一种波轮式全自动洗衣机脱水振动过程稳定性的分析方法
技术领域
本发明涉及一种针对波轮式全自动洗衣机脱水振动的分析方法，尤其是一种波轮式全自动洗衣机脱水振动过程稳定性的分析方法。
背景技术
全自动洗衣机的脱水振动一直是生产厂家重点关注的问题。由于脱水过程中衣物偏心较大且分布随机，因此采用动平衡技术是抑制洗衣机脱水振动的重要措施。目前，波轮式全自动洗衣机广泛采用液体平衡环机构进行动平衡。该机构的引入在抑振的同时增加了脱水振动特性的复杂性。长期以来对波轮式全自动洗衣机脱水振动过程稳定性的分析一直缺乏有效方法。
发明内容
本发明的目的是克服现有技术中存在的不足，提供一种可以用来指导实际设计过程的波轮式全自动洗衣机脱水振动过程稳定性的分析方法。
按照本发明提供的技术方案，所述波轮式全自动洗衣机脱水振动过程稳定性的分析方法包括如下步骤：
(a)建立系统坐标系步骤
建立参考坐标系XrYrZr和动坐标系XbYbZb，参考坐标系XrYrZr固结于大地，原点位于Or；动坐标系XbYbZb固结于盛水桶，假设四根吊杆的下悬挂点处于同一平面A，该平面跟随盛水桶移动且与盛水桶轴线Zb垂直相交于点Ob，Ob即为动坐标系XbYbZb的原点，采用布里恩角[αβγ]T描述动坐标系XbYbZb的姿态；
(b)将平衡环内液体离散为若干刚性球体步骤
将平衡环内的液体离散为N个刚性球体，设第i个球体相对于脱水桶的旋转角为φi，其绕中心轴的旋转半径为di，旋转面在动系XbYbZb中的相对高度为Hi。该球体在动系XbYbZb中的位置矢量可描述为式(1)：
ri＝[dicos(θ+φi) disin(θ+φi) Hi]T (1)
式(1)中θ为脱水转角，则该球体在参考坐标系XrYrZr中的位置矢量可描述为式(2)：
si＝x+Arbri (2)
式(2)中x＝[x y z]T，Arb为动坐标系XbYbZb相对参考坐标系XrYrZr的姿态矩阵，对上式求导可得球体的速度矢量为式(3)：
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式(3)中B为![]()
与动系XbYbZb角速度间的转换矩阵，
∂ri∂θ=-disin(θ+φi)dicos(θ+φi)0T---(4)]]>
∂ri∂φi=-disin(θ+φi)dicos(θ+φi)0T=∂ri∂θ---(5)]]>
令
Di=∂ri∂θ=∂ri∂φi---(6)]]>
则(3)式可化简为式(7)：
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设球体质量为mb，忽略球体惯量的影响，推导得球体动能：
Ti=12κ·iTmbI3-mbArbr~iBmbArbDimbArbDimbBT(r~i)Tr~iB-mbBT(r~i)TDi-mbBT(r~i)TDimbdi2mbdi2symmbdi2κ·i---(8)]]>
式(8)中κ·i=x·y·z·α·β·γ·θ·φ·iT;]]>
(c)建立系统振动模型步骤
通过Lagrange方程得到系统的振动方程：
Mξ··=12[∂M∂ξξ·]Tξ·-(Σi=16+N∂M∂ξiξ·i)ξ·+QQτ-∂Vg∂ξ---(9)]]>
其中N为离散球体的个数，M为系统质量矩阵；Vg为系统重力势能；Q为悬挂系统广义力；![]()
Qτ=-Cτφ·1Cτφ·2...Cτφ·NT---(10)]]>
为球体所受平衡环阻尼力；Cτ为平衡环阻尼系数。
(d)旋转坐标变换步骤
引入如下的旋转坐标变换：
