩阵A(t)可以近似地构造出一个Floquét转换矩阵，并能根据该转换矩
阵的特征值来判断系统的稳定性。利用现有的Floquét数值计算方法对本发明方法的旋转
环状周期结构的模态特性和参激弹性振动的动力稳定性规律的验证如附图3a所示，图中点
状区域为数值计算结果，边界线为本发明所提出的解析技术的计算结果。
第二种方式：
利用变步长Runge-Kutta法，对本发明得到的旋转环状周期结构的模态特性和参
激弹性振动的动力稳定性规律进行数值验证。结论如附图3b、图3c、图3d所示。证明本发明
的方法不仅可以判断系统的不稳定区域，还可以对系统发生的颤振或者发散不稳定的类型
进行判断，可以更好的指导工程实践。
综上所述，本发明实施例提供了一种旋转环状周期结构模态特性和参激振动动力
稳定性的解析分析技术，该技术可在数学建模阶段从全局静止坐标系入手，然后通过引入
一种坐标变换技术，在动力学方程中引入了陀螺项，消去了无法利用经典振动理论解析求
解的时变参激刚度项，进而得到旋转机械系统解析形式的特征值，提高了针对旋转机械模
态和稳定性分析的效率和普适性，更好地满足了工程实际的需要。
本领域技术人员可以理解附图只是一个特殊实施例的示意图，并不用以限制本发
明。显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和
范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换和变型等，均应包含在本
发明的保护范围之内。