τ=Ωtdτdt=Ωξ1=ϵ1cos(τ)-ϵ2sin(τ)ξ2=ϵ1cos(τ)+ϵ2sin(τ)ξ3=ϵ3ξ4=ϵ4cos(τ)-ϵ5sin(τ)ξ5=ϵ5cos(τ)+ϵ5sin(τ)ξ6=ϵ6...ξ6+N=ϵ6+N---(11)]]>
将(11)表达为矩阵向量形式：
ξ＝Hε (12)
其中
H=cos(τ)-sin(τ)00000...0sin(τ)cos(τ)00000...00010000...0000cos(τ)-sin(τ)00...0000sin(τ)cos(τ)00...00000010...00000001...00000000...00000000...1---(13)]]>
对式(12)求导可得式(14)：
ξ·=H·ϵ+Hϵ·---(14)]]>
对式(14)进一步求导得：
ξ··=H··ϵ+2H·ϵ·+Hϵ··---(15)]]>
令![]()
并与式(12)、式(14)和式(15)一起代入式(9)得：
MHϵ··=G(ϵ,ϵ·)-MH··ϵ-2MH·ϵ·---(16)]]>
令![]()
并代入式(16)得一阶自治系统
ϵ·=zz·=(MH)-1(G(ϵ,z)-MH··ϵ-2MH·z)---(17)]]>
(e)平衡点的求取步骤
令![]()
式(17)式可化为
q·=f(q)---(18)]]>
系统在平衡点q*处满足f(q*)＝0，为求取系统的平衡点，可采用Newton-Raphson迭代法
qn+1*=qn*-J-1f(qn*)---(19)]]>
式中
J=∂f∂q|q=qn*---(20)]]>
为系统在平衡点处的雅可比矩阵；
(f)系统稳定性分析步骤
通过上一步Newton-Raphson方法的迭代，得到系统平衡点q*，采用延续性算法跟踪系统平衡点q*稳定性随单个或多个参数变化情况，得出系统设计参数的稳定区间或区域，指导实际的设计过程，借助Linux/Unix下的AUTO或基于Matlab的MatCont软件完成这一步工作。
本发明的方法可以用来指导实际设计过程，方便快捷地确定波轮式全自动洗衣机的脱水稳定性。
附图说明
图1是本发明的系统坐标系示意图。
图2是本发明Ca＝50N s m-1时Ω的单参数分岔图。
图3是本发明中Ca＝50N s m-1时，Ω和mb的双参数分岔图。
图4是本发明中mb＝0.5kg时，Ω-Ca的双参数分岔图。
图5是本发明中Ω＝3hz时第一组实验的加速度曲线图。
图6是本发明中Ω＝3hz时第一组实验的相应的功率谱图。
图7是本发明中Ω＝1.5hz时第一组实验的加速度曲线图。
图8是本发明中Ω＝1.5hz时第一组实验的相应的功率谱图。
图9是本发明中Ω＝5.6hz时第一组实验的加速度曲线图。
图10是本发明中Ω＝5.6hz时第一组实验的相应的功率谱图。
图11是本发明中Ω＝3hz时第二组实验的加速度曲线图。
图12是本发明中Ω＝3hz时第二组实验的相应的功率谱图。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明作进一步说明。
在图1中，1为液体平衡环，2为脱水桶，3为吊杆，4为盛水桶，5为电机，6为箱体。
本发明的波轮式全自动洗衣机脱水振动过程稳定性的分析方法包括如下步骤：
1、建立系统坐标系
首先建立如图1所示的两坐标系：参考坐标系XrYrZr和动坐标系XbYbZb。参考坐标系XrYrZr固结于大地，原点位于Or；动坐标系XbYbZb固结于盛水桶4。假设四根吊杆的下悬挂点处于同一平面A，该平面跟随盛水桶4移动且与盛水桶4轴线Zb垂直相交于点Ob，Ob即为动坐标系XbYbZb的原点。这里采用布里恩角[αβγ]T描述动坐标系XbYbZb的姿态。
2、将平衡环内液体离散为若干刚性球体
为分析脱水过程的稳定性，本发明将液体平衡环1内的液体离散为N个刚性球体。设第i个球体相对于脱水桶2的旋转角为φi，其绕中心轴的旋转半径为di，旋转面在动系XbYbZb中的相对高度为Hi。该球体在动系XbYbZb中的位置矢量可描述为：
ri＝[dicos(θ+φi) disin(θ+φi) Hi]T (1)
式中θ为脱水转角。该球体在参考坐标系XrYrZr中的位置矢量可描述为：
si＝x+Arbri (2)
上式中x＝[x y z]T，Arb为动坐标系XbYbZb相对参考坐标系XrYrZr的姿态矩阵。对上式求导可得球体的速度矢量为：
![]()
式中B为![]()
与动系XbYbZb角速度间的转换矩阵。
∂ri∂θ=-disin(θ+φi)dicos(θ+φi)0T---(4)]]>
∂ri∂φi=-disin(θ+φi)dicos(θ+φi)0T=∂ri∂θ---(5)]]>
令
Di=∂ri∂θ=∂ri∂φi---(6)]]>
则(3)式可化简为
![]()
设球体质量为mb，忽略球体惯量的影响，推导得球体动能：
Ti=12κ·iTmbI3-mbArbr~iBmbArbDimbArbDimbBT(r~i)Tr~iB-mbBT(r~i)TDi-mbBT(r~i)TDimbdi2mbdi2symmbdi2κ·i---(8)]]>
式中κ·i=x·y·z·α·β·γ·θ·φ·iT.]]>
3、建立系统振动模型
考虑到系统其它部件的动能及悬挂系统广义力等，通过Lagrange方程可得系统的振动方程。
Mξ··=12[∂M∂ξξ·]Tξ·-(Σi=16+N∂M∂ξiξ·i)ξ·+QQτ-∂Vg∂ξ---(9)]]>
其中N为离散球体的个数，M为系统质量矩阵；Vg为系统重力势能；Q为悬挂系统广义力；![]()
Qτ=-Cτφ·1Cτφ·2...Cτφ·NT---(10)]]>
为球体所受平衡环阻尼力；Cτ为平衡环阻尼系数。
4、旋转坐标变换
引入如下的旋转坐标变换：
τ=Ωtdτdt=Ωξ1=ϵ1cos(τ)-ϵ2sin(τ)ξ2=ϵ1cos(τ)+ϵ2sin(τ)ξ3=ϵ3ξ4=ϵ4cos(τ)-ϵ5sin(τ)ξ5=ϵ5cos(τ)+ϵ5sin(τ)ξ6=ϵ6...ξ6+N=ϵ6+N---(11)]]>
将(11)表达为矩阵向量形式：
ξ＝Hε (12)
其中
H=cos(τ)-sin(τ)00000...0sin(τ)cos(τ)00000...00010000...0000cos(τ)-sin(τ)00...0000sin(τ)cos(τ)00...00000010...00000001...00000000...00000000...1---(13)]]>
对(12)求导可得：
ξ·=H·ϵ+Hϵ·---(14)]]>
对(14)进一步求导得：
ξ··=H··ϵ+2H·ϵ·+Hϵ··---(15)]]>
令![]()
并与(12)(14)(15)一起代入(9)得：
MHϵ··=G(ϵ,ϵ·)-MH··ϵ-2MH·ϵ·---(16)]]>
令![]()
并代入(16)得一阶自治系统
ϵ·=zz·=(MH)-1(G(ϵ,z)-MH··ϵ-2MH·z)---(17)]]>
5、平衡点的求取
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(17)式可化为
q·=f(q)---(18)]]>
系统在平衡点q*处满足f(q*)＝0，为求取系统的平衡点，可采用Newton-Raphson迭代法
qn+1*=qn*-J-1f(qn*)---(19)]]>
式中
J=∂f∂q|q=qn*---(20)]]>
为系统在平衡点处的雅可比矩阵。
6、系统稳定性分析
通过上一步Newton-Raphson方法的迭代，可得系统平衡点q*。系统在平衡点处的稳定性可通过(20)式雅可比矩阵的特征值来分析，当至少有一个特征值的实部大于0，则自治系统(17)不稳定，原系统(9)也会失稳。在设计过程中，系统参数的变化可能引起特征值穿越虚轴，随穿越方式的不同，系统会发生不同的分岔现象。对全自动洗衣机而言，主要有Hopf分岔和鞍结分岔两种。采用延续性算法可跟踪平衡点稳定性随单个或多个参数变化情况，得出系统设计参数的稳定区间(或区域)，指导实际的设计过程。目前，可借助较成熟的软件如Linux/Unix下的AUTO或基于Matlab的MatCont等完成这一步工作。
7、分析实例
按照步骤1-4的方法建立某洗衣机的振动模型，进而采用步骤e的方法求取系统平衡点。以球体个数N＝2为例，通过迭代发现，系统具有三组平衡解：其中解I满足φ1与φ2基本对称，解II满足φ1＝φ2，解III满足φ1＝φ2+π。由于解III总是不稳定，下文分析过程中主要讨论解I与解II。这里在对系统稳定性分析的过程中，采用数值分岔软件AUTO。
图2给出了当轴向阻尼系数Ca＝50N s m-1时系统的单参数分岔图。图中实线代表稳定解，点线代表不稳定解。图中下标指出了解的序号(I或II)，上标为Hopf分岔点H的标号。
图3给出了当轴向阻尼系数Ca＝50N m s-1时，稳态脱水转速Ω与球体质量mb的双参数分岔图。可以看出，此时系统存在两个不稳定区间M与N。不稳定区间M位于波轮式全自动洗衣机第一阶摆动频率附近，而不稳定区间N位于系统的第二阶摆动频率附近。在不稳定区间M处，系统的离心加速度rbΩ2＝0.2×(0.75×2π)2≈4.4m s-2，对于液体平衡环来说，此时液体所受离心力约为重力的一半，因而环内液体不能形成明显的聚集，此时平衡环的失稳对波轮式全自动洗衣机的影响不大；但与不稳定区间M不同的是，不稳定区间N位于M的右侧，此时波轮式全自动洗衣机已经体现出类似圆盘转子的自动定心现象，由于此时脱水转速较高，系统的离心加速度rbΩ2＝0.2×(3×2π)2≈71m s-2，约为重力加速度的7倍，平衡环内的液体足以克服重力的影响而聚集，平衡环机构在此处的失稳能引起盛水桶4明显的摇摆，这种摇摆也会引起盛水桶4与机壳间的剧烈撞击，因而不稳定区间N更会引起人们注意。增大轴向阻尼系数Ca可有效抑制失稳区间N的出现。
图4给出了为消除不稳定区间N所需的临界阻尼系数Ca。
这里通过实验验证本发明分析方法的可行性。实验分为两组：第一组实验采用轴向阻尼Ca较小的吊杆，第二组采用轴向阻尼Ca较大的吊杆。
图5和图6给出了Ω＝3hz的情况下轴向阻尼系数较小时的实验结果。从图5中可以看出，系统X向的加速曲线存在明显的时强时弱现象。这种现象的存在反映了脱水过程的不稳定，其可导致部件4与机壳间撞击现象的发生。
依据图3的分岔结论，小阻尼的情况下，当Ω＝1.5hz或Ω＝5.6hz平衡环应保持稳定。这里对这两个速度点进行了实验。实验曲线分别见图7、图8、图9与图10，可见这两个速度点上，系统在X向的加速度已经没有明显的时强时弱现象。
依据图4的分岔结论，大阻尼时，液体平衡环应不存在不稳定区间N。本文第二组实验过程中对Ω＝3hz点进行了测量，如图11、图12所示，可见系统在X向的加速度已没有明显的时强时弱现象。
综合以上实验结果不难看出：本发明分析结果与实验结果一致。从而说明本发明分析方法的可行性与有效性。